BD HS giỏi: Cực trị đại số

Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 03/11/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 08/11/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 1 11 10 00 0 cực trị đại số Buổi 1 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức - - sĩ số sĩ sốsĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài BàiBài Bài mới mớimới mới I I I I - - Các phơng pháp Các phơng phápCác phơng pháp Các phơng pháp Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 x y 2 + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x y + . Hớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên 1 1 0; 0; x 0; y 0 x y > > > > Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng 1 1 ; x y tìm đợc xy 4 Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng x và y Ta có: A x y 2 x . y 2 4 4 = + = = Dấu = xảy ra x = y = 4. Vậy Min A = 4 x = y = 4 Phơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó. *) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5 7 3x + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Hớng dẫn: ĐKXĐ: 5 7 x 3 3 Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 4 = + + + + = Dấu = xảy ra x = 2 Vậy Max A 2 = 4 => Max A = 2 x = 2 Phơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với cùng một số khác 0 *) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 9 A 5x = Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 9 ( ) x 9 x 9 1 .3 3 x 9 3 2 3 1 A 5x 5x 5x 30 + = = = Dấu = xảy ra x = 18 Vậy Max A = 1 30 x = 18 Phơng pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. 1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau *) Bài tập 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 3x 16 A x + = Hớng dẫn: 4 4 3 3 3 3x 16 16 x.x.x.16 A x x x 4 8 x x x + = = + + + = Dấu = xảy ra x = 2 Vậy Min A = 8 x = 2 2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số) *) Bài tập 5: Cho 9x 2 0 x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x x < < + Hớng dẫn: 9x 9x 9x 2 2 x 2 x A = 1 2. . 1 7 2 x x 2 x x 2 x x + = + + + = Dấu = xảy ra x = 1 2 Vậy Min A = 7 x = 1 2 Phơng pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho *) Bài tập 6: Cho ba số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 y x z P y z z x x y = + + + + + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dơng 2 y z x và y z 4 + + Ta có 2 y z x + x y z 4 + + Tơng tự : 2 y z x + y z x 4 + + và 2 x y z + z x y 4 + + Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc P 1 Dấu = xảy ra x = y = z = 2 3 Vậy Min P = 1 x = y = z = 2 3 II II II II Luyện tập Luyện tậpLuyện tập Luyện tập *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 1 x y + Hớng dẫn: 2 x y xy a xy a 2 + = => => 2 x y 2a 2 A xy a a + = = Dấu = xảy ra x = y = a Vậy Min A = 2 a x = y = a *) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 5 23 x = + Hớng dẫn: ĐKXĐ: 5 x 23 . Max A 2 = 36 Max A = 6 x = 14 *) Bài tập 3: Cho x + y = 15, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức B x 4 y 3 = + Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 4;y 3 ( ) ( ) ( )( ) 2 B x 4 y 3 2 x 4 y 3 8 2 x 4 y 3 8 B 8 = + + + => Dấu = xảy ra x 4 = 0 hoặc y - 3 = 0 Nếu x = 4 thì y = 11 và y = 3 thì x = 12 (vì x + y = 15) B 8 MinB 8 => = (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3) Max B 2 = 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7) *) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2x 6x 5 A 2x + = (x > 0) Hớng dẫn: 5 A x 3 10 3 2x = + . Dấu = xảy ra 1 x 10 2 = Vậy Min A = 10 3 1 x 10 2 = *) Bài tập 5: Tỡm giá trị lớn nhất ca biu thc a) A = 3 5 7 3 x x + b) B = 5 23 x x + Hớng dẫn a) KX: 5 3 x 7 3 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ta có: A 2 = 3x - 5 + 7 - 3x + 2 (3 5)(7 3 ) x x = 2 + 2 (3 5)(7 3 ) x x p dng BT