Chương này dành để trình bày về vành Gorenstein. Trường hợp vành Gorenstein chiều 0đã được xét trong luận văn [2] của Vũ Thị Duyên. Dựa trên trường hợp này và các kết quả về môđun chính tắc ở Chương 2, trong Tiết 1, chúng tôi định nghĩa vành Gorenstein có chiều dương và chứng minh một số đặc trưng quan trọng qua tính hữu hạn của chiều nội xạ của vành hoặc qua tính triệt tiêu của các môđun Ext. Tiết 2 được dành để xét tính Gorenstein của vành nửa nhóm một biến. Đây là nguồn ví dụ rất phong phú và cụ thể về những vành Gorenstein chiều 1.
3.1 Vành Gorenstein
Có nhiều cách định nghĩa vành Gorenstein nhưng trong luận văn chúng tôi chọn cách định nghĩa vành Gorenstein thông qua môđun chính tắc.
Định nghĩa 3.1.1. Cho(A,m, k)là một vành Cohen-Macaulay địa phương với môđun chính tắc ωA. Khi đó A là một vành Gorenstein nếu A ∼= ω
Bổ đề sau rất hữu ích cho việc chứng minh một số định lý quan trọng về các đặc trưng của vành Gorenstein được trình bày ở sau.
Bổ đề 3.1.2. Cho (A,m, k) là một vành Noether địa phương chiều n. Khi đó nếu inj.dimA = n thì
ExtiA(k, A) ∼= 0 nếu i 6= n k nếu i = n.
Chứng minh. Với n= 0 ta có depthA = 0 nên A không có phần tử chính
quy. Suy ra m ∈ Ass(A) hay tồn tại x ∈ m sao cho m = (0 :A x). Do đó ta có dãy khớp 0 → k −→x A. Tác động hàm tử HomA(−, A) vào dãy khớp trên ta được dãy khớp A ∼= Hom
A(A, A) −→x HomA(k, A) → 0. Suy ra HomA(k, A) sinh bởi một phần tử x và HomA(k, A) 6= 0 nên A.x ∼=
A/Ann(x) ∼= A/m. Nên Hom
A(k, A) ∼= k và do A là môđun nội xạ nên
ExtiA(k, A) = 0, với mọi i >0. Vậy phát biểu đúng cho trường hợp n= 0.
Nếu n > 0, m chứa một phần tử chính quy x. Đặt B = A/xA. Khi đó
theo Mệnh đề 1.1.9 dimB = inj.dimBB = inj.dimAA−1 = n−1. Theo giả thiết quy nạp
ExtiA(k, A) = ExtiB−1(k, B) ∼= 0 nếu i 6= n k nếu i = n.
Định lý sau đây là một đặc trưng rất quan trọng của vành Gorenstein thông qua chiều nội xạ của vành.
Định lý 3.1.3. Cho (A,m, k) là một vành Noether địa phương chiều n. Khi đó các điều sau là tương đương:
(i) A là một vành Gorenstein.
(ii) Chiều nội xạ của A là hữu hạn.
(iii) Chiều nội xạ của A là n.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). VìA là một vành Gorenstein nên A ∼= ω
A mà ωA
có chiều nội xạ hữu hạn nên A có chiều nội xạ hữu hạn.
(ii) ⇒ (iii). Giả sử inj.dimAA = r. Nếu p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất của A sao cho ht(m/p) = n, khi đó p ∈ AssA. Nên pAp ∈ Ass(Ap)
hay pAp không chứa phần tử nào là Ap−chính quy. Vậy depth(pAp) = 0
nên Ext0Ap(k(p), Ap) 6= 0. Theo Bổ đề 1.2.7 ExtnA(k, A) 6= 0 và áp dụng Bổ đề 1.2.5 ta có r ≥ n. Nếu r = 0, vì r ≥ n nên n = 0. Suy ra Mệnh đề là đúng. Nếu r > 0, đặt ExtrA(−, A) = T, khi đó T là hàm tử phản biến khớp phải. Vì r ≥ n nên theo Bổ đề 1.2.5 tồn tại một iđêan nguyên tố
p sao cho T(A/p) 6= 0. Giả sử p 6= m khi đó tồn tại phần tử x ∈ m mà
x /∈ p và 0 →A/p−→x A/p là dãy khớp. Tác động hàm tử T vào dãy khớp trên ta có dãy khớp T(A/p) −→x T(A/p) → 0 nên T(A/p) = 0 theo Bổ đề Nakayama, điều này là mâu thuẫn. Do đó p = m và T(k) 6= 0. Ta chứng minh được rằng m ∈/ Ass(A), vì nếu m ∈ Ass(A) thì tồn tại x ∈ A sao cho m= (0 :A x). Do đó dãy 0 →k →A là khớp, tác động hàm tử T vào dãy này ta được dãy khớp T(A) = ExtrA(A, A) = 0 → T(k) → 0. Suy ra
T(k) = 0, mâu thuẫn. Do vậy m chứa một phần tử x là A−chính quy. Đặt
B = A/xA, theo Mệnh đề 1.1.9 thì inj.dimBB = inj.dimAA− 1. Theo
giả thiết quy nạp theo r ta có r −1 = dimB = n−1, nên r = n.
(iii) ⇒(i). Theo Mệnh đề 1.2.2 và Bổ đề 3.1.2 thì
Vậy A là một vành Cohen-Macaulay. Để chứng minh A là Gorenstein ta chứng minh A∼= ωA. Ta chứng minh quy nạp theo chiều của A. Với n = 0
ta có HomA(k, A) ∼= (0 :
A m) ∼= k. Nên theo [2, Định lý 3.1.3(iii)] thì A là
vành Gorenstein. Vớin 6= 0 ta có inj.dimA/(x)A/(x) = dimA/(x) = n−1. Theo giả thiết quy nạpA/(x) là vành Gorenstein nênA/(x) ∼= ω
A/(x). Vậy
A là môđun chính tắc của vành A. Suy ra A là một vành Gorenstein. Vẫn là đặc trưng của vành Gorenstein nhưng thông qua tính triệt tiêu của các môđun Ext là nội dung của định lý sau.
Định lý 3.1.4. Cho (A,m, k) là một vành Noether địa phương chiều n. Khi đó các điều sau là tương đương:
(i) A là một vành Gorenstein.
(ii) ExtiA(k, A) = 0 với i > n nào đó.
(iii) ExtiA(k, A) ∼= 0 nếu i < n k nếu i = n. (iv) A là một vành Cohen-Macaulay và ExtnA(k, A) ∼= k.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Theo Định lý 3.1.3 ta có inj.dimAA = n và theo
Bổ đề 3.1.2 thì ExtiA(k, A) ∼= 0 nếu i 6= n k nếu i = n.
Do đó ExtiA(k, A) = 0 với i > n nào đó.
(ii) ⇒ (i). Ta chứng minh quy nạp theo n. Giả sử tồn tại i > n mà
Vì ExtiA(k, A) = 0 với i > n nào đó nên inj.dimA < i < ∞. Theo Định lý 3.1.3 ta có Alà một vành Gorenstein. Nếu n > 0, lấy p là iđêan nguyên tố khác m, đặt d = ht(m/p) và B = Ap. Khi đó, theo Bổ đề 1.2.7 ta có
ExtiB−d(κ(p), B) = 0. Và do dimB ≤ n−d < i−d nên theo giả thiết quy nạp B là một vành Gorenstein. Suy ra inj.dimBB ≤ n −d < i, do đó với mọi A−môđun M ta có (ExtiA(M, A))p = ExtiB(Mp, B) = 0. Nếu đặt
T(M) = ExtiA(M, A) thì Supp(T(M)) ⊆ {m}, và vì T(M) là A−môđun hữu hạn sinh nên `(T(M)) < ∞. Ta dùng giả thiết này để chứng minh cho T(A/p) = 0 với mọi iđêan nguyên tố p. Thật vậy, nếu T(A/p) 6= 0
với p nào đó, ta chọn p là lớn nhất thỏa mãn tính chất này. Bởi giả thiết
T(k) = ExtiA(k, A) = 0 nên p 6= m, ta chọn được x ∈ m\p. Và ta có dãy khớp
0→ A/p −→x A/p →A/(p+Ax) → 0.
Do A là một vành Noether nên có thể viết A/(p + Ax) = M0 ⊇ M1 ⊇
M2 ⊇... ⊇ Ms = 0với Mi/Mi+1 ∼= A/p
i và mỗi pi là iđêan nguyên tố chứa
p một cách thực sự. Vì vậyT(A/(p+Ax)) = 0, suy ra dãy 0→ T(A/p) −→x
T(A/p) là khớp. Nên ánh xạ nhân là đơn ánh, hơn nữa `(T(A/p)) < ∞
nên nó cũng là toàn ánh. Theo Bổ đề Nakayama ta có T(A/p) = 0, mâu thuẫn với điều giả sử ở trên. Do đó T(A/p) = ExtiA(A/p, A) = 0 với mọi iđêan nguyên tố p. Theo Bổ đề 1.2.5 ta có inj.dimAA < i < ∞ nên A là một vành Gorenstein.
(i) ⇒(iii). Vì A là vành Gorenstein nên theo Bổ đề 3.1.2 ta có
ExtiA(k, A) ∼= 0 nếu i < n k nếu i = n.
(iii) ⇒ (iv). Từ (iii) suy ra depthA = dimA = n và ExtnA(k, A) ∼= k nên
(iv) được chứng minh.
