Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ

Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉSáng kiến “Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ” tìm ra một số ví dụ về sai lầm của học sinh, từ đó đưa ra một số cách sửa chữa các sai lầm đó một cách cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.pdf 16p hathieudao 09062014 2 1Sáng kiến “Giúp học sinh phát hiện sai lầm khi giải phương trình vô tỉ” tìm ra một số ví dụ về sai lầm của học sinh, từ đó đưa ra một số cách sửa chữa các sai lầm đó một cách cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.pdf 16p hathieudao 09062014 2 1

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN SAI LẦM KHI

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Quảng Bình , ngày 20-5-2013

PHẦN THỨ NHẤT: PHẦN MỞ ĐẦU:

1.1 - Lý do chọn đề tài :

Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới Do sự phát triển như vũ bão của khoa học và

kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hôm nay còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tương lai

Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở nên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet v.v Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã hội

Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh giá

- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :

+ Năng lực hành động + Năng lực thích ứng

+ Năng lực cùng chung sống và làm việc + Năng lực tự khẳng định mình

Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng là một trong những thành tố của năng lực HS

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về phương trình vô tỉ và trong khi giải phương trình vô tỉ rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai vấn đề nên thực hiện sai mục đích Việc giúp học sinh nhận

ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức cơ bản tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này

Nội dung của đề tài này trước đây đã có một số người nghiên cứu song nội dung còn chung chung, chưa đưa ra các dạng bài cụ thể Trong đề tài này tôi đã cố gắng tìm ra một số ví dụ về sai lầm của học sinh, từ đó đưa ra một số cách sửa chữa các sai lầm đó một cách cụ thể Mong rằng đề tài sẽ được các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận

1.2 - Phạm vi áp dụng đề tài:

*Đối tượng nghiên cứu:

-Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thể sau :

1 Giáo viên dạy toán 9 THCS

2 Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 1 lớp 9 với tổng số 35 học sinh

* Phạm vi nghiên cứu:

-Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập phương trình vô tỉ - Đại số 9

-Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác

-Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về phương trình vô tỉ

* Phạm vi áp dụng đề tài: Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 9 và giáo viên dạy Toán THCS

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG 2.1: Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Qua nhiều năm dạy môn Toán 9, tôi nhận thấy: Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng Nhưng bên cạnh

đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện

và lấy nghiệm sai ở phần này

Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy:

Ví dụ 1: Khi giải pt: x  1  5 x  1  3 x  2 ( 1 )

Lời giải sai: (1)  x1 3x2 5x1(2)

Bình phương hai vế : x-1 = 5x - 1 + 3x – 2 + 2 15x2 13x2(3)

Rút gọn :2-7x = 2 15x2 x13 2(4)

Bình phương hai vế : 4 -14x + 49x2= 4(15x2-13x +2) (5)

Rút gọn :11x2- 24x + 4 = 0 <=> (11x-2)(x-2) = 0 Tìm được ; 2

11

2

2

1  x 

x

Phân tích sai lầm : Không chú ý đến ĐK Căn thức có nghĩa

1



x xác định khi x 1 Do đó x =

11

2 Không phải là nghiệm

Sai lầm thứ hai (4) và (5) Không tương đương

Mà (4)





















) 2 13 15

( 4 ) 7 2 (

0 7 2

2 2

x x

x

x

PT(5) là PT hệ quả của PT (4), nó chỉ tương đương với (4) khi ĐK 2-7x 0

Do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của (1)

Cách giải đúng :

Cách 1: Giải xong thử lại

Cách 2:Đặt ĐK căn thức xác định x 1, x

7

2

 Do đó khi giải xong kết luận phương trình vô nghiệm

Cách 3:Chứng minh vế trái số âm Còn vế phải không âm.KL phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải PT (x+3) x  1  0

Lơì giải sai: Ta có :(x+3) x1 0 





























1

3 0

1

0 3

x

x x

x

Nhận xét :Rõ ràng x = - 3 không phải là nghiệm của PT

Ghi nhớ :

























0 0

0 0

B A

B B

A

Ví du 3: Giải PT: x4x2

Lời giải sai: x  4  x  2























































0 ) 3 (

4 4

4 4

4 )

2 ( 4

0 4

2 2

x x

x x

x x

x x

x x









































3

0 3

0

4

x

x x

x

x

Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của PT

Ghi nhớ :













B A

A B

A

Ví dụ 4: Giải PT: 1

2

5 2







x x

Lờigiảisai: 1

2

5 2







x

x

















































7

2 2

5 2

0 2 2

5 2 1 2

5 2

x

x x

x

x x

x x

x

Vậy PT trên vô nghiệm

Nhận xét : PT đã cho có nghiệm x = -7 ?

Ghi nhớ :



























0

;

0 B

khiA B

B A B

A

A

0 B 0;

A khi

Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi A0;B0 Nên mất một nghiệm x =

- 7

Ví dụ 5: Giải PT:2 x4 x1 2x3 4x16

Lời giải sai: Ta có :2 x4 x1 2x3 4x16











































3 2 1

0 1 3

2 1 )

4 ( 4 3 2 1 4

2

x x

x x

x x

x x

x













2

1

x

x

; Vậy PT có nghiệm x = 2

Nhận xét : Ta thấy x = 2 không phải là nghiệm của PT

Ghi nhớ :



















C B

A C

A B

Ví dụ 6: Giải PT: x(x1)  x(x2) 2 x(x3)

Lời giải sai: Ta có

) 3 ( 2 ) 2 ( )

1

( x   x x   x x 

x  x x1 x x22 x x3

3 2 2

1    



 x x x ; Căn thức có nghĩa x  3 Khi đó ta có :

3 2 2 1

3 2

3 1































x x

x x

x

x

x

Do đó PT vô nghiệm

Nhận xét : Có thể thấy ngay x = 0 là một nghiệm của PT Việc chia hai vế cho x

đã làm mất nghiệm này

Ghi nhớ:





















0

; 0

.

B khiA

B A

B A B

Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp x0,và xét trường hợp x < 0

Kết quả cụ thể khi chưa áp dụng đề tài này là: Học sinh lớp 9A, số lượng HS: 35 em

Đứng trước thực trạng đó, bản thân tôi là người được phân công trực tiếp dạy môn Toán 9, trong thời gian qua, tôi đã thường xuyên tìm hiểu các sai lầm trong các lời giải của học sinh Từ đó, tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số cách giải cụ thể cho các dạng bài

Để giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ, trong năm học qua tôi đã vận dụng một số biện pháp sau để giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải toán có hiệu quả

2.2 Các giải pháp:

2.21-Phương pháp bình phương hai vế của PT:

Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế, đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT

Ví du 1: Giải PT: 2+ 2 x 1  x(1)

Giải: ĐK:x

2

1

 (2) PT(1)  2 x  1  x  2 ( 3 );ĐK: x  2(4) 2 x  1  ( x  2 )2( 5 )  x2 6 x  5  0

Giải x1=1 không thõa mãn (4); x2 = 5thoã mãn cả (2)và (4)

Vậy PT có nghiệm x = 5

Ví dụ 2: Giải PT: x1 x21(1)

Giải: ĐK:x  2(2) PT(1)  x11 x2(3).Hai vế của (3) không âm bình phương hai vế : x + 1 = 1+x – 2 + 2 x2 22 x2 x21x21x3,thõa mãn

ĐK (2)

Vậy PT có nghiệm x = 3

2.22-Phương pháp: Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Ví dụ: Giải PT: x2 4 x  4  x  8(1)

5 x

luận

Kết

nghiệm vô

PT 8, x 2 x -2thì

x

Nếu

xét

đang khoảng

Thuộc

5, x 8 x 2 -x 2thì x

Nếu Giải(1)



































 (x 2)2 x 8 x 2 x 8

2.23-Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải pT: x2 - x2  2  4

Giải:ĐK: x2  2; PT đã cho cĩ dạng: x22 x2220

Đặt : x2 2 t0PTcódạngt 2 t20Giảit1 2;t2 1(loại)

Với t = 2 Thì x2 2 2 x2 6 x 6

Kết luận: x =  6

2.24-Phương pháp đưa về hệ phương trình :

Giải PT: 3 x  2  x  1  3;

Giải: ĐK:x1(1)

Đặt 3 x2y, x1z

;Khi đĩ x-2= y3 ;x+1 = z2

Ta cĩ HPT sau:





















) 4 ( 0

) 3 ( 3

) 2 ( 3

3 2

z

y z

z y

;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;

Giải tìm được x = 3(Thỗ mãn) Kết luận: x = 3

2.25-Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:

Ví dụ: Giải PT: x1 5x1 3x2(1)

ĐK:x  1;Ta cĩ với ĐK này thì x < 5x

Do đó x1 5x1 Vế trái là một số âm còn vế phải không âm Vậy PT vô nghiệm

b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế:

Ví dụ: Giải PT: 3 x2 6 x  7  5 x2 10 x  14  4  2 x  x2

Giải: Vế trái của PT: 3(x1)24 5(x1)29 4 95

Vế phải của PT:5-(x+1)2  5

Vậy hai vế của PT bằng 5 x   1 Kết Luận : x= -1

c)Sử dụng tính đơn điệu:

