Cực trị đại số (rất hay)

Cực trị đai số và ppơng pháp giải I- Giới thiệu A- Khái niêm về bài toán cực trị. B- Đờng lối chung 1- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất luỹ thừa chẵn. 2- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối. 3- Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức 3.1) Bất đẳng thức Cauchy 3.2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki 4- Phơng pháp miền giá trị của hàm số. 5- Phơng pháp đồ thị C- Các dạng bài tập thờng gặp 1- Đa thức bậ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2- Đa thức bậc hai 3- Đa thức bậc cao 4- Phân thức 4.1) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai 4.2) Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức 4.3) Các phân thức khác. 5- Căn thức 6- Cực trị có điều kiện 7- Một số bài tập tổng hợp II- Kiến thức A- Khái niệm về bài toán cực trị: Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất trong mối quan hệ dã biết. Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất (cực đại) hay giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lợng gọi chung là Những bài toán cực trị Một số kiến thức cơ sở: Phần Cực trị đại số Nếu mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng) 1 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích một số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k đợc gọi là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên. Ta ký hiệu max A là giá trị lớn nhất của biểu thức A. min A là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Nh vậy: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần - Chứng minh A k với mọi giá trị của biến trên tập xác ssịnh và với k là hằng số. - Chỉ ra dấu băng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh A k với mọi giá trị của biến trên tập xác định của nó và k là hằng số - Chỉ ra dấu bằng dấu bằng có thể xả ra với một giá trị nào đó của biến Chú ý: Nếu chỉ chứng minh đợc A k hay A k thì cha đủ điều kiện để kết luận về giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của biểu thức. Một biểu thức có thể chỉ có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất hoặc có cả hai. B- Đờng lối chung Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D . Ta phải chứng minh a. f(x) M hoặc f(x) m b. Chỉ ra trờng hợp x= x 0 D để sao cho đẳng thức xảy ra. 1) Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn. A 2 0 với 0 2 k Ax với Zkx ; từ đó suy ra mmA k + 2 MAM k 2 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a. A = 3(x- 2) 2 + 15 b. B = (2x- 3) 4 - 3 c. C = x 2 - 4x + 9 Giải: a. Ta thấy : 3(x- 2) 2 0 với mọi x => 3(x- 2) 2 + 15 15 Dấu bằng xảy ra khi x-2 = 0 x =2 Vậy min A = 15 khi x = 2 2 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích b. Ta thấy (2x- 3) 4 0 với mọi x => (2x- 3) 4 - 3 3 Dấu bằng xảy ra khi 2x- 3 = 0 x = 2 3 Vậy min B = -3 khi x = 2 3 c. Ta có C = x 2 - 4x + 9 = (x- 2) 2 + 5 Vì (x- 2) 2 0 với mọi x => (x- 2) 2 + 5 5 Dấu bằng xảy ra khi x- 2 = 0 x =2 Vậy min C= 5 x =2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x- 2) 2 + (x- 4) 2 Giải Ta có A = (x 2 - 4x + 4) + (x 2 - 8x + 16) = 2x 2 - 12x + 20 = 2(x 2 - 6x + 9) 2 + 2 = 2(x- 3) 2 + 2 Ta thấy 2 (x- 3) 2 0 với mọi x => 2(x- 3) 2 + 2 2 Dấu bằng xảy ra khi khi x- 3 = 0 x = 3 Vậy min A = 2 khi x = 3 Chú ý : Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau Ta có (x- 2) 2 0 và (x- 4) 2 0 Từ đó suy ra A = (x- 2) 2 + (x- 4) 2 0 Vậy min A = 0 ở đây kết luận là sai vì không thể có giá trị nào của x để xảy ra đồng thời hai đẳng thức trên. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau. a. A = 2005- (2x- 1) 2 b. B = 4x- x 2 + 17 c. C = 94 2 2 ++ xx d. D = 3 215 2 2 = + x x Giải a. Ta có (2x- 1) 2 0 với mọi x => A = 2005- (2x- 1) 2 2005 Dấu bằng xảy ra khi 2 1 012 == xx Vậy max A = 2005 khi 2 1 = x 3 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích b.Ta có B = 4x- x 2 + 17 = 21 - (x 2 - 4x + 4) = 21- (x- 2) 2 Ta thấy (x- 2) 2 0 với mọi x => 21- ( x-2) 2 21 Dấu bằng xảy ra khi x- 2 = 0 x =2 Vậy max B = 21 khi x =2 c.Ta có x 2 - 4x+ 9 = (x- 2) 2 + 5 Vì (x- 2) 2 0 với mọi x => (x- 2) 2 + 5 5 Vì mẫu luôn dơng nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là hằng số dơng nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó Max C = 5 2 khi và chỉ khi x = 2 d.Ta có D = 3 215 2 2 = + x x = 3 6 5 3 6)3(5 3 6155 22 2 2 2 + += + ++ = + ++ xx x x x Ta có x 2 + 3 3 với mọi x => 2 3 6 3 6 2 = + x Dấu bằng xảy ra khi khi x = 0 Vậy max D = 7 khi x = 0 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x- 2005 x Giải Điều kiện xác định của biểu thức A là x 2005 20050 x Hay D = { } 2005 xRx A 2005 = xx 4 8019 2 1 2005 4 8019 4 1 2005)2005( 2 + = ++= x xx Ta có 4 8019 4 8019 2 1 20050 2 1 2005 22 + xx Dấu bằng xảy ra khi 4 8021 4 1 20050 2 1 2005 === xxx (thoả mãn điều kiện xác định của biểu thức) Vậy min A = 4 8021 4 8019 = x Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) Giải Ta có M = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) 4 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích = (x 2 + 7x + 10) (x 2 + 7x + 12) = (x 2 + 7x + 10) 2 + 2(x 2 + 7x + 10) + 1- 1 = (x 2 + 7x + 11) 2 - 1 Vì 1111) 7x (x011) 7x (x 2222 ++++ Dấu bằng xảy ra khi x 2 + 7x + 11= 0 2 57 = x Vậy min M = -1 2 57 = x Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. E = x 2 + 2y 2 - 2xy- 4y + 7 Giải Ta có: E = x 2 + 2y 2 - 2xy- 4y + 7 = (x 2 - 2xy + y 2 ) + (y 2 - 4y + 4) + 3 = (x- y) 2 + (y- 2) 2 + 3 Vì (x- y) 2 0 với yx, (y- 2) 2 0 với y (x- y) 2 + (y- 2) 2 + 3 3 Vậy min E = 3 2 02 0 == = = yx y yx Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x 2 + 2y 2 - 3z 2 - 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2011 Giải Ta có G = (x- y + z- 1) 2 + (y + z- 2) 2 + (z- 1) 2 + 2005 Vì (x- y + z- 1) 2 0 với zyx ,, (y + z- 2) 2 0 với zy, ( z- 1) 2 0 với z Suy ra G = ( x-y + z- 1) 2 + (y + z- 2) 2 + ( z- 1) 2 + 2005 2005 Dấu bằng xảy ra khi khi = =+ =+ 01 02 01 z zy zyx 1 === zyx Vậy min G = 2005 khi 1 === zyx 2) Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối. 5 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích Lí thuyết áp dụng 0 x yxyx ++ Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu yxyx Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu Ví dụ 1. a- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. 162 18 += = xB xA b- Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau. 152 32 += = xD xC Giải: a- Tìm giá trị nhỏ nhất. +) Vì xx ;01 Dấu bằng xảy ra khi x- 1 = 0 => x = 1 Suy ra 018 = xA Vậy min A = 0 khi x = 1 +) Vì xx ;06 Dấu bằng xảy ra khi x- 6 = 0 => x = 6 Suy ra 1162 += xB Vậy min B =1 khi x = 6 b- Tìm giá trị lớn nhất. +) Vì xx ;03 Dấu bằng xảy ra khi x-3 = 0 => x= 3 Suy ra C = -2 23 x Vậy max C = -2 khi x = 3 +) Vì xx ;02 Dấu bằng xảy ra khi x 2 = 0 => x = 2 Suy ra 15152 += xD Vậy max D = 15 khi x = 2 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức. 53 8 += += xxB xxA Giải áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối yxyx ++ Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu +) Vậy ta có 888 =++= xxxxA Dấu bằng xảy ra khi x(8- x) 0 Lâp bảng xét dấu. x 0 8 x - + + 8- x + + - x(8- x) - 0 + 0 - 6 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích Vây min E = 8 khi 80 x +) B = 53 + xx = 25353 =++ xxxx Dấu bằng xảy ra khi (x-3)(5-x) 0 (Lập bảng xét dấu nh câu trên) Suy ra 53 x Vậy min B = 2 khi 53 x (Còn cách giải khác sẽ trình bày ở phần sau) Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 9 6x - x1 2x - x 22 +++ Giải Điều kiện xác định của biểu thức với Rx Ta có A 22 )3()1( += xx 231 31 31 )3()1( 22 =+ += += += xx xx xx xx Dấu bằng xảy ra khi (x- 1)(3- x) 310 x (làm tơng tự câu trên) Vậy min A = 2 khi 31 x Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau. E = 1815143 ++ aaaa (Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm 1991) Giải Điều kiện xác định của biểu thức: D = { } 1 aRa Ta có E 1815143 ++= aaaa ( ) ( ) 24121 4121 4121 22 =+ = = aa aa aa Vậy max E = 2 khi ( ) ( ) 16 04121 1 a aa a 3) Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức 3.1) Bất đẳng thức Cauchy Nếu cho a và b là hai số không