TRƯƠNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN
ĐẬU THỊ TÂM
TICH CUC HOA HOAT DONG NHAN THUC CUA HOC SINH
TRONG QUA TRINH CUNG CO KIEN THUC
(THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG)
KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN
VINH - 2012
Trang 2KHOA TOÁN
TICH CUC HOA HOAT DONG NHAN THUC CUA HOC SINH
TRONG QUA TRINH CUNG CO KIEN THUC
(THONG QUA DAY HOC CHU DE PHUONG TRINH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH O TRUONG TRUNG HOC PHO THONG)
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
NGANH CU’ NHAN SU’ PHAM TOAN
Người hướng dẫn khoa học: ThS Trương Thị Dung Sinh viên thực hiện: Đậu Thị Tâm
Trang 3Tác giả vô cùng biết ơn Giảng viên - Thạc sĩ Trương Thị Dung, người đã tận tình hướng dân tác giả trong suốt quá trình làm khóa luận
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thấy cô giáo trong khoa Toán đã dạy
dỗ, tạo điều kiện, hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành
khóa luận này
Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Ban giám hiệu, các
thay cô trong tổ Toán trường trung học phổ thông Nguyễn Văn Trỗi - Lộc Hà - Hà Tĩnh đã tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình tiễn hành thử nghiệm sư phạm đề tài của khóa luận
Nhân dịp này, tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè - những người luôn cổ vũ, động viên tác giả trong quá trình làm khóa luận
Tuy đã có nhiều có gắng, nhưng chắc chắn khóa luận không tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ỷ và sửa chữa Tác giả rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của quỷ thây cô và bạn đọc
Trang 4Trang MO DAU ooo 1 1 Ly do chon 46 tie cccccccccescessesssssssesssessesssesssessesssesssessesssessssesesssessessesssesses 1 PXV0 (120000601300 01 2 EWIo o0 2201 2
A, Giả thuyết khoa hỌC 2-52 2+SE+SE92EEEEEEE22112121211211211211221211 212 xe 3 5 Phương pháp nghiên CỨU - 2222k S3 E918 9 1E 1E ke rkkererryrrn 3 6 Dự kiến đóng góp của khóa luận 2- 2+ 2 +s+E+2Et+Et2E2EEeEzExrrrerrsrs 3
7 Cấu trúc của khóa luận -2.+++ttEEHHH Hee 4
CHUONG I: Cơ sở lý luận và thực tiễn . 2-5-5225 2scSz+xczxezxzxee 5
I Nhu cầu đổi mới phương pháp đạy học mơn Tốn ở trường trung học phổ thông 2 ©2+Se+SES2E1921521271211711111121111211211121111011 211 1x xe 5
2 Tích cực hóa tư duy học sinh -¿ s +++ + + *+t**EeEEekreererrksrerrkrreree 6 3 Củng cỔ tri thỨc - ¿- ++Se+E2Ek£EE9 1E XEE1E1111E111111211111111211 1.111 1x xe
4 Kết luận chương I
CHƯƠNG II: Các biện pháp nhằm tích cực hóa tư duy học sinh
1
trong quá trình cúng cố kiến thức chú đề phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phỗ thông - 2 52 5252 23
Phân tích nội dung chủ đề phương trình và hệ phương trình trong
chương trình môn Toán ở trường trung học phô thông - - 23 1.1 Vai trò, vị trí của chủ đề phương trình và hệ phương trình 23 1.2 Nội dung của chủ đề phương trình và hệ phương trình 24
Một số biện pháp tích cực hóa tư duy học sinh trong quá trình củng cô kiến thức chú đề phương trình, hệ phương trình - ¿552 31
2.1 Tăng cường nhận dạng và thể hiện các khái niệm, định lý,
0005011201177 31
Trang 52.5 Tập luyện cho học sinh khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa
các kiến thức, phương pháp 2-2-2 2x+2E£2EE+E£2zE+zEzxezrxerxers 57
3 Kết luận chương [aoe ceeccescescsesssesssssssessessseessesseesvessesssessessessesssesssesseeseees 68
CHUONG III: Thử nghiệm sư phạm 5-5-5555 *2*+EzEzxzxzxexrxrers 69
Trang 61 Lý do chọn đề tài
1.1 Chiến lược phát triển kinh tế - xã hội giai đoạn 2001 — 2010, Đảng ta
đã nêu rõ: “ Công nghiệp hóa gắn liền với hiện đại hóa ngay từ đâu và trong suốt các giai đoạn phát triển Nâng cao hàm lượng trì thức trong các nhân tổ
phát triển kinh tế - xã hội, từng bước phát triển kinh tế tri thức ở nước ta ” Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã
quy định:
“Phuong phap giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư
duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập
và ý chí vươn lên”
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bỗi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thủ học tap của học sinh”
Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu nói chung của phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay Nền kinh tế nước
ta đang chuyên đổi từ cơ chế kế hoạch hóa tập trung sang cơ chế thị trường có
sự quản lý của nhà nước Công cuộc đối mới này đề ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục Vì vậy, đổi mới phương pháp dạy học đã được nảy sinh và thúc đây ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu đưới những hình thức khác nhau như: “Phá huy tính tích cực”,
“tích cực hóa hoạt động học tập”, “hoạt động hóa người học” Những ý
Trang 7mà còn có cả các kĩ năng, kĩ xảo Các tri thức, kỹ năng này được sắp xếp theo
một hệ thống chặt chẽ về mặt logic, mà nếu người học bị một lỗ hồng nào trong hệ thống đó thì rất khó hoặc thậm chí không thẻ tiếp thu những phần còn lại Vì vậy, quá trình tiếp cận các kiến thức chưa kết thúc khi phát biểu được chúng,
mà quan trọng là các kiến thức đó phải được củng cố lại Việc củng cô phải
diễn ra thường xuyên để đảm bảo lấp kín hết các lỗ hồng, làm cho học sinh
nắm vững từng mắt xích của hệ thống tri thức, kĩ năng Và khả năng để tích cực hóa tư duy của học sinh trong quá trình củng cố các kiến thức là vô cùng rộng
lớn, bởi vì ở đây học sinh đã có một vốn kiến thức nhất định
1.3 Chủ đề phương trình và hệ phương trình trong mơn Tốn ở trường
trung học phổ thông là một dạng toán khá phức tạp và chứa đựng nhiều kiến thức có thể thực hiện việc tích cực hóa tư duy học sinh trong quá trình củng cố
kiến thức
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là:
“Tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh trong quá trình cúng cố
kiến thức (thông qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình ở trường trung học phố thông)”
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của khóa luận này là xác định nội dung chủ đề
phương trình, hệ phương trình ở trường phổ thông, phương pháp dạy học và các biện pháp sư phạm sử đụng trong quá trình củng có tri thức nhằm góp phần
tích cực hóa tư duy học sinh
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi xác định các nhiệm vụ
nghiên cứu sau:
Trang 8học sinh
3.3 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm tích cực hóa tư duy học
sinh trong quá trình củng cố tri thức thông qua chủ đề phương trình, hệ phương trình
3.4 Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất
4 Giá thuyết khoa học
Khi tiến hành củng có tri thức toán nói chung và tri thức phương trình, hệ phương trình nói riêng, nếu vận dụng tốt các biện pháp sư phạm được đề xuất trong khóa luận thì bồi đưỡng và phát huy được tính tích cực, năng động,
sáng tạo trong tư duy của học sinh Từ đó giúp học sinh lĩnh hội có hiệu quả
các kiến thức chủ đề phương trình, hệ phương trình, cũng như các chủ đề khác, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông
5 Phương pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến phương trình, hệ phương trình, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học bộ môn, sách giáo khoa, sách tham khảo và các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài
5.2 Điều tra, tổng kết kinh nghiệm
Thăm do va quan sat giáo viên ở trường trung học phổ thông nơi thực tập 5.3 Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành dạy một số bài ở trường trung học phổ thông nơi thực tập để
kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài
6 Dự kiến đóng góp của khóa luận
VỀ mặt lý luận:
- Xác định được việc tích cực hóa tư duy học sinh trong dạy học toán nói
Trang 9phương trình, hệ phương trình nói riêng
Về mặt thực tiễn:
- Xây dựng được các biện pháp sư phạm nhằm phục vụ cho việc tích cực hóa tư duy học sinh trong quá trình củng có tri thức chủ đề phương trình, hệ
phương trình
7 Cấu trúc của khóa luận
Mớ đầu
Nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Các biện pháp nhằm tích cực hóa tư duy học sinh trong quá
trình củng cố kiến thức chủ đề phương trình và hệ phương trình ở trường trung
học phổ thông
Trang 101 Nhu cầu đối mới phương pháp dạy học môn Toán ớ trường trung
học phố thông
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban
chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa VIII - 1997) đã đề ra:
“Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tr duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiễn và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều
kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học” Chiến lược phát triển kinh tế - xã hội giai đoạn 2001 — 2010, Đảng ta đã
‘
nêu rõ: “ Công nghiệp hóa gắn liền với hiện đại hóa ngay từ đâầu và trong suốt các giai đoạn phát triển Nâng cao hàm lượng tri thức trong các nhân tô phát triển kinh tế - xã hội, từng bước phát triển kinh tế tri thức ở nước fa ”
Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã
quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bôi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh”
Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc
hậu nói chung của phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay Thật vậy, sự phát
triển xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển đổi từ cơ chế kế hoạch hóa tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lý của nhà nước Công cuộc đôi mới này đề ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, điều đó
đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới
Trang 11bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Hoạt động liên hệ với các yếu tố: chủ thể, đối tượng, mục tiêu, phương tiện, kết quả; riêng hoạt động học còn liên hệ với một yếu tố nữa, đó là thầy giáo Cụ thể hóa định hướng trên liên hệ với những yếu tố này, ta thấy rõ những hàm ý sau đây đặc trưng cho
phương pháp dạy học hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập hoặc trong giao
lưu
- Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm - Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học
- Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng
sức mạnh của con người
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân
người học
- Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, ủy thác,
điều khiển và thể chế hóa
2 Tích cực hóa tư duy học sinh
Theo từ điển Tiếng Việt, tích cực là trạng thái tỉnh thần có tác dụng
khẳng định và thúc đây sự phát triển Tính tích cực là một sản phẩm vốn có của
con người trong đời sống xã hội Tích cực hoá là một hoạt động nhằm làm chuyển biến vị trí của người học từ thụ động sang chủ động, từ đối tượng tiếp
nhận tri thức sang chủ thể tìm kiếm tri thức để nâng cao hiệu quả học tập Tích
cực hoá vừa là biện pháp thực hiện nhiệm vụ đạy học, đồng thời nó góp phần
rèn luyện cho học sinh những phẩm chất của người lao động mới: tự chủ, năng
động, sáng tạo Đó là một trong những mục tiêu mà nhà trường phải hướng tới
Trang 12em trong quá trình thu nhận tri thức, kĩ năng, kĩ xảo Chỉ có trong những điều kiện như vậy mới có thê giáo dục được những con người phát triển toàn diện và sẵn sàng lao động” Tác giả Phạm Gia Đức — Phạm Văn Hoàn trong “Rèn luyện
công tác độc lập cho học sinh thông qua môn Toán” cũng đã khắng định: “Nếu
không có hoạt động tư duy tích cực cho học sinh thì không thể vũ trang cho học sinh những kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo chắc chắn”
Việc củng có kiến thức trong thực tiễn giảng dạy thường hay được thực hiện nhiều nhất bằng phương pháp tái hiện Nhiệm vụ của phương pháp tái hiện là ngẫm nghĩ, ghi nhớ, đồng thời là sự hình thành các kĩ năng, kĩ xảo cho học
sinh Thường thì nhiệm vụ có thể giải quyết bằng cách cho học sinh nhắc lại
nhiều lần những kiến thức đã thông báo cho các em và những phương thức hoạt động mà các em đã biết qua các bài tập Ý nghĩa của phương pháp này trong
dạy học rất lớn lao và nó vẫn giữ một vị trí quan trọng trong quá trình củng cố
các kiến thức Tuy nhiên, không nên quá cường điệu phương pháp này, bởi vì
nó chỉ tạo khả năng để xây dựng cách tư duy tái hiện chứ không phải cách tư
duy sáng tạo Hơn nữa, tích cực hóa tư duy của học sinh trong quá trình nghiên cứu tư liệu mới nhưng lại vẫn tiếp tục vận dụng đơn thuần một phương pháp tái hiện đề củng cố và kiểm tra kiến thức thì chúng ta sẽ làm giảm đi rất nhiều hiệu
quả của hoạt động này
Để phát triển tư duy sáng tạo của học sinh cần phải có một phương
hướng thống nhất được cấu trúc một cách lôgic xuyên suốt tất cả các giai đoạn, tất cả các thời điểm của quá trình dạy học Nhưng khả năng để tích cực hóa tư
duy của học sinh trong quá trình củng cô các kiến thức là vô cùng rộng lớn, bởi
vì ở đây học sinh đã có một vốn kiến thức nhất định Trong những điều kiện
Trang 13Dé hoc sinh có thể giải quyết nhiệm vụ này, các em cần nắm vững những
thủ thuật nhất định của hoạt động nhận thức Lý luận dạy học cũng đã nêu rõ sự cần thiết phải dạy cho học sinh những thủ thuật tư duy: “Một điều rất quan trọng đề phát triển trí tuệ là việc nắm vững những thao tác trí tuệ mà nhờ chúng có thể thực hiện được cả sự nhận thức kiến thức lẫn việc vận dụng kiến thức”
N.F.Talưsina cho rằng các thủ thuật tư duy lúc đầu phải biểu hiện như những
đối tượng của sự nhận thức mang tính đặc thù, như những đối tượng của sự điều khiển từ phía người học, để về sau chúng trở nên thuận tiện cho việc sử
dụng một cách tự nguyện và có ý thức trong những điều kiện mới Nếu không
như vậy thì thậm chí ở những chỗ các thủ thuật cần thiết đã được hình thành thì
như thường thấy, chúng vẫn chỉ dừng lại ở mức nhận thức đầy đủ, và kết quả chúng sẽ chỉ giới hạn trong việc vận dụng ở những điều kiện như khi chúng
được nhận thức Tắt nhiên cần lưu ý tới việc hình thành những thủ thuật tư duy
khi nghiên cứu các tư liệu mới Nhưng khi củng cố những tư liệu học tập thì do
học sinh đã có một cơ sở kiến thức nhất định, nên lúc này có những điều kiện vô cùng thuận lợi đề tổ chức hoạt động nhận thức nhằm lĩnh hội những phương thức hoạt động
Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu sự hình thành các thủ thuật của hoạt
động nhận thức trong quá trình củng cố kiến thức phù hợp với những tiêu chuẩn tâm lý học của quá trình tư duy do X.L.Rubinshtein néu ra
X.L.Rubinshtein khẳng định rằng: “Quá trình tư duy, trước hết đó là việc phân
tích và tổng hợp những điều mà sự phân tích đã làm sáng tỏ, và sau đó, nó là sự trừu tượng hóa và khái quát hóa, là sản phẩm của những cái đó Các quy luật
của những quá trình này trong mối tương quan lẫn nhau của chúng là bản chất của những quy luật cơ bản nội tại của tư đuy” Và ông nêu tiếp: “Quá trình tư
Trang 14dần khi những thao tác đó gây được tác dụng và được củng có trong mỗi người
thì tư duy sẽ được hình thành như một năng lực trí tuệ được mở mang”
Thủ thuật phát huy tính tích cực của việc dạy học mà giáo viên vận dụng
là những điều kiện bên ngoài có tác dụng kích thích tư duy của học sinh Nhưng áp dụng yếu tố kích thích bên ngoài chỉ có thể có kết quả khi có sự
tương ứng đúng đắn với những điều kiện bên trong, khi học sinh có những tri thức tương ứng có thể vận dụng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nhận thức
được đặt ra trong giờ học và khi có cân nhắc cả đến trình độ tư duy và kĩ năng
trí tuệ mà học sinh có được Đối với chúng ta, tích cực hóa tư duy học sinh không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục, nâng cao trình độ lĩnh hội và chất lượng các tri thức tiếp thu được Nó còn đặc biệt quan trọng về mặt giáo dục và vê mặt ảnh hưởng của nó đên nhân cách của học sinh
Chúng tôi cho rằng cần phải lưu ý tới một điều là khi sử dụng những phương pháp dạy học tích cực để củng có kiến thức, ta sẽ thường tạo ra những
điều kiện cho việc nhận thức các kiến thức mới và củng cô các kiến thức đó sẽ
hòa vào trong cùng một quá trình duy nhất Điều đó sẽ đảm bảo cho tính bền
vững của việc nhận thức các tư liệu dạy học và sự phát triển chung về mặt trí
tuệ cho hoc sinh
3 Cũng cố tri thức
Việc củng cố tri thức, kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có
một ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán Điều đó trước hết là do cấu tạo của những giáo trình Toán ở trường phô thông theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung
mới đều dựa vào những lĩnh vực nội dung đã được học trước kia, theo một hệ thống chặt chẽ về mặt logic Nếu người học bị một lỗ hồng nào trong hệ thống
đó thì rất khó hoặc thậm chí không thể tiếp thu những phần còn lại Vì vậy,
Trang 15thức, kỹ năng: mắt xích này làm tiền đề cho mắt xích kia Củng cô cần được
thực hiện đối với tất ca các thành phần của nhân cách đã được phát biểu thành
mục tiêu trong chương trình, tức là không phải chỉ đối với tri thức mà còn đối
với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ Tuy nhiên, việc củng cố chỉ có thể được thực hiện dựa vào những nội dung cụ thể, vì vậy đưới đây chỉ cần xét chủ yếu là việc củng có tri thức và kĩ năng Toán học
Trong mơn Tốn, củng cố diễn ra dưới các hình thức Huyện đập, đào sâu,
ứng dụng, hệ thống hóa và ôn Trong thực tế dạy học, ít khi xảy ra trường hợp
chỉ xuất hiện một hình thức củng cố Hơn nữa, một biện pháp nâng cao hiệu
quả củng cố là thầy giáo biết lựa chọn và phối hợp nhiều hình thức củng cố đồng thời Sau đây ta đi vào từng hình thức củng có nói trên
3.1 Luyện tập
Luyện tập trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo Luyện tập không phải chỉ với tính toán mà còn cả đối với việc đựng hình, vẽ đồ thị hàm số, giải phương trình và hệ phương trình, giải bất phương trình và hệ bất phương trình, sử đụng thước, compa, bảng số, máy tính
Trong củng có, hình thức luyện tập có một ý nghĩa đặc biệt Mơn Tốn là
một môn học công cụ Tri thức và kỹ năng toán học được sử dụng rộng rãi trong việc học tập những môn học khác và trong đời sống Học tốn khơng phải chỉ để lĩnh hội một số tri thức, mà điều quan trọng hơn là phải biết vận dụng những tri thức đó Học toán thực chất là học làm Toán Luyện tập là học tập Vì
vậy, luyện tập về nguyên tắc phải diễn ra ngay trong quá trình chiếm lĩnh tri
thức, đan kết với việc chiếm lĩnh tri thức chứ không phải chỉ được thực hiện
sau quá trình này Vừa dạy vừa luyện là một đặc điểm của phương pháp dạy
Trang 16Sau đây là một số chỉ dẫn thực hiện chức năng luyện tập có chú ý những
thành tố cơ sở của phương pháp dạy học:
- Về hoạt động và hoạt động thành phần, cần chú ý tập luyện cho học
sinh không phải chỉ những hoạt động Toán học mà còn cả những hoạt động
khác nữa: những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học như xét tính giải được, phân chia trường hợp; những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tống
hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa; những hoạt động ngôn ngữ như trình bày một vấn đề và cách giải quyết bằng lời lẽ của mình, thay đổi hình
thức phát biểu một định nghĩa hay định lý
Xét ví dụ về phân chia trường hợp giải toán: Bài toán giải và biện luận
phương trình: Ja—x+VJa+x=a ()
Ta chú ý rằng việc phân chia trường hợp phải tuân theo một số quy tắc
nhất định như sau:
- Sự phân chia phải triệt để, không được bỏ sót
- Sự phân chia không được trùng lặp
- Cùng một lúc không được đưa vào các dấu hiệu khác nhau để phân chia - Phân chia phải liên tục
Khi giải và biện luận phương trình (1) ta phải xét 3 trường hợp (THỊ): - THỊ: z<0 Khi đó phương trình (1) vô nghiệm - TH2: a=0 Khi đó phương trình (1) tro thanh J—x+Jx =0 nén cd nghiém duy nhat 1a x =0 - TH3: a>0
Ta có điêu kiện của x la -a<x<a
Khi đó: (l) 6© 2a+2vda”-x°=a” ©_ 2Na°-x°=aÌ-2a (2)
Bình phương 2 về của (2) ta được:
Trang 17Tuy nhiên (2) không chắc tương đương với (3) bởi a°—2a có thê âm Do đó trường hợp 3 phải phân chia thành các khả năng (KN) sau: +) KNI: 0<a<2 Khi đó (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm +) KN2: a=2 Khi đó (2) trở thành: 22/4-x? =0, nên có nghiệm x=+2 +) KN3: a>2
Khi đó (2) và (3) là hai phương trình tương đương Tuy nhiên, không chắc (3) có nghiệm Do vậy khả năng 3 lại phải chia thành các tình huống (Th) sau: e Thi: a>4 Khi đó (3) vô nghiệm, nên (1) vô nghiệm e Th2: a=4 Khi đó (3) trở thành: x” =0, nên có nghiệm x=0 Tức là (1) có nghiệm x=0 e Th3: 2<a<4
Khi đó (3) có 2 nghiệm x=+ |¿~sa' „ nên (1) có nghiệm x=+ forte
Bây giờ giả sử rằng khi gặp phương trình (1), ta không phân chia như
trên mà phân chia theo một cách khác nào đó, chắng hạn a<3, a=3, a>3
Rõ ràng cách phân chia này tuy là đầy đủ, không trùng hợp nhưng vẫn
“không hợp lý” Thật vậy, chắng hạn đối với trường hợp z<3, vì chưa khẳng
định được z<0 hay a>0 nên nếu muốn có một phương trình chắc chắn tương đương, ta vẫn chưa thé bình phương hai về của phương trình (1)
- Về mặt động cơ, trước hết, thầy giáo cần gợi động cơ luyện tập nói chung Muốn vậy, phải làm cho học sinh ý thức được rằng hoc Toán thực chất
là học làm Toán, do đó học lý thuyết cần kết hợp với luyện tập thường xuyên,
tức là vừa học vừa luyện tập là một đặc điểm của bộ môn này
Trang 18này, trong môn Toán cũng như trong những môn học khác và đặc biệt là trong
khoa học — công nghệ và trong đời sống thực tiễn
- Về mặt tri thức phương pháp, trước hết thầy giáo cần cung cấp cho học sinh phương pháp chung để giải bài Toán bao gồm bốn bước dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chỉ tiết của Polya về cách thức giải bài Toán, đó là: Tìm hiểu nội dung đề bài - Tìm cách giải - Trình bày lời giải -
Nghiên cứu sâu lời giải Cần dạy cho học sinh dần dần hiểu và vận dụng được
những gợi ý có tính chất tìm đoán đề thực hiện các bước này, với tư cách là những tri thức phương pháp, bằng cách cho họ luyện tập những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp
Cùng với những phương pháp có tính chất thuật giải, cần quan tâm cả tri thức về những phương pháp có tính chất tìm đoán Tuy nhiên, cần làm cho học sinh hiểu rằng mục tiêu quan trọng nhất không phải là chỉ nắm vững cách giải từng bài tập, thậm chí từng dạng bài tập, mà là rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung đề có thể ứng phó với những tình huồng mới mẻ, không lệ thuộc vào những khuôn mẫu có sẵn
Tí dụ: Giải phương trình: 3-3”7?(2-3*'”—1)=1—2-3??
