Toán tài chính (tiếng Anh: mathematical finance) là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Nói chung, tài chính toán học sẽ thừa kế và mở rộng các mô hình toán học hay con số mà không cần phải thiết lập một liên kết đến lý thuyết tài chính, bằng cách lấy giá cả thị trường quan sát như đầu vào. Tính thống nhất toán học là cần thiết, chứ không phải là tính phù hợp với lý thuyết kinh tế.
AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info Dạng 1. Tính lãi suất trung bình của 3 khoản vốn vay Ví dụ: 3 khoản vốn vay v ào ngày 20/3 có giá tr ị là 200tr, 250tr, 300tr v ới lãi suất lần lượt là 13%, 11.5%, 10%. Ngày tr ả nợ lần lượt là 25/5, 15/6, 20/7. Hãy tính lãi su ất vay trung bình của 3 khoản vốn vay trên. Giải: - B1: Tính số ngày vay của 3 khoản vốn vay 20/3 25/5 có 66 ngày 20/3 15/6 có 87 ngày 20/3 – 20/7 có 122 ngày - B2: Xếp các con số theo cột nh ư sau tương ứng (xếp thế này sẽ ko bị nhầm lẫn khi tính toán) 200 250 300 66 87 122 13% 11.5% 10% - B3: Tính lãi suất trung bình = (200*13%*66+250*11.5%*87+300*10%*122)/(200*66+250*87+300*122) = 11.01% Đ/S: 11.01% Dạng 2: Tìm 2 khoản đầu tư Ví dụ: 2 khoản đầu tư có tổng số là 100000 USD đem đ ầu tư trong 13 năm. Khoản thứ nhất đầu tư theo lãi đơn với lãi suất 11%/năm. Khoản thứ 2 đầu t ư theo lãi gộp với lãi suất 8%/năm. Sau 13 năm số tiền thu đ ược của 2 khoản vốn l à như nhau. Tìm khoản vốn thứ 2. Giải: - Gọi khoản vốn thứ nhất l à C Khoản vốn thứ 2 là: 100000 – C - Số tiền thu được sau 13 năm của khoản vốn 1: C + C*13*0.11 Số tiền thu được sau 13 năm của khoản vốn 2: (100000 – C)*(1+0.08)^13 - Ta có phương trình: C+C*13*0.11 = (100000 -C)*(1.08)^13 - Giải pt trên : 2.43C = 271962.4 – 2C Do đó : C = 52812.08 Vậy khoản vốn thứ 2 là : 100000 – 52812.08 = 47187.92 Đ/S: 47187.92 Dạng 3. Tính giá trị khoản ni ên kim cố định trả mỗi lần Ví dụ: 1 DN mua 1 chiếc oto có giá trị 700tr d ưới hình thức sau. Trả ngay 1 nửa số tiền cần thanh toán. Phần c òn lại thanh toán thành 4 lần, mỗi lần cách nhau 3 tháng. L ãi suất là 3.5%/3 tháng. Hãy tính s ố tiền mỗi lần trả. Giải: - Trả ngay 1 nửa số tiền tức l à số tiền còn phải trả bằng dãy niên kim là 700000000/2 = 350000000 AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info - Ta có công thức niên kim như sau : 350 000 000 = a * [(1 -(1+0.035)^(-4))/0.035 ] Suy ra a = 350 000 000 / [ …] ( ph ần trong ngoặc vuông tra bảng 4 l à ra) Vậy a = 350 000 000 / 3.673079 = 95287904 Đ/S: 95.288 triệu Dạng 4. Tính NPV của 1 hoạt động đầu t ư Ví dụ: 1 hoạt động đầu tư có dòng tiền thu chi như sau . CF0=-50tr, CF1=-30, CF2=10, CF3=30, CF4=60, CF5=60. Tính NPV c ủa dự án trên. Giải: - Tra bảng 2 (1+i)^(-n) với n chạy từ 1 tới 5 rồi viết th ành bảng như sau - -50 -30 10 30 60 60 1 0.921659 0.849455 0.782908 0.721574 0.665045 - NPV = -50*1 - 30*0.921659 + 10*0.849455 + 30*0.782908 + 60*0.721574 + 60*0.665045 = 37.53 tr Đ/S: 37.53 triệu Dạng 5. Tính giá trị niên kim ở thời điểm cuối Ví du. 1 người gửi vào ngân hàng đều đặn hàng năm số tiền 3000Euro trong 20 năm. 8 năm đầu lãi suất là 8.5%/năm. Sau đó l ãi suất tăng lên 9.5%/năm. Tính s ố tiền người đó có được khi gửi khoản tiền cuối c ùng. Giải. - Số tiền người đó thu được khi gửi khoản tiền cuối c ùng là 3000*[((1+0.085)^8-1)/0.085]*(1+0.095)^12 + 3000*[((1+0.095)^12 -1)/0.095] - Tra bảng 1 và 3 tìm ra = 158805 Euro Đ/S: 158805 euro Dạng 6. Tính giá trị của khoản niên kim cuối cùng Ví dụ: 1 khoản vay trị giá 200 000USD đ ược trả làm 10 lần mỗi lần cách nhau 1 năm với lãi suất 10.75%/năm. 9 lần đầu mỗi lần trả 34000 USD. Hỏi lần cuối c ùng phải trả bao nhiêu tiền? Giải: - Quy về giá trị hiện tại sau 9 lần trả số tiền ng ười đó còn phải trả là: 200000 – 34000*[(1-(1+0.1075)^(-9))/0.1075] = 9896.956 - Vậy lần trả thứ 10 có giá trị l à (Tương lai hóa khoản tiền vừa tính ở tr ên lên 10 thời kỳ) 9896.956*(1+0.1075)^10 = 27475.078 Đ/S: 27475.078 Dạng 7. Tìm khoản thanh toán nợ gốc cuối c ùng của các niên kim cố định AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info Ví dụ: 1 khoản vay trị giá 1000000 USD đ ược thanh toán hàng năm b ằng dãy 7 niên kim với lãi suất 6%/năm. Tính khoản thanh toán nợ gốc cuối c ùng. Giải. - Theo mục 4(trang 44 sách bảng t ài chính) a=D*[i/(1-(1+0.06)^(-7))] = 1000000*0.1791350 = 179135 (tra b ảng 5) - Theo mục 5c (trang 44 Bảng t ài chính) Mn = a/(1+i) = 179135/(1+0.06) = 168995.3 USD Đ/S: 168995.3 USD Dạng 8. So sánh 3 cách thanh toán n ợ Ví dụ: 1 khoản nợ trị giá 20000 USD đ ược thanh toán bằng 3 cách sau - Phương án A. Thanh toán ngay 20000 USD - Phương án B. Thanh toán b ằng 17 niên kim mỗi niên kim có giá trị là 2000 USD cách nhau 1 năm với lãi suất 5%/năm. - Phương án C. Thanh toán b ằng 21 niên kim mỗi niên kim có giá trị là 1600 USD cách nhau 1 năm với lãi suất 5%/năm. Sắp xếp 3 phương án trên theo th ứ tự tăng dần giá trị đ ã trả. Giải. - Phương án A. số tiền đã trả là 20000 USD - Phương án B số tiền đã trả quy về hiện tại là : 2000*[(1-(1+0.05)^(-17))/0.05] = 22548.132 - Phương án C đã trả quy về hiện tại là: 1600*[(1-(1+0.005)^(-21))/0.05] = 20513.8448 Vậy A<C<B Đ/S: A<C<B Dạng 9. Tính khoản thanh toán nợ gốc thứ k (k có thể chạy từ 1 tới 10) Ví dụ: 1 khoản nợ trị giá 3 00000 USD được thanh toán bằng 10 dãy niên kim cố định với lãi suất 11%/năm. Tính khoản thanh toán nợ gốc thứ 8 . Giải - Khoản thanh toán nợ gốc đầu ti ên m1= D/[((1+0.11)^10-1)/0.11] = 300000/16.722009= 17940.428 - Khoản thanh toán nợ gốc thứ k (ở b ài này là thứ 8) mk= m1*(1+i)^(k-1)=m1*(1+0.11)^7= 17940.428*2.076160= 37247.199 Đ/S: 37247.199 USD Dạng 10. Tính giá trị niên kim thứ k (k có thể chạy từ 1 -10) Ví dụ: 1 khoản nợ 450 000 USD đ ược thanh toán bằng d ãy 7 niên kim cố định có khoản thanh toán nợ gốc cố định . Lãi suất là 11.5%/năm. Tìm giá trị niên kim thứ 3. Giải: - Theo mục 6 trang 44 bảng t ài chính thì giá trị niên kim thứ nhất AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info a1=D*(i+1/n)=450000*(0. 