bài tập qui hoạch tuyến tính

Đáp số: fx = 675000 14 Biết yêu cầu các chất dinh dưỡng Protit, Lipit trong 1 ngày của một loại gia súc; tỉ lệ % theo khối lượng, các chất dinh dưỡng có trong các loại thức ăn A, B, C v

BÀI TẬP QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau và tìm phương án tối ưu khác (nếu có) :

1) f(x) = -x1 + 2x2 - x3 → max

x1 - 2x2 + x3 ≤ 6

-2x1 + x2 - 2x3 + 4x4 ≤ 5

x1 + x3 - x4 ≤ 3

xj ≥ 0 ( j = 1,2,3,4)

2) f(x) = 2x1 + x2 - x3 + x4 → min

x1 + x2 - x3 - 2 x4 = 2

- x2 + 3x3 + 7x4 ≤ 2 2x3 + 3x4 ≤ 5

xj ≥ 0 ( j = 1,2,3 )

4 - x2

3) f(x) = 3x1 - x2 + 2x3 - x4 → max

x1 - x2 + x3 + x4 + x5 = 6 2x1 + x2 - 2x4 + x5 ≤ 8

x1 + 2x4 + x5 ≥ 9

xj ≥ 0 ( j = 1,2,3,4,5 ) (Chú ý : Cách chọn ẩn đưa vào trong bảng đơn hình 2)

Đáp số : x= (0, 17, 37/2 , 9/2 , 0); f(x) = 31/2

4) f(x) = 2x1 - 3x2 - 4x3 + x4 → min

3x1 + x2 + 2x3 - 4x4 = 2 2x1 - x3 - 3x4 ≥ 1

x1 - 4x3 - 2x4 ≤ 4

xj ≥ 0 ( j = 1,2,3 ) , x4 ≤ 0

5) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau :

f(x) = 3x1 + 2m x2 + x3 → min

- x1 + x2 + 2x3 = 6

x1 + 2x2 + (m - 2)x3 ≤ 5 3x1 - x2 + 2x3 = 14

xj ≥ 0 ( j = 1, 2, 3) a) Giải bài toán với m =1

Đáp số : a) x = (2,0,4,7); f(x) = 10 b) – 5/8 ≤ m ≤11/4

6 ) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau :

-x1 + 2x3 + x4 = 6 3x3 - 2x4 ≥ - 4

- x2 + x3 + x4 = 4

xj ≥ 0 ( j = 12,3,4 )

a) Giải bài toán trên khi m = 2

b) Với giá trị nào của m phương án tối ưu tìm được trong câu a cũng là phương án tối ưu của bài toán?

c) Với những giá trị nào của m bài toán không có phương án tối ưu ?

7) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau :

x1 + x2 + x3 ≤ 6 2x1 + x2 + x3 ≥ 7

x1 + 2x2 = 5

xj ≥ 0 ( j = 1, 2, 3)

a) Giải bài toán trên Tìm phương án tối ưu khác (nếu có)

b) Viết bài toán đối ngẫu Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

8) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau :

f(x) = -2x1 +3x2 +x3 +x4 - 4x5 → max 3x1 - 2x2 + x3 - 4x4 + 2x5 = 9 7x1 - 3x2 - 7x4 + 5x5 = 14 4x1 - 2x2 - 4x4 + 3x5 = 8

xj ≥ 0 ( j = 1, 2, 3, 4, 5)

a) Giải bài toán trên

b) Viết bài toán đối ngẫu, chỉ các cặp ràng buộc đối ngẫu Tìm tất cả phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Đáp số: a) x = (2,0,3,0,0); f(x) = -1

b) y1 =1 ; y2 = t ; y 3 = - (5+ 7t )/4 với 5 ≤ t ≤ 9

hoặc y1 = 1 ; y2 = - ( 5+ 4t )/7; y 3 = t với –17 ≤ t ≤ -10)

9) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau :

f(x) = 3x1 - 2x2 +x3 → min

x1 + 4x2 - 2x3 = 4 -x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 6 4x1 + x2 + 5x3 ≥ 2

x1 ≥ 0; x2 ≤ 0

có phương án tối ưu là x = (24/13; 0; -14/13)

Hãy viết bài toán đối ngẫu, chỉ các cặp ràng buộc đối ngẫu, tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và giá trị hàm mục tiêu ứng với PATƯ tìm được

10) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau :

f(x) = x1 + x2 + 2x3 + x4 → min 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 11

x1 + 2x3 + x4 ≥ 11

x1 + 3x2 + x3 + x4 ≥ 14

xj ≥ 0 ( j = 1, 2, 3, 4)

(Nên chuyển về bài toán đối ngẫu để giải )

11) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau:

f(x) = x1 + 3x2 + 4x3 → min

3x1 - x2 + 2x3 ≥ 7

- 2x1 + 4x2 + x3 = 12

- 4x1 + 3x2 + 8x3 ≤ 10

xj ≥ 0 ( j = 1,2,3 )

phương án tối ưu của bài toán trên không?

12) Một nhà máy có 2,8 tỷ đồng dùng để mua thiết bị cho khu vực sản xuất mới Khu vực

- Máy loại A: một máy giá 160 triệu đồng, trong 1 giờ hoạt động sản xuất được 110

- Máy loại B: một máy giá 180 triệu đồng , trong 1 giờ hoạt động sản xuất được 100

Tìm phương án mua thiết bị tối ưu sao cho trong 1 giờ tổng số sản phẩm được sản xuất ra trong khu vực sản xuất mới là nhiều nhất

Đáp số: 7 máy loại A và 9 máy loại B

13) Một nhà máy lọc dầu hiện có các loại dầu thô với khối lượng lần lượt là 30000, 25000

và 42000 đơn vị Kí hiệu các loại dầu thô lần lượt là A, B, C Người ta có thể chế biến thành 3 loại sản phẩm là khí đốt, xăng, dầu theo 3 phương thức chế biến sau đây:

2A + 1B + 1C (I)

2A + 2B + 1C (II)

1A + 1B + 1C (III)

9 10 6

4 6 3

7 10 5

Giá bán 1 đv sản phẩm 1 3 2

Giải bài toán tìm kế hoạch sản xuất tố ưu sao cho tổng doanh số bán ra là nhiều nhất

Đáp số: f(x) = 675000

14) Biết yêu cầu các chất dinh dưỡng Protit, Lipit trong 1 ngày của một loại gia súc; tỉ lệ

% theo khối lượng, các chất dinh dưỡng có trong các loại thức ăn A, B, C và giá thức ăn cho trong bảng sau :

Chất dinh

dưỡng

Khối lượng tối thiểu (g)

Khối lượng tối

đa (g)

Tỉ lệ % trong các loại thức ăn

Yêu cầu lập mô hình và giải bài toán tìm khối lượng thức ăn tối ưu cần mua trong 1 ngày để nuôi loại gia súc đó

Đáp số: f(x) = 1120 đồng

15) Một xí nghiệp có thể sản xuất 3 loại sản phẩm, ký hiệu là A, B, C Định mức hao phí

nguyên vật liệu, vốn, lao động (giờ công) và lợi nhuận thu được tính cho 1 đơn vị sản phẩm mỗi loại cho trong bảng sau :

Nguyên liệu (kg)

Vốn (1000đ)

Lao động (giờ công)

Lợi nhuận (1000đ)

2 1 4 2

3 3 8 3

3 5 1 5

150 120 100

Xí nghiệp sẽ sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại sao cho trong phạm vi số nguyên liệu, vốn, giờ công huy động được, xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất Biết rằng SP sản xuất

ra tiêu thụ được hết

a) Hãy lập mô hình bài toán trên

b) Giải bài toán tìm phương án sản xuất tối ưu?

c) Tìm lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu?