Đây là dạng bài tập có tính đặc thù: Là những bài tập có số liệu cụ thể,
có cách giải riêng do tính cá biệt của nó nhằm chống suy nghĩ rập khuôn, áp
dụng công thức, thuật toán một cách máy móc
Có học sinh sẽ giải như sau: Ta 6 3-3°7(2-3° -1l) =1-2:3°7 © 6-(37) 37 -1=0 Dat uw =3" >0, phương trình trên trở thành 6ø” —z—1=0 1+5 1 a 1-5 1 : > u,=——=— (nhan) ES 1 (ahin) 5 w=" 3 -—1 (loai) ; u,=——= (loai „ > | 1 1 Do do 3°? == > x+2=log,— > x=log,—-2 2 B35 Đ
Trang 19Ta có: 3:3/(2:3/)-~0)=1-2:3”? œ6 3-3-3 ?-0+(2-37?-0=0 ; gel = (3:3 77?+(2-3””-D=0 So => yt at (do 3°? >0) yet 3 > x+2=l0g, 5 > x=log, 5-2
Rõ ràng cách giải đầu tiên là cách giải máy móc, rập khuôn
Việc giải các bài tập có tính đặc thù nhằm rèn luyện cho học sinh thói
quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài tập trước khi áp dụng các
thuật giải tổng quát
- Về phân bậc hoạt động, thầy giáo cần tận dụng và xây dựng những
mạch bài tập phân bậc đề điều khiến quá trình dạy học theo ba hướng (tùy hoàn
cảnh cụ thể): tuần tự nâng cao yêu cầu, tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết
và đạy học phân hóa Làm như vậy để tạo điều kiện cho nhiều học sinh có thể tự giải bài tập chứ không phải chỉ nghe thầy giáo hoặc bạn bè chữa bài tập
Kinh nghiệm cho thấy rằng học sinh tự mình làm được một bài tập còn đạt hiệu
quả cao hơn là nghe người khác trình bày lời giải của một loạt bài tập
Việc người học tự mình giải được một số bài tập là rất có ý nghĩa về mặt tâm lý Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài tập đầu tiên đễ làm cho học sinh mắt nhuệ khí, mắt tin tưởng ở bản thân mình, đễ gây tâm trạng bắt lợi cho quá
trình luyện tập tiếp sau Kinh nghiệm cho thấy rằng nguyên nhân không thành
công ngay từ bài tập đầu thường đo thầy giáo yêu cầu vận dụng quá nhiều tri
thức và kĩ năng thuộc những nội dung trước đó hơn là do những thiếu sót ngay
trong cách đạy giải chính bài tập này hoặc trong cách dạy phần lý thuyết ngay trước bài tập đó Vì vậy, cần cân nhắc lựa chọn bài tập đầu tiên vừa trình độ học sinh để tạo cho họ niềm lạc quan bước vào luyện tập Sự trải nghiệm thành
Trang 203.2 Các hình thức khác cúa cúng cỗ
a) Dao sau:
Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnh khác nhau của
tri thức, bố sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức
Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức thường là: nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lật ngược vấn đề, thay đồi hình thức phát biểu Việc xem xét định lý Pytago là
một trường hợp đặc biệt của định lý hàm số cosin, việc xét những sự tương ứng
ngược của những hàm số lượng giác là những ví dụ về đào sâu tri thức
Trang 21Đến đây, không ít học sinh sẽ gặp khó khăn Vì yêu cầu của bài toán là “phương trình có đúng 7 nghiệm xen) trong khi đó từ cosx=0, ta đã tìm được 2 nghiệm của phương trình là 5 và = , nén việc tiếp theo là ta phải
tìm m sao cho phương trình đã cho có 5 nghiệm nữa Tuy nhiên, không phải cứ
thỏa mãn có 5 nghiệm là được, mà 5 nghiệm này phải phân biệt, phải khác 5
và = và cùng thỏa mãn x ($22) Khi đặt ¿=eosx, ze[—1;1] ta đã thu được
phương trình mới 4??-2/+zz-3=0 Nhiệm vụ đặt ra là học sinh phải xét cho được mối quan hệ của t và x, với điều kiện nào của t thì phương trình
4cos* x-2cosx+m-—3=0 co dung 5 nghiệm phân biệt khác 5 và = và cùng
thỏa mãn xe( am) Do đã có ¿=0, nên phương trinh 47 —21+m—3=0 phai
có nghiệm khác 0
Giáo viên cần gợi ý cho học sinh rằng: Với những bài toán đạng này thì
cách tốt nhất đề giải là sử dụng đường tròn lượng giác Ta có hình vẽ:
Từ hình vẽ, và chú ý thêm rằng nghiệm x e (228) ta CÓ: - Nếu z=-I thì chỉ cho ta l nghiệm x=z
- Nếu z=I thì ta được I nghiệm x=0 - Với mỗi ¿e(T—I;0) cho ta 2 giá trị của x
- Với mỗi ;e(0;1) cho ta 3 giá trị của x
Nhưng do trường hợp ¿=0 đã xét ở trên, nên để phương trình 4cos”x—2cosx+z—3=0 có
Trang 22
thỏa mãn x -[ 2z] thì phương trình 4/?—-2/+m—3=0 phải có 2 nghiệm phân
biệt tị, tạ thỏa mãn: —1<¿, <0<¿, <1 Đến đây, học sinh đã có thể giải đễ dàng Và ta thực hiện tiếp như sau: Xét ƒ()= 4 ~2£+m~3
Để phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt khác 5 va = và cùng thỏa
mãn xe (#zz] thì phương trình f(t) =0 phải có 2 nghiệm phân biệt tị, tạ thỏa mãn: -I</<0</, <1 4f(-l)>0 4(m+3)>0 m>-3 â 44f00)<0 ô<6 44(m-3)<0 <6 jm<3 <6 l<m<3 4/0)>0 4(m-1)>0 m>] Vậy với I<z<3 thì phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm xe (z) b) Ứng dụng:
Ứng dụng được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng đã lĩnh hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ mơn Tốn cũng như trong
thực tiễn
Trong khâu ứng dụng, ta cần rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp, tìm kiếm con đường giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt được vào hệ thống tri thức đã có
Dạng bài tập ứng dụng trong nội bộ Toán học rất đặc sắc là những bài
tập chứng minh Trong rất nhiều bài tập như vậy, mục tiêu chính không phải là
nhằm vào giá trị của mệnh đề cần chứng minh, mà là hướng vào việc cho học
sinh tập ứng dụng những tri thức đã học trong quá trình giải bài tốn và thơng qua đó phát triển năng lực chứng minh của họ
Một mặt rất quan trọng là những ứng dụng thực tế của Toán học Trong
Trang 23Bước I1: Toán học hóa tình huống thực tế
Bước 2: Dùng Toán học để giải quyết bài toán trong mơ hình Tốn học
Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình Toán học sang lời giải của bài
Toán thực tế
Việc toán học hóa tình huống thực tế nghĩa là học sinh phải thực hiện chuyển bài tốn từ ngơn ngữ thông thường sang ngôn ngữ tốn học bằng các cơng thức, bằng các kí hiệu Toán học Từ đó các em nắm bắt được các khái
niệm, các định lý ở dạng lời và ở dạng công thức một cách dễ dàng hơn, góp phần bồi dưỡng kĩ năng chuyên đổi ngôn ngữ cho học sinh Việc làm này cho
học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, góp phần giáo dục thế
giới quan cho các em
Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình là một ví dụ về ứng dụng Toán học theo sơ đồ trên, cụ thé 1a:
Bước l1: Toán học hóa tình huống thực tế ở đây có nghĩa là đưa bài toán
thực tế về việc giải một phương trình hay một hệ phương trình
Bước 2: Dùng cơng cụ Tốn học để giải quyết bài toán có nghĩa là giải phương trình hay hệ phương trình tìm được
Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình Toán học sang lời giải của bài Toán thực tế có nghĩa là chuyển từ nghiệm của phương trình hay hệ phương
trình sang lời giải của bài toán thực tế bao gồm cả việc xem xét những nghiệm đó có phù hợp với tình huống thực tế hay không
Cụ thể hơn, theo [10] ta có quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) như sau:
Bước 1: Lập phương trình Bước này gồm các khâu:
+) Chọn ân số và xác định các điều kiện cho ẩn
+) Biểu thị các số liệu chưa biết qua an
+) Tìm mối liên hệ giữa các số liệu đề lập phương trình
Bước 2: Giải phương trình
Trang 24Chẳng hạn ta có bài toán: “Mộ canô xuôi dòng từ A tới B mất 4 giờ và
ngược dòng từ B về A mắt 5 giò Tính khoảng cách AB, biết vận tốc của nước
chảy là 2km/giờ”
Đọc nội dung bài toán này, học sinh cảm nhận ngay đây là bài toán khá
quen thuộc trong cuộc sông hằng ngày của các em Nhưng học sinh cũng chưa
có sự liên tưởng nào đến phương trình hay hệ phương trình đã học Do đó buộc
học sinh phái suy nghĩ: làm thé nào đề tìm được khoảng cách AB Có thể lập
được phương trình hay hệ phương trình từ các thông số mà bài toán đã cho?
Làm được việc đó, có nghĩa là học sinh đã hình thành hướng chuyền đối từ ngôn ngữ thông thường sang ngơn ngữ tốn học Sự gợi ý của giáo viên lúc này
sẽ giúp làm sáng tỏ hơn yêu cầu của bài toán
Ở bài toán này, các đối tượng tham gia là bến A, bến B, canô Các số liệu là khoáng cách AB (chưa biết), vận tốc canô (chưa biết), thời gian canô xuôi dòng (đã biết), thời gian canô ngược dòng (đã biết), vận tốc nước (đã biết)
Nếu chọn khoảng cách AB là ấn số x, ta có vận tốc thực của canô là 77
(bằng vận tốc xuôi dòng trừ vận tốc dòng nước) và st 2 (bằng vận tốc ngược dòng cộng vận tốc dòng nước) Từ đó ta có phương trình: T212: Giải phương trình, ta có: <2 = aos =4 © x=80 (km)
Nếu chọn vận tốc ca nô là ẩn số x thì ta sẽ có hai biểu thức biểu diễn
khoảng cách AB là 4(x+2) (bằng thời gian xuôi dòng nhân với vận tốc xuôi dong) va 5(x-2) (bằng thời gian ngược dòng nhân với vận tốc ngược dòng)
Từ đó ta có phương trình: 4(x+2)=5(x-2) x=18 Tìm được vận tốc canô là
x=18, ta sé tim được khoảng cách AB la: 4(x+2) hay AB=80(km) Dén day,
giáo viên có thế yêu cầu học sinh kết luận lại để củng cố kiến thức và đề các
Trang 25©) Hệ thống hóa:
Hệ thống hóa nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đạt được,
nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa chúng Nhờ đó, người học đạt được không phải chỉ là những tri thức riêng
lẻ mà là một hệ thống tri thức
Việc thiết lập những bảng tổng kết các hệ thức trong tam giác, các hàm số đã học, sự phát triển của khái niệm số, trong đó thể hiện rõ những mối quan
hệ giữa những tri thức riêng lẻ, là những ví dụ về hệ thống hóa Ví dụ: Sơ đồ hệ thông hóa một số công thức lượng giác
Công thức hạ bậc Công thức tính theo
Trang 26Việc lập các sơ đồ, bảng biểu sẽ giúp cho học sinh biết cách làm nồi bật những dấu hiệu cơ bản chung của các tri thức, thiết lập được mối quan hệ nhân quả giữa các kiến thức được học, kiến tạo nên một hệ thống các kiến thức
Bat kể mục tiêu cụ thể về mặt phương pháp như thế nào thì ở đây, việc lập các
sơ đồ bảng biểu lúc nào cũng đòi hỏi một hoạt động tư duy tích cực của học sinh thì mới làm được
d) On
Ôn tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có Ôn giữ một vị trí đặc biệt so với bốn hình thức còn lại của củng có, bởi vì nó thường được thực hiện kết hợp với các hình thức đó, thậm chí đan kết, hòa nhập vào các hình thức đó
Người ta ôn lại không phải chỉ những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết mà
khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức đạt được trong luyện tập, đào sâu, ứng
dụng và hệ thống hóa
Như vậy là thuật ngữ này được hiểu theo nghĩa hẹp, bởi vì nếu hiểu theo nghĩa rộng thì “ôn” hầu như đồng nghĩa với “củng cố”
Trong việc ôn, thầy giáo nên coi trọng cả hai mặt: nhớ ý nghĩa và nhớ
máy móc, hướng dẫn học sinh phối hợp cả hai cách nhớ này Nếu chỉ nhớ máy
móc thì tri thức sẽ được hiểu một cách hình thức và khi đột ngột quên đi toàn bộ hay một chỉ tiết thì không có cách gì khôi phục lại được Nhưng nếu chỉ nhớ ý nghĩa thì tri thức không thường trực trong óc, khi cần thiết lại phải mắt thời gian tái tạo lại nó, đẫn đến vận dụng chậm, không thành thạo
Có thể nêu lên một ví đ„¿ về phối hợp nhớ ý nghĩa và nhớ máy móc trong trường hợp hàm số lượng giác của những góc có liên quan đặc biệt Một mặt, thầy hướng dẫn trò nhớ những mối liên hệ này bằng cách sử dụng đường tròn
lượng giác đề tìm lại chúng (nhớ ý nghĩa) Mặt khác, thầy có thể khuyến khích
trò tâm niệm câu: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém z tang và cotang” (nhớ
máy móc) Kết hợp hai kiểu nhớ này, khi cần vận dụng những mối liên quan
Trang 27nay tái hiện tức khắc nhờ câu ngắn gọn trên Mặt khác, nếu lúc nào cảm thấy trí
nhớ của mình có thể không chính xác, người học có thể kiểm tra lại bằng cách
sử dụng đường tròn lượng giác Hay khi giải hệ hai phương trình bậc nhất hai
2 ; |Jax+by= 2 z > : , Lon À :
an so { vee bang cach sử dụng định thức ta có câu: “anh bạn câm bat
a'x+b'y=c'
ăn cơm” Ở đây ta sử dụng các chữ cái đầu tiên của câu nói đó: “a— b— e— b— a — c” ứng với các hệ số của phương trình thứ nhất của hệ để có thể nhớ lại ab cách tính các định thức theo thứ tự: D=|", p' a 4 Kết luận chương Ï
Trong chương này, khóa luận đã đưa ra các cơ sở lý luận và thực tiễn của
việc tích cực hóa tư duy học sinh thông qua củng cố tri thức ở bậc trung học phô thông Qua đó, chúng tôi nhận thấy rằng: Việc tích cực hóa tư đuy học sinh
trong quá trình củng có tri thức là một việc làm rất cần thiết, phù hợp với nhu
Trang 28CHƯƠNG II
CÁC BIỆN PHÁP NHẰM TÍCH CỰC HÓA TƯ DUY HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH CỦNG CÓ KIÊN THỨC CHỦ ĐÈ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG PHĨ THƠNG
1 Phân tích nội dung chú đề phương trình và hệ phương trình trong chương trình mơn Tốn ớ trường trung học phố thông
1.1 Vai trò, vị trí cúa chú đề phương trình và hệ phương trình
Chủ đề phương trình - hệ phương trình là một chủ đề lớn trong toán học
nói chung và trong giáo trình toán học ở phổ thông nói riêng Chủ đề này có
nhiều ý nghĩa về mặt lý thuyết và thực tiễn
Về mặt lý thuyết, từ lâu các nhà Toán học lớn đã rất quan tâm nghiên
cứu như nhà tốn học Đi-ơ-phăng, Vi-et, Đê-cac, Fecma Từ việc nghiên cứu
lý thuyết phương trình đã giúp cho một ngành toán học phát triển đó là Đại số và Số học cô điển (Đại số cao cấp) Lý thuyết phương trình không chỉ là cơ sở để xây dựng đại số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ mơn khác
của Tốn học Lý thuyết phương trình đã xâm nhập vào các ngành khác của
toán học và đã hình thành lý thuyết riêng cho các ngành như lý thuyết về: phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình toán lý, phương trình đạo hàm riêng, phương trình hàm
Về mặt thực tiễn, lý thuyết phương trình trở thành công cụ nghiên cứu nhiều vấn đề trong toán học ở giáo trình phố thông cũng như trong thực tiễn
Chú đề phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phố thông chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc phát huy năng lực nhận thức và sáng tạo của học sinh Đây là một chủ đề hay và khó với hệ thống lý thuyết và bài tập
phong phú, đa đạng, có nhiều sự độc đáo trong phương pháp giải, tạo nên sự say mê, hấp dẫn đối với học sinh Các kiến thức về phương trình và hệ phương trình được áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán, chắng hạn như:
Trang 29giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ Chính vì vậy mà ở giáo trình trung học phố thông chương Phương trình và hệ phương trình được phân bố
ngay sau chương Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai, với mục đích giúp học
sinh tìm tọa độ giao điểm, biện luận số giao điểm của các đồ thị hàm số thông qua số nghiệm tìm được của phương trình và hệ phương trình tương ứng
Do vai trò quan trọng của chủ đề Phương trình và hệ phương trình nên
nó được dành một khoảng thời gian rất lớn, lớn hơn các chủ đề khác Điều đó
được thể hiện ngay ở nội dung của chủ đề: nội dung được trình bày một cách
dàn trải, xen kẽ với các kiến thức đã học Ngay từ những lớp tiểu học, nội đung
của chủ đề phương trình đã được giới thiệu một cách ẩn tàng thông qua các bài
toán số học Chắng hạn như bài toán “điền vào ô trống” ở lớp l1, ở lớp 2, 3, 4 có các bài toán “tìm x trong các biểu thức dang a—x=b, ax=b, Fup
x
1.2 Nội dung của chủ đề phương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung cơ bản của
chương trình mơn Tốn ở trường phổ thông Những vấn đề lý luận như khái
niệm phương trình, hệ phương trình; quan hệ tương đương đối với hai phương trình; phương pháp giải phương trình, hệ phương trình được đưa dần ở mức độ
thích hợp với từng cấp học, có phần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp học Đồng thời, học sinh cũng dần dần được làm việc với từng loại phương trình, hệ phương trình thích ứng với những yếu tố nội dung đã học
Chương trình lớp 7 có khái niệm về phương trình, phương trình ax=
Trang 30Chương trình lớp § có giải bài tốn bằng cách lập phương trình; lớp 9 có
phương trình bậc hai, phương trình chứa căn bậc hai (trong 0 )
Chương trình lớp 10 có trình bày đại cương về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình (khái niệm phương trình, nghiệm của phương trình,
nghiệm gần đúng của phương trình, điều kiện của một phương trình, phương trình nhiều ấn, phương trình chứa tham số); phương trình tương đương, các
phép biến đổi tương đương phương trình, phương trình hệ quả và các phép biến đổi hệ quả; phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai (phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ấn dưới dấu căn) và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Chương trình lớp 11 có phương trình lượng giác; lớp 12 có phương trình mũ, logarit, phương trình nghiệm phức
Câu hỏi đặt ra là liệu những kiến thức về phương trình và hệ phương trình ở bậc trung học phổ thông (THPT) có phải là sự trình bày lại những gì mà
học sinh đã được làm quen ở bậc trung học cơ sở (THCS) hay không? Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhưng lại có sự khác biệt về nội dung Xem xét sự khác nhau về khái niệm phương trình được trình bày ở cấp THCS
và cấp THPT ta sẽ thấy rõ sự khác biệt là khá lớn (khái niệm hệ phương trình
có sự tương tự)
Sách giáo khoa toán 8 (tập 2) định nghĩa: “Mộ phương trình ẩn x có dang A(x)= B(x), trong do về trai A(x) va vé phai B(x) la hai biểu thức của cùng một biến x”
Trang 31Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản định nghĩa:
“Phương trình ấn x là mệnh đề chứa biến có dạng ƒ(w)=g() (1), trong
dé f(x) va g(x) la nhiing biéu thie cia x Ta goi f(x) la về trái, ga) là về
phải của phương trình (1)
Nếu có số thực xạ sao cho ƒ#(x4)=g(ụ) là mệnh đề đúng thì xạ được gọi là một nghiệm của phương trình (1)
Giải phương trình (1) la tim tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô
nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)”
Định nghĩa phương trình và hệ phương trình ở bậc THPT có đưa vào
khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng ở THCS Và nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà người ta đã có thể xây dựng khái niệm phương trình một cách chặt chẽ hơn Định nghĩa qua hàm mệnh đề có thể mở rộng cho trường hợp phương trình nhiều biến Ở bậc THPT khái niệm tập xác định của phương trình đã được đưa vào, điều này là một điểm mới so với bậc THCS Dễ nhận thấy khái niệm phương trình ở bậc THPT là sự kế
thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc THCS Với sự chính xác và
khoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT đã tạo điều kiện thuận lợi
cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phương trình Những khái niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái niệm nghiệm của phương trình được hiểu thông qua hoạt động: “khi x=§ hãy tính giá trị mỗi vế phương trình:
5x+6=4(x+1)+10” và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là
số nào đó mà khi ta thay vào hai về của một phương trình thì giá trị của hai về
Trang 32Lại so sánh định nghĩa về phương trình ở chương trình cơ bản và nâng
cao Ở định nghĩa trong chương trình cơ bản, tác giả không đề cập đến khái
niệm tập xác định của phương trình Điều đó sẽ nảy sinh nhiều bất cập, chắng
hạn như: việc tìm tập xác định có thể dẫn đến giải phương trình một cách gọn nhẹ, không cần một thuật giải, một quy tắc nào Việc giải các phương trình cần thêm điều kiện nguyên, hữu tỷ thì khái niệm nghiệm của phương trình trong
định nghĩa của chương trình cơ bản không phù hợp Như vậy, việc bé sung tập xác định trong định nghĩa của phương trình sẽ chặt chẽ hơn, rất cần thiết, và thực tế đạy học cho thấy yêu cầu đó đối với học sinh không khó khăn Tuy
nhiên, cả sách nâng cao lẫn sách cơ bản có thêm “điều kiện xác định của
phương trình” Nói chung, đã tìm tập xác định của phương trình thì phải mô tả
cụ thể các phần tử đó thuộc tập nào Nhưng nhiều khi việc tìm chỉ tiết x thuộc
khoảng nào là không dễ, thậm chí còn khó hơn cả giải phương trình, vì vậy,
xuất hiện thêm thuật ngữ “điều kiện xác định của phương trình” nhằm đỡ cho trường hợp này: “Để (huận tiện trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác
định của phương trình mà chỉ cần nêu điễu kiện để xe D” (Đại số 10 nâng
cao) Như vậy, có thể hình dung tập xác định cụ thể hơn điều kiện xác định,
nhưng thật ra ta không cần viết rõ tập xác định khi thấy điều đó khó khăn, bất
tiện Nhưng nếu thấy việc làm đó là dễ hoặc trở thành hoạt động tự động hóa của học sinh thì cũng không nên cản trở điều đó
Sách giáo viên Tốn § (tập 2) cũng đã viết: “Các tác giả đã chọn phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ cụ thể Ngay cả “tập xác định của phương trình” cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều
kiện xác định) ở vào những thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phương
trình có ẩn ở mẫu”
Việc đưa ra khái niệm phương trình, hệ phương trình như trong sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản và nâng cao rất thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ và
Trang 33cao đã đưa ra định lý về phép biến đổi tương đương như sau: “ Cho phương trinh f(x)= g(x) có tập xác định là D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D (h(x) c6 thé la m6t hang sô) Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
1) f(x) +h(x) = g(x) + hx)
2) £(x)-A(x) = g(x)-h(x) néw h(x) #0 voi moi x thuộc D”
