tốc độ tạo phonon trong giếng lượng tử do tương tác electron-phonon bị giam giữ

Thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đối với phonon bị giam cầm lượng tử.. Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuông gó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêngtôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn làtrung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưatừng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nàokhác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Tú

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Lê Đình đãtận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu vàthực hiện luận văn

Tôi xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý, phòngĐào tạo Sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập tại trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

Xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên Cao học chuyên ngành Vật

lý lý thuyết và Vật lý toán khóa 19–trường Đại học Sư phạm, Đại họcHuế, bạn bè và gia đình đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn

Huế, tháng 10 năm 2012Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Tú

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh sách các hình vẽ 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: Một số vấn đề tổng quan 9 1.1 Tổng quan về giếng lượng tử 9

1.2 Phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn 10

1.3 Thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đối với phonon bị giam cầm lượng tử 13

1.4 Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến tính giam giữ phonon 18

Chương 2: Biểu thức giải tích của tốc độ tạo phonon 20 2.1 Phương trình động lượng tử cho phonon bị giam giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn 20

2.2 Tốc độ tạo phonon 35

2.2.1 Tán xạ electron-phonon âm 46

2.2.2 Tán xạ electron-phonon quang 47

Chương 3: Kết quả tính số và thảo luận 49 3.1 Tán xạ electron-phonon âm 50

3.2 Tán xạ electron-phonon quang 52

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 PHỤ LỤC P.1

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

3.1 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon

âm vào tần số trường laser Ω ứng với giá trị biên độ điện

chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L z = 10× 10 −9

m Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,

hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối (phonon

không bị giam giữ) 50

3.2 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon

trường laser là Ω = 1013 Hz, nhiệt độ của hệ là 101 K,

chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L z = 10× 10 −9

m Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,

3.3 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon

âm vào chiều rộng giếng lượng tử L z ứng với giá trị tần số

trường laser là Ω = 1013 Hz, biên độ điện trường E0 = 106

V/m, nhiệt độ của hệ là 101 K Hình bên trái ứng với

trường hợp phonon giam giữ, hình bên phải ứng với trường

hợp phonon khối 51

3.4 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon

quang vào tần số trường laser Ω ứng với giá trị biên độ

điện trường E0 = 4.0 ×106 V/m, nhiệt độ của hệ là 101 K,

chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L z = 10× 10 −9

m Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,

3.5 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon

quang vào biên độ điện trường E0 ứng với giá trị tần số

trường laser là Ω = 1013 Hz, nhiệt độ của hệ là 101 K,

chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L z = 10× 10 −9

m Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khi bán dẫn thấp chiều được tìm ra vào những năm bảy mươi củathế kỉ hai mươi, thì ngay sau đó đã có sự chuyển hướng đối tượng nghiêncứu chính từ bán dẫn khối (3D) sang bán dẫn thấp chiều (D<3) Trongcác cấu trúc có kích thước nhỏ và thấp chiều, các quy luật lượng tử bắtđầu có hiệu lực, thể hiện ở sự biến đổi đặc trưng phổ năng lượng làmthay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời xuất hiện thêmnhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà bán dẫn khối không có Những thayđổi này có vai trò rất lớn trong khoa học, công nghệ đặc biệt là lĩnh vựcchế tạo các linh kiện bán dẫn mới đáp ứng nhu cầu trong lĩnh vực quangđiện tử

Bằng cách hấp thụ năng lượng của trường laser và tương tác vớielectron, các dao động mạng có thể được kích thích lên mức cao hơn,

từ đó tạo ra sự gia tăng nồng độ phonon Hiệu ứng tạo ra và gia tăngphonon có nhiều ứng dụng như: biến điệu tín hiệu quang học, biến điệudòng điện, điều khiển dịch chuyển electron nhờ các phonon, điều khiểnnhiệt qua phonon phát xạ, kiểm tra các khuyết tật có kích thước cỡ10nm trong vật liệu Nghiên cứu sự tạo ra và thay đổi số phonon tronggiếng lượng tử sẽ giúp hiểu rõ hơn về cơ chế tương tác electron-phonon

Để nghiên cứu tính chất của bán dẫn thấp chiều có khá nhiềuphương pháp như phương pháp chiếu toán tử, phương pháp nhiễu loạn,phương pháp phương trình động lượng tử, phương pháp hàm Green Mỗiphương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng tùy vào từng bài toán

cụ thể Để nghiên cứu điều kiện tạo ra và tốc độ tạo phonon thì ta buộcphải sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon.

