Một số phương pháp dựng hình trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM MINH TUẤN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu LỜI CẢM ƠN Một số vấn đề chung 1.1 Vài nét lịch sử hình học dựng hình 1.2 Tại dựng hình lại dùng hai dụng cụ thước compa? 1.2.1 Giải toán dựng hình gì? 1.2.2 Tại dùng thước compa? 1.2.3 Giải tốn dựng hình gì? 1.2.4 Dựng hình dụng cụ khác 1.2.5 Giá trị lí luận thực tiễn dụng cụ dựng hình 1.3 Các phép dựng hình 1.3.1 Loại đường thẳng 1.3.2 Loại đường tròn 1.3.3 Loại tỉ lệ 1.3.4 Loại diện tích 1.4 Các bước giải tốn dựng hình 1.4.1 Bước phân tích 1.4.2 Bước cách dựng 1.4.3 Bước chứng minh 1.4.4 Bước biện luận Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 8 9 10 11 12 12 12 13 13 13 13 15 16 17 Một số phương pháp dựng hình thước compa 2.1 Dựng hình phương pháp biến hình 2.1.1 Dựng hình phương pháp tịnh tiến 2.1.2 Dựng hình phương pháp đối xứng tâm 2.1.3 Dựng hình phương pháp đối xứng trục 2.1.4 Dựng hình phương pháp vị tự 2.1.5 Dựng hình phương pháp quay 2.1.6 Dựng hình phương pháp đồng dạng 2.2 Dựng hình phương pháp nghịch đảo 2.3 Dựng hình phương pháp quỹ tích 2.4 Dựng hình phương pháp đại số 2.5 Dựng hình phương pháp trải phẳng 20 20 20 22 24 27 29 30 32 33 36 42 Dựng hình compa 46 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Tốn học mơn học có vai trị quan trọng đời sống xã hội Tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành nghề khác Hình học phần tốn học Dựng hình chủ đề quan trọng hình học phẳng, đóng vai trị then chốt việc hình thành kĩ giải tốn hình học Để giải tốt loại toán yêu cầu cần nắm vững kiến thức bản, có kĩ dự đốn, phân tích kĩ chứng minh hình học Ngược lại, nắm vững dựng hình phục vụ tốt cho tốn chứng minh, tính tốn hình học, cực trị Lý chọn đề tài Các tốn dựng hình nói chung có vai trị quan trọng hệ thống kiến thức mơn hình học trường THCS Đặc biệt giải tốn quỹ tích, muốn xác định hình dạng, vị trí độ lớn quỹ tích ta phải vẽ quỹ tích Đây vấn đề khó tốn quỹ tích học sinh khơng nắm rõ phương pháp dựng hình Như phép dựng hình giúp ta giải tốn quỹ tích dễ Qua thực tế giảng dạy mơn hình học liên tục nhiều năm tơi thấy có nhiều học sinh ngại lo sợ giải toán dựng hình, giải tốn quỹ tích lúng túng vẽ hình khơng nắm vững phương pháp giải tốn dựng hình Để giải tốn dựng hình có nhiều phương pháp như: Dựng hình phương pháp đại số, dựng hình phương pháp biến hình, dựng hình dụng cụ hạn chế (phương pháp dựng hình Steiner) Nhận thức rõ tầm quan trọng việc giảng dạy học tập tốn dựng hình cấp THCS nói chung, việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng nên tơi chọn đề tài "Một số phương pháp dựng hình hình học phẳng" Vì dựng hình có nhiều phương pháp, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ khn khổ đề tài tơi tìm hiểu phương pháp dựng hình compa Tôi mong muốn đề tài nghiên cứu tài liệu cho bạn đồng nghiệp sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn Là tài liệu tham khảo cho bạn yêu thích mơn Tốn hình học dựng hình Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tổng quan phương pháp dựng hình, định lí, tốn dựng hình hình học phẳng Tìm hiểu phương pháp dựng hình com