Định lý này hoàn toàn hợp lý với những gì học sinh được học ở cấp THCS Sach giáo khoa Đại số 10 nâng cao đã viết: “Hai quy tắc biến đổi phương trình đã biết ở lớp đưới (quy tắc chuyển về và quy tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến đổi tương đương” Bậc THPT học sinh đã có cái nhìn sâu sắc và tường minh về phép biến đổi tương đương thông qua việc nắm
nội dung, chứng minh định lý về phép biến đổi tương đương Đây là điều mà
học sinh THCS chưa làm được bởi phép biến đổi tương đương chỉ được giới
thiệu dưới dạng quy tắc biến đổi và được thừa nhận Chính việc thừa nhận làm cho không ít học sinh hiểu máy móc, không nắm được bản chất vấn dé “Tai sao lại chuyền về và đổi dấu?” là câu hỏi mà nhiều học sinh thắc mắc, nhưng việc trình bày như vậy là hoàn toàn phù hợp với thực tiễn sư phạm vì không thể dưa ra nhiều khái niệm trừu tượng như ở bậc THPT Thực chất ở bậc THCS học sinh chủ yếu thao tác trên các phương trình với hệ số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ năng giải các phương trình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh
làm quen và xây dựng khái niệm phương trình để tiếp tục đi sâu ở bậc THPT Việc khơng trình bày hồn thiện kiến thức về phương trình ở bậc THCS đem lại cho học sinh ít nhiều băn khoăn, suy nghĩ mà chính giáo viên cũng thấy khó khăn khi giải thích những vướng mắc đó cho học sinh
Chang han, khi dạy bài “Phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong sách giáo
khoa Tốn § (tập 2), ngay trong ví dụ mở đầu viết: “Ta thử giải phương trình
xi = 1 bằng phương pháp quen thuộc như sau: Chuyển các biểu thức
Trang 34x-chứa ấn sang một vế: x+ =I ta thu được x=l1” Việc giải phương
x x-
trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x=1 không là nghiệm thì thật khó chấp
nhận Phải chăng kiến thức được học là sai? Để giải thích điều này đòi hỏi giáo
viên phải đành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ ràng nhằm giúp các
em tránh được trở ngại về tâm lý Bài toán này cũng là một hoạt động của học
sinh sau khi học phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương chương trình Đại số 10 cơ ban: “Tim sai lầm trong phép biến đổi sau:
1 1 1 1 1 1
x+——=——4+1 & x4+——~-——=—-4+1-— © x=l”
x-l x-l x-l x-1l x-l x-I
Tiếp đến, khi trình bày lời giải bài toán phương trình chứa ân ở mẫu, học
sinh không nắm bắt được tại sao khi thì dùng phép biến đổi suy ra (=.), khi thì
dùng phép biến đổi tương đương (© ) Xem xét những khó khăn ở bậc THCS chúng ta mới thấy hết được sự hợp lý, logic của khái niệm phương trình và hệ
phương trình được đưa ra ở sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản và nâng cao
Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp học THCS và THPT Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phương trình bậc nhất một ấn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ân số nhưng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau
Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao viết: “Các vấn đề phương trình bậc nhất và
bậc hai mà học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất sơ lược, thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các ván đề mới Cụ
thé, van đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận phương trình có tham số” Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình có hệ số bằng số thì ở lóp 10 di sâu vào những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong
khi giải” Như vậy, phương trình, hệ phương trình có chứa tham số trở thành nội dung mới trong chương trình toán ở bậc THPT Sự khác biệt thể hiện rõ
ràng ngay trong Sách giáo khoa ở hai cấp học Ở đây ta so sánh việc trình bày
Trang 35Sách giáo khoa tốn 8§ (tập 2) đưa ra khái niệm phương trình bậc nhất
một ân, sau đó đưa ra hai quy tắc vận dụng để giải và ở cuối bài, sách giáo khoa
đưa ra cách giải tổng quát phương trình: ax+»=0 (với a0) như sau:
ax+b=0 6© ax=-b © y=?
a
Như vậy phương trình bậc nhất ax+»=0 luôn có nghiệm duy nhất x= 2
a
Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao đưa ra phương pháp giải và biện luận phương trình dạng ax+ø=0 như sau:
+) a0: Phương trình có nghiệm duy nhất x= -Ẻ,
a
+) a=0 va b#0: Phuong trinh vô nghiệm
+) a=b=0: Phuong trinh nghiém đúng với mọi x
Tuong tu nhu vay, phuong trinh bac hai mot an, hé phuong trinh bac nhất hai ân thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã
cho, còn ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình,
hệ phương trình có chứa tham số Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể hiện sự khác biệt lớn Chắng hạn, ở cấp THCS hầu như không có sự xuất hiện
của tham số, còn ở bậc THPT thì phần nhiều là bài toán về phương trình và hệ
phương trình có chứa tham số Đối với hệ phương trình bậc nhất hai an, ba ấn,
ngoài hai phương pháp giải đã học ở THCS, ở THPT còn đưa thêm phương
pháp giải bằng định thức cấp hai và phương pháp khử Gauss Phương pháp định thức này rất thuận lợi cho học sinh khi gặp bài toán giải và biện luận hệ
phương trình có chứa tham số
Như vậy, chủ đề phương trình và hệ phương, trình ở hai cấp THCS và
THPT là có sự khác biệt rõ rệt Mặc dù chủ đề này đã được xuất hiện ở các lớp dưới, nhiều vấn đề có vẻ lặp đi lặp lại nhưng thực ra nó có một sự biến đồi về chất rất quan trọng và càng về sau lại có sự xuất hiện của các dạng phương
Trang 362 Một số biện pháp tích cực hóa tư duy học sinh trong quá trình cũng cố kiến thức chủ đề phương trình và hệ phương trình
Quá trình củng có khái niệm, định lý, các quy tắc, phương pháp giải toán
có tác dụng to lớn đối với việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh Việc củng cố khái niệm, định lý thường được thực hiện bằng các khâu: - Nhận dạng và thể hiện khái niệm, định lý — Hoạt động ngôn ngữ - Khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa những khái niệm, định lý đã học Mặt khác, do những quy tắc, phương pháp khơng hồn tồn độc
lập với khái niệm, định lý (có những quy tắc, phương pháp dựa vào một khái
niệm, định lý; có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một khái niệm hay định lý) Từ đó, chúng tôi đề ra các biện pháp nhằm tích cực hóa tư duy
học sinh trong quá trình củng có kiến thức như sau:
2.1 Tăng cường nhận dạng và thể hiện các khái niệm, định lý,
phương pháp
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo hai chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phương pháp
- Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hay an
tang) là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa đó hay
không
Vidu 1: Nhan dạng khái niệm hai phương trình tương đương
Hai phương trình x°+x=0 và = có tương đương với nhau xe
không? Vì sao?
Ta có định nghĩa: “Hai phương trình được gọi là trơng đương khi chúng có cùng tập nghiệm” Dựa vào định nghĩa thì để biết hai phương trình trên có
tương đương với nhau hay không, học sinh phải tìm được tập nghiệm của hai
phương trình đó Ta dễ dàng có được
x=0 x'+x=0 eS
Trang 374x +x 2 x=0 +x=0 3 =0 & x +x=0 (x43) © 6 ã x.3 +3 (x #3) = (thoa man) Va:
Vay hai phương trình đã cho tương đương với nhau
Vi du 2: Nhận dạng khái niệm phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx “a) Phương trình sinx 5 có là phương trình bậc nhất đối với sinx và
cosx không? Vì sao?
b) Hãy cho biết phương trình asinx+2cosx=c có phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx không? Vì sao?”
Ta có phương trình bậc nhất đối với sizx va cosx là phương trình có dạng
asinx+bcosx=c trong d6 a’ +b’ >0
a) Với phương trình sinx=—>, có thể học sinh sẽ chỉ trả lời rằng đây là
phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm số sinx mà không phải là phương trình bậc nhất đối với sizx và eosx, vì nhận thấy không có hệ số b của cosx Lúc
này, giáo viên cần làm rõ hơn cho học sinh về điều kiện a?°+ø?>0 Với
a?+b? >0 thì có thể xảy ra các trường hợp:
® az0,b=0 â a=0,b#0
đ zzZ0,bz0
Vi phng trình sinx==2 thì hệ số a=lz0, »=0, nên thỏa mãn
a’ +b? >0 do đó nó cũng là một phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx b) Với phương trình zsinx+bcosx=c thì khi nhìn vào học sinh rất dễ nhằm đây chính là dạng phương trình bậc nhất đối với six và cosx, vì học sinh
không nhớ đến và cũng chưa chú ý đến điều kiện tồn tại của nó là a?+? >0 Qua đây, giáo viên một lần nữa nhấn mạnh cho học sinh điều kiện để phương trình asinx+øcosx=c là một phương trình bậc nhất đối với sizx và cosx là
Trang 38- Thể hiện một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hay 4n tang)
là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó (có thể đòi hỏi thỏa mãn một số
yêu cầu khác nữa)
Vi du 3: Thé hiện khái niệm hai phương trình tương đương Hãy tìm hai phương trình sao cho chúng tương đương với nhau
Muốn làm được yêu cầu này thì trước tiên học sinh phải nhớ điều kiện để
hai phương trình tương đương là chúng có cùng tập nghiệm Do đó, ta cần tìm
hai phương trình có cùng tập nghiệm Có thể lấy hai phương trình dé 1a x-1=0
và x°~2x+1=0 Khi đó chúng có cùng tập nghiệm N = {1}
Ví dụ 4: Thể hiện khái niệm phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Hãy cho 2 ví dụ về phương trình bậc nhất d6i voi sinx, cosx, tanx, cotx
Đây là một yêu cầu hết sức đơn giản Học sinh có thé lấy được rất nhiều ví dụ như sin x=l, = tanx=2, cotx=5
- Nhận dạng một định lỷ là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp
với định lý đó hay không
Vidu 5: Nhan dạng định lý về phép biến đổi tương đương
Cho hai phương trình 7x=2 và 2x=7 Cộng các về tương ứng của hai
phương trình đã cho Hỏi: Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?
Ở đây, ta đã thực hiện phép cộng các về tương ứng của hai phương trình đã cho Nếu không đề ý kĩ, rất có thé hoc sinh sẽ trả lời rằng phương trình nhận được tương đương với một trong hai phương trình đã cho, vì thấy đều là thực hiện “ép cộng” Tuy nhiên, theo định lý, “phép? cộng” mà ta thực hiện là
cộng hai về với cùng một số hoặc cùng một biểu thức Trong bài toán trên, khi
cộng các về tương ứng của hai phương trình đã cho, nghĩa là với phương trình
7x=2 thì ta cộng về trái với 2x, còn về phải thì cộng thêm 7 Do đó, “phép
Trang 39làm thay đổi điều kiện của phương trình Hơn nữa, ta đã thực hiện phép biến đổi trên 2 phương trình, chứ không phái là một phương trình
Vi du 6: Nhận dạng định lý Vi-ét
Kí hiệu tổng và tích của hai nghiệm của một phương trình bậc hai lần
lượt là S và P Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh để nào sai?
1 Phương trình 3x°-2x-3=0 co S -5, P=-l 2 Phương trình x°-5x+4=0 có §=5, P=4
3 Phương trình x”-l4x+49=0 có §=14, P=49 4 Phương trình x°-5x+8§=0 có §=5, P=8
Ta có định lý Vi-et: “Nếu phương trình bậc hai ax? +bx+c =0 (az0) có hai nghiệm xị, x; thì S=x,+x, 2, P=xx,=“” Nếu thay các giá trị
a a
S= 6 va P=“ thì ta thấy rằng cá bốn mệnh đề trên đều đúng Tuy nhiên, ta
a a
phải chú ý rằng, trong định lý có nói “nếu phương trình bậc hai có nghiệm ” thì
mới có điều đó Cho nên, ta phải kiểm tra thêm điều kiện A >0 Từ đây, ta được
mệnh đề 1, 2, 3 đúng; còn mệnh đề 4 sai Điều kiện A >0 học sinh rất hay quên kiểm tra trước khi tính S, P Do đó, giáo viên phải đặc biệt lưu ý với các em
- Thể hiện một định ly là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lý cho trước
Vi du 7: Thé hién dinh lý về phép biến đổi tương đương
Hãy giải phương trình 4/3x-2=x-2 bằng các phép biến đổi tương
đương
Muốn biến đổi tương đương phương trình thì đầu tiên phải không làm
thay đổi điều kiện của phương trình Điều kiện để căn thức có nghĩa là: 3x-2>0 © x 2+ thì hắn học sinh nào cũng nhớ và làm được Giáo viên gợi ý
Trang 4043x-2>0 Từ đó, do V7 >0, nên ta phải có /P>0 và đi đến điều kiện x-2>0 © x>2 Đến đây, thì ta đã có thể bình phương hai vé để khử căn thức
Ta có lời giải như sau: IV 2 Điệu kiện | 3x-220 2a x 3.0 x22 x-220 x22 Khi đó, bình phương hai về phương trình đã cho, ta có: 2 5 x 3x-2=(x-2) << x -7x4+6=0 © x=6
Đối chiếu điều kién, ta cd x=6 14 nghiém cua phuong trinh
Việc đối chiếu điều kiện trước khi kết luận nghiệm là một việc làm rất cần thiết, nên giáo viên phải nhắc nhở học sinh thực hiện thao tác này
Giáo viên có thể nêu ra cách giải tổng quát các phương trình đạng trên như sau:
- g(œ)>0
J7ƒ@=g@ FO ae © te
- Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có
phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không
- Thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình huỗng phù hợp với các
bước của phương pháp đã biết Vi dụ 8: Xét bài toán như sau
“Cho hai phương trình: x?+zx+l=0 (1) va x°+x+m=0 (2) Voi me (52) thì hai phương trình có tương đương không?”
Đây chính là hoạt động nhận dạng khái niệm hai phương trình tương
đương Để giải quyết bài toán này, với kinh nghiệm nhất định của mình, học
sinh có thể đưa ra một quá trình như sau (mà thực ra đây là hoạt động thể hiện