Môđun chính tắc và vành Gorenstein trong trường hợp chiều cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM          L L Ê Ê M M Ạ Ạ N N H H C C Ử Ử U U MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM          L L Ê Ê M M Ạ Ạ N N H H C C Ử Ử U U MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Giải nội xạ tối tiểu và chiều nội xạ . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Môđun chính tắc 16 2.1 Môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến . . . . . . 26 3 Vành Gorenstein 33 3.1 Vành Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Tính chất Gorenstein của vành nửa nhóm một biến . . . . 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Lời mở đầu Vành Gorenstein là một cấu trúc quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Lớp các vành này có quan hệ chặt chẽ với vành chính quy, vành giao đầy đủ, vành Cohen-Macaulay theo sơ đồ Chính quy ⇒ giao đầy đủ ⇒ Gorenstein ⇒ Cohen-Macaulay. Grothendieck là người đầu tiên đưa ra định nghĩa và nghiên cứu về vành Gorenstein, còn tên Gorenstein được đặt theo tên của nhà toán học Daniel Gorenstein (1923 - 1992) do công trình của ông về đối ngẫu trên các đường cong đại số. Vành Gorenstein được nhiều nhà toán học nghiên cứu, có thể kể đến các công trình của Macaulay, Serre, Grothendieck hay Bass. Trong đó, Bass là một trong những người có đóng góp nhiều nhất trong việc nghiên cứu vành này, các định nghĩa vành Gorenstein trong các tài liệu hiện nay hầu hết là của ông (xem thêm trong bài báo [4] của Huneke). Có nhiều cách để định nghĩa vành Gorenstein, trong đó tiêu biểu là thông qua tính hữu hạn của chiều nội xạ. Trong luận văn, chúng tôi chọn cách định nghĩa thông qua môđun chính tắc bởi nó có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết đối ngẫu trên phạm trù các môđun. Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về môđun chính tắc và vành Gorenstein địa phương trong trường hợp chiều dương dựa theo tài liệu [3] của D. Eisenbud và [5] của H. Matsumura. Trường hợp chiều 0 được xét trong luận văn của Vũ Thị Duyên [2]. Luận văn chia làm ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ và môđun 1 Cohen-Maccaulay. Đây là những công cụ cơ bản dùng cho các định nghĩa và chứng minh ở hai chương sau. Chương 2 được dành để trình bày về môđun chính tắc trên vành Cohen-Macaulay địa phương. Chương 2 chia làm hai phần. Tiết 1 của chương, chúng tôi trình bày về môđun chính tắc trên vành Cohen-Macaulay địa phương. Kết quả chính của tiết này là Định lý 2.1.7. Định lý này trình bày điều kiện cần và đủ để một môđun hữu hạn sinh trên một vành Cohen-Macaulay địa phương là môđun chính tắc thông qua độ sâu, chiều nội xạ và cấu trúc vành các tự đồng cấu. Tiết sau của chương, chúng tôi xét môđun chính tắc trên vành nửa nhóm một biến. Định lý 2.2.6 cho phép ta mô tả môđun chính tắc của vành nửa nhóm bất kỳ một cách cụ thể. Chương cuối của luận văn, chúng tôi trình bày về vành Gorenstein địa phương. Tiết đầu của chương này, sau khi định nghĩa vành Gorenstein qua môđun chính tắc, chúng tôi trình bày đặc trưng Gorenstein của một vành địa phương thông qua chiều nội xạ và tính triệt tiêu của các môđun Ext. Đây nằm trong những đặc trưng quan trọng nhất của vành Goren- stein. Tiết 2 của chương, chúng ta trở lại với vành nửa nhóm một biến. Dựa vào các mô tả môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến trong chương 2, chúng tôi chứng minh một đặc trưng tính chất Gorenstein của vành này thông qua tính chất tổ hợp của nửa nhóm tương ứng (Định lý 3.2.1). Dựa vào đặc trưng đó, chúng tôi đưa ra một số ví dụ cụ thể vành nửa nhóm Gorenstein. Vì điều kiện thời gian nên luận văn vẫn còn những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của thầy cô, các bạn học viên, độc giả quan 2 tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Đoàn Trung Cường, Viện Toán học. Thầy đã dành rất nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Tôi cũng xin cảm ơn TS. Trần Nguyên An, PGS. TS. Lê Thanh Nhàn đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi nắm những kiến thức cơ sở. Tôi xin cảm ơn các thầy cô ở Viện Toán học, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014 Tác giả luận văn Lê Mạnh Cửu Xác nhận của khoa Toán Xác nhận của người hướng dẫn 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản về giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ, dãy chính quy, độ sâu và môđun Cohen-Macaulay phục vụ cho việc tìm hiểu môđun chính tắc và vành Gorenstein sẽ được trình bày ở hai chương sau. Trong đó quan trọng nhất là Mệnh đề 1.1.9 cho ta cách xây dựng giải nội xạ tối tiểu của môđun M/xM trên vành A/(x) khi biết giải nội xạ tối tiểu của môđun M trên vành A. Kết quả này được sử dụng thường xuyên trong các chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 1.1 Giải nội xạ tối tiểu và chiều nội xạ Trong toàn bộ luận văn chúng tôi luôn xét vành là giao hoán và có đơn vị. Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer phát hiện vào năm 1940. Từ đó tới nay lớp môđun này đã trở thành công cụ quan trọng của đại số, trong đó có đại số giao hoán. 4 Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một vành giao hoán, một A−môđun E là nội xạ nếu với mỗi đơn cấu f : N → M giữa các A−môđun và một đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại một đồng cấu h : M → E sao cho g = h ◦ f. Một tính chất cơ bản của môđun nội xạ là tính chất nội xạ được bảo toàn khi địa phương hóa tại một iđêan nguyên tố bất kì của vành. Và đó là nội dung của mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.2. Cho A là một vành Noether, M là một A−môđun hữu hạn sinh và p là iđêan nguyên tố của A. Khi đó Hom A (M, N) p ∼ = Hom A p (M p , N p ), như là các A p −môđun. Hệ quả là, nếu I là một A−môđun nội xạ thì I p là một A p −môđun nội xạ. Chứng minh. Vì M là A−môđun hữu hạn sinh nên ta có một toàn cấu ϕ : A r → M, khi đó Ker ϕ cũng là A−môđun hữu hạn sinh nên tồn tại một toàn cấu ψ : A s → Ker ϕ. Do đó dãy A s ψ −→ A r ϕ −→ M → 0 (1) là khớp. Địa phương hóa dãy khớp trên tại iđêan nguyên tố p ta được dãy khớp A s p ψ −→ A r p ϕ −→ M p → 0, (2) trong đó ψ và ϕ là hai đồng cấu cảm sinh tương ứng của ψ và ϕ. Hơn nữa, ta được biểu đồ sau là giao hoán A s ϕ //  A r ψ //  M //  0 A s p ϕ // A r p ψ // M p // 0 Tác động hàm tử Hom A (−, N) vào (1) ta được dãy khớp 0 → Hom A (M, N) → Hom A (A r , N) → Hom A (A s , N). 5 Địa phương hóa dãy khớp trên tại p ta được dãy khớp 0 → Hom A (M, N) p → Hom A (A r , N) p → Hom A (A s , N) p . Tác động hàm tử Hom A p (−, N p ) vào (2) ta được dãy khớp 0 → Hom A p (M p , N p ) → Hom A p (A r p , N p ) → Hom A p (A s p , N p ). Ta được một biểu đồ giao hoán với các dòng là khớp 0 −→ 0 −→ Hom A (M, N) p   f 1 Hom A p (M p , N p ) ϕ 1 −−→ ϕ 3 −−→ Hom A (A r , N) p   f 2 Hom A p (A r p , N p ) ϕ 2 −−→ ϕ 4 −−→ Hom A (A s , N) p   f 3 Hom A p (A s p , N p ), trong đó ϕ 1 và ϕ 2 cảm sinh bởi ψ và ϕ, ϕ 3 và ϕ 4 cảm sinh bởi ψ và ϕ, f 2 và f 3 là các đẳng cấu. Ta sẽ chứng minh f 1 là đẳng cấu. Giả sử x ∈ Hom A (M, N) p mà f 1 (x) = 0. Suy ra f 2 (ϕ 1 (x)) = ϕ 3 (f 1 (x)) = ϕ 3 (0) = 0. Do đó ϕ 1 (x) ∈ Ker(f 2 ) = 0 nên x = 0. Suy ra f 1 là đơn cấu. Tiếp theo, ta chứng minh f 1 là toàn cấu. Giả sử y ∈ Hom A p (M p , N p ). Suy ra ϕ 3 (y) ∈ Ker(ϕ 4 ), nên tồn tại z ∈ Hom A (A r , N) p sao cho f 2 (z) = ϕ 3 (y). Suy ra z ∈ Im ϕ 1 , nên tồn tại x ∈ Hom A (M, N) p mà ϕ 1 (x) = z. Ta có ϕ 3 (f 1 (x)) = f 2 (ϕ 1 (x)) = f 2 (z) = ϕ 3 (y). Vì ϕ 3 là đơn cấu nên f 1 (x) = y. Do đó f 1 là toàn cấu. Vậy Hom A (M, N) p ∼ = Hom A p (M p , N p ). Nếu I là A−môđun nội xạ thì hàm tử Hom A (−, I) từ phạm trù các A−môđun hữu hạn sinh tới phạm trù các A−môđun là hàm tử khớp. Do đó Hom A (−, I) p từ phạm trù các A p −môđun hữu hạn sinh tới phạm trù các A p −môđun là hàm tử khớp. Do đó Hom A p (−, I p ) là khớp và I p là một A p −môđun nội xạ. Ứng với mỗi môđun có một môđun nội xạ rất quan trọng là bao nội 6 xạ của môđun đó. Khái niệm này được trình bày ở phần tiếp theo cho phép ta xây dựng giải nội xạ tối tiểu của một môđun. Định nghĩa 1.1.3. Cho M là một A−môđun không tầm thường trên vành giao hoán A. Một A−môđun nội xạ E được gọi là bao nội xạ của M nếu M ⊆ E là môđun con và với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N ∩ M = 0. Ta kí hiệu bao nội xạ của M là E(M). Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một A−môđun không tầm thường trên vành giao hoán A. Một giải nội xạ của A− môđun M là một dãy khớp 0 → M → E 0 → E 1 → E 2 → , trong đó các E i là nội xạ, với mọi i ≥ 0. Tiếp theo là định nghĩa về giải nội xạ tối tiểu, một công cụ quan trọng để nghiên cứu về môđun chính tắc. Định nghĩa 1.1.5. Cho M là một môđun trên vành giao hoán A. Một giải nội xạ của M 0 → M → E 0 → E 1 → là giải nội xạ tối tiểu nếu với mỗi n > 0, ta đặt M n = Coker(E n−1 → E n ) thì E n+1 ∼ = E(M n ) và ánh xạ E n → E n+1 là hợp thành của hai ánh xạ tự nhiên E n → M n → E n+1 = E(M n ). Ngoài định nghĩa trên, giải nội xạ tối tiểu còn có một cách định tương đương khác như sau. Bổ đề 1.1.6. Cho M là một môđun trên vành giao hoán A. Một dãy A−môđun nội xạ E • : E 0 → E 1 → → E n → E n+1 → 7 [...]... là một vành giao hoán Noether địa phương Trước tiên ta định nghĩa môđun chính tắc trong trường hợp chiều 16 của vành bằng 0 Định nghĩa 2.1.1 Cho (A, m, k) là một vành địa phương chiều không Một A môđun hữu hạn sinh ωA được gọi là môđun chính tắc trên A nếu ωA là bao nội xạ của trường thặng dư A/m Trong trường hợp chiều của vành lớn hơn không, ta định nghĩa môđun chính tắc quy nạp theo chiều của vành. .. 2.2.6 ta có môđun 31 chính tắc của vành nửa nhóm sinh bởi Γ là ω Như vậy ta có thể tính toán một cách trực tiếp môđun chính tắc của vành nửa nhóm Điều này rất thuận lợi cho việc xét tính chất Gorenstein của vành này 32 Chương 3 Vành Gorenstein Chương này dành để trình bày về vành Gorenstein Trường hợp vành Gorenstein chiều 0 đã được xét trong luận văn [2] của Vũ Thị Duyên Dựa trên trường hợp này và các... Như vậy, môđun chính tắc của vành A nếu tồn tại luôn là duy nhất sai khác một đẳng cấu Ta thường kí hiệu môđun chính tắc là ωA Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu cấu trúc của một môđun chính tắc Định lý 2.1.10 Cho (R, mR ) là một vành Cohen-Macaulay với môđun chính tắc ωR Nếu A là R−đại số địa phương hữu hạn sinh như là một R môđun, và A là Cohen-Macaulay, khi đó A có môđun chính tắc Trong trường hợp này,... Nakayama và ϕ là đơn cấu Định lý tiếp theo cho một điều kiện cần và