Bài tập giải tichT1

Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích theo chúng tôi hay nhất thế giới .Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm toán của Việt Nam th-ờng sử dụng hai cuốn sách

Lời nói đầu iii

Bài tập

1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực Liên

phân số 6

1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp 11

2 Dãy số thực 19 2.1 Dãy đơn điệu 23

2.2 Giới hạn Tính chất của dãy hội tụ 30

2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng 37

2.4 Điểm giới hạn Giới hạn trên và giới hạn d-ới 42

2.5 Các bài toán hỗn hợp 48

3 Chuỗi số thực 63 3.1 Tổng của chuỗi 67

3.2 Chuỗi d-ơng 75

3.3 Dấu hiệu tích phân 90

3.4 Hội tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 93

3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel 99

i

Đoàn Chi

3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn 102

3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 104

3.8 Tích vô hạn 111

Lời giải 1 Số thực 121 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực Liên phân số 121

1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp 131

2 Dãy số thực 145 2.1 Dãy đơn điệu 145

2.2 Giới hạn Tính chất của dãy hội tụ 156

2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz và ứng dụng 173

2.4 Điểm giới hạn Giới hạn trên và giới hạn d-ới 181

2.5 Các bài toán hỗn hợp 199

3 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng của chuỗi 231

3.2 Chuỗi d-ơng 253

3.3 Dấu hiệu tích phân 285

3.4 Hội tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 291

3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel 304

3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn 313

3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 321

3.8 Tích vô hạn 338

Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo chúng tôi) hay nhất thế giới

Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm toán của Việt Nam th-ờng sử dụng hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ-ợc dịch ra tiếng Việt):

1. "Bài tập giải tích toán học" của Demidovich (B P Demidovich;

1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva)

và

2. "Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập"của Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I I Lyashko, A K Boyachuk, YA G Gai, G P Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola).

để giảng dạy hoặc học giải tích.

Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác.

Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ-ợc dịch

ra tiếng Anh):

3. "Bài tập giải tích Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số" (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pier- wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996),

4. "Bài tập giải tích Tập II: Liên tục và Vi phân "(W J Kaczkor, M.

T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje

iii

Analy-Sách này có các -u điểm sau:

• Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.

• Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.

• Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh-, Ameri-can Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếngNga), Delta (tiếng Balan) Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh- cho các sinh viên đại học ngành toán.

Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong

5 Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000.

6 W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964.

Tuy vậy, tr-ớc mỗi ch-ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch-ơng t-ơng ứng.

Tập I và II của sách chỉ bàn đếnhàm số một biến số(trừ phần không gian metric trong tập II) Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân.

Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản.

Đoàn Chi

Chúng tôi rất biết ơn :

- Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này,

- Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập II của sách này,

- Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,

- TS D-ơng Tất Thắng đã cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn sách này.

Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc

kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên.

Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày Rất mong nhận đ-ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về:

Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, Xuân 2002 Nhóm biên dịch

Đoàn Chi

• (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b

• [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b

• Ký hiệu n k

= k!(n−k)! n! , n, k ∈ N, n ≥ k , là hệ số của khai triển nhị thức Newton.

vii

Đoàn Chi

• Nếu A ⊂ R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận

trên đúng của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy -ớc rằng

sup A = +∞.

• Nếu A ⊂ R khác rỗng và bị chặn d-ới thì ta ký hiệu inf A là cận

d-ới đúng của nó, nếu nó không bị chặn d-ới thì ta quy -ớc rằng

inf A = −∞.

• Dãy {an} các số thực đ-ợc gọi là đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu

giảm) nếu an+1 ≥ an (t-ơng ứng nếu an+1≤ an) với mọi n ∈ N Lớp

các dãy đơn điệu chứa các dãy tăng và giảm.

• Số thực c đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dãy {an} nếu tồn tại một dãy

con {ank} của {an} hội tụ về c.

• Cho S là tập các điểm tụ của dãy {an} Cận d-ới đúng và cận trên

đúng của dãy , ký hiệu lần l-ợt là lim

n→∞

an và lim

n→∞an đ-ợc xác định nh- sau

an hội tụ nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho an 6= 0 với

n ≥ n0 và dãy {an0an0+1ã ã an0+n} hội tụ khi n → ∞ tới một giới hạn P0 6= 0 Số P = an0an0+1ã ã an0+n ã P0 đ-ợc gọi là giá trị của tích vô hạn.

• Trong phần lớn các sách toán ở n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, các hàm tang và côtang cũng nh- các hàm ng-ợc của chúng đ-ợc ký hiệu

là tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có

nguồn gốc từ Pháp và Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ

và phần lớn các n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự là

tan x, cot x, arctan x, arccot x Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ

sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với những ký hiệu

đã đ-ợc chuẩn hoá trên thế giới.

Bµi tËp

Sè thùc

Tãm t¾t lý thuyÕt

• Cho A lµ tËp con kh«ng rçng cña tËp c¸c sè thùc R = (−∞, ∞).

Sè thùc x ∈ R ®-îc gäi lµ mét cËn trªn cña A nÕu

a 6 x, ∀x ∈ A.

TËp A ®-îc gäi lµ bÞ chÆn trªn nÕu A cã Ýt nhÊt mét cËn trªn.

Sè thùc x ∈ R ®-îc gäi lµ mét cËn d-íi cña A nÕu

• Cho A lµ tËp con kh«ng rçng cña tËp c¸c sè thùc R = (−∞, ∞).

Sè thùc x ∈ R ®-îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A nÕu

• Tiên đề về cận trên đúng nói rằng nếu A là tập con không rỗng,

bị chặn trên của tập các số thực, thì A có cận trên đúng (duy nhất).

Tiên đề trên t-ơng đ-ơng với: nếu A là tập con không rỗng, bị chặn d-ới của tập các số thực, thì A có cận d-ới đúng (duy nhất).

Từ đó suy ra rằng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực, thì A có cận trên đúng, và có cận d-ới đúng.

• Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui -ớc sup A = +∞; Nếu tập

A không bị chặn d-ới, thì ta qui -ớc inf A = −∞;

Đoàn Chi

• Cho hai số nguyên a, b Ta nói rằng bchia hết cho a hoặc a chia b, nếu tồn tại số nguyên c, sao cho b = a.c Trong tr-ờng hợp đó ta nói a là -ớc của b (hoặc b là bội của a) và viết a|b.

Cho hai số nguyên a1, a2 Số nguyên m đ-ợc gọi là -ớc chung của

a1, a2 nếu m|a1, m|a2 Số nguyên m đ-ợc gọi là bội chung của a1, a2

nếu a1|m, a2|m.

Ước chung m ≥ 0 của a1, a2 có tính chất là chia hết cho bất kỳ -ớc

chung nào của a1, a2) đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất của a1, a2 và

đuợc ký hiệu là (a1, a2).

Bội chung m ≥ 0 của a1, a2 có tính chất là -ớc của bất kỳ bội chung

nào của a1, a2 đ-ợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2 và đuợc ký

hiệu là [a1, a2].

Nếu (a, b) = 1 thì ta nói a, bnguyên tố cùng nhau.

Số nguyên d-ơng p ∈ N đ-ợc gọi là số nguyên tố, nếu p chỉ có hai -ớc (tầm th-ờng) là 1 và p.

Gỉa sử m là số nguyên d-ơng Hai số nguyên a, b đ-ợc gọi làđồng theo modulo m , nếu m|(a − b) Trong tr-ờng hợp đó ta viết

d-a = b (mod m).

• Ta gọi r là số hữu tỷ (hay phân số), nếu tồn tại p, q ∈ Z sao cho

r = p/q Phân số này là tối giản nếu (p, q) = 1.

Số vô tỷ là số thực nh-ng không phải là số vô tỷ. Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực, tức là, giữa hai số thực khác

nhau bất ký (a < b) tồn tại ít nhất một số hữu tỷ (r: a < r < b).

• Phần nguyên của số thực x, đ-ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy nhất) sao cho x − 1 < [x] 6 x. Phần lẻ của số thực x, đ-ợc ký hiệu là {x}, là số thực xác định theo công thức {x} = x − [x].

• Các hàm số sơ cấp ax, logax, sin x, cos x , arcsin x, arccos x đ-ợc định

nghĩa theo cách thông th-ờng Tuy nhiên, cần chú ý rằng, tài liệu này dùng các ký hiệu tiêu chuẩn quốc tế sau

tan x = sin x/ cos x, cot x = cos x/ sin x, cosh x = e

tanh x = sinh x/ cosh x, coth x = cosh x/ sinh x.

T-ơng tự ta có các ký hiệu về hàm ng-ợc arctan x, arccot x.

sup(−A) = − inf A, inf(−A) = − sup A.

sup(A · B)

= max {sup A · sup B, sup A · inf B, inf A · sup B, inf A · inf B}

Đoàn Chi

1.1.5. ChoAvàBlà những tập con khác rỗng các số thực Chứng minh rằng

sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B}

và

inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B}

1.1.6. Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của A1, A2 xác định bởi

A1 =

 2(−1)n+1+ (−1)n(n+1)2

α −

pn

qn

α −

pn

qn

1.1.16. Chứng minh rằng{cos n : n ∈ N}là trù mật trong đoạn [−1, 1]

1.1.17. Chox ∈ R \ Z và dãy{xn}đ-ợc xác định bởi

1.1.21. Chøng minh r»ng tËp{sin n : n ∈ N}lµ trï mËt trong[−1, 1].

1.1.22. Sö dông kÕt qu¶ trong bµi 1.1.20 chøng minh r»ng víi mäi sè v« tû x

x −

pn

qn

... Weierstrasskhẳng định rằng, dãy số thực

bị chặn có điểm giới hạn.

Tập giới hạn riêng dãy số thực bị chặn {an} có giá trị lớn Giá...

n→∞an.

Tập giới hạn riêng dãy số thực bị chặn {an} có giá trị bé Giá