Hiệu ứng gia tăng phonon trong bán dẫn khi được đặt trong trườnglaser là một vấn đề đang được chú ý nghiên cứu trong bán dẫn khối vàtrong một số bán dẫn thấp chiều như giếng lượng tử, dây lượng tử Tuynhiên, các công trình đó chỉ xét trường hợp phonon khối (phonon không

bị giam giữ) mà không xét đến tính giam giữ phonon Để hiểu rõ hơn sựthay đổi số phonon trong bán dẫn thấp chiều nói chung và trong giếnglượng tử nói riêng khi xét đến tương tác electron-phonon bị giam giữ,

tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Tốc độ tạo phonon trong giếng lượng

tử do tương tác electron-phonon bị giam giữ".

2 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là khảo sát tốc độ tạo phonon trong giếng lượng

tử thế vuông góc sâu vô hạn có xét đến sự giam giữ phonon

3 Lịch sử nghiên cứu của đề tài

Ở trong nước, đã có một số nhóm nghiên cứu tốc độ gia tăng phonontrong bán dẫn khối [2],[5], trong giếng lượng tử [2], trong dây lượng tử [3],[4], [6], [10], [14] Tuy nhiên các nghiên cứu trên chỉ xét trong trường hợpphonon khối (phonon không bị giam giữ) Gần đây, trong luận văn Thạc

sĩ của Huỳnh Thị Thanh Tuyền (2010) nghiên cứu tốc độ tạo phonontrong dây lượng tử hình trụ có xét đến tính giam giữ phonon [8]

Ở ngoài nước, lý thuyết gia tăng phonon đã được chú ý từ lâu nhưngcác nhóm nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bán dẫn khối [16], giếng lượng

tử và siêu mạng [12],[13],[17] chỉ xét trong trường hợp phonon khối.Tóm lại, sự gia tăng phonon do hấp thụ năng lượng trường laser

trong vật liệu bán dẫn đang được nghiên cứu ráo riết bởi nhiều nhómnghiên cứu trong và ngoài nước Hiện tượng gia tăng phonon đã đượcnghiên cứu trong bán dẫn khối, trong bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử

và siêu mạng), trong dây lượng tử Các nghiên cứu trên chỉ xét trườnghợp phonon khối (phonon không bị giam giữ) mà chưa xét đến trườnghợp phonon bị giam giữ Gần đây, đã có một số công trình nghiên cứutốc độ tạo phonon có xét đến sự giam giữ phonon trong dây lượng tửhình chữ nhật [9], dây lượng tử hình trụ [8], ở đây phonon bị giam giữtheo hai chiều Tuy nhiên chưa có nghiên cứu nào đề cập đến bài toántốc độ tạo phonon trong giếng lượng tử xét trường hợp phonon bị giamgiữ theo một chiều

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiềuhạt trong vật lí thống kê trong đó tập trung vào phương trình động lượng

tử cho phonon

- Các phương pháp tính số và vẽ đồ thị

5 Nội dung nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với phonon

để tìm biểu thức giải tích cho tốc độ kích thích phonon do hấp thụ nănglượng của trường laser, tìm điều kiện và tốc độ gia tăng phonon

- Khảo sát số và vẽ đồ thị các biểu thức giải tích về tốc độ thayđổi phonon khi xét đến sự giam giữ phonon, tìm sự phụ thuộc của tốc

độ tạo phonon vào các tham số Các nghiên cứu trên được nghiên cứucho trường hợp hấp thụ một photon với hai loại phonon là phonon âm,phonon quang

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

Chương này trình bày tổng quan về bán dẫn giếng lượng tử thế

vuông góc sâu vô hạn, về Hamiltonian của hệ electron-phonon

khi xét đến sự giam giữ phonon và có mặt trường ngoài, trình

bày biểu thức giải tích của hàm sóng, phổ năng lượng và thừa

số dạng của electron trong giếng lượng tử vuông góc sâu vô hạn

khi phonon bị giam giữ.

1.1 Tổng quan về giếng lượng tử

Từ năm 1963, khi hiệu ứng Gunn được phát hiện trong các chấtbán dẫn siêu mỏng, người ta đã chế tạo ra nhiều vật liệu có ứng dụngquan trọng trong kỹ thuật Sự phát triển của kỹ thuật mới về "nuôi"tinh thể đã tạo ra một hướng mới trong việc tạo nên các bán dẫn dị cấutrúc gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ nhau Độ dày của mỗi lớp cỡ nanômétnên gọi là bán dẫn có cấu trúc nano Vật lý nghiên cứu bán dẫn có cấutrúc nano gọi là vật lý hệ thấp chiều

Bán dẫn giếng lượng tử là một trong những ví dụ của các tinh thể

dị cấu trúc Khi đặt một lớp mỏng bán dẫn có vùng cấm hẹp giữa hailớp chất bán dẫn khác có có vùng cấm rộng hơn ta được một cấu trúcgọi là giếng lượng tử Đó là các tinh thể nhân tạo gồm các vật liệu khácnhau được "nuôi" cấy trên bề mặt của một đế tinh thể dày hơn Bề dàycủa lớp tinh thể được "nuôi" cấy có thể điều chỉnh với độ chính xác cỡnguyên tử Khi đó, ta có thể dễ dàng đạt được kích thước phù hợp để

có thể dễ dàng quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử với electron

Bán dẫn giếng lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy được là trườnghợp cấu trúc GaAs/GaAlAs được "nuôi" lớn trên đế GaAs Khi đó, mộtlớp bán dẫn GaAs có bề dày cỡ 10 nm được đặt xen kẽ giữa hai lớpbán dẫn GaAlAs có bề dày lớn hơn, độ rộng vùng cấm của GaAlAs lớnhơn so với GaAs Vì vậy các hàng rào thế được sinh ra tại các biên tiếpxúc, giữa các lớp bán dẫn hình thành nên một hố thế ở lớp GaAs gọi

là giếng lượng tử Khi đó, các electron bị "giam nhốt" trong các hố thếnày, chúng có đặc điểm chung là chuyển động theo một phương nào đó

bị giới hạn mạnh Lúc này, chuyển động của electron theo trục đó bịlượng tử hóa, electron chỉ còn chuyển động tự do trong mặt phẳng củahai trục còn lại Vì vậy cấu trúc giếng lượng tử được gọi là các bán dẫnhai chiều và hệ electron trong cấu trúc này được gọi là các hệ electronhai chiều

Có nhiều loại giếng lượng tử với các thế khác nhau, ví dụ giếnglượng tử thế hữu hạn, giếng lượng tử thế vô hạn, giếng lượng tử thếparabol Trong giới hạn luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến giếnglượng tử thế vuông góc sâu vô hạn

1.2 Phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong

giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn

Để mô tả năng lượng và hàm sóng của electron, ta xét phương trìnhSch¨odinger

ˆ

Hψ(x, y, z) = E(x, y, z)ψ(x, y, z), (1.1)

với bH là Hamiltonian của electron

ˆ

H = −~2∇2

trong đó: m e là khối lượng hiệu dụng của electron

U (x, y) là thế năng của electron trong mặt phẳng (x, y)

V (z) là thế giam giữ electron theo trục z có dạng

ở đây L x , L y là độ dài của giếng lượng tử theo hướng x và y, k x , k y

là thành phần của vectơ sóng ⃗k theo các hướng x và y; ⃗k ⊥ , ⃗ r ⊥ tương

ứng là vectơ sóng và vectơ vị trí của electron trong mặt phẳng (x, y),

⃗k ⊥ = k x ⃗i + k y ⃗j, ⃗r ⊥ = x⃗i + y⃗j.

Bây giờ ta giải phương trình Sch¨odinger để tìm năng lượng và hàm

sóng của electron theo trục z Phương trình Sch¨odinger có dạng

Suy ra

ψ n z (z) =

√2

L z sin (k

n

trong đó k z n = nπ/L z là các giá trị của vectơ sóng của electron theo

phương z, L z là độ dài giếng lượng tử theo phương z

Do đó, biểu thức năng lượng và hàm sóng của electron trong giếnglượng tử thế vuông góc sâu vô hạn được viết dưới dạng

L x L y e

i⃗ k ⊥ ⃗ ⊥

√2

1.3 Thừa số dạng của electron trong giếng lượng

tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đối với phonon bị giam cầm lượng tử

Để thu được biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng

tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến tính giam giữ phonon ta phải

áp dụng phương pháp của Lebburton và Fasol [15] Với phương phápnày, ta xây dựng Hamiltonian Frohlich của hệ electron-phonon có tínhđến tính chất giam giữ phonon Để thu được Hamiltonian Frohlich mô tảtương tác của phonon quang dọc (LO-phonon) và electron 2D, chúng tôi

xuất phát từ Hamiltonian Frohlich 3D, H F r 3D, và áp đặt thêm điều kiện

biên là thế LO-phonon theo hướng z triệt tiêu Toán tử H F r 3D có dạng:

H F r 3D = ∑

⃗ Q

V Q e −i ⃗ Q⃗ r (a Q ⃗ + a+

trong đó ⃗ Q = ( ⃗ q ⊥ , q z ) là vectơ sóng của phonon và V Q là hằng số tươngtác electron-phonon

ϵ ∞ − 1

ϵ0

]]1/2

Để tìm Hamiltonian Frohlich 2D, H F r 2D, cho phonon bị giam giữ theo

chiều z, ta viết tổng theo ⃗ Q thành tổng theo ⃗ q ⊥ = (q x , q y) và tổng theo

giá trị dương của q z

Hamiltonian Frohlich đối với phonon bị giam giữ theo phương z

[

(cos q z z − i sin q z z)(a q x ,q y ,q z + a † −q x , −q y , −q z)

+(cos q z z + i sin q z z)(a q x ,q y , −q z + a † −q x , −q y ,q z)

a+(q x , q y) = √1

2[a q x ,q y ,q z + a q x ,q y , −q z ],

a − (q x , q y) = √ −i

2[a q x ,q y ,q z − a q x ,q y , −q z ]. (1.24)

Hai toán tử a †+(−q x , −q y ) và a † −(−q x , −q y) tương ứng là liên hợp của hai

toán tử a+(−q x , −q y ) và a −(−q x , −q y) Vận dụng định nghĩa (1.24) vào(1.23) ta được

Khi phonon bị giam cầm, năng lượng phonon bị lượng tử hóa theo

phương z, nên xung lượng bị lượng tử hóa

q z = mπ

L z ,

ở đây q z lớn hơn 0 nên m là số nguyên dương Chú ý điều kiện: hàm sóng

sẽ triệt tiêu tại z = ±L z /2, cos mπz L

z = cosmπ2 nên m phải nhận giá trị

là 1, 3, 5, , 2n + 1 Tương tự, đối với hàm sin mπz L

z = sinmπ2 nên m phải nhận giá trị là 2, 4, 6, , 2n Cuối cùng ta có

trong đó dấu cộng (trừ) tương đương sự phát xạ (hấp thụ), ε k ⃗ ′ là năng

lượng của electron ở trạng thái cuối, ε ⃗ k là năng lượng của electron ở

n ′ z πz

L z

)cos

Thay phương trình (1.31) vào (1.28) đồng thời nhân cả tử và mẫu vế

phải phương trình (1.28) với thể tích V của giếng lượng tử ta được

. (1.34)

1.4 Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng

lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến tính giam giữ phonon

Ta khảo sát tương tác của hệ electron-phonon trong bán dẫn giếng

lượng tử đặt trong trường laser có vectơ điện trường ⃗ E = ⃗ E0sin Ωt vuông

góc với phương truyền sóng Nếu bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại(tương tác của electron-electron, phonon-phonon) thì Hamiltonian của

hệ electron-phonon trong giếng lượng tử có dạng

trong đó số hạng thứ nhất và thứ hai trong phương trình (1.35) lần lượt

là Hamiltonian của electron và Hamiltonian của phonon, có dạng

m,⃗ q , b m,⃗ q lần lượt là toán tử sinh và hủy của phonon ở trạng thái

|⃗q, m⟩; ε n là phổ năng lượng của electron; ⃗ A(t) là thế vectơ được xác

định bởi công thức

⃗ A(t) = c

Ω

⃗

E0cos Ωt = ⃗ A0cos Ωt.

Hamiltonian Frohlich trong số hạng thứ ba của phương trình (1.35) mô

tả tương tác giữa electron và phonon và có dạng

trong đó M n,n ′ (⃗ q) là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon trong

giếng lượng tử và được tính bằng biểu thức

M n,n ′ (⃗ q) = γI 2D (q x , q y , L z ), (1.39)

với γ là hệ số tương tác (phụ thuộc vào cơ chế tán xạ), I 2D (q x , q y , L z) làthừa số dạng của electron trong giếng lượng tử và có tính đến sự giamgiữ phonon

Ta xét electron và phonon chuyển động tự do theo hai chiều x và

y, bị giam giữ theo chiều z nên ta viết: ⃗k → ⃗k ⊥ , ⃗ q → ⃗q ⊥ Hamiltonian

(1.35) được viết lại

Chương 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TỐC ĐỘ TẠO PHONON

Chương này trình bày về tính toán giải tích để thu được dạng

tường minh của phương trình động lượng tử cho phonon bị giam

giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn; thu được biểu

thức giải tích của tốc độ tạo phonon của phonon âm và phonon

quang bị giam giữ trong giếng lượng tử.

2.1 Phương trình động lượng tử cho phonon bị

giam giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn

Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuônggóc sâu vô hạn có xét tính giam giữ phonon có dạng

là toán tử sinh và hủy phonon, ω ⃗ ⊥ là tần số của phonon ứng với vectơ

sóng ⃗ q ⊥ , M n,n ′ (⃗ q ⊥) là hệ số tương tác electron-phonon trong giếng lượngtử

Để tìm F (t), ta xây dựng phương trình động lượng tử cho F (t) với dạng

]

Ta giải phương trình (2.23) bằng phương pháp biến thiên hằng số.Nghiệm của phương trình có dạng

}

.

(2.28)Tiến hành tương tự như trên, ta tính được

.

(2.30)Thay phương trình (2.28) và (2.30) vào (2.10)

}