skkn phương trình nghiệm nguyên

 Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên A - ĐẶT VẤN ĐỀ rong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình nghiệm nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được, vận dụng được là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi tư duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải được nhiều loại toán khác như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên… T Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính: Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết. Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 1  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu: 1- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 8. Những bài toán rút gọn và tìm điều kiện của biến, thì hầu hết các em đều làm được phần rút gọn, còn phần tìm điều kiện của biến thì học sinh còn nhiều lúng túng. Ví dụ những bài toán sau khi rút gọn có dạng: A = 12 10 −x ; A = 1 52 + + x x ; A = 1 2 23 − +− x xx Với điều kiện của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Hầu hết học sinh không giải được, số học sinh giải được chỉ chiếm tử 1- 4%. 2- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 9. ♣ Những bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1) 5x - 7y = 15 2) 3x 2 + 5y 2 = 345 3) x 3 - 7x 2 + 15x - 25 = 0 4) 1 111 =++ zyx 5) xy - 4x = 35 - 5 Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm được cách giải, số học sinh giải được chỉ chiếm 1 – 2%. Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán khó và mới đối với học sinh. Để học sinh nắm được cách giải các dạng toán này thì giáo viên phải tổng kết và áp dụng được vấn đề này. II - Phương pháp nghiên cứu: ♣ Phương pháp điều tra. ♣ Phương pháp thống kê. ♣ Phương pháp đối chứng. ♣ Phương pháp phân tích, tổng hợp. ♣ Phương pháp thực nghiệm. Bằng những phương pháp trên tôi đã thấy được hiệu quả rất cao của kinh nghiệm này. Kiến thức đưa ra để giảng dạy cho học sinh đảm bảo tính logíc có hệ thống từ thấp đến cao áp dụng được cho nhiều đối tượng học sinh. Bằng cách đưa ra phần lý thuyết có liên quan trước và hệ thống các bài tập phân theo dạng giúp học sinh khai thác tốt lý thuyết vận dụng vào giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Các bài tập đưa ra cho học sinh đã được chọn lọc và điều tra đảm bảo được tính tổng quát tiêu biểu và phong phú. Với phương pháp đưa ra nội dung kiến thức từ dễ đến khó, kinh nghiệm này đáp ứng được yêu cầu tiếp thu của học sinh và yêu cầu giảng dạy của giáo viên theo tinh thần đổi mới PPDH. 2  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên III – Nội dung của kinh nghiệm. A. GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHẦN LÝ THUYẾT THEO THỨ TỰ SAU: I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: a, b ∈ z (b ≠ 0) ∃ q, r ∈ Z a =bq + r với 0 ≤ r < b - Nếu r = 0 ⇒ a : b - Nếu r ≠ 0 ⇒ a : b 2. Một số tính chất: ∀ a,b,c,d ∈ Z - Nếu a ≠ 0 thì a : a và 0 : a - Nếu a : b và b : c ⇒ a : c - Nếu a : b và b : a ⇒ a = ± b - Nếu a : b và a : c ⇒ a : BCNN[a;b] - Nếu a : b và a : c (b,c) = 1 ⇒ a : (bc) - Nếu a : b ⇒ ac : b 3. Một số định lí thường dùng. - Nếu a : c và b : c ⇒ (a ± b) : c - Nếu a : c và b : d ⇒ ab : cd - Nếu a : b ⇒ a n : b n ( n nguyên dương) *Một số hệ quả áp dụng: + ∀ a,b ∈ z và n nguyên dương ta có (a n – b n ) : (a – b) + ∀ a,b ∈ z và n chẵn (n nguyên dương) ta có (a n – b n ) : (a + b) + ∀ a,b ∈ z và n lẻ (n nguyên dương) ta có (a n + b n ) : (a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + Dấu hiệu chia hết cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ sốhàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: 3  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên + Tập hợp số nguyên dương Z + = {1; 2; 3 …} + Tập hợp số nguyên âm Z - = {-1; -2; -3; …} + Tập hợp số nguyên Z = {…-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} III. Nhắc lại về phương trình nghiệm nguyên: ♣ Giải phương trình nghiệm nguyên F(x,y,z,…) = 0 là tìm tập hợp nghiệm (x,y,z,…) trong đó x,y,z,… ∈ Z . B. GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG DẠNG VÀ TỪNG PHƯƠNG PHÁP. I. Dạng phương trình ẩn đơn giản 1- Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a- Cách giải:( Qua 2 bước) + Giải phương trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x ∈ Z). b- Ví dụ : Tìm m để phương trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên *Hướng dẫn : - Để phương trình có nghiệm nguyên thì      ∈−= ≠ Z m x m 3 0 ⇒ m là ước số của 3 ⇒ m = {±1; ±2; ±3} c- Bài tập tương tự: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m – 1)x – 10 = 0 b) (m 2 – 2)x + 36 = 0 d- Bài tập phát triển: *Bài tập 1: Tìm n ∈ N để PT (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên. *Hướng dẫn: (4n + 3)x - 8n = 193 ⇔ (4n + 3)x = 193 + 8n ⇔ x = 34 187 34 68 34 8193 + + + + = + + nn n n n ⇔ x = 2 + 34 187 +n Bài toán trở thành đơn giản để x ∈ N thì 34 187 +n ∈ N ⇒ 4n + 3 là ước số của 187 ⇒ 4n + 3 = {1; 17; 187} ⇒ 4n + 3 = {17; 187} ⇒ n = {2; 46} *Bài tập 2: Tìm n ∈ N để PT (n - 1)x – n 3 + n 2 - 2 = 0 có nghiệm tự nhiên. *Hướng dẫn: (n - 1)x – n 3 + n 2 - 2 = 0 4  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên ⇔ (n - 1)x = n 3 - n 2 + 2 ⇔ x = 1 2 1 2 2 23 − += − +− n n n nn Bài toán trở thành đơn giản để x ∈ N thì 1 2 −n ∈ N ⇒ n - 1 là ước số của 2 ⇒ n = {2; 3} 2. Giải phương trình nghiệm nguyên dạng ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ Z) a- Cách giải:( Qua 2 bước) + Giải phương trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x ∈ Z). b-Ví dụ : *Ví dụ 1 : Giải PT nghiệm nguyên 2x 2 – x – 3 = 0 *Hướng dẫn: 2x 2 – x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(2x – 3) = 0 ⇔     = −= 2 3 1 x x Vậy PT có nghiệm nguyên là x = -1. *Ví dụ 2: Tìm n ∈ N để PT nx 2 + (2n – 3)x – 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên. *Hướng dẫn: nx 2 + (2n – 3)x – 6 = 0 ⇔ (x + 2)(nx – 3) = 0 ⇔     = −= n x x 3 2 - Để PT có 2 nghiệm nguyên thì x = Z n ∈ 3 vì n ∈ N ⇒ n = 1 hoặc n = 3 *Ví dụ 3: Tìm a ∈ Z để phương trình (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6. *Hướng dẫn: (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 ⇔ (x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0 ⇔     + = = 1 20 10 a x x Để PT có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì        > + ∈ + 6 1 20 1 20 a Z a ⇒ a = 0 hoặc a = 1. 3 - Phương trình nghiệm nguyên bậc cao. a-Cách giải: - Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa về dạng PT tích. b- Ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của PT x 3 – 6x 2 + 11x – 6 = 0 *Hướng dẫn: 5  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - Đưa PT về dạng (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 - PT có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3. *Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của PT x 3 – 7x 2 + 15x – 25 = 0 *Hướng dẫn: - Đưa PT về dạng (x – 5)(x 2 – 2x + 5) = 0 - Nhận xét: x 2 – 2x + 5 = (x – 1) 2 + 4 > 0 với mọi x ⇒ PT chỉ có nghiệm nguyên x = 5. *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 3 + (x + 1) 3 + (x + 2) 3 = (x + 3) 3 *Hướng dẫn: - Đặt y = x – 3 ⇒ x = y + 3 ⇒ (y + 3) 3 + (y + 4) 3 + (y + 5) 3 = (y + 6) 3 ⇔ 2y 3 + 18y 2 + 42y = 0 ⇔ 2y(y 2 + 9y + 21) = 0 - Vì y 2 + 9y + 21 = (y + 2 9 ) 2 + 4 3 > 0 ⇒ y = 0 ⇔ x = 3 *Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của PT: 6 7 32 22 22 12 2 2 2 2 = ++ ++ + ++ ++ xx xx xx xx *Hướng dẫn: - Đặt y = 22 2 ++ xx = (x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ⇒ ta được PT nghiệm nguyên đối với y là: 6 7 1 1 = + + − y y y y ⇔ 5y 2 -7y – 6 = 0 ⇒ y = 2 hoặc y = - 5 3 (loại) - Với y = 2 ⇒ x 2 + 2x + 2 = 2 ⇔ x = 0 hoặc x = - 2 II – Dạng phương trình nghiệm nguyên nhiều ẩn. 1-Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c ∈ Z) - Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là (a,b) = 1. Nếu (a,b) = d > 1 và c chia hết d thì phương trình không có nghiệm nguyên. * Cách giải: - Tách phần nguyên rút ẩn có hệ số giá trị tuyệt đối nhỏ. *Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29 *Hướng dẫn: 3x + 4y = 29 ⇔ 3x = 29 – 4y ⇔ x = 3 2 9 3 429 y y y − +−= − x,y ∈ Z ⇒ 3 2 y− ∈ Z ⇒ 2 – y = 3t (t ∈ Z) ⇒    −= += ty tx 32 74 *Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x - 7y = 15 *Hướng dẫn: - Nhận xét UCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t ∈ Z) 6  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên Ta có : 5x - 35t = 15 ⇒ x = 7t + 3. Vậy nghiệm của PT là    = += ty tx 5 37 (t ∈ Z) *Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của 8x - 3y = 15 *Hướng dẫn: - PT 8x - 3y = 15 ⇔ 3y = 8x – 15 ⇔ y = 3x + 4 + 3 1 x− - Đặt 1 – x = 3t (t ∈ Z) ⇒ x = -3t + 1 ⇒ y = - 8t + 7 - Để x,y nguyên dương thì    >− >− 087 031 t t ⇒ t < 3 1 Vậy nghiệm nguyên dương của PT là    +−= +−= 78 13 ty tx (t < 3 1 ) 2 - Giải phương trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết. * Cách giải: - Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 3x 2 + 5y 2 = 345 *Hướng dẫn: - Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5 ⇒ 3x 2 : 5 ⇒ x 2 : 5 ⇒ x : 5 ⇒ 5y 2 : 3 ⇒ y 2 : 3 ⇒ y : 3 - Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dương) ⇒ 3.25a 2 + 5.9b 2 = 345 ⇒ 5a2 + 3b2 = 23 ⇒ a 2 5 23 ≤ và b 2 3 23 ≤ ⇒ 2≤a và 2≤b - Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 . Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dương là x = 10; y = 3 *Ví dụ 2: Giải bài toán cổ: Trăm trâu trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó Hỏi trâu mỗi loại ? *Hướng dẫn: - Gọi số trâu đứng là x con. - Gọi số trâu nằm là y con. (Với x,y,z nguyên dương) - Gọi số trâu già là z con. Theo bài ra ta có    =++ =++ ⇔      =++ =++ )2(300915 )1(100 100 3 35 100 zyx zyx z yx zyx 7  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên - Lấy (2) - (1) ⇒ 7x + 4y = 100 ⇒ y = 25 – 2x + 4 x ⇒ x: 4 ⇒ x = 4t (t ∈ Z) ⇒ y = 25 – 7t ⇒ z = 75 + 3t. Ta có y > 0 ⇒ t ≤ 3. Ta có các nghiệm sau :      = = =      = = =      = = = 84 4 12 ; 81 1 8 ; 78 18 4 z y x z y x z y x *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 3 + 9y 3 + 9z 3 -9xyz = 0 *Hướng dẫn: - Gọi x 0 , y 0 , z 0 là nghiệm của PT ⇒ Ta có x 3 0 + 9 + 9z 3 0 -9x 0 y 0 z 0 = 0 ⇒ x 0 : 3 ⇒ 3 y 3 0 : 9 ⇒ y 0 : 9 ⇒ 9z 3 0 : 27 ⇒ z 0 : 3 - Đặt x 0 = 3x 1 ; y 0 =3y 1 ; z 0 = 3z 1 ⇒ x 1 + 3y 3 1 + 9z 3 1 - 9x 1 y 1 z 1 = 0 Tương tự trên ta có x 1 , y 1 , z 1 đều chia hết cho 3 ⇒ x 0 , y 0 , z 0 đều chia hết cho 3 2 - Lập luận nhiều lần ⇒ x 0 , y 0 , z 0 đều chia hết cho 3 n ( mọi n 1≥ ) ⇒ x 0 = y 0 = z 0 = 0 3 - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 5x – 3y = 2xy - 10 *Hướng dẫn: 5x – 3y = 2xy – 10 ⇔ y(2x + 3) = 5x + 10 ⇔ 2y = 32 5 5 32 105 + += + + xx x - Để PT có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ước của 5 ⇒ Chỉ có 2x + 3 = 5 x =1 ⇒ y = 3 (Thoả mãn) Vậy PT có nghiệm nguyên dương là x =1; y = 3 *Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz *Hướng dẫn: 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz ⇔ 7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz) ⇔ x + 7 3 2 12 +−= +yz z ⇔ x + 3 1 2 3 2 1 2 1 + +−= + z y ⇒      = = −= 3 1 2 z y x 4 - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp bình đẳng ẩn. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT x + y + z = xyz *Hướng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. Giả sử 0 < x ≤ y ≤ z ⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3 + Nếu x = y = z ⇒ z 3 = 3z ⇒ z 2 = 3 không xảy ra 8  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên ⇒ x, y, z không thể bằng nhau. + Từ xy ≤ 3 ⇒ chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT. *Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 1 111 =++ zyx *Hướng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. - Giả sử 0 < x ≤ y ≤ z ⇒ xzyx 3111 ≤++ mà 31 3 ≤⇒≥ x x ⇒ x = {1; 2; 3} + Nếu x = 1 ⇒ zy 11 + = 1 – 1 ⇒ zy 11 + = 0 không xảy ra. + Nếu x = 2 ⇒ zy 11 + = 2 1 dùng bình đẳng với y và z ⇒ (y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)} + Nếu x = 3 ⇒ chỉ có y = z = 3 Vậy các cặp số sau là nghiệm của PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3). *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên 3=++ y zx x yz z xy *Hướng dẫn: - Nếu trong 3 số x, y, z có cùng một số âm thì 3 = y zx x yz z xy ++ < 0 không xảy ra. - Nếu x, y, z có cùng dương hoặc có 2 số âm thì 3 = 3≥++ y xz x zy z yx 3 1 . Vậy 1=== zyx 5 - Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp loại trừ. *Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của PT 12 x + 5 y = 13 x *Hướng dẫn: - Ta thấy x = 2 là nghiệm của PT vì 12 2 + 5 2 = 13 2 - Biến đổi PT 12 x + 5 y = 13 x ⇔ 1) 13 5 () 13 12 ( =+ xx . + Nếu x > 2 ⇒ x ) 13 12 ( < 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( < 2 ) 13 5 ( ⇒ 1) 13 5 () 13 12 ( <+ xx không xảy ra. + Nếu x < 2 ⇒ x ) 13 12 ( > 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( > 2 ) 13 5 ( ⇒ 1) 13 5 () 13 12 ( >+ xx không xảy ra. 9  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất. *Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y 