bài tập Quy hoạch tuyến tính

TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 1/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TS. Nguyễn Thò Ngọc Thanh I. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau và tìm phương án tối ưu khác (nếu có ) : 1) f(x) = -x 1 + 2x 2 - x 3  max x 1 - 2x 2 + x 3  6 -2x 1 + x 2 - 2x 3 + 4x 4  5 x 1 + x 3 - x 4  3 x j  0 ( j = 1,2,3,4) ĐS : f max =19 2) f(x) = 2x 1 + x 2 - x 3 + x 4  min x 1 + x 2 - x 3 - 2 x 4 = 2 - x 2 + 3x 3 + 7x 4  2 2x 3 + 3x 4  5 x j  0 ( j = 1,2,3 ) (Chú ý : Đặt x 4 = x 1 4 - x 2 4 . Đáp số : x= (0, 0, 16 , - 9 , 17, 0) ; f(x) = - 25 ) 3) f(x) = 3x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4  max x 1 - x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 6 2x 1 + x 2 - 2x 4 + x 5  8 x 1 + 2x 4 + x 5  9 x j  0 ( j = 1,2,3,4,5 ) (Chú ý : Cách chọn ẩn đưa vào trong bảng đơn hình 2.) Đáp số : x= (0, 17, 37/2 , 9/2 , 0, ) ; f(x) = 31/2 ) 4) f(x) = 2x 1 - 3x 2 - 4x 3 + x 4  min 3x 1 + x 2 + 2x 3 - 4x 4 = 2 2x 1 - x 3 - 3x 4  1 x 1 - 4x 3 - 2x 4  4 x j  0 ( j = 1,2,3 ) , x 4  0 Đ.S : x = ( 0, 2/3,0, -1/3) f min = - 7/3. 5) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = 3x 1 + 2m x 2 + x 3  min - x 1 + x 2 + 2x 3 = 6 x 1 + 2x 2 + (m-2) x 3  5 3x 1 - x 2 + 2x 3 = 14 x j  0 ( j = 1,2, 3 ) a) Giải bài toán với m =1. b) Tìm giá trò của m để x 0 = (2,0,4) là phương án tối ưu của bài toán. (Đáp số : a) x = (2,0,4,7) ; f(x) = 10. b) – 5/8  m  11/4 6 ) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = -2x 1 + mx 2 + 4x 3 + 4 x 4  min -x 1 + 2x 3 + x 4 = 6 3x 3 - 2x 4  - 4 - x 2 + x 3 + x 4 = 4 x j  0 ( j = 12,3,4 ) TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 2/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH a) Giải bài toán trên khi m = 2. b) Với giá trò nào của m phương án tối ưu tìm được trong câu a cũng là phương án tối ưu của bài toán? c) Với những giá trò nào của m bài toán không có phương án tối ưu ? ( Đ.S : ( 2 , 0 , 4 , 0 , 16 ) ; m  0 ; m < 0) 7) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = (8 + 2)x 1 + (7 + 7)x 2 + (3 + 2)x 3  min 2x 1 + x 2  1 x 1 + 2x 2 + x 3  1 x j  0 ( j = 1,2,3 ) a) Giải bài toán trên với  = 0 và  = 1 b) Chứng tỏ rằng với   (-oo ; -3/2 ) , f(x) không bò chặn dưới trên tập hợp các phương án (Hướng dẫn : dưạ vào phương án tối ưu cuả bài toán khi  = 1) 8) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = x 1 + 2x 2 + 3x 3  min x 1 + x 2 + x 3  6 2x 1 + x 2 + x 3  7 x 1 + 2x 2 = 5 x j  0 ( j = 1,2,3 ) a/ Giải bài toán trên. Tìm phương án tối ưu khác (nếu có) b) Viết bài toán đối ngẫu. Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu. (Đs: x 1 = (3,1,0,2,0) ; x 2 = (5,0, 0,1,3) ; y = ( 0, 0 ,1) , fmin = dmax = 5 ) 9) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = -2x 1 +3x 2 +x 3 +x 4 - 4x 5  max 3x 1 - 2x 2 + x 3 - 4x 4 + 2x 5 = 9 7x 1 - 3x 2 - 7x 4 + 5x 5 = 14 4x 1 - 2x 2 - 4x 4 + 3x 5 = 8 x j  0 ( j = 1,2,3,4,5 ) a) Giải bài toán trên b) Viết bài toán đối ngẫu, chỉ các cặp ràng buộc đối ngẫu. Tìm tất cả phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu. (ĐS: x = (2,0,3,0,0) f(x) = -1 y 1 =1 ; y 2 =t ; y û 3 = - (5+ 7t )/4 với 5  t  9 hoặc y 1 = 1 ; y 2 = - ( 5+ 4t )/7; y û 3 = t với – 17  t  -10) 10) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = 3x 1 - 2x 2 +x 3  min x 1 + 4x 2 - 2x 3 = 4 -x 1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 6 4x 1 + x 2 + 5x 3 ≥ 2 x 1  0; x 2 ≤ 0 có phương án tối ưu là x= (24/13; 0; -14/13). TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 3/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Hãy viết bài toán đối ngẫu, chỉ các cặp ràng buộc đối ngẫu, tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và giá trò hàm mục tiêu ứng với PATƯ tìm được. (ĐS Y = (11/13, 0, 7/13) dmax= 58/13 ) 11) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4  min 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4  11 x 1 + 2x 3 + x 4  11 x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4  1 4 x j  0 ( j = 1,2,3,4 ) (ĐS: x 1 =(0,1,0,11) f(x) = 12) x 2 = (11, 1, 0, 0 ) (Nên chuyển về bài toán đối ngẫu để giải ) 12 ) Cho bài toán qui hoạch tuyến tính sau : f(x) = x 1 + 3x 2 + 4x 3  min 3x 1 - x 2 + 2x 3  7 - 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 12 - 4x 1 + 3x 2 + 8x 3  10 x j  0 ( j = 1,2,3 ) Hãy xét xem cá vec-to x 1 = ( 7/2, 9/2,1); x 2 = ( 2, 7/2, 2) và x 3 = (4, 5, 0 ) có phải là phương án tối ưu của bài tóan trên không? 13) Một nhà máy có 2,8 tỷ đồng dùng để mua thiết bò cho khu vực sản xuất mới . Khu vực dành để đặt thiết bò có diện tích 166 m 2 . Có 2 loại thiết bò có thể chọn mua : -Máy loại A: một máy giá 160 tr . đồng , trong 1 giờ hoạt động sản xuất được 110 sản phẩm , để hoạt động và cung cấp sản phẩm được cần chiếm 1 diện tích là 12m 2 - Máy loại B: một máy giá 180 tr. đồng , trong 1 giờ hoạt động sản xuất được 100 sản phẩm , để hoạt động và cung cấp sản phẩm được cần chiếm 1 diện tích là 9m 2 Tìm phương án mua thiết bò tối ưu sao cho trong 1 giờ tổng số sản phẩm được sản xuất ra trong khu vực sản xuất mới là nhiều nhất. ( ĐS: 7máy loại A và 9 máy loại B) 14) Một nhà máy lọc dầu hiện có các loại dầu thô với khối lượng lần lượt là 30000 , 25000và 42000 đơn vò . Kí hiệu các loại dầu thô lần lượt là A,B,C . Người ta có thể chế biến thành 3 loại sản phẩm là khí đốt , xăng , dầu theo 3 phương thức chế biến sau đây: Phương thức chế biến Kết quả Khí đốt Xăng Dầu 2A + 1B + 1C (I) 2A + 2B + 1C (II) 1A + 1B + 1C (III) 9 10 6 4 6 3 7 10 5 Giá bán 1 đv sản phẩm 1 3 2 Giải bài toán tìm kế hoạch sản xuất tố ưu sao cho tổng doanh số bán ra là nhiều nhất. ( Đ.S : f(x) = 675000) TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 4/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 15) Biết yêu cầu các chất dinh dưỡng Protit , Lipit trong 1 ngày của một loại gia súc ; tỉ lệ % theo khối lượng , các chất dinh dưỡng có trong các loại thức ăn A , B , C và giá thức ăn cho trong bảng sau : .Chất dinh dưỡng Khối lượng tối thiểu (g) Khối lượng tối đa (g) Tỉ lệ % trong các loại thức ăn A B C Protit 70 Không hạn chế 50 40 30 Lipit 20 30 20 30 30 Giá (ngàn đồng / kg ) 8 7 6 Yêu cầu lập mô hình và giải bài toán tìm khối lượng thức ăn tối ưu cần mua trong 1 ngày để nuôi loại gia súc đó. (Đ.S :f(x) = 1120 đồng ) 16) Một xí nghiệp có thể sản xuất 3 loại sản phẩm , ký hiệu là A , B, C . Đònh mức hao phí nguyên vật liệu , vốn, lao động (giờ công ) và lợi nhuận thu được tính cho 1 đơn vò sản phẩm mỗi loại cho trong bảng sau : Sản phẩm A B C Mức huy động tối đa Nguyên liệu ( kg ) Vốn ( 1000đ) Lao động (giờ công) Lợi nhuận (1000đ) 2 1 4 2 3 3 8 3 3 5 1 5 150 120 100 Xí nghiệp sẽ sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại sao cho trong phạm vi số nguyên liệu , vốn, giờ công huy động được , xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất .(Biết rằng SP sản xuất ra tiêu thụ được hết). a) Hãy lập mô hình bài toán trên. b) Giải bài toán tìm phương án sản xuất tối ưu ? c) Tìm lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu ? Đ.S : f max = 140 (ngàn đồng) 17) Một xí nghiệp có thể sản xuất 3 loại sản phẩm , ký hiệu là S1, S2, S3 , cung ứng cho thò trường . Cho biết năng suất của xí nghiệp đối với mỗi sản phẩm là S1 : 50 sp/giờ , S2 : 25 sp/giờ , S3 : 75 sp/giờ. Năng lực sản xuất trong một tuần của xí nghiệp thể hiện bằng số giờ sản xuất tối đa là 45 giờ. Nhu cầu hàng tuần về sản phẩm của xí nghiệp ở thò trường do xí nghiệp cung ứng là 600 sản phẩm S1 , 800 sản phẩm S2 và 1200 sản phẩm S3. Giá bán mỗi đơn vò sản phẩm S1 là 40.000đ, sản phẩm S2 là 120.000đ và sản phẩm S3 là 30.000đ. a) Lập mô hình bài toán QHTT tìm kế hoạch sản xuất của xí nghiệp trong một tuần cho doanh thu cao nhất ( bỏ qua điều kiện nguyêu ở các biến số ). b) Dựa vào suy luận kinh tế trực tiếp , căn cứ vào giá bán , năng lực sản xuất , năng lực lao động ( sản phẩm/giờ sản xuất) , hãy tìm kế hoạch sản xuất tối ưu cho bài toán . c) Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán ở phần a. d) Viết bài toán QHTT đối ngẫu tương ứng . Tìm lời giải tối ưu cho bài toán đối ngẫu. f max = 125.250 (ngàn đồng ) 18) Một xí nghiệp gồm 2 phân xưởng , có thể sản xuất hai loại sản phẩm , ký hiệu S1 và S2 . Hao phí sản xuất được tính bằng giờ máy . Giả rằng xí nghiệp có thể sử dụng nhân công không hạn chế . Sản lượng trong tháng vừa qua của xí nghiệp là 5.000 sản phẩm S1 và 7.000 sản phẩm S2 . Để có được 5.000 sản phẩm S1 xí nghiệp đã sử dụng 650 giờ máy ở phân xưởng 1 và 125 giờ máy ở phân xưởng 2 . Số giờ máy hao tốn để sản xuất 7.000 sản phẩm S2 ở mỗi phân xưởng là 350 giờ . Cho biết giá bán mỗi sản phẩm S1 là 25.000 đ , mỗi sản phẩm S2 là 15.000 đ. TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 5/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH a) Dựa vào số liệu tháng vừa qua hãy lập mô hình bài toán QHTT tìm kế hoạch sản xuất cho tháng này sao cho tổng doanh thu đạt cao nhất , nếu biết tổng số giờ máy có được ở phân xưởng 1 là 1100 giờ và ở phân xưởng 2 là 550 giờ , giá bán sản phẩm không thay đổi . b) Giải bài toán trên băng phương pháp đơn hình . c) Viết bài toán QHTT đối ngẫu tương ứng. Tìm lời giải tối ưu của bài toán đối ngẫu. (* Đ.S : số sản phẩm S1là 5238 , S2 là 8381 f max = 256.665 ngàn đồng ) 19) Một xí nghiệp có thể sản xuất một loại sản phẩm từ hai phân xưởng khác nhau. Căn cứ vào các nguồn lực hiện có trong 1 tuần phân xưởng 1 có thể sản xuất tối đa 70 sản phẩm , phân xưởng 2 sản xuất tối đa là 100 sản phẩm . Tổng số giờ công xí nghiệp có thể sử dụng trong tuần ở cả hai phân xưởng là 600 giờ . Số giờ công cần thiết để sản xuất một đơn vò sản phẩm ở phân xưởng 1 là 10 giờ , ở phân xưởng 2 là 5 giờ . Mức sản lượng tối thiểu trong tuần của xí nghiệp là 80 sản phẩm . Chi phí sản xuất cho một đơn vò sản phẩm ở phân xưởng 1 là 20 ngàn đồng và ở phân xưởng 2 là 30 ngàn đồng . a) Hãy lập mô hình bài toán QHTT , giải và tìm kế hoạch sản xuất trong tuần đảm bảo tổng chi phí sản xuất thấp nhất. b) Trong mô hình a) cho biết bài toán QHTT còn có ý nghóa nữa không ,nếu bỏ ràng buộc về sản lượng tối thiểu ( 80 sản phẩm ). c) Cho biết giá bán một đơn vò sản phẩm được ấn đònh là 50 ngàn đồng . Dựa theo năng lực hiện có và yêu cầu sản lượng tối thiểu trong tuần , mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất ? d) Viết bài toán QHTT đối ngẫu của bài toán ở phần c. Tìm PATU của bài toán đối ngẫu. * Đ.S : a) : f min = 2000 ngàn đồng ; c) : f max = 2300 ngàn đồng ) 20) Để sản xuất một hỗn hợp nhiên liệu người ta sử dụng 3 loại thành phần , kí hiệu là N1,N2,N3. Nhiệt lượng riêng của N1, N2, N3 tương ứng là 7.000, 4.000, 5.000 (Kcal/đvkl). Đvkl : đơn vò khối lượng . Chi phí sử dụng 1 đvkl nhiên liệu N1, N2, N3 tương ứng là 2, 1, 2 đơn vò tiền tệ.Hãy chọn cơ cấu thành phần hỗn hợp sao cho tổng khối lượng nhiên liệu hỗn hợp không vượt qúa 3.000 đvkl,tổng chi phí sử dụng không vượt qúa 4.000 đơn vò tiền tệ , loại nhiên liệu N3 được sử dụng không qúa 500 đvkl, loại nhiên liệu N1 phải được sử dụng ít nhất 500 đvkl và đạt được nhiệt lượng tỏa ra tối đa khi sử dụng hết hỗn hợp nhiên liệu thành phần . Đ.S : f max = 15.000.000 Kcal 21) Người ta cần cắt những thanh gỗ dài 2m thành 520 đoạn dài 1,2m ; 400 đoạn dài 0,8m và 300 đoạn dài 0,6m . Hãy giải bài toán tìm phương án SX sao cho số gổ thừa là ít nhất. (Đ.S:f min = 36m ) 22) Một công ty có các đơn đặt hàng trong vòng 4 tháng . Chi phí sản xuất thay đổi hằng tháng do các thay đổi trong chi phí nguyên vật liệu . Năng lực sản xuất của công ty là 100 đơn vò/tháng làm trong giờ và 15 đơn vò / tháng làm ngoài giờ. Bảng sau đây cho thấy nhu cầu của các đơn đặt hàng và chi phí sản xuất hàng tháng : Dữ liệu Tháng 1 Tháng 2 Tháng 3 tháng 4 Khối lượng đơn hàng(đơn vò) Chi phí trong giờ/đ.v (tr.