(iv) ⇒ (i). Trước hết, ta chứng minh ExtiA(k, A) = 0 với mọi i > n. Ta chứng minh điều này quy nạp theo dimA. Giả sử dimA = 0, ta có Socle(A) ∼= Hom
A(k, A) ∼= k nên theo [2, Định lý 3.1.3(iii)] A là
một vành Gorenstein. Nếu dimA > 0 khi đó depthA > 0, nên tồn tại
x1 ∈ A là A−chính quy. Theo Mệnh đề 1.1.9 ta có ExtA/i (x1)(k, A/x1A) ∼=
ExtiA+1(k, A), với mọi i ≤ 0. Suy ra
ExtiA/(x1)(k, A/x1A) ∼= 0 nếu i < n−1 k nếu i = n−1.
Theo giả thiết quy nạp suy ra ExtiA/(x1)(k, A/x1A) = 0, với mọi i > n−1
nên ExtiA+1(k, A) = 0 với mọi i > n−1. Do đó inj.dimAA = n nên theo Định lý 3.1.3 A là một vành Gorenstein.
Ở chương hai ta đã biết môđun chính tắc là bảo toàn khi địa phương hóa. Câu hỏi đặt ra là tính Gorenstein của vành có bảo toàn khi địa phương hóa tại một iđêan nguyên tố bất kỳ không.
Mệnh đề 3.1.5. Cho A là một vành Cohen-Macaulay địa phương và p là
một iđêan nguyên tố của A. Nếu A là một vành Gorenstein thì Ap cũng
là một vành Gorenstein.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.1.11 thì (ωA)p là môđun chính tắc của Ap .
Suy ra (ωA)p ∼= A
p nên Ap là vành Gorenstein.
Định lý sau đây cho ta một lớp quan trọng các vành Gorenstein. Chứng minh chi tiết xem [3, Corollary 21.19].
Định lý 3.1.6. Nếu A = R/I trong đó R là một vành địa phương chính
quy và I là một iđêan sinh bởi một dãy chính quy thì A là một vành
Gorenstein.
Các vành A = R/I mà R là một vành địa phương chính quy và I
là một iđêan sinh bởi một dãy chính quy được gọi là vành giao đầy đủ. Và nói riêng mọi vành chính quy đều là vành Gorenstein.
3.2 Tính chất Gorenstein của vành nửa nhóm một
biến
Trong chương 2, ta đã có mô tả về môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến. Trong tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu những nửa nhóm nào tương ứng với vành nửa nhóm Gorenstein.
Định lý 3.2.1. ChoA là một vành nửa nhóm một biến sinh bởi nửa nhóm
Γ. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) A là một vành Gorenstein.
(ii) γ ∈ Γ khi và chỉ khi c−1−γ /∈ Γ.
(iii) card{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α /∈ Γ}
= card{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α ∈ Γ}.
Nửa nhóm Γ thỏa mãn điều kiện trên gọi là nửa nhóm đối xứng.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử A là một vành Gorenstein, theo Định lý
2.2.6 ω ∼= ω A ∼= A với ω = P α /∈Γ a−αt−α|a−α ∈ k,∀α . Do đó, tồn tại
f(t) ∈ ω sao cho ω = A.f. Ta có t1−c ∈ ω, suy ra tồn tại g(t) ∈ A
sao cho t1−c = f.g. Do f(t) ∈ ω, g(t) ∈ A nên để thỏa mãn t1−c = f.g
thì f(t) = t1−c + ... và g(t) = 1 + ... . Suy ra g(t) là khả nghịch do đó
f = g−1.t1−c. Suy ra ω = A.t1−c. Điều này tương đương t1−c.tγ ∈ ω hay
t1−c+γ ∈ ω với tγ ∈ A . Vậy γ ∈ Γ khi và chỉ khi c−1−γ /∈ Γ.
(ii) ⇒ (i). Nếu tγ ∈ A khi và chỉ khi tγ+1−c ∈ ω thì với mỗi tα ∈ ω
ta có tα = (tα+c−1).t1−c và tα+c−1 ∈ A (Tức là ω = t1−c.A). Suy ra ω ∼= A.
Vậy A là một vành Gorenstein.
(ii) ⇒ (iii). Giả sử x ∈ [0,1,2, ..., c − 1]|α ∈ Γ, khi đó y =
c − 1 − x ∈ [0,1,2, ..., c − 1] và y /∈ Γ. Tức là tồn tại một song ánh
từ tập {α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α /∈ Γ} tới tập {α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α ∈ Γ}.
Vậycard{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α /∈ Γ} = card{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α ∈ Γ}.
(iii) ⇒(ii). Nếu γ ∈ Γ và c−1−γ ∈ Γ thì(c−1−γ)+γ = c−1 ∈ Γ. Điều này là mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của c nên c − 1 − γ /∈ Γ. Ngược lại, giả sử γ ∈ Γ, nếu γ > c − 1 thì c − 1 − Γ < 0. Suy ra
c−1−γ /∈ Γ. Vì vậy ta chỉ cần xét γ ∈ [0,1,2, ..., c−1]. Do γ ∈ Γ suy ra được c−1−γ /∈ Γ nên ta có một đơn ánh từ {α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α ∈ Γ}
tới {α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α /∈ Γ}, biến x thành c−1−x. Hơn nữa,
card{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α /∈ Γ} = card{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α ∈ Γ}.
Nên đơn ánh trên trở thành song ánh. Do đó, nếu c − 1 − γ /∈ Γ thì
γ ∈ Γ.
Từ Mệnh đề 3.2.1 cho ta một kết quả rất đẹp về tính chất Gorenstein của vành nửa nhóm. Để xét tính chất Gorenstein của vành nửa nhóm ta
chỉ cần so sánh lực lượng của hai tập
{α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α /∈ Γ} và {α ∈ [0,1,2, ..., c−1]|α ∈ Γ}.
Ta có thể mô tả nửa nhómΓbởiΓ = {0 = a0, a1, ..., an−1, an = c, c+ 1, ...},
với 0 < a1 < a2 < ... < an−1 < c − 1. Khi đó, nếu k[[Γ]] là một vành
Gorenstein thì c = 2n là số chẵn. Ta có một số ví dụ cụ thể với c nhỏ như sau.
Ví dụ 3.2.2. Cho A là một vành nửa nhóm một biến liên kết với nửa
nhóm Γ = {0, c, c+ 1, ...}. Khi đó, theo Định lý 3.2.1 A là một vành
Gorenstein khi và chỉ khi card{α ∈ [ 0,1, ..., c−1 ]|α /∈ Γ} = 1. Do đó
c = 2 và Γ ={0,2,3,4, ...}.
Ví dụ 3.2.3. ChoAlà một vành nửa nhóm một biến liên kết với nửa nhóm
Γ = {0, a1, c, c+ 1, ...}, với 0 < a1 < c. Khi đó, theo Định lý 3.2.1 A là
một vành Gorenstein khi và chỉ khi card{α ∈ [ 0,1, ..., c−1 ]|α /∈ Γ} = 2. Do đó c = 4 và Γ = {0,2,4,5, ...}.
Ví dụ 3.2.4. ChoAlà một vành nửa nhóm một biến liên kết với nửa nhóm
Γ = {0, a1, a2, c, c+ 1, ...}, với 0 < a1 < a2 < c. Khi đó, theo Định lý 3.2.1
Alà một vành Gorenstein khi và chỉ khicard{α ∈ [ 0,1, ..., c−1 ]|α /∈ Γ} = 3. Do đó c = 6 và Γ ={0,2,4,6,7,8...} hoặc Γ = {0,3,4,5, ...}.
Ví dụ 3.2.5. Cho Alà một vành nửa nhóm liên kết với nửa nhómΓ, trong đó Γ = {0,2,4,5,6...}. Khi đó c = 4 nên các số nhỏ hơn 4 thuộc Γ chỉ gồm 0,2 và không thuộc Γ là 1,3 nên A là một vành Gorenstein. Bây giờ ta xét vành nửa nhóm A liên kết với nửa nhóm Γ mà Γ = {0,3,4,5, ...}. Khi đó c = 3 và các số nhỏ hơn 3 thuộc vào Γ chỉ có 0, còn không thuộc
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày lại một số kết quả về môđun chính tắc và vành Gorenstein được viết trên hai cuốn sách [3] và [5]. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
(1) Hệ thống lại một số kiến thức về giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ, độ sâu của một môđun, môđun Cohen-Maccaulay trên một vành.
(2) Định nghĩa và nêu ra đặc trưng của môđun chính tắc trong trường hợp chiều cao thông qua độ sâu, chiều nội xạ và chiều của vành. Xét tính duy nhất của môđun chính tắc (sai khác đẳng cấu) và tính chất của môđun chính tắc qua địa phương hóa.
(3) Mô tả cụ thể môđun chính tắc của vành nửa nhóm một biến, có ví dụ minh họa.
(4) Định nghĩa vành Gorenstein thông qua môđun chính tắc; Trình bày một số đặc trưng của vành Gorenstein qua tính hữu hạn của chiều nội xạ hoặc tính triệt tiêu của các môđun Ext.
(5) Đặc trưng tính chất Gorenstein của vành nửa nhóm một biến thông qua tính chất tổ hợp của nửa nhóm tương ứng. Từ đó đưa ra một số ví dụ cụ thể về vành nửa nhóm một biến Gorenstein.