Ví dụ : Giải PT: 3 2 1 3(1)







x

Giải : Ta thấy x =3 là nghiệm của PT

Với x >3 Thì 3 x21, x1.2 Nên vế trái của (1) > 3

Với -1 x3Thì3 x-21; x12.Nên vế trái của (1) < 3

Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT

d)Sử dụng ĐK xảy ra dấu bằng :

Ví dụ: Giải PT: 4 1 2(1)

1





x x

x

Giải ; ĐK:x >

4

1

Áp dụng BĐT  2

a

b b

a

Với a>0,b>0 Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b

4

1 (

0 1 4 1

4 1

4   2    2      



Thõa mãn (2)

2.26-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:

5

3 2

3 1

4x  x  x ĐK:

3

2



Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)

) 2 3 1 4 ( 5

3



 3  4 1 3 250 4 1 3 25 30

Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT

* GIỚI THIỆU THÊM BÀI TẬP ĐỂ HỌC SINH LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải PT: x2 4x2(1);

Hướng dẫn: ĐK:x  2Bình phương hai vế giải ra x = 2

4

1 2

1









Hướng dẫn : Đặt t=

4

1 0

4









x

2

1 2

















2

1

2 x 

Bài 3: GiảiPT: 1 1 (1)

x x

x   ; Hướng dẫn : ĐK: x > 0 Biến đổi(1)

3

1 3

1

1

















x

x

Bài 4:Giải PT:

3 4

1

)

1 2

1

)

1 1

)























x x

c

x x

b

x

x

a

;

Hướng dẫn : Dùng Phương pháp bình phương hai vế

Kết quả: câu a) x = 3; b) x=

2

5

1 



; c) x = 0; x = 3

x

x x











3 1

3 2

2

(1); HD:ĐK:



















1 0

) 3 )(

1 (

1

x x

x x

(1)   x33xBình phương hai vế giải kết quả x = -3; x = -2(KTM) PT vô

nghiệm

Bài 6: Giải các PT sau:

3 5 3

14 5

)

; 1 2

1

















x

x x

b x

x

Hướng dẫn: câua) PT Vô nghiệm; câu b)PT có vô số nghiệm x 5

Bài 7: Giải PT:a) 3  x  3 x  5; b) 5x2x7

Câu: a) Biến đổi Tương đương

















0 22 29

9

3 5

2

x x

x

Câu: b)Tương tự

Bài 8 :Giải PT:3x2 +2x = 2 x2x1x(1);HD:Biến đổi (1)3x2 3x2 x2 x10 Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ:

0

2





 x t

x Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1; t=

3

1

 Thay giải tìm x

Bài 9:

Giải :a) x22x1 x24x43; b) x34 x1 x86 x15

Hướng dẫn: Biến đổi về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối

Câu:a)2x1; Câu b) 1 x10

Bài 10: Giải PT: x2 +4x +5 = 2 2 x 3 (1);HD ĐK: x

3

2



 ;Biến đổi (1)































0 1 3 2

0 1 0

1 3 2

2 2

2

x

x x

x

Bài 11:Giải các PT:

1 2

2 )

; 2 3 4 4

)

1 2 5

2 )

4 4 ) 4

2

)

2 2

2 2







































x x

x e x

x

x

d

x x x

x c x

x b x

x

a

Hướng dẫn: Câu a,b,,d,e; Dùng phép biến đổi













B A

B B

A

Câu c: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 12:GiảiPT:

) 1 ( 11 6 4

2

)

) 1 ( 2

4 14 10 5

7 6

3

)

2

2 2

2





























x x x x

b

x x x

x x

x

a

Hướng dẫn: Dùng BĐT:

Câu a) VT  5; VP  5

Do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi hai vế bằng nhau: x =-1

Câub) VT: Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki: 1 x21 4x2 (1212)(2)4VT2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi … x =3

VP: =…= (x-3)2 +2  2; Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x =3

Vậy PT có nghiêm là x = 3

Bài 13: Giải PT: x1 3x (x1)(3x)2

Hướng dẫn: ĐK:1x3; Đặt t = x  1  3  x; Với ĐK t 0

PT có dạng: t2-2t = 0 giải ptrình theo t

-Trên đây là một số phương pháp giải toán về phương trình vô tỉ và những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, song trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác

Kết quả đạt được sau khi áp dụng đề tài: Lớp 9A, SL: 35 em

01 2.9 06 17.1 15 42.9 08 22.9 05 14.3

PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN

3.1: Ý nghĩa của đề tài:

Phần kiến thức về phương trình vô tỉ - Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều, độ tư duy lớn Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần phương trình vô tỉ thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu

óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này

Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần phương trình vô tỉ nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh

Với sáng kiến “Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về phương trình vô tỉ” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải

một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi củng đã phân tích khá kỉ phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó

Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình