sử dụng hằng đẳng thức và hệ thức viét đảo rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC & HỆ THỨC VI-ÉT ĐẢO RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

A ĐẶT VẤN ĐỀ : I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Qua những năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng các emhọc sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào cáctrường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này.Mà ở các kỳ thi đó , nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức cơ bản khôngthể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức vàthực hiện phép tính căn Phần lớn các em không làm được bài, bởi vì các emchưa nhận thấy được các biểu thức đã cho có liên quan đến một kiến thức rấtquan trọng là hằng đẳng thức ( hệ thức VI-ÉT đảo) mà các em đã được học ởlớp 8, 9 Xuất phát từ tình hình đó, qua những năm giảng dạy và học hỏi ởđồng nghiệp, tôi rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân để có thểtruyền dạy cho các em những kiến thức cơ bản để có thể giải quyết được vấn

đề khó khăn ở trên Chính vì vậy tôi mới chọn đề tài "Sử dụng hằng đẳng

thức & hệ thức VI-ÉT đảo, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai "

II./ PHẠM VI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG

PHÁP THỰC HIỆN :

Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 9 và các học sinh khá, giỏi môntoán và được thực hiện trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 vàcác trường chuyên về giải bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức và thựchiện phép tính có chứa căn

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I./ NHẬN XÉT CHUNG :

Ở các kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào các trườngchuyên, học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức và thựchiện phép tính có chứa căn thức bậc hai Muốn giải được bài tập đó đòi hỏihọc sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 và phảibiết vận dụng chúng vào từng loại bài tập Cái khó ở đây là các em học bảyhằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không

2

có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng cănthức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8.Chính vì vậy một số em còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nênkhông làm được bài tập rút gọn Vì vậy ta phải làm sao cho học sinh nhậnthấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 vàhằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và vận dụng nó vàoviệc giải bài tập

II./ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC :

Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỷ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 ( theo thứ tự ):

1) Bình phương một tổng :( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2) Bình phương một hiệu : ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3) Hiệu hai bình phương : a 2 – b 2 = ( a + b ).( a – b )

4) Lập phương một tổng : ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5) Lập phương một hiệu : ( a - b ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6) Tổng hai lập phương : a 3 + b 3 = ( a + b).( a 2 - ab + b 2 )

7) Hiệu hai lập phương : a 3 - b 3 = ( a - b).( a 2 + ab + b 2 )

Biết vận dụng nó để đưa ra những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 (theo thứ tự ) viết dưới dạng có dấu căn :

Chú ý :

+ a ; b > 0

+ Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên tôi không đưavào phần ghi nhớ ở lớp 9

Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọnbiểu thức có chứa căn thức bậc hai

III./ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :

Trong phần này tôi sẽ trình bày hai nội dung chính :

I./ SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN BIỂU

THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI :

Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập, tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai như sau :

Bài tập 64/33 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau :

a)

Nhận xét đề bài : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :

tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 Áp dụng vào bài toán, ta biếnđổi vế trái :

Giải

4

Đến đây ta lại thấy xuất hiện hđt : tương tự hđt số 2lớp 9 Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :

với a+b >0 và

Nhận xét : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 hđt số 1 lớp 8 Áp dụng vào bài toán tabiến đổi vế trái :

Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau( câu c tuyển sinh vào lớp

10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt )

Nhận xét : Hai câu trên gồm có các hđt số 6 & 7 lớp 9 :

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hđt số 3 lớp 8 :

Giải :

Bài 76 / 41 sgk : Cho biểu thức( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2007-2008)

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b

Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 Áp dụng vào bài toán ta rútgọn câu a :

Giải :

6

Bài 85 / 16 sbt : Cho biểu thức :

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P = 2

Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức :

và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P

Giải :

Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức :

a) Rút gọn Q

b) Tìm giá trị của a để Q dương

Nhận xét : Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hđt số 3 lớp 8

Giải :

Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và )

Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hđt số 3 & 4 lớp 9 kết hợp với quy tắc đổidấu Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái :

Giải :

8

Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa

b) Khi A có nghĩa Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:

Giải :

Biểu thức A không phụ thuộc vào a

Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :

a) Rút gọn B

b) Tìm x để B = 3

Nhận xét : Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau :

Áp dụng vào bài toán ta có :

Giải :