16) Một xí nghiệp có thể sản xuất 3 loại sản phẩm, ký hiệu là S1, S2, S3, cung ứng cho thị

trường Cho biết năng suất của xí nghiệp đối với mỗi sản phẩm là S1: 50 sp/giờ, S2: 25 sp/giờ, S3: 75 sp/giờ Năng lực sản xuất trong một tuần của xí nghiệp thể hiện bằng số giờ sản xuất tối đa là 45 giờ Nhu cầu hàng tuần về sản phẩm của xí nghiệp ở thị trường do xí nghiệp cung ứng là 600 sản phẩm S1, 800 sản phẩm S2 và 1200 sản phẩm S3 Giá bán mỗi đơn vị sản phẩm S1 là 40.000đ, sản phẩm S2 là 120.000đ và sản phẩm S3 là 30.000đ

a) Lập mô hình bài toán QHTT tìm kế hoạch sản xuất của xí nghiệp trong một tuần cho doanh thu cao nhất (bỏ qua điều kiện nguyên ở các biến số)

b) Dựa vào suy luận kinh tế trực tiếp, căn cứ vào giá bán, năng lực sản xuất, năng lực lao động (sản phẩm/giờ sản xuất), hãy tìm kế hoạch sản xuất tối ưu cho bài toán

c) Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán ở phần a

d) Viết bài toán QHTT đối ngẫu tương ứng Tìm lời giải tối ưu cho bài toán đối ngẫu.

17) Một xí nghiệp gồm 2 phân xưởng, có thể sản xuất hai loại sản phẩm, ký hiệu S1 và S2

Hao phí sản xuất được tính bằng giờ máy

Giả sử rằng xí nghiệp có thể sử dụng nhân công không hạn chế Sản lượng trong tháng vừa qua của xí nghiệp là 5.000 sản phẩm S1 và 7.000 sản phẩm S2 Để có được 5.000 sản phẩm S1 xí nghiệp đã sử dụng 650 giờ máy ở phân xưởng 1 và 125 giờ máy ở phân xưởng 2 Số giờ máy hao tốn để sản xuất 7.000 sản phẩm S2 ở mỗi phân xưởng là 350 giờ

Cho biết giá bán mỗi sản phẩm S1 là 25.000 đ, mỗi sản phẩm S2 là 15.000 đ

a) Dựa vào số liệu tháng vừa qua hãy lập mô hình bài toán QHTT tìm kế hoạch sản xuất cho tháng này sao cho tổng doanh thu đạt cao nhất, nếu biết tổng số giờ máy có được ở phân xưởng 1 là 1100 giờ và ở phân xưởng 2 là 550 giờ, giá bán sản phẩm không thay đổi b) Giải bài toán trên băng phương pháp đơn hình

c) Viết bài toán QHTT đối ngẫu tương ứng Tìm lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu

18) Một xí nghiệp có thể sản xuất một loại sản phẩm từ hai phân xưởng khác nhau Căn cứ

vào các nguồn lực hiện có trong 1 tuần phân xưởng 1 có thể sản xuất tối đa 70 sản phẩm, phân xưởng 2 sản xuất tối đa là 100 sản phẩm Tổng số giờ công xí nghiệp có thể sử dụng trong tuần ở cả hai phân xưởng là 600 giờ Số giờ công cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm ở phân xưởng 1 là 10 giờ, ở phân xưởng 2 là 5 giờ Mức sản lượng tối thiểu trong tuần của xí nghiệp là 80 sản phẩm Chi phí sản xuất cho một đơn vị sản phẩm ở phân xưởng

