Lý thuyết cơ bản về bất đẳng thức

,23Hoàng Phớc LợiHoàng Phớc Lợi,,23Bất đẳng thứcBất đẳng thức, Một dạng phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thuần nhất Nếu nhìn một cách tổng quan, toàn bộ chơng trình toán phổ thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải. Một trong những cách giải đó là sử dụng hàm số và kỹ thuật phơng trình mà chúng ta sẽ gặp qua một số ví dụ dới đây. Nếu nhìn một cách tổng quan, toàn bộ chơng trình toán phổ thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải. Một trong những cách giải đó là sử dụng hàm số và kỹ thuật phơng trình mà chúng ta sẽ gặp qua một số ví dụ dới đây. Chúng ta bắt đầu với một bài toán rất đơn giản nh sau: Nếu nhìn một cách tổng quan, toàn bộ chơng trình toán phổ thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải. Một trong những cách giải đó là sử dụng hàm số và kỹ thuật phơng trình mà chúng ta sẽ gặp qua một số ví dụ dới đây. Chúng ta bắt đầu với một bài toán rất đơn giản nh sau: Ví dụ 1. Cho x y z 0. Chứng minh rằng x z + z y + y x x y + y z + z x . Nếu nhìn một cách tổng quan, toàn bộ chơng trình toán phổ thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải. Một trong những cách giải đó là sử dụng hàm số và kỹ thuật phơng trình mà chúng ta sẽ gặp qua một số ví dụ dới đây. Chúng ta bắt đầu với một bài toán rất đơn giản nh sau: Ví dụ 1. Cho x y z 0. Chứng minh rằng x z + z y + y x x y + y z + z x . Lời giải Nếu nhìn một cách tổng quan, toàn bộ chơng trình toán phổ thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất nhiều cách giải. Một trong những cách giải đó là sử dụng hàm số và kỹ thuật phơng trình mà chúng ta sẽ gặp qua một số ví dụ dới đây. Chúng ta bắt đầu với một bài toán rất đơn giản nh sau: Ví dụ 1. Cho x y z 0. Chứng minh rằng x z + z y + y x x y + y z + z x . Lời giải XÐt hµm sè f(x) =  x z + z y + y x  −  x y + y z + z x  . XÐt hµm sè f(x) =  x z + z y + y x  −  x y + y z + z x  . Ta cã f  (x) =  1 z − 1 y  −  y x 2 − z x 2  = (y − z) · x 2 − yz x 2 yz XÐt hµm sè f(x) =  x z + z y + y x  −  x y + y z + z x  . Ta cã f  (x) =  1 z − 1 y  −  y x 2 − z x 2  = (y − z) · x 2 − yz x 2 yz Víi ®iÒu kiÖn x ≥ y ≥ z > 0 cña gi¶ thiÕt, ta cã f  (x) ≥ 0, ®iÒu nµy cã nghÜa lµ hµm f(x) ®ång biÕn. Xét hàm số f(x) = x z + z y + y x x y + y z + z x . Ta có f (x) = 1 z 1 y y x 2 z x 2 = (y z) ã x 2 yz x 2 yz Với điều kiện x y z > 0 của giả thiết, ta có f (x) 0, điều này có nghĩa là hàm f(x) đồng biến. Nh vậy, với x y, ta có: f(x) f(y) = 0 . . ,23Hoàng Phớc LợiHoàng Phớc Lợi,,2 3Bất đẳng thứcBất đẳng thức, Một dạng phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thuần nhất Nếu nhìn một cách tổng quan, toàn bộ chơng trình. thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất. thông nhận hàm số làm xơng sống. Trong hai lĩnh vực bất đẳng thức và giải phơng trình thì điều này lại càng đợc chứng minh rõ ràng hơn. Các bất đẳng thức đặc biệt là ở dạng thuần nhất có thể có rất