115+1/7)=116035.7143 - Giá trị niên kim thứ 3 (vì niên kim 3 cách niên kim 1 là 2 công sai ) là: a3=a1 + 2*d = 116035.7143 + 2* ( -D*i/n) = 116035.7143 -2*450000*0.115/7 =101250 USD Đ/S: 101250 USD Dạng 11. Tính lãi suất trong quá trình hiện tại hóa liên tục Ví dụ: Giá trị hiện tại của số tiền C đ ược trả sau n năm khi t ư bản hóa liên tục là V. Tìm lãi suất I biết C=20500, V=12458.77117, n=6 Giải - Lãi suất I phải tìm tính theo công th ức i= ln(C/V)/n = ln(20500/12458.77117)/6 = 0.083=8.3% Đ/S: 8.3% Dạng 12. Tương tự dạng 4. Tính NPV Dạng 13. Tìm thời điểm số tiền chiết khấu 2 th ương phiếu bằng nhau Ví dụ: 2 thương phiếu có giá trị lần lượt là 10000USD và 2000USD có th ời hạn lần lượt là 6 và 8 năm được chiết khấu theo l ãi gộp với lãi suất 7%/năm. Tìm thời điểm p mà số tiền chiết khấu của 2 th ương phiếu bằng nhau. Giải: - Gọi khoảng thời gian từ thời điểm p tới khi th ương phiếu 1 hết hạn (6 năm) l à n - Số tiền chiết khấu của th ương phiếu 1 tại thời điểm p l à: 10000(1-1.07^(-n)) Số tiền chiết khấy của th ương phiếu 2 tại thời điểm p l à: 2000(1-1.07^(-n-2)) - Ta có pt: 10000(1-1.07^(-n))=2000(1-1.07^(-n-2)) - giải pt: 8000 = 10000*1.07^( -n) – 1746.878*1.07^(-n) 1.07^n =8253.122/8000 = 1.03164 n= ln1.03164/ln1.07 = 0.46 (năm) p=6-0.46=5.54 (năm) Đ/S: 5.54 năm Dạng 14. Tính giá trị tiền gửi ngân h àng Ví dụ. 1 người gửi đều đặn vào NH 1 số tiền theo cách sau: h àng năm vào ngày 15/1 g ửi 1500 euro, vào ngày 15/7 g ửi 2000 euro. Lần gửi đầu tiên 15/1/2000, lần gửi cuối cùng 15/1/2010. Hỏi số tiền người đó có được sau khi thực hiên việc gửi lần cuối cùng là bao nhiêu. Lãi suất hàng năm là 6%. Giải. Lãi suất bình quân 6 tháng là : i’=(1+i)^0.5 -1 = 1.06^0.5 – 1= 0.02956 Có thể coi người đó gửi tiền vào ngân hàng tạo thành 2 dãy niên kim Dãy 1 gồm 11 niên kim= 1500* [(1.06^11 – 1)/0.06] = 22457.4645 AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info Dãy 2 gồm 10 niên kim (phải tương lai hóa thêm 6 tháng n ữa theo lãi suất 0.02956 để đưa về cùng thời điểm là ngày 15/1/2010) = 2000*[(1.06^10 – 1)/0.06] * (1+0.02956) = 27140.8386 Giá trị tại ngày 15/1/2010 là : 224547.4 645+27140.8386 = 49598 euro Đ/S. 49598 euro Dạng 15. Tìm số tiền gửi C theo l ãi đơn Ví dụ. 2 khoản tiền có tổng số l à 30000USD gửi vào ngân hàng theo lãi đơn. Khoản tiền 1 gửi với lãi suất t%/năm mang lại thu nhập h àng năm là 1680 USD. Kho ản tiền thứ 2 gửi với lãi suất (t+2)%/năm mang lại thu nhập h àng năm là 2880 USD. T ìm khoản tiền thứ nhất. Giải: - Gọi khoản tiền thứ nhất l à :C (C>0) Khoản tiền thứ 2 là : 30000 – C - Thu nhập hàng năm của khoản 1 : C*t/100 = 1680 Thu nhập hàng năm của khoản 2: (30000-C)*(t+2)/100=2880 - Ta có hệ pt C*t = 168000 (1) 30000t+60000-C*t-2C=288000 (2) Thay (1) vào (2) ta có: 30000t -2C-396000=0 (3) Thay t=168000/C vào (3) quy đ ồng ta có: -2C^2 -396000 +5040000000 =0 Dùng máy tính giải pt bậc 2 ra nghiệm C =12000 Đ/S: 12000 USD Chúc các bạn thi tốt . AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info Dạng. còn phải trả bằng dãy niên kim là 700000000/2 = 350000000 AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info - Ta. khoản thanh toán nợ gốc cuối c ùng của các niên kim cố định AntonD – TC12.01 Khóa 12 Khoa TCNH Ngày thi 23/10/2010 Diễn đàn sinh viên ĐH Kinh doanh và Công ngh ệ Hà Nội http://www.svhubt.info Ví dụ: