sửa chữa sai lầm khi giải phương trình bất phương trình

Mở đầu Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều mức độ khác nhau. Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhng cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ nh đối với học sinh thì ký hiệu x,y,z thờng là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giải những phơng trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau thì học sinh rất khó chấp nhận. Những phơng trình và bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, rốt cục là tìm cho ra đợc x. Nhng bây giờ trong bài toán tích phân chứa giá trị tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhng ta không phải đi tìm x, chính vì vậy mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5cho riêng lẻ từng đáp số là sai. Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh không hiểu bản chất của đối tợng có mặt trong bài toán. Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đó nghiên cứu để tìm ra những phơng án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cần thiết. Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này, chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh. Còn G.Pôlia thì phát biểu Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình. Viện sĩ Gơn-he-den- cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của t duy Toán học thì đã đề cập đến ba phẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán. - Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh. - Có thói quen lý giải một cách đầy đủ. 1 - Sự chính xác của lý luận. Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng trong giải Toán, bất cứ ngời nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, còn những vớng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên là thờng xuyên. Chức năng của ngời thầy giáo là phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sai lầm đó sao cho lần sau không còn tiếp diễn nữa. Tuy nhiên một trong các năng lực cần có của ngời thầy là phải đánh giá đúng mức của học sinh đã mắc, không nên cào bằng các mức độ.Tất nhiên sữa sai là phải kịp thời, nếu không thì sai lầm sẽ nối tiếp sai lầm. Tuỳ đối tọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán. Ví dụ nh một học sinh bậc THPT mà từ hệ thức x+ x 1 = y+ y 1 suy ra x=y là điều không thể chấp nhận đợc. Hay nh học sinh lớp 11 mà hiểu rằng f -1 (x)= )( 1 xf là sai lầm rất lớn. Tuy nhiên cũng có những sai lầm hoặc thiếu sót mà ta không nên bé xé ra to, bởi vì theo lý thuyết tình huống thì có những chớng ngại tránh đợc và cũng có những chớng ngại không tránh đợc. Chẳng hạn học sinh chứng minh x >sinx với mọi x thuộc (0;+) bằng cách thiết lập hàm số f(x) = x- sinx, trên khoảng đó f (x)>0 và nói hàm f(x) đồng biến trên (0;+), suy ra f(x)> 0 thì kể ra cũng cha chuẩn lắm vì 0 không thuộc (0;+). Nhng trong tình huống này cũng không nên phân tích quá nhiều để làm rối trí học sinh. Đặc biệt ngời thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toán học, có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có sự chủ động xử lý các tình huống ấy. Ví dụ nh dạng toán về dấu của tam thức bậc 2 trên một miền; Tìm điều kiện tham số sao cho f(x) = x 2 +mx+1>0 x>3 2 - Nếu <0 thì đúng m - Nếu >0 f(x) có 2 nghiệm x 1 và x 2 f(x)>0 x thuộc (-;x 1 ) (x 2 ; ) Kết luận là x 2 3 Tuy nhiên, nh bài này chẳng hạn, giáo viên chủ động hình dung ra rằng đối với các học sinh khá, biết đờng lối giải cũng dễ rơi vào sai lầm kết luận x 2 <3, điều đó rất có lý bởi vì mọi giả thiết đều phản ánh bất đẳng thức ngặt. Nh vậy, ta thấy rằng đôi khi chỉ là một ký hiệu hay một dấu, nhng nó lại phản ánh rất sát về trình độ suy luận của ngời học, và điều quan trọng là ở chổ ngời thầy phải biết trớc đợc cái sai đó của học sinh. 3 Chơng 1 Những sai lầm thờng gặp của học sinh khi giải các bài tập về phơng trình và bất phơng trình Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm". Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán đợc hiểu là: Điều trái với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quy tắc, các nội dung của lôgic toán, phơng pháp suy luận suy diễn ), do đó không đạt đợc mục đích của dạy học giải Toán. Các sai lầm trong giải Toán thờng do các nguyên nhân từ các góc độ khác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng. Do vậy biện pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tợng đang tập dợt nghiên cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyết vấn đề. Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục những sai lầm khi giải Toán. Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi đối tợng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm. Do đó để nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hớng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phơng trình và bất phơng trình, học sinh thờng gặp phải các sai lầm sau. 1.1. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo Đây thuộc dạng sai lầm thô thiển nhất trong các sai lầm thờng gặp ở học sinh. Thông thờng các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh thông nắm 4 vững bợc bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ sai công thức hay định lý. Ví dụ1. Khi giải các phơng trình lợng giác, học sinh thờng nhầm lẫn giữa hai đơn vị đo là độ và Rađian. Giải phơng trình: sin(x+30 o )= 2 2 , nhiều học sinh giải nh sau: sin(x+30 o )= 2 2 =sin 4 + =+ + =+ 2 4 30 2 4 3 30 kx kx o o Ví dụ 2. Giải phơng trình 2 x +2 2x =20 Lời giải sai: Phơng trình tơng đơng với 2 x (1+2 2 ) =20 2 x .5=20 2 x =4 x=2 Tuy nhiên x=2 thử vào phơng trình thấy thỏa mãn, nhng lời giải vẩn sai vì t- ởng 2 2x =2 2 .2 x Nhớ rằng 2 2x =(2 x ) 2 . Lời giải đúng là: đặt t=2 x >0 ta có: t+t 2 =20 t 2 +t-20=0 t=4, t=-5. Vì t >0 nên t=4 x=2. 1.2. Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học Nhận dạng và thể hiện một định lý hay một khái niệm cũng là một hoạt động toán học. Ta xét sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý cũng có nghĩa là ta đang xét các sai lầm trên tiêu chí hoạt động toán học. Cấu trúc thông thờng của một định lý có dạng: A B. Trong đó A là giả thiết, B là kết luận. Nhiều sai lầm khi học định lý là do xem thờng ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết, bởi vậy nhiều lúc học sinh đa ra các kết luận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, hay không có A suy ra không có B. Ví dụ 1. Giải phơng trình x 1 x x 5 .8 500 = 5 Sai kiểu thứ nhất: Thử một số trờng hợp x=1, x=2, x=3 thấy rằng 5 3 .8 2/3 =125. 3 64 =500, suy ra x=3 là nghiệm của phơng trình. Khi x3 thì 5 3 .8 2/3 125. 3 64 Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất. Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận ra rằng, đối với học sinh dừng bớc lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm - là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bớc suy diễn: x3 thì 5 3 .8 2/3 125. 3 64 là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bài toán này. Kiểu sai thứ hai: x 1 x x 5 .8 500 = x.Ln5+ x x 1 Ln8= 3Ln5+2Ln2 (x-3)Ln5+ x x 3 Ln2=0 Xét hàm số f(x)= (x-3)Ln5+ x x 3 Ln2, ta có: f (x)=Ln5+ x 2 3 Ln2 >0 x0. Suy ra hàm số đồng biến x0. Mặt khác ta thấy f(3)=0. Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phơng trình. Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trờng hợp trên là ở chổ: Hàm số f(x) đồng biến trên (- ;0) và (0;+ ) thì phơng trình vẩn có thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng đó. Phân tích: ở lớp 10 học sinh đã đợc học khái niệm về hàm số đồng biến trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập, dù không nói rõ nhng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều khoảng. Trong chơng trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dơng trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nhng thực ra kiến thức của học sinh đại trà không dễ gì có thể nắm vững và sâu sắc để phân biệt đợc phạm vi áp dụng của 6 định lý thật xác đáng. Cụ thể hơn là khi học định lý này thì dờng nh học sinh chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dơng thì hàm số đồng biến, và thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào về phạm vi áp dụng của định lý. Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thể không còn là một khoảng thì học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bình thờng. Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (- ;0) và (0;+ ) thì lại nói rằng hàm số đồng biến trên R\ { } 0 . Cần phải là rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến trên (- ;0) (0;+ ) thì ngoài yêu cầu f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 0 f(x 3 ) f(x 4 ) 0 x 3 x 4 còn phải thêm yêu cầu nữa là f( ) f( ) 0 Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sai lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x 1 ,x 2 cùng thuộc (a;b) thì f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2 . Nhng trong trờng hợp này thì f(x 1 )=f(3), rỏ ràng 3 thuộc (0;+ ), cho nên mới chỉ có kết luận đợc rằng trên (0;+ ) thì phơng trình chỉ có 1 nghiệm, và nh thế ta cần phải xét trờng hợp x 0. Đối với bài toán trên, ta có lời giải đúng nh sau: (x-3)(Ln5+ x 1 Ln2) = 0 = = 3 5 2 x Ln Ln x Cần nói thêm rằng, đối với các phơng trình siêu việt, đặc biệt là khi thực hiện trên các logarit, học sinh thờng có tâm lý nặng nề khi nhìn những hằng số lại không phải là hằng số. Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của một định lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủ tất cả các ý trên. Thế nhng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung còn 7 qua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý còn lại. Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chi tiết này thông qua các phản ví dụ. Ví dụ 2. Giải phơng trình 3x 3 -6x 2 -9x=9(x 2 -2x-3) (*) +Lời giải sai: (*) 3x(x 2 -2x-3) = 9 (x 2 -2x-3) 3x=9 x=3. Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của phơng trình, sai lầm ở đây là học sinh đã chia cả hai vế cho biểu thức x 2 -2x-3. Cần lu ý với học sinh rằng a.b=c.b b(a-c)=0 + Lời giải đúng là: (*) (x 2 -2x-3)(3x-9)=0 = = 3 1 x x Ví dụ 3. Giải phơng trình 123 3 +++ xx x = 2 +Lời giải sai: Điều kiện: + + 01 023 3 x xx + 1 0)2()1( 2 x xx 1 2 x x Vậy không tồn tại giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. Ta có thể nhận ra khi x=1 thì biểu thức có nghĩa và x=1 chính là nghiệm của phơng trình.Vậy sai lầm của các em học sinh nằm ở chổ nào? Đó là em đã cho rằng (x-1) 2 (x+2) 0 x+2 0. + Lời giải đúng là: Điều kiện có nghĩa + + 01 023 3 x xx + 1 0)2()1( 2 x xx = 1 2 1 x x x x=1 Thử x=1 vào phơng trình ta thấy thoã mãn, vậy phơng trình có nghiệm là x=1. Ví dụ 4. Giải phơng trình x.e x > e 1 8 +Lời giải sai: Ta có f 1 (x 1 )=x và f 2 (x 2 )= e x là các hàm số đồng biến trên R, suy ra f(x)=x.e x là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R. Ta có f(-1)= e 1 . Do đó bất phơng trình tơng đơng f(x) > f(-1) x>-1. Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồng biến, nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dơng thì mới kết luận đợc. +Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.e x với x R. Ta có f (x)=e x (x+1) nên ta có: x - -1 + f (x) - 0 + f(x) Từ đó ta có f(x) > e 1 x -1 Ví dụ 5. Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x 33)1(2)1( 2 ++ mxmxm +Lời giải sai: Biểu thức có nghĩa với mọi x f(x)=(m+1)x 2 -2(m-1)x+3m-3 0 x > 0 0 ' a + > 0)2)(1(2 1 mm m m 1 Ta có kết quả m 1. * Cần thờng xuyên nhắc các em học sinh khi giải dạng toán này rằng f(x)=ax 2 +bx+c 0 x khi và chỉ khi > == 0 0 0 0 a c ba Và lời giải trên thiếu trờng hợp a=0 9 + e 1 + +Lời giải đúng: Biểu thức có nghĩa x. Trờng hợp 1: == 0 0 c ba = = 1 1 1 m m m không có giá trị m thoã mãn. Trờng hợp 2: > 0 0a m 1 Tóm lại m 1. 1.3. Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phơng trình Ví dụ1: Giải phơng trình: 2cos(2cosx) = 3 Có học sinh đặt: t = 2cosx, đợc phơng trình: 2cost = 3 3 cos t 2 = t = 30 0 + k 360 0 Sai lầm ở đây là học sinh không nắm đợc giải phơng trình cost = a với t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t không phải là góc, là cung lợng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo bằng độ. Hớng giải đúng: Giải phơng trình 3 cos t 2 = = t 2 6 k+ (1) Xét phơng trình: 2cosx = t (2) với tham số t lấy giá trị trong tập hợp xác định bởi (1), có (2) t cos x 2 = . Phơng trình này có nghiệm t 1 k 1 2 + 12 . Điều này không xảy ra với mọi k nguyên khác không Với k = 0 ta có: cosx = 12 10 [...]