200 bai phuong trinh vi phan

1 B ` AI T ˆ A . P PHU . O . NG TR ` INH VI PH ˆ AN 1) 2xy  y” = y 2 − 1 HD gia ’ i: y  = p : 2xpp  = p 2 − 1 x(p 2 − 1) = 0 2pdp p 2 − 1 = dx x ⇔ p 2 − 1 = C 1 ⇔ p = ± √ C 1 x + 1 p = dy dx = √ C 1 + 1 ⇒ y = 2 3C 1 (C 1 x + 1) 3 2 + C 2 2) √ y.y” = y  HD gia ’ i: y  = p ⇒ y” = p dp dy √ yp dp dy = p p = 0 dp = dy √ y ⇒ p = 2 √ y + C 1 ⇔ dy dx = 2 √ y + C 1 ⇒ dx = dy 2 √ y + C 1 x = √ y − C 1 2 ln |2 √ y + C 1 | + C 2 y = c 3) a(xy  + 2y) = xyy  HD gia ’ i: a(xy  + 2y) = xyy  ⇒ x(a − y)y  = −2ay y = 0 a − y y dy = − 2a x dx ⇔ x 2a y a e −y = C y = 0 4) y” = y  e y HD gia ’ i: y  = p ⇒ y” = p dp dy p dp dy = pe y p = 0 : dp dy = e y ⇔ p = e y + C 1 ⇒ dy dx = e y + C 1 ⇔ dy e y + C 1 = dx C 1 = 0  dy e y + C 1 = 1 C 1  e y + C 1 − e y e y + 1 dy = 1 C 1 (y −  e y dy e y + C 1 ) = y C 1 − 1 C 1 ln(e y + C 1 )  dx e y + C 1 =    −e −y nˆe ´ u C 1 = 0 1 C 1 (y −ln |e y + C 1 |) nˆe ´ u C 1 = 0. y = C : 5) xy  = y(1 + ln y −ln x) y(1) = e 2 HD gia ’ i: y  = y x (1 + ln y x ) y = zx xz  = z ln z • z ln z = 0 ⇒ dz z ln z = dx x ⇒ ln z = Cx ln y x = Cx ⇔ y = xe Cx y(1) = e → C = 1. y = xe x 6) y”(1 + y) = y 2 + y  HD gia ’ i: y  = z(y) ⇒ z  = z dz dy dz z + 1 = dy y + 1 ⇒ z + 1 = C 1 (y + 1) ⇒ z = C 1 y + C 1 − 1 ⇔ dy C 1 y + C 1 − 1 = dx (∗) • C 1 = 0 ⇒ (∗) y = C −x • C 1 = 0 ⇒ (∗) 1 C 1 ln |C 1 y + C 1 − 1| = x + C 2 y = C y = C, y = C − x; 1 C 1 ln |C 1 y + C 1 − 1| = x + C 2 7) y  = y 2 − 2 x 2 HD gia ’ i: x 2 y  = (xy) 2 − 2 (∗) z = xy ⇒ z  = y + xy  (∗) xz  = z 2 + z −2 ⇔ dz z 2 + z −2 = dx x ⇔ 3  z −1 z + x = Cx xy −1 xy + 2 = Cx 3 . 8) yy” + y 2 = 1 HD gia ’ i: y  = z(y) ⇒ y” = z. dz dy z 1 − z 2 dz = dy y ⇔ z 2 = 1 + C 1 y 2 ⇒ dy dx = ±  1 + C 1 y 2 ⇔ ±  dy  1 + C 1 y 2 = dx ⇒ y 2 + C 1 = (x + C 2 ) 2 y 2 + C 1 = (x + C 2 ) 2 9) 2x(1 + x)y  − (3x + 4)y + 2x √ 1 + x = 0 HD gia ’ i: y  − 3x + 4 2x(x + 1) .y = − 1 √ x + 1 ; x = 0, x = −1  dy y =  3x + 4 2x(x + 1) dx =  ( 2 x − 1 2(x + 1) )dx ⇔ y = Cx 2 √ x + 1 3 C  = − 1 x 2 ⇒ C = − 1 x + ε. y = x 2 √ x + 1 ( 1 x + ε) 10) y” = e 2y  y(0) = 0 y  (0) = 0 HD gia ’ i: z = y  → y” = z. dz dy z. dz dy = e 2y ⇔ z 2 2 = e 2y 2 + ε y  (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − 1 2 . z 2 = e 2y − 1. z = dy dx = √ e 2y − 1 ⇒  dy √ e 2y − 1 = x + ε. d¯ˆo ’ i biˆe ´ n t = √ e 2y − 1 arctg √ e 2y − 1 = x + ε y(0) = 0 ⇒ ε = 0. y = 1 2 ln(tg 2 x + 1). 