đ) Chi phí ngoài giờ/đ.v (tr.đ) 95 30 35 85 30 35 110 32 37 115 32 36 Chi phí lưu kho cho 1 đơn vò hàng hóa chưa bán được là 2 tr.đ/tháng/1đ.vò. Công ty không có 1 đơn vò hàng hóa nào vào đầu tháng 1và mong rằng cũng không còn 1 đơn vò hàng hóa nào vào cuối tháng 4. TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 6/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Hãy lập mô hình xác đònh số đơn vò hàng sản xuất trong giờ và ngoài giờ mỗi tháng để đáp ứng nhu cầu với chi phí thấp nhất . 23) Một nhà máy lọc dầu hiện có 2 loại xăng dầu cơ bản với các đặc trưng như sau : Xăng dầu cơ bản Chỉ số Octan p suất hơi nước Số lượng (thùng) Loại 1 Loại 2 104 94 5 9 30.000 70.000 Giả sử rằng những loại xăng dầu này có thể pha trộn lại để sản xuất 2 loại sản phẩm cuối cùng : xăng dùng cho máy bay và xăng dùng cho ô tô với các đặc trưng như sau SP. Cuối cùng Chỉ số Octan nhỏ nhất p suất hơi nước cao nhất Mức bán cao nhất (thùng) Giá bán (USD/thùng) Xăng máy bay Xăng ô tô 102 96 6 8 20.000 Số lượng bất kì 45,1 32,4 Hãy lập mô hình xác đònh phương án pha trộn sao cho doanh thu từ việc bán các sản phẩm cuối cùng là lớn nhất. 24) Một công ty dự đònh trồng 2 loại cây là cà phê và tiêu trên 3 khu đất A, B, C có diện tích tương ứng là 50, 60 và 40 (ha). Do đặc điểm của các khu đất khác nhau nên chi phí sản xuất (triệu đ/ha ) và năng suất ( tạ/ha) khác nhau và cho ở bảng sau : Khu đất Cà phê Tiêu A 2 9 1,8 6 B 2,2 10 1,6 5 C 2,5 12 1,5 4 ( Số liệu ở góc trái của mỗi ô là chi phí sản xuất; ở góc phải của mỗi ô là năng suất ) Yêu cầu sản lượng tối thiểu của cà phê là 500 tạ và tiêu là 420 tạ. Hãy lập mô hình xác đònh phương án phân phối đất trồng sao cho đảm bảo yêu cầu về sản lượng với chi phí thấp nhất. 25) Để phục vụ cho việc xây dựng một công trình ,người ta cần có ít nhất : 4000 thanh sắt dài 9m, 5000 thanh sắt dài 8m và 3000 thanh dài 6m. Các thanh sắt này đượ cắt từ những thanh có độ dài 20m. Mỗi thanh sắt dài 20m mua với giá là 6 triệu đồng. Số sắt thừa có độ dài từ 4m- 5m có thể bán với giá 5 ngàn đồng /m ; còn nếu có độ dài < 4m thì bán với giá 3 ngàn đồng/m. Hãy lập mô hình xác đònh phương án cắt sắt sao cho chi phí thấp nhất. 26) Một công ty muốn thực hiện chiến lược quảng cáo một loại sản phẩm của mình với chi phí ước tính là 150 triệu đồng /tháng. Có 3 loại hình quảng cáo được chọn là : tivi , báo, đài với các dữ liệu cho như sau : Loại hình quảng cáo Tivi Báo Đài Chi phí 1 lần quảng cáo (triệu đồng) 2 1,5 0,8 Số lần quảng cáo tối đa trong tháng 65 50 60 Dự đoán