... học sinh khi giải các bài tập về phơng trình và bất phơng trình .4 1.1 Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo .4 1.2 Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học 5 1.3 Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phơng trình 10 1.4 Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 15 Chơng 2 Các biện pháp s phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán... hiện vấn đề cần giải quyết của học sinh 24 Vài lời kết luận Sửa chữa các sai lầm khi giải toán là việc làm cấp thiết và cần tiến hành thờng xuyên trong quá trình giải toán Nếu một sai lầm không đợc sửa chữa kịp thời sẽ dẩn tới nhiều sai lầm khác cho học sinh Kiến thức về phơng trình và bất phơng trình chiếm một vị trí quan trọng trong chơng trình toán học phổ thông, và trong quá trình giải loại toán... 3)( x + 1) x 3 > 0 ( x 3)( x + 1) x 3 < 0 20 Chơng 2 Các biện pháp s phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giảI toán phơng trình và bất phơng trình 2.1 Các phơng châm chỉ đạo Trong quá trình dạy học Toán, để học sinh hạn chế các sai lầm khi giải toán phơng trình và bất phơng trình, giái viên cần tuân thủ các phơng châm sau: - Phơng châm thứ nhất: Tính kịp thời Các biện pháp... sinh dự đoán đợc những sai lầm phân tích để tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải Toán Ví dụ 2: Giải phơng trình: (cos2x - cos4x)2 = 4 + cos23x Đây là phơng trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọn phơng pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm Nhiều em nhận thấy vế trái xuất hiện bình phơng nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phơng trình phức tạp hoặc... = t 2 2 Khi đó ta có: 3 (t2-2) + mt + 2 = 0 3t2 + mt - 4 = 0 (5) Phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm, vì phơng trình (5) có a.c=-12 < 0 nên phơng trình (5) luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó phơng trình (5) luôn có nghiệm Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm gì đến điều kiện của t và cho rằng phơng trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (5)... mới bộc lộ những sai lầm, từ đó mà dự đoán, phòng tránh và sửa chữa sai lầm * Đặc biệt phơng pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc phòng ngừa các sai lầm cho học sinh Nếu học sinh đợc làm quen với các hệ thống phơng pháp dạy học mới, khêu gợi trí sáng tạo, biết phát hiện và giải quyết vấn đề sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc sai lầm trong dạy học giải Toán 2.2.2... thích bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà mình phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận về bản chất của các sai lầm" Một trong những nguyên nhân chủ yếu của các sai lầm là do trình độ còn yếu Trong đó có thể là học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản về môn Toán Khi truyền thụ giáo viên cần lu ý: Nắm vững nội dung môn Toán phổ thông trung... học sinh có thể mắc sai lầm trong nhiều tình huống Trong phạm vi đề tài này, tác giả chỉ đề cập đến những sai lầm học sinh thờng mắc phải khi giải toán, rất mong đợc sự đóng góp để đề tài có nhiều ứng dụng sâu sát hơn 25 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ biến khi giải toán NXB Giáo dục [2] Lê Hồng Đức (2006), Phơng pháp giải toán đại số NXB... lời giải sai một cách chung chung, đòi hỏi sự đánh giá mức độ sai lầm của học sinh Tính 21 chính xác đòi hỏi giáo viên đánh giá lời giải của họ sinh qua sổ điểm một cách công bằng, phải biết hớng dẫn điều chỉnh sửa chữa sai lầm bằng các biện pháp tối u - Phơng châm thứ ba: Tính giáo dục Tính giáo dục giúp học sinh thấy đợc tầm quan trọng trong sự chính xác của lời giải, giúp học sinh tránh đợc các sai. .. sinh thờng khó nhận thấy các sai lầm về lôgic Trong dạy học phơng trình có thể hiểu: " Phơng trình là một hàm mệnh đề, nghiệm của phơng trình là giá trị của biến làm cho hàm mệnh đề đó trở thành mệnh đề đúng" sẽ giúp cho học sinh dễ tránh đợc những sai lầm Chẳng hạn: Phơng trình sin x = a có tập xác định R đợc hiểu là hàm mệnh đề "Số trị của hàm f(x) = sin x bằng a" Giải phơng trình sin x = a là tìm tất . Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều mức độ khác nhau. Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhng cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do. mắc sai lầm. Do đó để nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hớng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phơng trình và bất phơng trình, . phải các sai lầm sau. 1.1. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo Đây thuộc dạng sai lầm thô thiển nhất trong các sai lầm thờng gặp ở học sinh. Thông thờng các sai lầm này xuất