sử dụng hằng đẳng thức và hệ thức viét đảo rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC & HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ : I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này. Mà ở các kỳ thi đó , nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính căn. Phần lớn các em không làm được bài, bởi vì các em chưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một kiến thức rất quan trọng là hằng đẳng thức ( hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em đã được học ở lớp 8, 9. Xuất phát từ tình hình đó, qua những năm giảng dạy và học hỏi ở đồng nghiệp, tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thể truyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải quyết được vấn đề khó khăn ở trên. Chính vì vậy tôi mới chọn đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức & hệ thức VI-ÉT đảo, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai " II./ PHẠM VI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN : Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá, giỏi môn toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 và các trường chuyên về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thực hiện phép tính có chứa căn. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I./ NHẬN XÉT CHUNG : Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trường chuyên, học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai. Muốn giải được bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phải biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập. Cái khó ở đây là các em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không 2 có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng căn thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8. Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn . Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhận thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vào việc giải bài tập. II./ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC : Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỷ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ): 1) Bình phương một tổng :( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2) Bình phương một hiệu : ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 3) Hiệu hai bình phương : a 2 – b 2 = ( a + b ).( a – b ) 4) Lập phương một tổng : ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5) Lập phương một hiệu : ( a - b ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6) Tổng hai lập phương : a 3 + b 3 = ( a + b).( a 2 - ab + b 2 ) 7) Hiệu hai lập phương : a 3 - b 3 = ( a - b).( a 2 + ab + b 2 ) Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự ) viết dưới dạng có dấu căn : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 1) 2 2) 2 1 1 3) . 4) ( ). 5)1 1 (1 ). 1 6) ( ) 7) ( 1) a ab b a b a a a a b a b a b a b a a b b a b a b a ab b a a a a a a a b b a ab a b a a a a + + = + − + = − − = − = + − + = + = + − + − = − = − + + + = + + = + Chú ý : + a ; b > 0 + Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên tôi không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9. 3 Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai. III./ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính : I./ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI : Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập, tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau : Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau : a) 2 1 1 1 0; 1 1 1 a a a a voi a a a a    − − + = ≥ ≠  ÷ ÷  ÷ ÷ − −    Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 . 1 1 1 1 . 1 a a a a a a a a a a − = − = − + + − = − = − + tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái : Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 . 1 1 1 2 . 1 a a a VT a a a a a a a a a a a a a a    − − = +  ÷ ÷  ÷ ÷ − −        − + + −     = +     − + −       = + +  ÷ +   4 Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt : ( ) ( ) 2 1 2 1a a a+ + = + tương tự hđt số 2 lớp 9. Tiếp tục biến đổi ta được kết quả : ( ) ( ) 2 2 1 1 . 1 1 VT a VP ðpcm a = + = = + 2 4 2 2 2 ) 2 a b a b b a b a ab b + = + + với a+b >0 và 0b ≠ Nhận xét : a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 hđt số 1 lớp 8. Áp dụng vào bài toán ta biến đổi vế trái : Giải ( ) 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 0 a b a b a b a b VT b a ab b b a b ab b a a b a b a VP ðpcm Vi a b a b a b b b + + = = + + + + + = = = = + > + + Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết : 1 1 1 : 0 1 1 2 1 a M Voi a va a a a a a a   + = + > ≠  ÷ − − − +   # Nhận xét : ( ) 2 ( 1) 2 1 1 a a a a a a a − = − − + = − có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9. Áp dụng vào bài toán : Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 : : 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 : . 1 1 1 1 1 1 1 1 0 a a M a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a M Vi a a a     + +  ÷ = + = +  ÷  ÷ − − − + − −  −       − + + +  ÷  ÷ = =  ÷  ÷ + − − −     − = = − < ># Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau( câu c tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt ) 5 1 ) : , 0 ; ) 1 . 1 1 0 1 1 1 a b b a c a b Voi a b a b ab a b a a a a d a voi a va a a a + = − > ≠ −     + − + − = − ≥ ≠  ÷  ÷  ÷  ÷ + −     # Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 : ( ) ( ) 1 a b b a ab a b a a a a + = + ± = ± Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 : Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ) : . 1 1 ) 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 ab a b a b b a c VT a b a b a b VP ðpcm ab a b ab a a a a a a a a d VT a a a a a a a a VP ðpcm + + = = − = − = − = −     + −     + −  ÷  ÷ = + − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + − + −         = + − = − = − = Bài 76 / 41 sgk : Cho biểu thức( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2007-2008) 2 2 2 2 2 2 1 : 0 a a b Q voi a b a b a b a a b   = − + > >  ÷ − − − −   a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8. Áp dụng vào bài toán ta rút gọn câu a : Giải : 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 : . . ) 3 . : 3 1 2 3 2 a a b a Q a b a b a a b a a b a a a b Q b a b a b a a b a a a a b Q a b b a b a b b a b a b a b a b a b Q a b a b a b a b b a b a b b Khi a b Ta co a b b b Q a b b b   = − +  ÷ − − − −     − + − − = −  ÷  ÷ − −   − − − + = − = − − − − − − − − = − = = = + − + − − − = − − = = = = + + 2 Bài 85 / 16 sbt : Cho biểu thức : 1 2 2 5 0; 4 4 2 2 x x x P voi x x x x x + + = + + ≥ ≠ − − + a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 2 Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức : ( ) ( ) 4 2 . 2x x x− = + − và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 5 1 2 2 5 ) 4 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 5 4 2 2 2 4 2 5 4 3 2 3 6 3 4 2 2 2 3 ) 2 2 3 2 2 4 16 2 x x x x x x a P x x x x x x x x x x x P x x x x x x x P x x x x x x P x x x x x b P x x x x x + + + + = + + = + − − − − + − + + + + − − + = − + + + + − − − = − − − = = = − − + + = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = + Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức : 7 1 1 1 2 : 0; 4 ; 1 1 2 1 a a Q voi a a a a a a a     + + = − − > ≠ ≠  ÷  ÷  ÷ − − −     a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị của a để Q dương Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8 Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ) : 1 2 1 1 1 1 2 2 : 1 2 1 2 1 2 1 4 1 1 : . 3 3 1 2 1 1 2 ) 0 0 3 0( 0) 2 0 2 4 3 a a a Q a a a a a a a a a a Q a a a a a a a a a Q a a a a a a a a b Q vi a a a a a a   + +   = − −  ÷  ÷  ÷ − − −         − − + − − + −  ÷  ÷ =  ÷  ÷ − − −             − − − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − −         − > ⇔ > ⇔ > > ⇒ − > ⇔ > ⇔ > Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và a b≠ ) 2 2 2 ) 2 2 2 2 ) 1 a b a b b b a b a a b a b a b a a b b a b b ab a b a b + − − − = − − + −    + + − =  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổi dấu. Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái : Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2( ) 2( ) 4 ( 2 ) ( 2 ) 4 2 2 4 4 4 2 2 2 a b a b b a b a b b a VT b a a b a b a b a b a b a b a b b a ab b a ab b b a b a b b a b ab b b VP ðpcm a b a b a b a b + − + − = − − = − + − − − + − + + − − + + + − − + + = = − − + + = = = = − + − − 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ) 1 1 2 . 1 a a b b a b b VT ab a b a b a b a ab b a b ab a b a b a b a ab b a b VP ðpcm a b a b    + + = −  ÷ ÷  ÷ ÷ − +       + − + +  ÷ ÷ = −  ÷ ÷ + + −      = − + = − = =  ÷ −   − Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức : ( ) 2 4a b ab a b b a A a b ab + − + = − − a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau : ( ) 2 2 ( ) a ab b a b a b b a ab a b ± + = ± + = + Áp dụng vào bài toán ta có lời giải: Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 ) : ; 0 ; 4 2 4 ) 2 2 a b ab a b b a A a b ab a ÐK a b a b a b ab ab a b a b b a a ab b ab b A a b ab a b ab a b a ab b A a b a b a b a b A a b a b a b a b b + − + = − − > ≠ + − + + + + − = − = − − − − − + = − + = − + − − = − − + = − − − = − Biểu thức A không phụ thuộc vào a. Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức : 3 3 2 1 1 0 ; 1 1 1 1 x x x B x voi x x x x x x     + + = − − ≥ ≠  ÷  ÷  ÷  ÷ + + + −     a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 3 Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x − = − + + + = + − + Áp dụng vào bài toán ta có : 9 Giải : 3 3 2 1 1 ) 1 1 1 x x x a B x x x x x     + + = − −  ÷  ÷  ÷  ÷ + + + −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) 3 1 3 4 16 x x x x x B x x x x x x x x x x B x x x x x x x x x B x x x x x x x B x x x x x b B x x x    + − + +  ÷ ÷ = − −  ÷ ÷ + + + − + +      + − −  ÷ = − + −  ÷ − + +     + − +  ÷ = − +  ÷ − + +     + +  ÷ = − = −  ÷ − + +   = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = Bài 108 / 20 sbt : Cho biểu thức : 9 3 1 1 : 0 ; 9 9 3 3 x x x C voi x x x x x x x     + + = + − > ≠  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     a) Rút gọn C b) Tìm x sao cho C < -1 Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) 9 3 3 3 3 x x x x x x x − = − + − = − Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 3 1 1 ) : 9 3 3 9 3 1 1 : 3 3 3 3 3 9 3 1 3 3 9 3 1 3 : : 3 3 3 3 3 3 3 3 2 : 3 3 x x x a C x x x x x x x x C x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x x C x x     + + = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −         + +  ÷  ÷ = + −  ÷  ÷ + + − −             − + + + − − − + + + − +  ÷  ÷  ÷  ÷ = =  ÷  ÷  ÷  ÷ + − − + − −           + +  ÷ =  ÷ + −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 . 3 3 2 2 3 3 3 . 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x C x x x       −  ÷  ÷ ÷ =  ÷  ÷ ÷ − − +           − − −  ÷ ÷ = =  ÷ ÷ − + +     10 [...]... bài tập mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc hệ thức VI-ÉT đảo để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai Những bài tập tôi đưa ra ở trên đã dược chọn làm đề thi, để cho các em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ thức VI-ÉT đảo, qua đó các em có thể biết... = = 4 4 2 II./ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 17 Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, đôi khi còn có những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậc hai thì không... cách áp dụng vào việc rèn luyện giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có dấu căn Mục đích của nội dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường mà hiện nay có chiều hướng đi xuống bởi vì một số em do chưa nắm bắt được kiến thức cơ bản và chưa biết cách vận dụng kiến thức vào... chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính có chứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng - Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra và biết cách áp dụng chúng một cách triệt để Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rêt Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa căn thức. .. nói gì, nhưng có những câu mà ở các trường chuyên đưa ra lại có những biểu thức chứa căn chồng căn Gặp trường hợp này đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa bậc chẳn ( thường viết dưới dạng bình phương ) để khai phương Muốn làm được điều đó, cần phải biết vận dụng thành thạo định lí đảo VI-ÉT ( tìm hai số biết tổng... hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn ) Chú ý : + Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau : " Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai : X 2 – SX + P = 0 " Điều kiện tồn tại hai số a & b là : S 2 − 4 P ≥ 0 Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp... dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên Nguyên nhân 23 chính ở đây là các em chưa thuộc hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên Chính vì vậy phần lớn các em rút gọn biểu thức có chứa. .. và hằng đẳng thức ( bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu ) Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt được cách làm để áp dụng vào bài toán : Ví dụ 1 : Rút gọn : a) 4 + 2 3 + 4 − 2 3 Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : 4 ± 2 3 dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai... : Chứng minh đẳng thức ( sách bài tập, bài 98 / 18 tập 1 ) 2+ 3 + 2− 3 = 6 Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừa số là 1( 3 ) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau : Nhân cả tử và mẫu cho 2 Bước 1 : 2+ 3 + 2− 3 = ( 2 2+ 3 2 ) + 2( 2 − 3) = 2 4+2 3 4−2 3 + 2 2 Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng 3 -> hai số đó là... sinh lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 1999 – 2000 ) Cho biểu thức : M = x + 3 + 2 x2 − 9 2x − 6 + x2 − 9 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị của M khi x = -5 Nhận xét : Bài toán cho có các hđt sau : x 2 − 9 = x − 3 x + 3 x+3= ( x+3 ) voi 3 ≤ x ≤ −3 2 Áp dụng vào bài toán ta có : Giải : M = x +3 + 2 x −9 2 2 x − 6 + x2 −9 a) ÐK : . − II./ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 17 Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, . tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai. III./ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính : I./ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU. SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC & HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ : I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