Bài 108 / 20 sbt : Cho biểu thức :

a) Rút gọn C

b) Tìm x sao cho C < -1

Nhận xét : Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau :

Áp dụng vào bài toán ta có :

Giải :

10

Bài 5 / 148 sbt : Rút gọn :

Nhận xét : bài toán có hđt sau : Áp dụngvào bài toán

Giải :

Bài 6 / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức ( tuyển sinh vào lớp 10 năm

2006 )

Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :

Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái :

Giải :

Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :

Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :

Giải :

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH:

Bài 1 : ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 1996 – 1997 )

Rút gọn :

Nhận xét : bài toán cho có hằng đẳng thức :

Áp dụng vào bài toán ta có :

Giải :

Bài 2 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên năm 1998 )

Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa

b) Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P

12

Nhận xét : Bài toán cho có hđt : Áp dụng vào bài toán tacó :

Giải :

Bài 3 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 1999 – 2000 )

Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức M

c) Tính giá trị của M khi x = -5

Nhận xét : Bài toán cho có các hđt sau :

Áp dụng vào bài toán ta có :

Giải :

Bài 4 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2000 – 2001 )

Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tính giá trị của M khi a = 9

Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 1 ; 2 ; 3 lớp 8 Áp dụng hđt, ta có lờigiải

Giải :

Bài 5 :( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 2001 – 2002)

Cho biểu thức :

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x sao cho P < 1

c) Tính giá trị của P nếu

Nhận xét : Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức tasẽ có hđt dạng số 2 lớp 9 :

14

Bài 6 : ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 2002 – 2003 )

Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của A khi a = 1/4

Nhận xét : Sau khi quy đồng ta có hđt sau :

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :

Giải :

Bài 7 : ( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Huỳnh Mẫn Đạt năm 2002 –

2003 )

Rút gọn cho biểu thức :

Nhận xét : Sau khi đặt nhân tử chung thì xuất hiện hđt sau :

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải

Giải :

Bài 8 : ( tuyển sinh vào lớp 10 năm 2003 – 2004 )

Rút gọn biểu thức :

Nhận xét : Bài toán cho có hđt : Áp dụng vào bài toán

ta có

Giải

Bài 9 : ( Tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm :

2005 – 2006 )

Rút gọn biểu thức :

Nhận xét : Bài toán cho gồm có hđt sau :

16

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải

Giải :

II./ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐẢO VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Bên cạnh bài toán cho rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, đôikhi còn có những câu đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trịcủa biến Đối với những câu yêu cầu tính mà chỉ có một dấu căn thức bậchai thì không nói gì, nhưng có những câu mà ở các trường chuyên đưa ra lạicó những biểu thức chứa căn chồng căn Gặp trường hợp này đòi hỏi họcsinh phải biết cách đưa biểu thức trong căn về lũy thừa bậc chẳn ( thườngviết dưới dạng bình phương ) để khai phương Muốn làm được điều đó, cầnphải biết vận dụng thành thạo định lí đảo VI-ÉT ( tìm hai số biết tổng và tích) và hằng đẳng thức ( bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu ).Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ đơn giản, để từ đó học sinh nắm bắt đượccách làm để áp dụng vào bài toán :

Ví dụ 1 : Rút gọn :

Nhận xét : Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức :

dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu để khai phương dấu căn lớn.Để làm được điều này ta làm các bước sau :

Bước 1 : Làm thế nào đó biến đổi trước dấu căn nhỏ phải có thừa số 2 ( bài toán đã cho )

Bước 2 : Tìm hai số biết tổng bằng 4 và tích bằng 3 -> hai số đó là : 3 và 1 Bước 3 : Ta lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được ở bước 2, rồi viết chúng dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểu thức dưới dấu căn lớn )

Chú ý :

+ Để tìm hai số có tổng là S và tích là P ta sử dụng định lí sau :

" Nếu hai số a & b có tổng là S và tích là P thì hai số đó là nghiệm củaphương trình bậc hai : X2 – SX + P = 0 " Điều kiện tồn tại hai số a & b là :

Có thể cho học sinh giải nhẩm hoặc gặp trường hợp khó thì dùngmáy tính casio fx-500 để giải phương trình bậc hai tìm hai số a & b chonhanh

+ khi viết dưới dạng bình phương một hiệu ta nên viết hiệu đó có giá trịdương ( số bị trừ lớn hơn số trừ ) để khi khai phương, khỏi phải dùng dấugiá trị tuyệt đối

Áp dụng các bước trên vào ví dụ 1, ta có lời giải sau :

18

Ví dụ 2 : bài tập 15 / 5 sbt tập 1 : Chứng minh

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừasố đều khác 2 ( ), vì vậy ta phải biến đổi chúng như sau ( dùngphương pháp đưa thừa số vào trong dấu căn ):

Giải

Ví dụ 3 : Chứng minh đẳng thức ( sách bài tập, bài 98 / 18 tập 1 )

Nhận xét : Trước dấu căn nhỏ của cả hai biểu thức dưới dấu căn lớn có thừasố là 1( ) vì vậy ta phải biến đổichúng như sau : Nhân cả tử và mẫu cho 2

Bước 1 :

Bước 2 :

Tìm hai số biết tổng bằng 4, tích bằng 3 -> hai số đó là 3 và 1

Bước 3 : Lấy căn bậc hai của từng số vừa tìm được rồi viết chúng dưới dạng

bình phương một tổng hoặc một hiệu ( Tùy theo dấu cộng hoặc trừ của biểuthức dưới dấu căn lớn )

Giải :

Ba ví dụ lấy phía trên là ba trường hợp mà chúng ta thường gặp Tùytheo từng loại bài, ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhưng cơ bản làbiết vận theo ba bước ở trên là ta có thể giải quyết được rất nhiều bài dạngnhư vậy Sau đây là một số bài tập trong sách giáo khoa và một số bài trongcác kì thi tuyển vào lớp 10 mà tôi chỉ giải dựa vào ba bước đã phân tích ởtrên để giải, không phải làm chi tiết theo từng mục như ở trên

Bài 21/6 sbt : Rút gọn biểu thức :

Bài 100/19 sbt : Rút gọn biểu thức :

MỘT SỐ BÀI TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Bài 1 : Tính ( tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Huỳnh Mẫn Đạt năm 1994 –

1995 )

Bài 2 : ( tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong năm 2002 – 2003 ) Rút gọn biểu thức : S = A + B + C CMR : S là một số tự nhiên

20

Suy ra : S = A + B + C = 1+ 1 + 3 = 5 là số tự nhiên đpcm

DÙNG PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI

RÚT GỌN NÂNG CAO

Bài 101 / 19 sbt : Tìm điều kiện và rút gọn

Trước tiên ta làm sao cho xuất hiện hệ số ( thừa số ) 2 trước căn nhỏ

Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2, ta còn lại hai thừa số đó là 2 và

Vậy 2 và là hai số a & b của hđt : ( a + b )2 hoặc ( a - b )2 Vìsố còn lại là x và trong dấu căn nhỏ là x – 4, nên ta bớt đi 4 để có x – 4 =

ta được a2 và thêm vào 4 để có 22 ta được b2 thế là ta có một hđtdạng : ( a + b )2 hoặc ( a - b )2

IV./ KẾT QUẢ THỰC HIỆN

1./ ĐỐI VỚI HỌC SINH :

-Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phảixuất phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên Nguyên nhân

chính ở đây là các em chưa thuộc hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộclòng, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêutrên Chính vì vậy phần lớn các em rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậchai hoặc thực hiện phép tính có chứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng

- Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra vàbiết cách áp dụng chúng một cách triệt để Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài,làm được bài tăng lên rõ rêt Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm trarút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và thực hiện phép tính có chứadấu căn :

Năm học Áp dụng đề tài Kết quả điểm kiểm tra

Giỏi Khá Trung

bình Yếu Kém

2004 -2005 Chưa áp dụng 7% 12% 35% 40% 6%

2005 -2006 Đã áp dụng 15% 20% 45% 17% 3%

2006 -2007 Đã áp dụng 20% 30% 40% 10% 0%

2./ ĐỐI VỚI BẢN THÂN :

Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiềutrong khâu phải giải bài tập cho học sinh(phần lớn các em giải khôngđược )mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm việc nhiềuhơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau khi sử dụngđề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện rakiến thức và biết áp dụng chúng, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trungtâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

C/ KẾT LUẬN :

Khi áp dụng đề tài vào quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh rấtcó hứng thú trong học tập, bài giảng huy động được nhiều học sinh tham gia,các học sinh yếu kém cũng ó thể làm được bài tập đơn giản Bên cạnh đó

24