pa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trình bày phương pháp dựng hình hình học phẳng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ loại sách, báo, tạp chí có liên quan đến đề tài Các cơng trình nghiên cứu vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề ) Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học sở, trung học phổ thơng Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương 1: Một số vấn đề chung Chương 2: Một số phương pháp dựng hình thước compa Chương 3: Dựng hình com pa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Khoa Tốn, Phịng Đào Tạo trường ĐHKH ĐHTN Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn học viên lớp toán K5A trường ĐHKH - ĐHTN, thầy cô Nhà trường Ban Giám Hiệu trường THCS Lương Thông, huyện Thông Nông, tỉnh Cao Bằng giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Đặc biệt tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Văn Minh trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình trình làm luận văn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Đàm Minh Tuấn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số vấn đề chung 1.1 Vài nét lịch sử hình học dựng hình Vào kỉ thứ tư thứ năm trước công nguyên nhà toán học Hi lạp tiếng quan tâm đến hình học dựng Pitago, Hipocrat, Ơclit, Acsimet, Apôlôniut Trường phái Pitago thành công số toán tương đối phức tạp dựng ngũ giác Vào kỉ thứ năm trước công nguyên có ba tốn tiếng: - Chia ba góc: "Chia ba góc cho trước thành ba phần thước compa" - Gấp đơi hình lập phương: "Dựng cạnh hình lập phương tích gấp đơi thể tích hình lập phương cho" - Cầu phương hình trịn: "Tìm đoạn thẳng x cho diện tích hình vng cạnh x diện tích hình trịn bán kính r tức x2 = πr2 " Các tốn khơng giải thước compa Đến kỉ thứ sáu trước cơng ngun nhà tốn học Hi lạp khảo sát q trình giải tốn dựng hình với bốn bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh biện luận sử dụng ngày Ba trăm năm trước cơng ngun, Ơclit người sáng lập hệ hình học nêu lên tiền đề quan trọng hình học chứng tỏ vai trị dựng hình tốn học như: - Có thể vẽ đường thẳng biết hai điểm - Biết tâm bán kính vẽ đường trịn Các nhà hình học cổ Hilap giải tốn dựng hình khó Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thước compa, chẳng hạn Apơlơni Pecxki giải tốn tiếng mang tên ơng: “Dựng đường trịn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước” Họ lại gắn đại số với dựng hình như: Giải phương trình bậc phương trình bậc hai dựng hình Từ kỉ thứ 17 đến nay, lí thuyết dựng hình tiến xa phát triển cách dựa vào thành lập phân khoa toán học mới: Hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lí thuyết phương trình đại số, lí thuyết hàm số giải tích, đại số số siêu việt Những người sáng lập toán học đại quan tâm nhiều đến tốn dựng hình Đê Cac Niutơn giải tốn chia ba góc thiết diện hình nón, giải tốn Apơlơni Từ xuất mơn hình học Lơbasepxki có hệ tiên đề khác lí thuyết dựng hình khác với hình học Ơclit nhiều điểm Năm 1832 nhà tốn học Hungari Bơliai giải loạt tốn dựng hình quan trọng mặt phẳng phi Ơclit Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học dựa vào phép dựng hình, đặc biệt cách chứng minh