1 là 20 ngàn đồng và ở phân xưởng 2 là 30 ngàn đồng

a) Hãy lập mô hình bài toán QHTT, giải và tìm kế hoạch sản xuất trong tuần đảm bảo tổng chi phí sản xuất thấp nhất

b) Trong mô hình a cho biết bài toán QHTT còn có ý nghĩa nữa không, nếu bỏ ràng buộc về sản lượng tối thiểu (80 sản phẩm)

c) Cho biết giá bán một đơn vị sản phẩm được ấn định là 50 ngàn đồng Dựa theo năng lực hiện có và yêu cầu sản lượng tối thiểu trong tuần, mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất?

d) Viết bài toán QHTT đối ngẫu của bài toán ở phần c Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu

19) Để sản xuất một hỗn hợp nhiên liệu người ta sử dụng 3 loại thành phần, kí hiệu là N1,

N2, N3 Nhiệt lượng riêng của N1, N2, N3 tương ứng là 7.000, 4.000, 5.000 (Kcal/đvkl) (đvkl: đơn vị khối lượng) Chi phí sử dụng 1 đvkl nhiên liệu N1, N2, N3 tương ứng là 2, 1,

2 đơn vị tiền tệ Hãy chọn cơ cấu thành phần hỗn hợp sao cho tổng khối lượng nhiên liệu hỗn hợp không vượt quá 3.000 đvkl, tổng chi phí sử dụng không vượt quá 4.000 đơn vị tiền

tệ, loại nhiên liệu N3 được sử dụng không quá 500 đvkl, loại nhiên liệu N1 phải được sử dụng ít nhất 500 đvkl và đạt được nhiệt lượng tỏa ra tối đa khi sử dụng hết hỗn hợp nhiên liệu thành phần

20) Người ta cần cắt những thanh gỗ dài 2m thành 520 đoạn dài 1,2m; 400 đoạn dài 0,8m

và 300 đoạn dài 0,6m Hãy giải bài toán tìm phương án SX sao cho số gổ thừa là ít nhất

21) Một công ty có các đơn đặt hàng trong vòng 4 tháng Chi phí sản xuất thay đổi hằng

tháng do các thay đổi trong chi phí nguyên vật liệu Năng lực sản xuất của công ty là 100 đơn vị/tháng làm trong giờ và 15 đơn vị/tháng làm ngoài giờ Bảng sau đây cho thấy nhu cầu của các đơn đặt hàng và chi phí sản xuất hàng tháng:

Khối lượng đơn hàng(đơn vị)

Chi phí trong giờ/đv (triệu đồng)

Chi phí ngoài giờ/đv (triệu đồng)

95 30 35

85 30 35

110 32 37

115 32 36 Chi phí lưu kho cho 1 đơn vị hàng hóa chưa bán được là 2 triệu đồng/tháng/đv Công

ty không có 1 đơn vị hàng hóa nào vào đầu tháng 1và mong rằng cũng không còn 1 đơn vị hàng hóa nào vào cuối tháng 4

Hãy lập mô hình xác định số đơn vị hàng sản xuất trong giờ và ngoài giờ mỗi tháng

để đáp ứng nhu cầu với chi phí thấp nhất

22) Một nhà máy lọc dầu hiện có 2 loại xăng dầu cơ bản với các đặc trưng như sau :

Loại 1

Loại 2

104 94

5 9

30.000 70.000 Giả sử rằng những loại xăng dầu này có thể pha trộn lại để sản xuất 2 loại sản phẩm cuối cùng: xăng dùng cho máy bay và xăng dùng cho ô tô với các đặc trưng như sau:

nhỏ nhất

Áp suất hơi nước cao nhất

Mức bán cao nhất (thùng)

Giá bán (USD/thùng) Xăng máy bay

Xăng ô tô

102 96

6 8

20.000

Số lượng bất kì

45,1 32,4 Hãy lập mô hình xác định phương án pha trộn sao cho doanh thu từ việc bán các sản phẩm cuối cùng là lớn nhất

23) Một công ty dự định trồng 2 loại cây là cà phê và tiêu trên 3 khu đất A, B, C có diện

tích tương ứng là 50, 60 và 40 (ha) Do đặc điểm của các khu đất khác nhau nên chi phí sản xuất (triệu đ/ha ) và năng suất ( tạ/ha) khác nhau và cho ở bảng sau :

Số liệu ở góc trái của mỗi ô là chi phí sản xuất; ở góc phải của mỗi ô là năng suất) Yêu cầu sản lượng tối thiểu của cà phê là 500 tạ và tiêu là 420 tạ

Hãy lập mô hình xác định phương án phân phối đất trồng sao cho đảm bảo yêu cầu

về sản lượng với chi phí thấp nhất

24) Để phục vụ cho việc xây dựng một công trình, người ta cần có ít nhất: 4000 thanh sắt

dài 9m, 5000 thanh sắt dài 8m và 3000 thanh dài 6m

Các thanh sắt này được cắt từ những thanh có độ dài 20m Mỗi thanh sắt dài 20m mua với giá là 6 triệu đồng Số sắt thừa có độ dài từ 4m - 5m có thể bán với giá 5 ngàn đồng/m ; còn nếu có độ dài < 4m thì bán với giá 3 ngàn đồng/m

Hãy lập mô hình xác định phương án cắt sắt sao cho chi phí thấp nhất

25) Một công ty muốn thực hiện chiến lược quảng cáo một loại sản phẩm của mình với chi

phí ước tính là 150 triệu đồng/tháng Có 3 loại hình quảng cáo được chọn là: tivi, báo, đài với các dữ liệu cho như sau :

Dự đoán số người tiếp nhận quảng cáo

mỗi lần (ngàn người)

Chiến lược quảng cáo xác định phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên tivi trong một tháng Hãy lập mô hình bài toán để xác định kế hoạch quảng cáo tối ưu

26) Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C với các dữ liệu cho ở bảng sau :

Giá bán 1 sản phẩm (ngàn đồng)

Chi phí nguyên liệu cho 1 SP (ngàn đồng)

Thời gian hoàn tất 1 SP (giờ)

Nhu cầu tối đa trong 1 tuần (SP)

80 40 0,2 1000

160 70 0,3 800

250 120 0,6 500

Xí nghiệp có lực lượng lao động là 20 người, làm việc 40 giờ/tuần và được trả lương

400 ngàn đồng/tuần/người dù họ có làm đủ 40 giờ hay không Hãy lập mô hình bài toán tìm

kế hoạch sản xuất sao cho tổng lợi nhuận đạt được là nhiều nhất

27) Một công ty có 3 nhà máy A1, A2, A3 sản xuất một loại sản phẩm và phân phối đến 4

thị trường B1, B2, B3, B4 Các số liệu cho như sau :

(ngàn đ/SP)

Công suất (SP/ năm)

A1

A2

A3

40 42 38

35.000 40.000 45.000

B1

B2

B3

B4

90 92 88 86

25.000 25.000 35.000 40.000

Ma trận chi phí vận chuyển như sau (ngàn đồng/SP)

C =

24 30 28 28

18 20 30 36

30 26 20 20

Hãy lập mô hình bài toán xác định sản lượng các nhà máy cần sản xuất và phân phối đến các thị trường trong năm sao cho tổng lợi nhuận thu được nhiều nhất

28) Có 3 người và 3 công việc Chi phí để người i thực hiện công việc j được cho trong

bảng sau (đơn vị: ngàn đ/người):

Công việc

Người

Cần phân công người nào thực hiện công việc gì (mỗi người chỉ làm 1 việc, mỗi việc chỉ

do 1 người làm) sao cho tổng chi phí là bé nhất? Hãy viết mô hình bài toán

29) Thế vận hội được tổ chức đồng loạt cùng ngày tại 3 địa điểm (ta gọi là các trạm thu)