11) xy  + 2y = xyy  y(−1) = 1 HD gia ’ i: x(1 − y)y  = −2y y(−1) = 1 y ≡ 0 1 − y y dy = −2 dx x x 2 ye −y = C C = 1 e x 2 ye 1−y = 1 12) y = ux xdy −ydx −  x 2 − y 2 dx = 0. (x > 0) HD gia ’ i: y = ux; du = udx + xdu x xdu − √ 1 − u 2 dx = 0 u −±1 u ≡ ±1 du 1 − u 2 = dx x arcsin u − ln x = C x > 0 y = ±x; arcsin y x = ln x + C 13) xy  =  x 2 − y 2 + y y(1) = 0 HD gia ’ i: xy  =  x 2 − y 2 + y ⇐⇒ y  =  1 − y 2 x 2 + y x u = y x y = ux y  = xu  + u xu  = √ 1 − u 2 ⇐⇒ du √ 1 − u 2 = dx x 4 ⇐⇒ arcsin u = ln Cx y(1) = 0 C = 1 y = ±x 14) y  sin x = y ln y y( π 2 ) = e HD gia ’ i: y  sin x = y ln y ⇐⇒ dy y ln y = dx sin x ⇐⇒ ln y = C tan x 2 ⇐⇒ y = e C tan x 2 y( π 2 ) = e C = 1 y = e tan x 2 15) (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 y(0) = 1 HD gia ’ i: x + y = z =⇒ dy = dz − dx (2 −z)dx + (2z −1)dz = 0 x −2z −3 ln |z −2| = C x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C y(0) = 1 C = 2 16) y = 1 z z = ux (x 2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 HD gia ’ i: y = 1 z (z 2 − x 2 )dz + 2zxdx = 0 z = ux (u 2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 ⇐⇒ dx x + u 2 − 1 u 3 + u du = 0 ⇐⇒ ln |x| + ln u 2 + 1 |u| = ln C ⇐⇒ x(u 2 + 1) u = C u = 1 xy 1 + x 2 y 2 = Cy 17) y  − xy = x + x 3 HD gia ’ i: y = Ce x 2 2 . x 2 2 + 1 5 18) y  − y = y 2 . HD gia ’ i: ln | y y + 1 | = x + C. 19) y  + y x = e x HD gia ’ i: y = C x + e x − e x x 20) y  − y = y 3 . HD gia ’ i: C + x = ln |y| − arctgy. 21) y  = y x + sin y x y(1) = π 2 HD gia ’ i: y = zx ⇒ y  = z  x + z z  x = sin x ⇔ dz sin z = dx x ⇔ ln |tg z 2 | = ln |x| + ln C ⇔ tg z 2 = Cx tg y 2x = Cx; y(1) = π 2 ⇒ C = 1. tg y 2x = x 22) (x − y cos y x )dx + x cos y x dy = 0 HD gia ’ i: y x = z ⇒ y  = z  x + z x cos z.z  + 1 = 0 ⇔  cos zdz = − dx x + C ⇔ sin z = −ln |x| + C sin y x = −ln |x| + C 23) (y 2 − 1)x 2 y 2 + y  (x 4 − y 4 ) = 0 HD gia ’ i: 6 y   = (x 4 + y 4 ) 2 ⇒ y  1 = y 2 x 2 ; y  2 = − x 2 y 2 . y = x C 1 x + 1 ; x 3 + y 3 = C 2 24) y 2 + x 2 y  = xyy  HD gia ’ i: y  = y 2 x 2 y x − 1 y 2 = Cxe y x 25) (x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0 y(1) = 0 HD gia ’ i:  x = u − 1 y = v + 3. (u + v)du + (u −v)dv = 0 u 2 + 2uv −v 2 = C x 2 + 2xy −y 2 − 4x + 8y = C 26) (x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0 HD gia ’ i:  x = X −1 y = Y + 3 (X + Y )dX + (X −Y )dY = 0 Y = uX dX X + 1 − u 1 + 2u − u 2 du = 0 X 2 (1 + 2u − u 2 ) = C x 2 + 2xy −y 2 − 4x + 8y = C 27) b) y  = 2xy x 2 − y 2 . HD gia ’ i: z = y z xz  = z(1 + z 2 ) 1 − z 2 ( 1 z − 2z 1 + z 2 )dz = dx x z 1 + z 2 = Cx, C = 0. x 2 + y 2 = C 1 y, C 1 = 0. 