Cụ-si ta cú: A 2 2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4 Du = xy ra 3x - 5 = 7 - 3x x = 2 Vy Max A 2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2 b) Tơng tự câu a IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà - Xem lại các bài đã chữa, giải các bài tập sau: *) Bài tập 1: Cho a, b, x là những số dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) x a x b P x + + = Hớng dẫn: ( ) ( ) 2 ab ab P x (a b) 2 x. a b a b x x = + + + + + = + Min P = ( ) 2 a b + x = ab *) Bài tập 2: Cho x 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x 2x 17 Q 2(x 1) + + = + Hớng dẫn: ( ) 2 x 1 16 8 8 x 1 x 1 Q 2 . 4 2(x 1) 2 x 1 2 x 1 + + + + = = + = + + + Min Q = 4 x = 3 *) Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 6 x 34 M x 3 + + = + Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 0 ( ) 2 x 3 25 25 M x 3 2 25 10 x 3 x 3 + + = = + + = + + Min M = 10 x = 4 *) Bài tập 4: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 x 2000 N x + = Hớng dẫn: 2 2 2 3 2000 1000 1000 1000 1000 N x x 3 x . . 3.100 300 x x x x x = + = + + = = Min N = 300 x = 10 *) Bài tập 5: Cho x > 0 và y > 0; x + y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 16 12 P 5x 3y x y = + + + Hớng dẫn: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 ( ) ( ) 16 16 12 12 P 2 x y 3x y 12 2 3x. 2 y. 32 x y x y = + + + + + + + = Min P = 32 x = 2 và y = 4 *) Bài tập 6: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 x 1,2xy y Q x y + + = Hớng dẫn: ( ) 2 x y 3,2xy 16 Q x y 2 16 8 x y x y + = = + = Min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 và y = 1 hoặc x = - 1 và y = - 5) *) Bài tập 7: Cho x > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 25 A 4x x 1 = + Hớng dẫn: ( ) ( ) 25 25 A 4 x 1 4 2 4 x 1 4 24 x 1 x 1 = + + + = Min A = 24 x = 3,5 *) Bài tập 8: Cho 0 < x <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4 B 1 x x = + Hớng dẫn: Đặt 4b(1 x) 3 3ax 4 B c 1 x x 1 x x = + = + + Sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc a = b = 1; c = 7 Vậy ( ) ( ) 2 4 1 x 3x B 7 2 3 1 x x = + + + (theo cô-si) Min B = ( ) 2 2 3 + x = ( ) 2 3 1 *) Bài tập 8: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 2 2 x y z + + Hớng dẫn: a) 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy ;yz ;zx (theo cô-si) 2 2 2 + + + => ( ) ( ) 2 2 2 2 xy yz zx x y z x y z 2 xy yz zx + + + + = + + + + => A 2 a 3 . Max A = 2 a 3 x = y = z = a 3 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B x y z x y z 2 xy yz zx a 2 xy yz zx = + + = + + + + = + + B min (xy + yz +zx ) max xy + yz +zx = 2 a 3 (theo câu a) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Khi đó Min B = 2 a a x y z 3 3 <=> = = = *) Bài tập 9: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y x z P y z x = + + Hớng dẫn: 2 2 2 2 2x y y 2y z 2z x x z P y z x z x y = + + + + + 2 2 2 4 x y x y x .x .y.z x z 4 4x y yz z z + + + = Tơng tự 2 y y z y z x 4y z x x + + + ; 2 z x z x z y 4z x y y + + + Do đó 2 P 36 => P 6 . Min P= 6 x = y = z = 4 *) Bài tập 10: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = ( ) ( ) a a a 1 1 1 x y z + + + Hớng dẫn: 2 2 4 2 x 2 yz 4 x yz x x y z a 1 x x x x + + + + + = Tơng tự: 2 2 4 2 y 2 xz 4 y xz y y x z a 1 y y y y + + + + + = ; 2 4 4 z yx a 1 z z + Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có ( ) 4 4 64 xyz Q 64 xyz = Min Q = 64 x = y = z = a 3 *) Bài tập 11 : Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 a 1 b 1 c A 1 a 1 b 1 c + + + = Hớng dẫn : a b c 1 1 a b c 0 + + = => = + > . Tơng tự 1 b > 0 và 1 c > 0 Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 b + 1 c ( ) ( ) 2 1 b 1 c Tơng tự : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b 2 1 a 1 c ;1 c 2 1 a 1 b + + Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c + + + = Vậy 1 A 8. Min A = 8 <=> a = b = c = 3 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm mô ôô ôn nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 9 99 9 Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 06/11/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 11/11/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 1 11 10 00 0 cực trị đại số Buổi 2 GiảI đề thi A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức đã học để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số , giải đợc đề thi các huyện, tỉnh, thành phố có liên quan đến cực trị đại số Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức - - sĩ số sĩ sốsĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ (miễn) III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới *) Bài tập 1 : Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 - - 2012 20122012 2012 Cho hai số thực dơng x, y thoả mãn: ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 4 4 0 x y xy x y x y x y x y + + + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y. Hớng dẫn: Đặt a = x+y = M; b = xy; 2 4 a b Từ giả thiết có: 3 2 2 2 3 3 3 6 4 4 a ab a b b ab b + + = 0 2 2 ( 2 )( 2 3 ) 0 + = a b a ab b b 2 2 2 2 3 0 = + = a b a ab b b +) Nếu a = 2b Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y) 2 4 xy nên (x+y) 2 2( ) x y + 2; " " : 1. = + = = = M x y khi x y (*) +) Nếu 2 2 2 3 0 a ab b b + = 2 2 2 ( 3) 0 + + = b a b a (1) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Giả sử = (1) có nghiệm b thoả mãn b 2 4 a thì b= 2 3 2 4 a a + 2 2 6 0 1 7;( : 0) a a a Do a + > và 2 2 3 ( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0 2 2 1 a a a a a a a+ + + + Vậy a 1 7 + (**) Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1. *) Bài tập 2 : Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 - - 2012 20122012 2012 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 1 4x 3x 2011 4x + + Hớng dẫn: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 M 4x 3x 2011 3 x x x 2010 4x 4 8x 8x 4 1 1 1 1 M 3 x x 2010 2 8x 8x 4 = + + = + + + + + + = + + + + + p dng cụ si cho ba s x x x 8 1 , 8 1 , 2 ta cú 4 3 8 1 . 8 1 .3 8 1 8 1 3 22 =++ xx x xx x Du = xy ra khi x = 1/2 m ( ) 2 1 x 0 2 Du = xy ra khi x = 1/2 Vy 20112010 4 1 4 3 0 =+++M Vy giỏ tr nh nht ca M bng 2011 khi x = 1/2 *) Bài tập 3 : Đề thi Đề thiĐề thi Đề thi vào THPT tỉnh Hải vào THPT tỉnh Hảivào THPT tỉnh Hải vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011 - - 2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai Cho ba số x, y, z thoả mãn 0 < x, y, z 1 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 (x 1) z + 2 (y 1) x + 2 (z 1) y Hớng dẫn: t 1 0; 1 0; 1 0 = = = a x b y c z 0 , , 1; 2 ; ; 0; 1 < + + = + + = x y z x y z a b c a b c 2 2 2 1 1 1 a b c A c a b = + + p dng bt ng thc Bunhiacoxki cho ba cp s ( ) 1 ; 1 ; 1 ; ; ; 1 1 1 a b c c a b c a b Ta cú : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 = + + + + + + + + a b c a b c a b c c a b A c a b c a b Vy Min 1 1 2 2 3 3 MinA a b c x y z = = = = = = = Cách khác: Sử dụng phơng pháp điểm rơi trong BĐT Côsi Tr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 G GG Gi ii i¸ ¸¸ ¸o oo o ¸ ¸¸ ¸n nn n B BB Bå åå åi ii i d dd d− −− −ì ìì ìn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G m mm m« «« «n nn n § §§ §¹ ¹¹ ¹i ii i s ss sè èè è 9 99 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 x y z A z x y − − − = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 x y z z x y x y z z x y − − − + + = + + + + + − 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 x y z ≥ − + − + − − ( theo B§T Cosi) =1-x+1-y+1-z - 1 2 = 3-(x+y+z) - 1 2 = 1 2 => Min A = 1 2 ⇔ 1 / 2 1 / 2 1 / 2 2 x z z y y x x y z − =   − =   − =   + + =  ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 x z z y y x x y z − =   − =   − =   + + =  ⇔ 2 3 2 x y z x x y z y z x y z =   =  ⇔ = = =  =   + + =  *) Bµi tËp 4: §Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 - - 2012 20122012 2012 Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 2011 x;y 2012. ≤ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 (x y)(x y ) A xy + + = . H−íng dÉn: 2 2 3 3 2 2 2 2 (x y)(x y ) x y yx xy A xy xy + + + + + = = 2 2 x y x A 1 x y y = + + + đặt x t y = ta có 2 1 A t t 1 A(t) t = + + + = Do 2011 x;y 2012 ≤ ≤ nên 2011 2012 t 2012 2011 ≤ ≤ (theo t/chất tỉ số) Xét 1 2 2011 2012 t t 2012 2011 ≤ < ≤ ta tính A(t 1 ) - A(t 2 ) = < 0 Do đó A(t 1 ) < A(t 2 ) . Nên từ 2011 2011 t A( ) A(t) 2012 2012 ≤ ⇒ ≤ 2011 16188554 min A A( ) 2012 4048144 ⇒ = = khi 2011 t 2012 = Hay x = 2011, y = 2012. *) Bµi tËp 5 : §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 - - 2012 20122012 2012 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 x 2x 2011 x − + (với x ≠ 0) H−íng dÉn: Cách 1: Với x ≠ 0 thì A = 2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011.2011 2010x (x 2.201 1x 2011.2011) x 2011x 2011x − + − + + − + = = 2 2 2010 (x 2011) 2010 2011 2011 2011x − = + ≥ Vậy MinA = 2010 2011 <=> x – 2011 = 0 <=> x = 2011 * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số lớp 8) Tr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng Tr−êng THCS Hång H−ng Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiƯu ( ) − + ≠   − ⋅ + ⋅ − ≠       − ⋅ ⋅ + + −       − + ≥ ⇔ ⇔ =     2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011 A = với x 0 x 1 1 1 = 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0) x x x 1 1 1 = 2011 t 2 t 1 2011 2011 2011 1 2010 2010 1 = 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho 2011 2011 2011 2011   ≠     õa x 0 2010 Vậy MinA = x = 2011. 2011 ⇔ * Cách 3: (Dùng kiến thức đại số 9) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x 2x 2011 A = với x 0 x A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x − + ≠ ⇒ = − + ⇔ − + − = 2011 Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1) 2 − ⇔ ⇔ Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai đối với ẩn x. − ≠ x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm. ( ) / / 2 0 1 2011 A 1 0 2010 b 1 1 A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2011 ; thõa x 0 (2) 2010 2011 a A 1 1 2011 ⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥     − − − ⇔ ≥ ⇔ = = = ≠   −   −   So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà: 2010 MinA = x = 2011. 2011 ⇔ *) Bµi tËp 6 : §Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 - - 2012 20122012 2012 Cho a, b lµ c¸c sè d−¬ng tháa m·n: a+b =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: T = )(2011 619 44 22 ba b a ab ++ + + H−íng dÉn: ta có )( 6)(19619 22 22 22 baab abba ba ab + ++ = + + = )(.2. 2 1 )(3)(16 22 222 baab baba + +++ = )(.2. 2 1 3)(16 22 22 baab ba + ++ (1) áp dụng bu nhi a copxky cho hai bộ số : b ; a 1 ; 1 (1 2 +1 2 )(a 2 +b 2 ) ≥ ( a.1+b.1) 2 hay 2 (a 2 +b 2 ) ≥ ( a+b) 2 dấu = khi a =b = 2 1 ⇒ 16 (a 2 +b 2 ) ≥ 8.( a+b) 2 ta có a > 0 ; b > 0 nên ab > 0 ; a 2 +b 2 > 0 áp dụng co si ta có [...]... tỉnh Bắc Giang năm học 2009 - 2010, ngày thứ nhất Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn xyz - 16 =0 x+ y+z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z) Hớng dẫn: Vì xyz - 16 = 0 => xyz(x+y+z) = 16 x+ y+z P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là x(x+y+z) và yz ta có Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz ... Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng 2 ( x 1) + 3 2 ( x 1) + 4 x + 3 x 1 +1 b) y = = x + 4 x 1 + 2 x 1 + 2 ( x 1 +1)( x 1 + 2) x 1 + 2 1 = = =1 x 1 + 3 x 1 + 3 x 1 + 3 ( x 1 +1)( x 1 + 3) x 1 0x 1 x 1 + 3 3 1 1 1 2 2 y 1 = ymin = khi x=1 3 3 3 x 1 + 3 3 *) Bài tập 21 : Đề khảo sát đợt II chọn HSG năm học 2011 2012 huyện Gia Lộc Cho x, y là các số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của... 3 2 2 3 ; y = 1 1 + 2 2 3 3 2 3 Vậy A 4 + 2 3 MinA = 4 + 2 3 x = Hoặc x = 1 1 2 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 ; y = 1 1 2 2 2 3 3 Trờng THCS Hồng Hng *) Bài tập 17 : Cho biểu thức f(x,y) = x2 + 26y2 -10xy + 14x 76y + 11 Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Hớng dẫn: Ta có: f(x,y) = x2 + y2 + 25y2 10xy 6y 70y + 9 +14x + 2 = (x2 10xy + 25y2)... x = 2 x 1 d/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0 Chia cả tử và mẫu cho x2 ta đợc: 1 1 M= M đạt giá trị lớn nhất khi x 2 + nhỏ nhất 2 1 x2 x + +1 2 x 1 = 2 => x = 1 Vậy M lớn nhất bằng 1 khi x = 1 => x 2 + 3 x2 Đặt y = *) Bài tập 20 : Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hơng Thủy năm học 2011 - 2012 x x 2x + 28... 4 x=y= 2 *) Bài tập 14 : 1) Tìm các số thực dơng a, b, c biết chúng thoả mãn abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6 2) Cho x > 0 ; y > 0 thoã mãn: x + y 6 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 6 8 thức: M = 3x + 2y + + x y Hớng dẫn: 1) Ta có ab = 1 1 1 ; bc = ; ac = ; a c b Thay vào bắt đẳng thức đã cho có : a + b + c + ab + bc + ac 6 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Trờng THCS Hồng Hng 2 1 1 1 a... + 4 x+5 x x + 5 x ( x + 5) Để A= 5 5 5 = x 2 + 5 x 4050150 = 0 4050150 x ( x + 5 ) 4050150 Giải phơng trình này ta đợc x1 = 2010 ; x2 = 2015 Vậy tìm đợc hai giá trị của x là: x1 = 2010 và x2 = 2015 thì A = Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 5 4050150 Trờng THCS Hồng Hng 2) Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 a2) + (y2 b2) = 0 (x a)(x + b) + (y b)(y + b) = 0 (1) Vì x + y = a + b x a = b y Thay vào (1)... Vì a = x + 2 nên 3a 3 y 4 x 2 Lại có : a + 1 1 (cô - si) Do đó M 3 + 1 = 5 4 a 2 2 M = 5 a = 2 x = y Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 5 x = y 2 2 D/Bổ sung ******************************* Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 Năm học 2011 - 2012 ... *) Bài tập 11 : Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng tỉnh 1) Cho biểu thức: A = Tìm x để A = 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 x +x x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 2 5 4050150 x+ y = a+b 2 2 2 2 x + y = a + b 2) Cho hệ phơng trình n n n n Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có x + y = a + b 3) Cho x, y, z 0 và x + y + z 3 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z + 2 +... = 8 ; dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 Cách 2: Vì xyz 16 16 =0 x+ y+z = x+ y+z xyz P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = x áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là P= 16 16 + yz = + yz xyz yz 16 và yz ta có yz 16 16 16 + yz 2 yz = 2 16 = 8 ; dấu đẳng thức xẩy ra khi = yz yz yz yz Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 *) Bài tập 9: Đề thi vào THPT tỉnh... (*) nờn suy ra: 2 a 5 > 0 , 2 b 5 > 0 , 2 c 5 > 0 4 p d ng b t ng th c Cụ si cho 2 s dng, ta cú: a + 2 b 5 2 a (1) 2 b 5 b + 2 c 5 2 b (2) 2 c 5 c + 2 a 5 2 c (3) 2 a 5 Giáo án Bồi dỡng HSG môn Đại số 9 2 ( 2x + 1 ) 2 x +1 Trờng THCS Hồng Hng C ng v theo v c a (1),(2) v (3), ta cú: Q 5.3 = 15 D u = x y ra a = b = c = 25 (th a món i u ki n (*)) V y Min Q = 15 a = b = c = 25 *) Bài tập 2 . Chủ đề Chủ đề 1 11 10 00 0 cực trị đại số Buổi 1 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức. một biểu thức đại số , giải đợc đề thi các huyện, tỉnh, thành phố có liên quan đến cực trị đại số Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ - Học sinh tích cực giải bài. cực trị đại số Buổi 2 GiảI đề thi A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức đã học để tìm giá trị