số ngươi tiếp nhận quảng cáo mỗi lần (ngàn người) 10 15 8 Chiến lược quảng cáo xác đònh phải có ít nhất 30 lần quảng cáo trên tivi trong một tháng. Hãy lập mô hình bài toán để xác đònh kế hoạch quảng cáo tối ưu. 27) Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C với các dữ liệu cho ở bảng sau : Dữ liệu SP. A SP.B SP.C Giá bán 1 sản phẩm (ngàn đồng) Chí phí nguyên liệu cho 1 SP (ngàn đồng) 80 40 160 70 250 120 TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 7/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Thời gian hoàn tất 1 SP (giờ) Nhu cầu tối đa trong 1 tuần (SP) 0,2 1000 0,3 800 0,6 500 Xí nghiệp có lực lượng lao động là 20 người, làm việc 40 giờ/tuần và được trả lương 400 ngàn đồng/tuần/người dù họ có làm đủ 40 giờ hay không. Hãy lập mô hình bài toán tìm kế hoạch sản xuất sao cho tổng lợi nhuận đạt được là nhiều nhất. 28) Một công ty có 3 nhà máy A1, A2, A3 sản xuất một loại sản phẩm và phân phối đến 4 thò trường B1, B2, B3, B4. Các số liệu cho như sau : Nhà máy Chi phí SX (ngàn đ/SP) Công suất (SP/ năm) A1 A2 A3 40 42 38 35.000 40.000 45.000 Thò trường Giá bán (ngàn đ/SP) Nhu cầu ( SP/năm) B1 B2 B3 B4 90 92 88 86 25.000 25.000 35.000 40.000 Ma trận chi phí vận chuyển như sau ( ngàn đ/SP ) . Hãy lập mô hình bài toán xác đònh sản lượng các nhà máy cần sản xuất và phân phối đến các thò trường trong năm sao cho tổng lợi nhuận thu được nhiều nhất. 29) Có 3 người và 3 công việc. Chi phí để người i thực hiện công việc j được cho trong bảng sau ( đơn vò :ngàn đ/người): Công việc Người 1 2 3 1 7 4 3 2 5 7 6 3 10 9 8 Cần phân công người nào thực hiện công việc gì (mỗi người chỉ làm 1 việc, mỗi việc chỉ do 1 người làm) sao cho tổng chi phí là bé nhất? Hãy viết mô hình bài toán . 30) Đại hội thế vận được tổ chức đồng loạt cùng ngày tại 3 đòa điểm (ta gọi là các trạm thu ). Các nhu cầu vật chất được chuyển từ 3 đòa điểm ( ta gọi là các trạm phát). Bảng sau cho biết yêu cầu của các trạm thu cũng như lượng hàng có ở các trạm phát ( tấn); và khoảng cách giữa các trạm (km) là : T. Thu T. phát 15 20 15 20 160 50 100 10 100 200 30 24 30 28 28 18 20 30 36 30 26 20 20 C = TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 8/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 30 50 40 30 Do đặc điểm của hàng hoá, thời gian và phương tiện vận chuyển nên không thể chuyển hàng xa trên 150 km. Theo yêu cầu trạm phát thứ hai phải phát hết hàng Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án vận chuyển thoả mãn các điều kiện nêu ra sao cho tổng tấn* km là nhỏ nhất. 31) Một công ty thức ăn nhanh dự đònh mở thêm nhà hàng phục vụ. Công ty có hai loại nhà hàng dòch vụ tuỳ chọn và dòch vụ chọn gói. Một nhà hàng dòch vụ tuỳ chọn có chi phí xây dựng 1 tỷ đồng, cần 5 nhân viên và doanh thu hàng năm là 4 tỷ đồng. Một nhà hàng dòch vụ trọn gói có chi phí xây dựng 1,5 tỷ đồng, cần 15 nhân viên và doanh thu là 5 tỷ đồng/ năm. Công ty hiện có sẵn 24 tỷ đồng để mở thêm nhà hàng. Các hợp đồng lao động chỉ cho phép công ty thuê thêm nhiều nhất 210 nhân viên, giới hạn đăng ký kinh doanh cho phép công ty mở thêm nhiều nhất là 20 nhà hàng, a) Lập mô hình bài toán để công ty có doanh thu lớn nhất. b) Tìm phương án tối ưu của bài toán. c) Nếu doanh thu hàng năm của mỗi nhà hàng dòch vụ tuỳ chọn là 2 tỷ đồng thì lời giải tối ưu sẽ thay đổi như thế nào? Đ.S : b) X = ( 12, 8 ) f max = 88. c) X = (6; 12) f max = 72. 32) Một doanh nghiệp có thể sản xuất ra một loại sản phẩm theo 2 quy trình công nghệ khác nhau: CN 1 , CN 2 . Có 3 loại nguyên liệu để sản xuất là N 1 , N 2 , N 3 . Biết rằng số lượng nguyên liệu tiêu thụ cũng như số sản phẩm làm ra trong một giờ theo các công nghệ cho ở bảng sau: Nguyên liệu Số lượng nguyên liệu hiện có (đv) Đònh mức tiêu hao trong 1 giờ (đv) CN 1 CN 2 N 1 200 4 2 N 2 280 3 5 N 3 350 9 5 Sản lượng (đv/giờ) 30 35 Hãy lập mô hình bài toán tìm kế hoạch sản xuất sao cho số lượng sản phẩm đạt được là lớn nhất. 33) Lập mô hình, không giải Một nhà hàng - khách sạn có 4 phòng hội nghò A, B, C, D ; Ở mỗi phòng có một số vò trí có thể lắp đặt camera quan sát (xem sơ đồ). Camera lắp ở vò trí 1 thì chỉ quan sát được phòng A, camera lắp ở vò trí 2 thì quan sát được phòng A và phòng B, tương tự cho các camera còn lại. Phòng D là phòng VIP nên cần ít nhất 2 camera để quan sát, các phòng còn lại chỉ cần ít nhất 1 camera để quan sát. Mỗi camera có chi phí lắp đặt là 500USD, tổng số tiền lắp đặt các camera không vượt quá 2500USD. Hãy xác đònh vò trí lắp đặt các camera sao cho: tổng số camera lắp đặt là ít nhất, nhưng vẫn bảo đảm điều kiện về an ninh và điều kiện về tổng số tiền đầu tư. TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 9/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 34) Công ty may Sài Gòn có 2 phân xưởng may kí hiệu là M 1 và M 2 cùng sản xuất hai loại sản phẩm CAT1 và CAT2. Số đơn vò sản phẩm các loại được sản xuất ra và chi phí mỗi giờ hoạt động củ M 1 và M 2 được cho ở bảng sau : Xưởng M 1 Xưởng M2 CAT1 CAT2 500 200 500 400 Chi phí 1.200.000 đ 2.000.000 đ Công ty nhận được đơn hàng với số lượng là CAT1 : 10.000 đơn vò và CAT2 : 6.000 đơn vò a) Lập mô hình bài toán phân phối thời gian hoạt động cho mỗi xưởng sao cho thỏa mãn yêu cầu đặt hàng với chi phí thấp nhất. b) Giải bài toán tìm phương án tối ưu. Đ.S : X = ( 10, 10) f min = 32 triệu đồng. II. BÀI TOÁN VẬN TẢI Giải và tìm phương án tối ưu khác ( nếu có ) : 1) Giải bài toán vận tải với những thông tin : Có 3 trạm phát với lượng hàng tương ứng : a= (40, 60, 50) Có 4 trạm thu với nhu cầu tương ứng : b = ( 40, 50, 30, 30) Ma trận chi phí : 2) a = ( 30 ,40 ,53 ) ; b = ( 40 ,30 ,25 ,28 ) Ma trận chi phí : ĐS : , fmin ( x) = 1855 3) a = ( 60 ,55 ,50 ) ; b = ( 65 ,45 ,50 ,30 ) Ma trận chi phí : a) Tìm PAVCTU b) Tìm PAVCTU sao cho trạm B 3 nhận đủ hàng . ĐS :a) , fmin ( x) = 1385 b) , fmin (x ) = 1410 4) a = ( 100 ,125 ,155 ) ; b = ( 150 ,90 ,75 ) Ma trận chi phí : a) Tìm PAVCTU. b) Tìm PAVCTU và sao cho trạm A 3 phát hết hàng . ĐS :a) f( x) = 1865 b) f (x ) = 2065 5) a = ( 60 ,30 ,80 ) ; b = ( 70 ,50 ,30 ) Ma trận chi phí : 2 5 6 3 4 3 3 2 2 5 4 5 C = 23 27 16 18 12 17 20 40 22 18 13 30 C = 10 9 12 7 9 11 10 15 8 7 14 12 C = 3 7 4 4 8 10 7 19 9 C = 9 5 9 5 8 3 7 4 6 C = TÀI TRỌNG NGUYỄN TỐI ƯU HĨA NGUYỄN THỊ NGỌC THANH taitrongnguyen107@gmail.com Trang 10/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tìm PAVCTU và sao cho trạm A 1 phát hết hàng. ( ĐS : , fmin = 850) 6) Người ta cần gieo trồng 3 loại luá trên 4 cánh đồng với diện tích tương ứng là :100,150 ,100 và 100 ha.Theo kế hoạch sản xuất sản lượng mỗi loại luá phải thu hoạch tương ứng là : 300, 600, 250 ( tấn ).Năng suất trung bình của từng loại luá cho mỗi loại đất bất kỳ là 2 tấn/ha đối với luá 1 ; 3 tấn/ha đối với luá 2 ; 2,5 tấn/ha đối với luá 3. Tìm phương án gieo trồng sao cho chi phí sản xuất thấp nhất . Biết rằng chi phí cho 1 tấn luá (từ lúc gieo trồng đến khi thu hoạch) là(ĐV: 100 ngàn đồng/tấn.): ĐS : , fmin = 551.000.000 ( ngàn đ). 7) Người ta phải gieo trồng 3 loại luá A, B, C với năng suất ,chí phí cho trong bảng như sau : Luá Năng suất (tấn/ha) Giá bán (triệu đ/tấn) Chi phí (triệu đ/ ha) Diện tích trồng cho các luá (ha) I II III I II III A 5 3 4,5 1,2 1,5 1,1 1,4 50 B 4 3,6 3,8 1,5 1,5 1,4 1,7 70 C 3 3,4 3,2 2,0 2 1,8 1,2 40 Diện tích(ha) 50 50 60 Hãy lập kế hoạch gieo trồng sao cho lợi nhuận cực đại. ĐS : , fmax = 713 ( triệu đồng ). 8) Một công ty vận tải ký hợp đồng vận chuyển một loại hàng từ 3 điểm phát đến 4 điểm nhận hàng như sau : Đòa điểm phát hàng Đòa điểm nhận hàng Số lượng ( tấn) A1 B2 B4 40 60 A2 B1 B3 50 20 A3 B2 B3 30 20 Hãy lập kế hoạch vận chuyển tối ưu sao cho tổng số tấn * km xe không là ít nhất, biết rằng ma trận khoảng cách giữa các đòa điểm cho như sau ( km): Đòa chỉ vào phần mền giải bài TUH: Toiuuhoa.googlepages.com hoặc : toiuuhoa.ungdung.goolepages HẾT 5 6 4 3,5 6,2 3,6 4,5 6,4 3,8 5,2 5,7 4,2 C = 2 3 4 5 6 3 5 1 3 6 4 2 C = . taitrongnguyen107@gmail.com Trang 1/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TS. Nguyễn Thò Ngọc Thanh I. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Giải bài toán qui hoạch tuyến tính. kế hoạch sản xuất tối ưu cho bài toán . c) Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán ở phần a. d) Viết bài toán QHTT đối ngẫu tương ứng . Tìm lời giải tối ưu cho bài toán đối ngẫu. f max =. taitrongnguyen107@gmail.com Trang 3/10 – BÀI TẬP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Hãy viết bài toán đối ngẫu, chỉ các cặp ràng buộc đối ngẫu, tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và giá trò hàm mục