2 *Hướng dẫn: x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y 2 ⇔ (x 2 + 8x)(x 2 + 8x + 7) = y 2 , đặt z = x 2 + 8x ⇔ z(z + 7) = y 2 ⇒    −≤ ≥ 7 0 z z - Ta có (z + 3) 2 < z(z + 7) < (z + 4) 2 với mọi z > 9. ⇒ (z + 3) 2 < y 2 < (z + 4) 2 không xảy ra ⇒ z ≤ 9 Vậy z ≤ -7 hoặc 0 ≤ z ≤ 9 - Thay vào ta có: (x;y) ={(-9;-12);(-9;12);(-8;0);(-7;0);(-4;-12);(-4;12);(-1;0);(0 ;0);(1;-12);(1;12)} *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 6 + 3x 3 + 1 = y 4 *Hướng dẫn: - Xét x > 0 ta có (x 3 + 1) 2 < x 6 + 3x 3 + 1 < (x 3 + 2) 2 ⇒ (x 3 + 1) 2 < y 4 < (x 3 + 2) 2 không xảy ra. - Xét x ≤ - 2, ta có: (x 3 + 2) 2 = x 6 + 4x 3 + 4 < x 6 + 3x 3 + 1 < (x 3 + 1) 2 ⇒ (x 3 + 2) 2 < y 4 < (x 3 + 1) 2 không xảy ra. ⇒ x = {0; 1} thay vào ta có nghiệm là    = = 1 0 y x ;    −= = 1 0 y x *Bài tập tương tự : Giải PT nghiệm nguyên (x + 2) 4 - x 4 = y 3 6 - Giải phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng tích. *Ví dụ 1: Giải PT nghiệm nguyên dương xy – 4x = 35 - 5 *Hướng dẫn: xy – 4x = 35 – 5 ⇔ xy – 4x + 5y – 20 = 15 ⇔ (x + 5)(y – 4) = 15 ⇒ x + 5 và y – 4 là ước của 15. Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dương là    = = 5 10 y x *Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên dương x 2 – 6xy + 13y 2 = 100 *Hướng dẫn: x 2 – 6xy + 13y 2 = 100 ⇔ x 2 – 6xy + 9y 2 = 100 – 4y 2 ⇔ (x – 3y) 2 = 4(25 – y 2 ) 0 ≥ ⇒ y ≤ 5 và 25 – y 2 là số chính phương. Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dương là : (x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)} *Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của PT xy 2 + 3y 2 – x = 108 *Hướng dẫn: xy 2 + 3y 2 – x = 108 ⇔ xy 2 + 3y 2 – x – 5 = 105 ⇔ (y 2 – 1)(x + 3) = 105 ⇒ y 2 – 1 là ước của 105 10 [...]... x2y2 Bài 3: Chứng tỏ PT xy5 = x5y + 1999 không có nghiệm nguyên - Đối với 10 em được học về Phương trình nghiệm nguyên thì có 7 em giải đúng kết quả bài 1 là x = 6, y = 2 + 9 em giải đúng bài 2 ( Kết quả x = y = z = 0) 12  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên + 6 em làm đúng bài 3 - Đối với 10 em chưa được học về Phương trình nghiệm nguyên thì chỉ có 1 em học giải đúng bài 1, 2em... khoa học và các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm sau tôi viết tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn ! *Đề xuất hướng nghiên cứu kinh nghiệm tiếp theo là: - Giải hệ phương trình nghiệm nguyên - Vận dụng phương trình nghiệm nguyên trong hàm số và đồ thị - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ngày 25 tháng 02 năm 2008 14  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên TÀI LIỆU THAM KHẢO -  - 1 SGK6,... em được học về Phương trình nghiệm nguyên thì các em đều sử dụng tốt phương pháp bình đẳng ẩn để giải Có 8em giải đúng, còn 2 em thiếu nghiệm - Đối với 10 em chưa được học về Phương trình nghiệm nguyên thì chỉ có 1 em học giải đúng còn 9 là giải sai b - Kiểm tra 20 em học sinh lớp 9A (Khá và giỏi) với bài toán: Bài 1: Giải PT nghiệm nguyên dương 2x = 1 + 3y.7z Bài 2: Giải PT nghiệm nguyên x2 + y2... kinh nghiệm Kinh nghiệm này có thể áp dụng từng phần cho học sinh khối 6, 7, 8, 9 Chủ yếu bồi dưỡng học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10 Đặc biệt kinh nghiệm dạy Phương trình nghiệm nguyên có tác dụng rất cao trong việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THCS, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh 13  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên C – KẾT LUẬN T rên đây là những kinh nghiệm. .. giá trị nguyên ? Bài 12: (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán- Quốc học Huế - 2002-2003) Cho biểu thức A = ( x + 1 x − 1 x 2 − 4 x − 1 x + 2003 − + ) x −1 x +1 x x2 −1 11  Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên lớn hơn 8 (a ∈ Z; a > 8) để A có giá trị nguyên IV- Kết quả đạt được 1- Kết quả chung: Sau khi dạy xong về Phương trình nghiệm nguyên ... trình nghiệm nguyên cho học sinh Các em không những giải tốt những bài toán về Phương trình nghiệm nguyên , mà các em còn giải được một số bài toán có liên quan khác như: ♣ Dạng toán chia hết ♣ Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ♣ Dạng toán hệ phương trình nghiệm nguyên Thông qua các dạng toán về Phương trình nghiệm nguyên giúp các em học sinh phát triển tư duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự... bình) với bài toán: Bài 1: Tìm số nguyên dương x để y dương và lớn nhất với y = 3x + 7 4x − 5 - Đối với 10 em được học về Phương trình nghiệm nguyên thì có 9 em đều tách được 4y = 3 + 43 13 và lí luận đúng ymax = 4x − 5 3 - Còn 1 em sai - Đối với 10 em chưa được học về Phương trình nghiệm nguyên thì chỉ có 2 em học khá giải đúng còn lại là giải sai Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của các PT sau: 1... học kinh nghiệm Qua kinh nghiệm về dạy Phương trình nghiệm nguyên tôi thấy giáo viên muốn đạt kết quả cao cần chú ý những điểm sau: + Phải hướng dẫn học sinh nắm chắc phần lý thuyết + Phải rèn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải và thưc hành nhiều với các bài toán từ dễ đến khó + Khi giải một bài toán có vận dụng Phương trình nghiệm nguyên trước hết phải đoán dạng, sau đó mới chọn lựa phương. .. KẾT LUẬN T rên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi về giảng dạy Phương trình nghiệm nguyên Đây là chuyên đề khó và rộng, đôi khi nhắc đến giải phương trình nghiệm nguyên là học sinh có tâm lý “kinh hãi” Vì vậy trong chuyên đề tôi đã đưa một số dạng và phương pháp giải cơ bản, để rèn kĩ năng cho học sinh Tác dụng của kinh nghiệm này rất bổ ích với học sinh khá giỏi Nó trau rồi tư duy, rèn nếp... Kinh nghiệm giảng dạy về phương trình nghiệm nguyên x = 0 y = 6 Thay vào ta chỉ được y = 6 ⇒ x = 0 Vậy PT có nghiệm tự nhiên là  BÀI TẬP BỔ SUNG, MỞ RỘNG Bài 1: Tìm nghiệm nguyên: a) 3x + 2y = 85 b) 3x - 5y = 7 c) 5x + 25 = - 3xy + 8y2 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương: a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 1 1 1 c) x + y = 14 Bài 3: Tìm . dụng nhiều đó là Phương trình nghiệm nguyên . Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên là chuyên. DẠNG VÀ TỪNG PHƯƠNG PHÁP. I. Dạng phương trình ẩn đơn giản 1- Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a- Cách giải:( Qua 2 bước) + Giải phương trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x ∈ Z). b-. Dạng phương trình nghiệm nguyên nhiều ẩn. 1 -Phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c ∈ Z) - Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là (a,b) = 1. Nếu (a,b) = d > 1 và c chia hết d thì phương