de thi toan cho vl

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2011 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2011 (đợt 1) Môn: Phương trình toán lý Chuyên nghành: Vật lý (Kỹ thuật và Lý thuyết) Thời gian làm bài: 180 phút NỘI DUNG ĐỀ 2 Câu 1: Thực hiện các phép tính sau 1. Thiết lập phương trình truyền sóng điện từ trong môi trường chân không từ hệ phương trình Maxwell  ∇ ·  B = 0,  ∇ ·  E = 0,  ∇ ×  B =  0 µ 0 ∂  E ∂t ,  ∇ ×  E = − ∂  B ∂t . 2. Chứng minh các đẳng thức sau:  ∇ ×  ∇V (r) = 0 , trong đó V (r) là thế vô hướng.  ∇ ·  ∇ ×  A = 0 , trong đó  A là thế vector. Câu 2: Một chất điểm chuyển động trên mặt phẳng Oxy, vector định vị của nó được cho bởi r = a cos(ωt)  i + a sin(ωt)  j, (a, ω là các hằng số). Chứng minh rằng 1. Vector vận tốc v vuông góc với r. 2. Vector gia tốc a hướng về gốc tọa độ. Độ lớn của a? 3.  L = r × mv là một hằng vector. Tìm độ lớn của  L? Câu 3: Chứng minh các đẳng thức sau 1. Chứng minh rằng nếu  B =  ∇ ×  A (  B là vector cảm ứng từ và  A là thế vector), S là một mặt kín bất kỳ thì ˛ S  B · dσ = 0. 2. Chứng minh rằng nếu u, v là hai hàm vô hướng, C là một đường cong kín bất kỳ, S là diện tích giới hạn bởi C thì ˛ C u  ∇v · d  l = ˆ S (  ∇u) × (  ∇v) · dσ. 1 Câu 4: Toán tử T (t + , t) mô tả sự thay đổi của hàm sóng từ thời điểm t đến thời điểm t +. Với  thực và đủ nhỏ sao cho ta có thể cho  2 = 0, khi đó T được biểu diễn T (t + , t) = 1 − i  H(t). 1. Nếu H là hermite, chứng minh T là unita. 2. Nếu T là unita, chứng minh H là hermite. Câu 5: Tìm các trị riêng và các vector riêng (trực giao, chuẩn hóa) tương ứng của các ma trận sau A =   0 0 0 0 0 −i 0 i 0   , B =   0 0 i 0 0 0 −i 0 0   . Câu 6: Thực hiện các phép tính sau 1. Ma trận C không là ma trận hermite. Chứng minh rằng ma trận C + C † và i(C − C † ) là các ma trận hermite. (Điều này có nghĩa là một ma trận không hermite có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai ma trận hermite C = 1 2 (C + C † ) + 1 2i i(C − C † )). 2. Chứng minh rằng nếu một ma trận có các trị riêng là thực và các vector riêng là trực giao và chuẩn hóa, tức là r i |r j  = δ ij , thì ma trận đó là một ma trận hermite. Câu 7: Thực hiện các phép tính dưới đây 1. Tách phần thực và phần ảo của các hàm số sau (z = x + iy) a) ω(z) = z − 1 z + 1 ; b) ω(z) = z 3 . 2. Tìm hàm giải tích ω(z) = u(x, y) + iv(x, y) cho các trường hợp sau a) Cho biết u(x, y) = x 3 − 3xy 2 ; b) Cho biết v(x, y) = e x sin y. Câu 8: Ứng dụng lý thuyết thặng dư để tính các tích phân sau a) ˆ ∞ −∞ cos x x 2 + a 2 dx ; b) ˆ ∞ −∞ x sin x x 2 + a 2 dx ; c) ˆ ∞ −∞ x 2 dx x 4 + 1 . Giáo viên soạn đề TS. Nguyễn Thanh Phong 2 . 1 ; b) ω(z) = z 3 . 2. Tìm hàm giải tích ω(z) = u(x, y) + iv(x, y) cho các trường hợp sau a) Cho biết u(x, y) = x 3 − 3xy 2 ; b) Cho biết v(x, y) = e x sin y. Câu 8: Ứng dụng lý thuyết thặng dư. tả sự thay đổi của hàm sóng từ thời điểm t đến thời điểm t +. Với  thực và đủ nhỏ sao cho ta có thể cho  2 = 0, khi đó T được biểu diễn T (t + , t) = 1 − i  H(t). 1. Nếu H là hermite, chứng. là thế vector. Câu 2: Một chất điểm chuyển động trên mặt phẳng Oxy, vector định vị của nó được cho bởi r = a cos(ωt)  i + a sin(ωt)  j, (a, ω là các hằng số). Chứng minh rằng 1. Vector vận