âm thì baba .2 + Dấu bằng xảy ra khi a = b +) Nếu a + b = k => k ab2 ( k là hằng số) 7 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích ab 4 2 k Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2 k Vậy max ab 4 2 k = khi a = b = 2 k +) Nếu a.b = p thì a+b p2 (p là hằng số) Dấu bằng xảy ra khi a = b = p Vậy min a + b = 2 p khi a = b = p Dạng tổng quát của Bất đẳng thức Cauchy Cho n số không âm a 1 ; a 2 ; ; a n thì n a a .a n a a a n21 n21 +++ Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = = a n Chú ý: Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất a. Nếu a 1 + a 2 + + a n là hằng số thì (a 1 a 2 a n ) max a 1 = a 2 = = a n b. Nếu a 1 . a 2 a n là hằng số thì (a 1 + a 2 + +a n ) min a 1 = a 2 = = a n Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. M = 4 25 + + x x Với x > - 4 Giải TXĐ: D = { } 4 xRx M 4 4 25 )4( 4 25 + ++= + += x x x x Vì x > - 4 nên x+ 4 và 4 25 + x là hai số dơng áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) 10 4 25 42 4 25 )4( = + + + ++ x x x x Dấu bằng xảy ra khi 154 4 25 4 ==+ + =+ xx x x (Vì x + 4 > 0) x= 1 thoả mãn điều kiện xác định của M Vậy min M = 10 4 = 6 khi x = 1 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 8 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích A = 3 16 + + x x Giải TXĐ: D = { } 0 xRx Ta có A = ( ) 6 3 25 3 3 25 3 3 259 3 16 + ++= + += + + = + + x x x x x x x x Vì 3 + x và 3 25 + x luôn không âm với Dx áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) 10 3 25 ).3(.2 3 25 )3( = + + + ++ x x x x Dấu bằng xảy ra khi ( ) 453253 3 25 3 2 ==+=+ + =+ xxx x x (vì 3 + x luôn dơng) Vậy min M = 10- 5 = 5 khi x = 4 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B biết x,y là các số thay đổi sao cho ;30 x 40 y . B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y) Giải Ta có B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y) B = 2. 6 1 (3- x). 3(4- y)(2x + 3y) B = . 6 1 (6 - 2x). (12- 3y)(2x + 3y) Vì x,y là các số thay đổi sao cho ;30 x 40 y nên 6 - 2x; 12 3y ; 2x + 3y là các số không âm áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có. (6 - 2x). (12- 3y)(2x + 3y) ( ) ( ) ( ) 3 3 6 3 3231226 = +++ yxyx Suy ra B 366. 6 1 3 = Dấu bằng xảy ra khi khi 6- 2x = 12- 3y = 2x + 3y 2;0 == yx Vậy max B = 36 2;0 == yx Ví dụ 4: Cho a, b là hai số dơng; các số dơng x, y thay đổi sao cho 2005 =+ y b x a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y Giải 9 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích Ta có ( ) ++==+ y b x a yxC y b x a . 2005 1 2005 ( ) +++= y bx x ay baC . 2005 1 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm y bx x ay ; ta có. ab y bx x ay y bx x ay 2.2 =+ Vậy C ( ) 2 . 2005 1 )2.( 2005 1 baabba +=++ => min C ( ) b a y x y bx x ay ba ==+= 2 . 2005 1 3.2) Bất dẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki : Cho hai dãy số a 1 ; a 2 ; .; a n ; b 1 ; b 2 ; ; b n ta có (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) ( a 1 2 +a 2 2 + . a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 + .+ b 2 n ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a === . 2 2 1 1 Ví dụ 1 : Cho x,y thoả mãn x 2 + 4y 2 = 36 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x +2y Giải áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x + 2y) 2 (x 2 + 2y 2 )(1 2 + 1 2 ) = 36.2 = 72 (x + 2y) 2 72 Hay - 26265072 MM Vậy max M= 6 2 khi = = 2 23 23 y x minM = 6 2 khi = = 2 23 23 y x Ví dụ 2 : Cho hai số dơng a,b hai số dơng x,y thay đổi sao cho 1 =+ y b x a . 10 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích [...]... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 6x x2 + 13 b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = 3x2 4x +2 c Tìm cực trị của C= ax2 + bx + c Giải Ta có thể tìm cực trị của loại toán này bằng phơng pháp miền giá trị hay dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn hoặc dực vào phơng pháp đồ thị a Tìm theo phơng pháp miền giá trị của hàm số Ta coi y0 là một giá trị nào đó của y để y0 = 6x- x2 + 13 x2 - 6x + y0- 13 = 0... xy 9x2 đạt giá trị lớn nhất 3- Tìm x, y sao cho các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất a, M = 2x2 6xy + 9 y2 6 x - 12y + 2024 b, N = x2 2yx + 6 y2- 12 x + 12y + 45 4- Tìm cặp số x, y thoả mãn x2 + y2 + 6x 3y 2xy +7 = 0 Sao cho y đạt giá trị lớn nhất 5- Cho P = x2 + xy + y2 3x 3y + 2005 Với giá trị nào của x, y thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó 6- Tìm giá trị nhỏ nhất của... + z2 27 tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x + y + z + xy + yz + zx 9- Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = a + 1 a 2 2 1 1 + b + + c + b c 2 10- Cho a, b là hai số không âm thoả mãn đông thời: 2a + 3b 6 và 2a + b 4 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Q = a2- 2a b 1 1 2 11- Cho 3 số dơng a, b, c thoả... min f(x) = m ; x(D) 11 Ngời thực hiện: Đào Xuân Bích maxf(x) = M ; x(D) Cũng có trờng hợp ta chỉ tìm đợc gía trị nhỏ nhất mà không có gi trị lớn nhất, hoặc ngợc lại Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số a y = 7x2 - 4x + 1 b y= -6x2 + 5x - 2 Giải a Hàm số xác định với xR Giả sử y0 là một giá trị nào đó của y ta có y0 = 7x2- 4x + 1 => 7x2- 4x + 1- y0 = 0 (1) Do đó phơng trình (1) phải có nghiệm / = 4... mãn x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 G = x + y + xy + 4 xy 5- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = 2 x +4 y + 5 z cho biết x, y , z là các biến số thoả mãn biểu thức x2 + y2 + z2= 169 6- Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn điều kiện xyz = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 G= 2 1 1 1 + 3 + 3 x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) 3 7- Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu... x + 0C k 2a 2 Vậy min C = k khi x = Vậy max C = k khi x = b 2a b 2a Vậy nếu hệ số a > 0 tam thức bậc hai có cực tiểu, a < 0 tạm thức bậc hai có cực đại Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây a M = 5x2- 12 xy + 9 y2- 4 x + 2009 đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 b N = 15- 10 x- 10 x + 24 xy- 16y đạt giá trị lớn nhất Giải 2 2 a Ta có: M = 5x - 12 xy + 9 y - 4 x + 2009 = (x2- 4x + 4) + (... + x 3 + 2 1 x 3 + 1 J = x 2 4x + 4 + x 2 x + ) 1 4 6) Cực trị có điều kiện (các biến bị ràng buộc thêm bởi một hệ thức cho trớc) Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x +y (Đề thi vào lớp 10 trờng chuyên Lê Hồng Phong năm học 1991-1992) Giải Cách 1: Với mọi số thực x, y ta đều có: ( x + y)2 + ( x y)2 = x2 + 2xy +... khi ( x,y,a) nhận giá trị (7;2;5); (-9;-2;3); (3;1;6); (5;-1; 2) Bài tập áp dụng 1-Tìm cực trị của các hàm số a y = - 4x2 x + 3 a y = 5x2 6 x + 10 b y = x2 + 4x + 1 c y = 4x2 + 4x + 7 d y = 2x2 + 20 x + 53 e y = - x2 6x + 5 f y = - 2x2 7x + 11 g y = - x2 x + 1 h y = 5 x - x2 + 7 2- Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây: a, M = 10x2 + 12xy + 4 y2 + 6 x + 17 đạt giá trị nhỏ nhất 21 Ngời... = x1 +24 + 9 z = 14 z x+y 2 2 2 x= 2 2 2 2 2 2 14 14 3 4 ;y = ;z = 14 7 14 14 14 3 4 ;y = ;z = 14 khi x = 14 7 14 Vậy max G = 4) Phơng pháp miền giá trị của hàm số Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền xác định (D) Gọi y0 là một gía trị nào đó của f(x) với x(D) Điều này có nghĩa là phơng trình f(x) = y0 ( Với x(D)) Phải có nghiệm Sau khi giải phơng trình điều kiện có nghiệm thờng... thức (x + y)2 4 xy Thay x + y = 1 ta có 1 1 1 4 xy => xy 4 Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2 Vậy min P = 1+ 2 =9 1 x=y= 1 2 4 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + x 4 x + 4 a Tìm tập xác định của hàm số b Rút gọn y c Vẽ đồ thị của hàm số d.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng của x Giải 2 2 x a Nhận xét x 0 ; x 4 x + 4 = ( x- 2) 2 0 với Vậy TXĐ là R y b y = x + x 4 x + 4 = x + ( x - 2) 2 = x + x . giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lợng gọi chung là Những bài toán cực trị Một số kiến thức cơ sở: Phần Cực trị đại số Nếu mọi giá trị của biến thuộc. Cực trị đai số và ppơng pháp giải I- Giới thiệu A- Khái niêm về bài toán cực trị. B- Đờng lối chung 1- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính