Bài tập giải tichT1

on Chi Mục lục Lời nói đầu iii Các ký hiệu và khái niệm vii Bài tập 1 Số thực 3 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 6 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dãy số thực 19 2.1 Dãyđơnđiệu 23 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . 37 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 42 2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Chuỗi số thực 63 3.1 Tổngcủachuỗi 67 3.2 Chuỗid-ơng 75 3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 99 i on Chi ii Mục lục 3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 102 3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8 Tíchvôhạn 111 Lời giải 1 Số thực 121 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 121 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2 Dãy số thực 145 2.1 Dãyđơnđiệu 145 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . . 173 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 181 2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.2 Chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 291 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 304 3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 313 3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 3.8 Tíchvôhạn 338 Tài liệu tham khảo 354 on Chi Lời nói đầu Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo chúng tôi) hay nhất thế giới . Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm toán của Việt Nam th-ờng sử dụng hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ-ợc dịch ra tiếng Việt): 1. "Bài tập giải tích toán học" của Demidovich (B. P. Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) và 2. "Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập" của Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P. Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola). để giảng dạy hoặc học giải tích. Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác. Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ-ợc dịch ra tiếng Anh): 3. "Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số" (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze s c Pier- wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), 4. "Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân " (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze s c Druga, Funkcje iii on Chi iv Lời nói đầu Jednej Zmiennej{Rachunek R ozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998). để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đã tham khảo bản tiếng Anh: 3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis I, Real Numbers, Sequences and Series , AMS, 2000. 4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis II, Continuity and Differentiation , AMS, 2001. Sách này có các -u điểm sau: Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay. Lời giải khá đầy đủ và chi tiết. Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh-, Ameri- can Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan) . Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh- cho các sinh viên đại học ngành toán. Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong 5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964. Tuy vậy, tr-ớc mỗi ch-ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch-ơng t-ơng ứng. Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân. Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản. on Chi Lời nói đầu v Chúng tôi rất biết ơn : - Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này, - Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập II của sách này, - Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976, - TS D-ơng Tất Thắng đã cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn sách này. Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận đ-ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, Xuân 2002. Nhóm biên dịch Đoàn Chi Đoàn Chi on Chi Các ký hiệu và khái niệm R - tập các số thực R + - tập các số thực d-ơng Z - tập các số nguyên N - tập các số nguyên d-ơng hay các số tự nhiên Q - tập các số hữu tỷ (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b [x] - phần nguyên của số thực x Với x R, hàm dấu của x là sgn x = 1 với x>0, 1 với x<0, 0 với x =0. Với x N, n!=1ã 2 ã3 ã ã n, (2n)!! = 2 ã 4 ã 6 ã ã (2n 2) ã (2n), (2n 1)!! = 1 ã 3 ã5 ã ã (2n 3) ã (2n 1). Ký hiệu n k = n! k!(nk)! ,n,k N,n k, là hệ số của khai triển nhị thức Newton. vii on Chi viii Các ký hiệu và khái niệm Nếu A R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận trên đúng của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy -ớc rằng sup A =+. Nếu A R khác rỗng và bị chặn d-ới thì ta ký hiệu inf A là cận d-ới đúng của nó, nếu nó không bị chặn d-ới thì ta quy -ớc rằng inf A = . Dãy {a n } các số thực đ-ợc gọi là đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu giảm) nếu a n+1 a n (t-ơng ứng nếu a n+1 a n ) với mọi n N. Lớp các dãy đơn điệu chứa các dãy tăng và giảm. Số thực c đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dãy {a n } nếu tồn tại một dãy con {a n k } của {a n } hội tụ về c. Cho S là tập các điểm tụ của dãy {a n }. Cận d-ới đúng và cận trên đúng của dãy , ký hiệu lần l-ợt là lim n a n và lim n a n đ-ợc xác định nh- sau lim n a n = + nếu {a n } không bị chặn trên, nếu {a n } bị chặn trên và S = , sup S nếu {a n } bị chặn trên và S = , lim n a n = nếu {a n } không bị chặn d-ới, + nếu {a n } bị chặn d-ới và S = , inf S nếu {a n } bị chặn d-ới và S = , Tích vô hạn n=1 a n hội tụ nếu tồn tại n 0 N sao cho a n =0với n n 0 và dãy {a n 0 a n 0 +1 ã ã a n 0 +n } hội tụ khi n tới một giới hạn P 0 =0.SốP = a n 0 a n 0 +1 ã ãa n 0 +n ã P 0 đ-ợc gọi là giá trị của tích vô hạn. Trong phần lớn các sách toán ở n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, các hàm tang và côtang cũng nh- các hàm ng-ợc của chúng đ-ợc ký hiệu là tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có nguồn gốc từ Pháp và Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ và phần lớn các n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự là tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với những ký hiệu đã đ-ợc chuẩn hoá trên thế giới. Đoàn Chi Bµi tËp Đoàn Chi [...]... A là tập con không rỗng, bị chặn trên của tập các số thực, thì A có cận trên đúng (duy nhất) Tiên đề trên t-ơng đ-ơng với: nếu A là tập con không rỗng, bị chặn d-ới của tập các số thực, thì A có cận d-ới đúng (duy nhất) Từ đó suy ra rằng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực, thì A có cận trên đúng, và có cận d-ới đúng Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui -ớc sup A = +; Nếu tập A...hi C n o Ch-ơng 1 Số thực Tóm tắt lý thuyết Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Số thực x R đ-ợc gọi là một cận trên của A nếu a x, x A Tập A đ-ợc gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên Số thực x R đ-ợc gọi là một cận d-ới của A nếu a x, a A Tập A đ-ợc gọi là bị chặn d-ới nếu A có ít nhất một cận d-ới Tập A đ-ợc gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị... nếu x là một cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A Tức là, a x, a A, > o, a A, a >x Khi đó, ta viết x = sup{a : a A} = sup a aA Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Giả sử A bị chặn d-ới Số thực x R đ-ợc gọi là cận d-ới đúng của A, nếu x là một cận d-ới của A và là cận trên lớn nhất trong tập các cận d-ới của A Tức là, a x, a A, > o, a A, a... 0 sao cho |a| x, a A Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Số thực x R đ-ợc gọi là giá trị lớn nhất của A nếu x A, a x, a A Khi đó, ta viết x = max{a : a A} = max a aA 3 Ch-ơng 1 Số thực hi 4 Khi đó, ta viết n a x, a A o x A, C Số thực x R đ-ợc gọi là giá trị bé nhất của A nếu x = min{a : a A} = min a aA Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Giả sử... Cho A và B là những tập con khác rỗng các số thực Chứng minh rằng o n sup(A B) = max {sup A, sup B} và inf(A B) = min {inf A, inf B} 1.1.6 Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của A1 , A2 xác định bởi n(n+1) 2 A1 = 2(1)n+1 + (1) A2 = 3 n 2n n1 cos :nN n+1 3 2+ : nN , 1.1.7 Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập A và B, trong đó A = {0, 2; 0, 22; 0, 222; } và B là tập các phân số thập... tập các phân số thập phân giữa 0 và 1 mà chỉ gồm các chữ số 0 và 1 1.1.8 Tìm cận d-ới đúng và cận trên đúng của tập các số n N 1.1.9 Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số n, m N (n+1)2 , 2n trong đó (n+m)2 , 2nm trong đó 1.1.10 Xác định cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập sau: (a) (b) m : m, n N, m < 2n , n B= n [ n] : n N A= 1.1.11 Hãy tìm (a) sup x R : x2 + x + 1 > 0 ,... (hay phân số), nếu tồn tại p, q Z sao cho r = p/q Phân số này là tối giản nếu (p, q) = 1 Số vô tỷ là số thực nh-ng không phải là số vô tỷ Tập hợp các số tức là, giữa hai số thực khác nhau bất ký (a < b) tồn tại ít nhất một số hữu tỷ (r: a < r < b) hữu tỷ trù mật trong tập các số thực, Phần nguyên của số thực x, đ-ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy nhất) sao cho x 1 < [x] x Phần lẻ của số thực x, đ-ợc... lập những công thức t-ơng tự cho inf(A + B) và inf(A B) 1.1.4 Cho các tập không rỗng A và B những số thực d-ơng, định nghĩa A ã B = {z = x ã y : x A, y B} , 1 1 = z= : xA A x Chứng minh rằng sup(A ã B) = sup A ã sup B, và nếu inf A > 0 thì sup khi inf A chặn thì = 0 thì sup 1 A 1 A = 1 , inf A = + Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị sup(A ã B) = max {sup A ã sup B, sup A ã inf B, inf A ã sup... thực hi 8 C 1.1.12 Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của những tập sau: B= (c) C= (d) D= (e) E= n (b) m 4n + : m, n N , n m mn : m Z, n N , 4m2 + n2 m : m, n N , m+n m : m Z, n N , |m| + n mn : m, n N 1+m+n o A= (a) 1.1.13 Cho n 3, n N Xét tất cả dãy d-ơng hữu hạn (a1 , , an ), hãy tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số n k=1 trong đó an+1 ak ak + ak+1 + ak+2 , = a1, an+2... (1)n , (qn xn+1 + qn1 )qn trong đó pn , qn là đ-ợc định nghĩa trong 1.1.18 Từ đó hãy suy ra rằng giữa hai phần tử hội tụ liên tiếp của nó x nằm 1.1.21 Chứng minh rằng tập {sin n : n N} là trù mật trong [1, 1] 1.1.22 Sử dụng kết quả trong bài 1.1.20 chứng minh rằng với mọi số vô tỷ x p tồn tại dãy qn các số hữu tỷ, với qn lẻ, sao cho n x pn 1 < 2 qn qn (So sánh với 1.1.14.) 1.1.23 Kiểm tra công thức sau . thiết khi giải bài tập trong ch-ơng t-ơng ứng. Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích. Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay. Lời giải khá đầy đủ và chi tiết. Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Nhiều bài tập. giảng dạy hoặc học giải tích. Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác. Lần