đủ để một môđun hữu hạn sinh trên một vành Cohen-Macaulay là một môđun chính tắc thông qua độ sâu, chiều nội xạ và cấu trúc vành các tự đồng cấu Đây là kết quả chính của tiết này Định lý 2.1.7 (Đặc trưng môđun chính tắc) Cho (A, m, k) là một vành Cohen-Macaulay địa phương chiều d và W là một A môđun hữu hạn sinh W là môđun chính tắc trên... các kết quả về môđun chính tắc ở Chương 2, trong Tiết 1, chúng tôi định nghĩa vành Gorenstein có chiều dương và chứng minh một số đặc trưng quan trọng qua tính hữu hạn của chiều nội xạ của vành hoặc qua tính triệt tiêu của các môđun Ext Tiết 2 được dành để xét tính Gorenstein của vành nửa nhóm một biến Đây là nguồn ví dụ rất phong phú và cụ thể về những vành Gorenstein chiều 1 3.1 Vành Gorenstein Có... một vành Cohen-Macaulay địa phương chiều lớn hơn không Một A môđun hữu hạn sinh W là môđun chính tắc của A nếu tồn tại phần tử chính quy x ∈ A sao cho W/xW là môđun chính tắc của A/(x) Trong tiết này, ta sẽ tìm hiểu một số đặc trưng của môđun chính tắc Những đặc trưng này sẽ giúp ta trả lời hai câu hỏi khi nào một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether địa phương trở thành môđun chính tắc và liệu môđun. .. hạn sinh trở thành môđun chính tắc và nêu lên đặc trưng của một môđun chính tắc Cả hai vấn đề trên đều được giải quyết trong Định lý 2.1.7 Phần thứ hai của chương là môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến Nội dung quan trọng nhất của phần này được trình bày trong Định lý 2.2.6 Định lý này cho ta một mô tả cụ thể môđun chính tắc của một vành nửa nhóm một biến bất kỳ 2.1 Môđun chính tắc Từ đây đến cuối... Cohen-Macaulay cực đại với chiều của vành và quan hệ của môđun CohenMacaulay cực đại với môđun chính tắc của vành trong trường hợp chiều 0 Đây là kết quả đẹp trong trường hợp này Mệnh đề 2.1.4 Cho (A, m, k) là một vành Cohen-Macaulay địa phương Nếu M là một A môđun Cohen-Macaulay cực đại có inj dimA M < ∞, khi đó inj dimA M = dim A Nếu dim A = 0 thì M là tổng trực tiếp của các ωA và M ∼ ωA khi và chỉ khi EndA... Cohen-Macaulay là một lớp môđun có nhiều tính chất đẹp và là lớp môđun rất quan trọng trong đại số giao hoán Mỗi vành Gorenstein là một vành Cohen-Macaulay Để định nghĩa lớp môđun này ta cần một số khái niệm về dãy chính quy và độ sâu của môđun trên một vành Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một vành giao hoán và M là một A môđun hữu hạn sinh Một dãy các phần tử x1 , x2 , , xd của vành A gọi là dãy chính quy của M (còn... theo giả thiết quy nạp thì W/xW là môđun chính tắc của A/(x) Suy ra W là môđun chính tắc của A Hệ quả 2.1.8 Cho (A, m, k) là một vành Cohen-Macaulay địa phương với môđun chính tắc ωA Khi đó inj dimA ωA = dim A Qua định lý trên ta thấy môđun chính tắc W không phụ thuộc vào cách chọn phần tử x như trong Định nghĩa 2.1.2 Câu hỏi tự nhiên đặt ra là môđun chính tắc của một vành có là duy nhất không? Định . 16 2.2 Môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến . . . . . . 26 3 Vành Gorenstein 33 3.1 Vành Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Tính chất Gorenstein của vành nửa. 43 i Lời mở đầu Vành Gorenstein là một cấu trúc quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Lớp các vành này có quan hệ chặt chẽ với vành chính quy, vành giao đầy đủ, vành Cohen-Macaulay. bất kỳ. 2.1 Môđun chính tắc Từ đây đến cuối luận văn (A, m, k) luôn là một vành giao hoán Noether địa phương Trước tiên ta định nghĩa môđun chính tắc trong trường hợp chiều 16 của vành bằng 0. Định