Các nhu cầu vật chất được chuyển từ 3 địa điểm (ta gọi là các trạm phát) Bảng sau cho biết yêu cầu của các trạm thu cũng như lượng hàng có ở các trạm phát (tấn); và khoảng cách giữa các trạm (km) là :

T Thu

T phát

Do đặc điểm của hàng hoá, thời gian và phương tiện vận chuyển nên không thể chuyển hàng xa trên 150 km Theo yêu cầu trạm phát thứ hai phải phát hết hàng, hãy lập mô hình bài toán tìm phương án vận chuyển thoả mãn các điều kiện nêu ra sao cho tổng tấn*km

là nhỏ nhất

30) Một công ty thức ăn nhanh dự định mở thêm nhà hàng phục vụ Công ty có hai loại nhà

hàng dịch vụ tùy chọn và dịch vụ trọn gói Một nhà hàng dịch vụ tùy chọn có chi phí xây dựng 1 tỷ đồng, cần 5 nhân viên và doanh thu là 4 tỷ đồng/năm Một nhà hàng dịch vụ trọn gói có chi phí xây dựng 1,5 tỷ đồng, cần 15 nhân viên và doanh thu là 5 tỷ đồng/năm

Công ty hiện có sẵn 24 tỷ đồng để mở thêm nhà hàng Các hợp đồng lao động chỉ cho phép công ty thuê thêm nhiều nhất 210 nhân viên, giới hạn đăng ký kinh doanh chỉ cho phép công ty mở thêm nhiều nhất là 20 nhà hàng

a) Lập mô hình bài toán để công ty có doanh thu lớn nhất

b) Tìm phương án tối ưu của bài toán

c) Nếu doanh thu hàng năm của mỗi nhà hàng dịch vụ tuỳ chọn là 2 tỷ đồng thì lời giải tối

ưu sẽ thay đổi như thế nào?

31) Một doanh nghiệp có thể sản xuất ra một loại sản phẩm theo 2 quy trình công nghệ khác

liệu tiêu thụ cũng như số sản phẩm làm ra trong một giờ theo các công nghệ cho ở bảng sau:

Hãy lập mô hình bài toán tìm kế hoạch sản xuất sao cho số lượng sản phẩm đạt được

là lớn nhất

32) Lập mô hình, không giải

33) Công ty may Sài Gòn có 2 phân xưởng may kí hiệu là M1 và M2 cùng sản xuất hai loại sản phẩm CAT1 và CAT2 Số đơn vị sản phẩm các loại được sản xuất ra và chi phí mỗi giờ

CAT1 CAT2

500 200

500 400

Công ty nhận được đơn hàng với số lượng là CAT1: 10.000 đơn vị và CAT2: 6.000 đơn vị

a) Lập mô hình bài toán phân phối thời gian hoạt động cho mỗi xưởng sao cho thỏa mãn yêu cầu đặt hàng với chi phí thấp nhất

b) Giải bài toán tìm phương án tối ưu

Một nhà hàng-khách sạn có 4 phòng hội nghị

A, B, C, D ; Ở mỗi phòng có một số vị trí có thể

lắp đặt camera quan sát (xem sơ đồ) Camera lắp

ở vị trí 1 thì chỉ quan sát được phòng A, camera lắp ở vị trí 2 thì quan sát được phòng A và phòng

B, tương tự cho các camera còn lại Phòng D là phòng VIP nên cần ít nhất 2 camera để quan sát, các phòng còn lại chỉ cần ít nhất 1 camera để quan sát Mỗi camera có chi phí lắp đặt là 500USD, tổng số tiền lắp đặt các camera không vượt quá 2500USD Hãy xác định vị trí lắp đặt các camera sao cho: tổng số camera lắp đặt là ít nhất, nhưng vẫn bảo đảm điều kiện về an ninh và điều kiện về tổng số tiền đầu tư

Địa chỉ vào phần mềm giải bài TUH:

Toiuuhoa.googlepages.com hoặc : toiuuhoa.ungdung.goolepages