tồn chẳng hạn tồn tâm đường tròn nội tiếp tam giác tồn đường thẳng song song , chứng minh phép dựng hình 1.2 1.2.1 Tại dựng hình lại dùng hai dụng cụ thước compa? Giải toán dựng hình gì? Giải tốn dựng hình tìm hình thỏa mãn điều kiện tốn Nói chưa đủ điều quan trọng dùng dụng cụ để dựng hình Ví dụ với tốn “ Cho tia làm cạnh, dựng góc 200 ,”, dùng thước đo góc tốn đơn giản, dùng thước compa tốn không giải (Người ta chứng minh dùng thước compa khơng dựng góc 200 ) Ví dụ khác “Dựng ngũ giác nội tiếp đường trịn” Nếu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dùng thước đo góc thật dễ việc chia góc tâm làm năm phần góc 720 chắn cung đường tròn, sử dụng thước compa tốn khó 1.2.2 Tại dùng thước compa? Các nhà toán học cổ Hilap xem phép dựng dùng thước compa hợp pháp, có tính chất hình học chân khơng cơng nhận việc sử dụng dụng cụ khác để dựng hình Quan niệm tồn đến ngày Họ thành công việc giải tốn dựng hình khó thước compa Họ coi thước kẻ vơ hạn có cạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ đường trịn có bán kính tùy ý Cơ sở lí luận hình học dựng hình tiên đề sau: Tất kiện tốn dựng hình cho điểm, đường thẳng, đường tròn, coi dựng Những điểm lấy tùy ý mặt phẳng coi dựng Nếu hai đường thẳng dựng mà cắt thì giao điểm chúng coi dựng Một đường thẳng xác định hai điểm dựng coi dựng Một đường tròn xác định tâm dựng được, bán kính dựng coi dựng 1.2.3 Giải tốn dựng hình gì? Giải tốn dựng hình thước compa rõ thứ tự áp dụng tiên đề 1, 2, 3, 4, để đưa yếu tố chưa biết yếu tố dựng Tuy nhiên nhiều người ta không nêu hai tiên đề 1, mà phát biểu sau: Giải tốn dựng hình thước compa thực số hữu hạn ba phép dựng hình sau: - Kẻ đường thẳng qua hai điểm biết - Dựng đường trịn có tâm bán kính biết Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 10 - Lấy giao điểm hai đường biết 1.2.4 Dựng hình dụng cụ khác Nếu ta khơng dựng hình thước compa mà dùng dụng cụ khác để dựng như: Thước thẳng có hai biên, ê ke, ta dùng ba tiên đề 1, , nêu hai tiên đề 4, thay tiên đề khác phản ánh tính chất dụng cụ a, Dựng hình thước hai biên: Có ba tiên đề thước hai biên: - Tiên đề thước thường dùng( biên) - Một đường thẳng song song với đường thẳng dựng cách khoảng d xem dựng ( số d ứng với bề rộng thước hai biên) (*) - Nếu có hai điểm dựng A B AB > d hai cặp đường thẳng cách khoảng d theo thứ tự qua A B xem dựng Ví dụ 1.1 Ví dụ: Dựng phân giác góc xOy Hình 1.1 Cách dựng: - Dựng x// x’ cách x khoảng d (tiên đề (*)) - Tương tự dựng y// y’ (theo tiên đề (*)) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 Hình 2.20 √ √ Từ x = a2 − ab + b2 suy x = a2 − 2ab + ab + b2 = Hay x2 = (a − b)2 + ab (a − b)2 + ab Hình 2.21 Cách dựng: Ta dựng tam giác vng độ dài hai cạnh góc vng có độ dài √ a − b m (m = ab) Cạnh huyền tam giác đoạn x cần tìm 2.5 Dựng hình phương pháp trải phẳng Từ ví dụ 2.4 phần dựng hình phương pháp đối xứng trục ta mở rộng tốn sau: Mở rộng tốn: Trong khơng gian cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm ngồi d Tìm C ∈ d cho chu vi ∆ABC nhỏ Cách dựng: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Gọi (P ) mặt phẳng chứa A d, Q mặt phẳng chứa điểm B d Hình 2.22 Quay mặt phẳng (Q) quanh trục d cho (Q) trùng (P ) điểm B điểm B nằm khác phía với A, nối B với A cắt d C Vậy C điểm cần dựng Chứng minh: - Nếu quay mặt phẳng (Q) góc α = 00 toán quay trở toán - Cố định (P ), quay mặt phẳng (Q) quanh lề xy góc α = 1800 Khi đó, giả sử có C thuộc d, ta có AC + BC = AC + B C mà AC + B C ≥ AB = AC + BC Vậy với cách dựng điểm C AC + BC nhỏ Từ toán 2.5 phương pháp đối xứng trục ta mở rộng sau: Mở rộng sang mặt tam diện Cho tam diện Oxyz, M ∈ Oz tìm hai điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy cho chu vi tam giác M AB nhỏ Cách dựng: Quay mặt phẳng xOz quanh trục Ox góc α ta mặt phẳng xOz cho mặt phẳng xOz trùng mặt phẳng xOy, điểm M Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44 Hình 2.23 thành điểm M Tương tự ta quay mặt phẳng yOz quanh Oy góc β mặt phẳng yOz cho mặt phẳng yOz trùng mặt phẳng xOy điểm M thành điểm M Nối M M cắt Ox tạ A, Oy B Hai điểm A, B hai điểm cần dựng Chứng minh: với ∀A ∈ Ox, B ∈ Oy chu vi ∆M A B M A + A B + B M ,(Do tính chất phép quay ) Mà M A + A B + B M ≥ M M chu vi ∆M AB Mở rộng cho mặt tứ diện Cho tia chung gốc Ox, Oy, Oz, Ot M ∈ Ot, N ∈ Oz cố định Tìm A ∈ Ox, B ∈ Oy cho chu vi tứ giác ABN M nhỏ Cách dựng: Quay mặt phẳng xOt qua trục Ox ta mặt phẳng xOt cho mặt phẳng xOt trùng với mặt phẳng xOy điểm M thành điểm M Tương tự ta quay mặt phẳng yOz qua trục Oy ta mặt phẳng yOz cho mặt phẳng yOz trùng với mặt phẳng xOy N thành điểm N Nối M N cắt Ox A cắt Oy B Hai điểm A, B hai điểm cần dựng Chứng minh: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 Hình 2.24 Hình 2.25 Thật vậy, với ∀A ∈ Ox, B ∈ Oy, chu vi tứ giác A B N M M A + A B + B N + M N , mà M A + A B + B N + M N ≥ M N + M N chu vi tứ giác ABN M Nhận xét: Ta tìm vị trí điểm cho chu vi hình nhỏ cách quay mặt phẳng quanh trục cố định Dựa cách làm ta tìm vị trí điểm hình nón, hình trụ, hình lập phương, cho khoảng cách điểm ngắn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46 Chương Dựng hình compa Vào năm 1787 nhà khoa học người Ý Maxkêrơni chứng minh rằng: Mọi tốn dựng hình giải thước compa giải compa Vậy sử dụng compa để giải tốn dựng hình thước compa ta phải quy định phép dựng hình để giải tốn? Dựng hình compa ta phải quy định phép dựng hình sau đây: • Các yếu tố điểm, đường thẳng, mặt phẳng cho toán xem dựng • Đường trịn có tâm điểm dựng qua điểm khác dựng được, xem dựng • Đường thẳng dựng xác định hai điểm thuộc • Đoạn thẳng dựng xác định hai đầu mút Mục đích việc sử dụng compa để giải tốn dựng hình ta giải toán sau: Bài toán 1: Tìm giao điểm hai đường trịn Bài tốn 2: Tìm giao điểm đường thẳng đường trịn Bài tốn 3: Tìm giao điểm hai đường thẳng Bài toán dễ sử dụng compa nên luận văn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 ta xét toán Để giải hai toán giải toán sau: Bài toán 3.1 Nhân đoạn thẳng n lần Cho đoạn thẳng AB, nhân thành n lần Hình 3.1 Cách dựng: Dựng đường tròn C(A; AB), dựng đường tròn C(B; BA) Hai đường tròn cắt điểm A1 Tương tự ta vẽ đường trịn có bán kính AB, ta điểm A2 , A3 , A4 , Các điểm A1 , A2 , A3 , A4 , điểm A, B, C1 ,C2 tạo thành tam giác Sau n − lần chia ta ACn−1 = nAB Bài toán 3.2 Chia đoạn thẳng thành n phần Cho đoạn thẳng AB, chia đoạn thẳng AB thành n phần Cách dựng: Từ tốn ta có: AC = nAB Vẽ đường trịn (A; AB) Ta lấy điểm C(Cn−1 ) làm tâm vẽ đường tròn C(Cn−1 ; Cn−1 A) Vẽ đường tròn C(A; AB) hai đường tròn cắt hai điểm C C Vẽ đường tròn C(C; CA) đường tròn C(C ; C A) hai đường tròn cắt điểm D Vậy điểm D điểm cần dựng Chứng minh: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48 Hình 3.2 ∆Cn−1 C A tam giác cân nên: Cn−1 A = Cn−1 C = nAB.(Theo toán 3.1) ∆C AD tam giác cân nên: C A = C D = AB ∆C AD ∼ ∆Cn−1 C A Suy ra: C A Cn−1 C AB nAB = Hay: = AD CA AD AB AB Vậy AD = n Hệ quả: Khi n = toán dựng trung điểm đoạn thẳng Bài toán 3.3 Dựng điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng Hãy dựng điểm đối xứng với C qua AB Cách dựng : Dựng đường tròn C(A; AC) (B; BC) cắt D Điểm D điểm cần dựng Bài toán 3.4 Giao điểm đường thẳng đường tròn Cho hai điểm A B Cho đường tròn C(O; r), biết A, O, B khơng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 Hình 3.3 thẳng hàng Hãy dựng giao đường tròn C(O; r) với đoạn thẳng AB Hình 3.4 Cách dựng: Dựng O đối xứng với O qua AB (Bài toán 3.2) Dựng đường tròn C(O ; r) Hai đường tròn C(O ; r) C(O ; r) cắt điểm phải tìm (Ở khơng xảy trường hợp C(O; r) trùng C(O ; r) (Vì O O nằm hai phía AB O khơng trùng O ) Bài tốn 3.5 Cho hai điểm A,B dựng C cho CA vng góc AB Cách dựng: Từ hai điểm A B ta dựng hai đường tròn C(A; AB) C(B; BA) Hai đường tròn cắt O Nhân đơi BO (Bài tốn 3.1) ta có: BC = 2BO Vậy CA⊥AB Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 Hình 3.5 Bài tốn 3.6 Hồn thiện hình bình hành Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng dựng điểm D cho ABCD hình bình hành Cách dựng: Từ điểm B dựng đường tròn C(B; AC), từ điểm C dựng đường trịn Hình 3.6 C(C; AB) Hai đường trịn cắt D D Đó điểm D cần dựng Tứ giác ABCD hình bình hành, tứ giác ACBD hình thang cân có hai đáy BC AD Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 Bài tốn 3.7 Dựng trung điểm cung tròn Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) Hãy dựng trung điểm AB Cách dựng: Dựa vào tốn 3.6 ta hồn thiện hai hình bình hành ABOC OABD Hình 3.7 Từ điểm C dựng đường tròn C(C; CB), từ điểm D dựng đường tròn C(D; AD) Hai đường tròn cắt E (Chú ý AD = BC).Từ điểm C D vẽ hai đường tròn C(C; OE), C(D; OE), hai đường tròn cắt hai điểm F G hai điểm la hai điểm cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có ba điểm C,O,D thẳng hàng Hơn O trung điểm CD Với cách dựng ta có: OF ⊥CD Ta phải chứng minh OF = r Chú ý rằng: Với hình bình hành XY ZW ta có: XZ + Y W = 2(XY + Y Z ) Áp dụng vào hình bình hành ABOC ta có: OA2 + CB = 2(OC + OB ) suy ra: CB = 2OC + r2 Vì ∆COE vng nên:CE = OC + OE Vì CB = CE nên: OC + OE = 2OC + r2 suy ra: OE = OC + r2 (1) Xét ∆COF có: OC + OF = CF Vì CF = OE (Cách dựng) nên: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 OC + OF = OE (2) Từ (1) (2) ta có OF = r Bài tốn 3.8 Tìm giao điểm đường tròn với đường thẳng Cho đường tròn với tâm (O) điểm M Hãy tìm giao điểm đường trịn với đường thẳng OM Cách dựng: Từ điểm M ta dựng đường trịn C(M ; R), với R cho cắt đường Hình 3.8 trịn C(O) hai điểm A B.(A B đối xứng với qua đường thẳng OM ) Áp dụng tốn 3.7 ta tìm hai trung điểm cung tròn AB F G, hai điểm giao điểm đường thẳng đường trịn Bài tốn 3.9 Dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư a c Cho ba đoạn thẳng a,b,c dựng đoạn thẳng x cho = b x i,Trường hợp 1: a > b - Ta dựng đường tròn C(O; a) Lấy điểm A thuộc vào đường tròn C(O; a) - Dựng đường tròn C(A; b) cắt đường tròn C(O; a) B - Dựng đường trịn C(O; c) Áp dụng tốn 3.8 ta tìm giao OA với đường trịn C(O; c) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 Hình 3.9 điểm C.Tương tự ta tìm điểm D giao điểm OB với đường tròn C(O; c) OA OC a c Suy ra: = hay = AB CD b CD Vậy x = CD đoạn cần dựng Hình 3.10 ii, Trường hợp 2: a < b Nếu a ≤ b ∆OAB khơng tồn Vì ta làm sau: - Dựng đoạn na với n đủ lớn cho na > b - Dựng đoạn nc làm tương tự trường hợp na nc a c Ta có: = suy ra: = b x b x Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54 Bài tốn 3.10 Tìm giao điểm hai đường thẳng Cho hai đường thẳng AB CD tìm giao điểm chúng Cách dựng: - Ta dựng điểm C1 ,D1 đối xứng với C,D qua AB (Bài toán 3.3) Hình 3.11 - Hồn thiện hình bình hành CC1 D1 E (Bài toán 3.6) DE CD - Dựng đoạn x : = (Bài toán 3.9) DD1 x - Dựng hai đường tròn C(D; x) C(D1 ; x) Hai đường trịn cắt điểm X Điểm X điểm phải tìm Các tập: Tìm tâm đường trịn Tìm hình chiếu điểm đường thẳng Cho đường tròn O điểm A ngồi đường trịn Dựng tiếp tuyến qua A Cho ∆ABC dựng trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 55 Kết luận Dựng hình phần khó tốn học, có nhiều cách để giải tốn dựng hình Trong luận văn tác giả nêu số phương pháp giải thường gặp bổ xung phương pháp dựng hình phương pháp trải phẳng Luận văn đạt số kết sau: - Nêu vấn đề toán dựng hình - Nêu số phương pháp giải tốn dựng hình - Trình bày phương pháp dựng hình compa Tuy nhiên, luận văn cịn hạn chế, chưa nêu hết tính chất phép biến hình, chưa nêu hết phương pháp dựng hình.Tác giả mong muốn bạn đọc quan tâm mở rộng kết để giúp luận văn hồn chỉnh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 56 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương (1966),Dựng hình, NXB Giáo Dục,Hà Nội [2] Nguyễn Vĩnh Cận (2003),Bài tập quỹ tích dựng hình, NXB Giáo Dục [3] Lê Hải Châu - Nguyễn Xuân Quỳ 2001, Bài toán dựng hình dễ hay khó, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Hứa Thuần Phỏng (1977),Dựng hình, NXB Giáo Dục [5] Vũ Dương Thụy (1998),Thực hành giải toán, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2008),Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo Dục [7] SGK, SBT SGV lớp 6, 7, 8, NXB Giáo Dục Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... vững phương pháp giải tốn dựng hình Để giải tốn dựng hình có nhiều phương pháp như: Dựng hình phương pháp đại số, dựng hình phương pháp biến hình, dựng hình dụng cụ hạn chế (phương pháp dựng hình. .. 2.1.2 Dựng hình phương pháp đối xứng tâm 2.1.3 Dựng hình phương pháp đối xứng trục 2.1.4 Dựng hình phương pháp vị tự 2.1.5 Dựng hình phương pháp quay 2.1.6 Dựng hình phương pháp. .. giải phương pháp hay phương pháp khác Mỗi phương pháp có giá trị riêng Các phương pháp thường sử dụng là: dựng hình phương pháp biến hình (Phương pháp đối xứng, phương pháp tịnh tiến, phương pháp