28) y  = 2x + y −1 4x + 2y + 5 . HD gia ’ i: u = 2x + y du dx = 5u + 9 2u + 5 . 7 10u + 7 ln |5u + 9| = 25x + C. 10y + 7 ln |10x + 5y = 9| − 5x = C. 29) (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0 HD gia ’ i: x = u + 1, y = v − 3, dv du = u + v −u + v v 2 − 2uv −v 2 = C. y 2 − x 2 − 2xy −8y + 4x = C 1 . 30) y  = √ x − y. (x 2 − y 2 )dy −2xydx = 0. HD gia ’ i: D = {(x, y) ∈ R 2 |x − y ≥ δ} δ > 0 dy dx = xy x 2 − y 2 z = y x xz  = z(1 + z 2 ) 1 − z 2 . ( 1 z − 2z 1 + z 2 )dz = dx x z 1 + z 2 = Cx, C = 0. x 2 + y 2 = C 1 y, C 1 = 0. 31) {e 2x , xe 2x , x 2 } (x − y)dy −(x + y)dx = 0; HD gia ’ i: y  = x + y x − y z = y x xz  = 1 + z 2 1 − z .  x 2 + y 2 = Ce arctg y x . 32) {cos 2 2x, sin 2 2x, 2} (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0. 8 HD gia ’ i: 2 cos 2 2x + 2 sin 2 2x − 2 = 0 y  = x + y x − 2y + 1 . u = x − 1 3 , v = y + 1 3 v  = u + v u − 2v . √ u 2 + 2v 2 = Ce 1 √ 2 arctg( √ 2 u v ) .  (3x − 1) 2 + 2(3y + 1) 2 = C 1 e 1 √ 2 arctg( √ 2 3x−1 3y+1 ) . 33) y 2 + x 2 y  = xyy  HD gia ’ i: y = zx → y  = z  x + z z −1 z dz = dx x → z −ln |z| = ln |x| + C y x − ln | y x | = ln |x| + C 34) y 2 + x 2 y  = xyy  HD gia ’ i: y  = y 2 x 2 y x − 1 y 2 = Cxe y x 35) y” cos y + (y  ) 2 sin y = y  HD gia ’ i: y = C : y = C y  = p ⇒ y” = p dp dy y dp dy cos y + p sin y = 1 p = C cos y. C = y C 1 p = dy dx = sin y + C 1 cos y ⇔ dy sin y + C 1 cos y = dx 1  C 2 1 + 1 ln    tg y 2 +  1 + 1 C 2 1 − 1 C 1 −tg y 2 +  1 + 1 C 2 1 + 1 C 1    = x + C 2 36) y  + 1 2x − y 2 = 0 HD gia ’ i: x = x(y) y y  = 1 x  9 1 x  + 1 2x − y 2 = 0 ⇔ x  + 2x = y 2 : x = Ce −2y C  (y) = y 2 e 2y ⇒ C(y) = 1 2 y 2 e 2y − 1 2 ye 2y + 1 4 e 2y + C x = Ce −2y + 1 2 y 2 − 1 2 y + 1 4 37) xy” = y  + x 2 HD gia ’ i: y  = p xp  − p = x 2 p = Cx → C(x) = x + C 1 dy dx = x(x + C 1 ) → y = x 3 3 + C 1 . x 2 2 + C 2 38) y 2 + yy” = yy  HD gia ’ i: p = y  (p = 0) p 2 + yp dp dy = yp ⇔ p + y dp dy = y y = 0 dp dy + p y = 1 p = C y ⇒ C(y) = y 2 2 + C 1 p = y 2 + 2C 1 2y ⇒ dy dx = y 2 + 2C 1 2y ⇒ 2ydy y 2 + 2C 1 = dx ⇒ y 2 = A 1 e x + A 2 . (yy  )  = yy  ⇔ yy  = C 1 e x ⇔ ydy = C 1 e x dx ⇔ y 2 = 2C 1 e x + C 2 39) ye y = y  (y 3 + 2xe y ) y(0) = −1 HD gia ’ i: y  x = 1 x  y x  − 2 y x = y 2 e −y x = y 2 (C − e −y ) y(0) = −1 ⇒ C = e. x = y 2 (e − e −y ) 40) xy” = y  + x HD gia ’ i: y  = p; p  − 1 x p = 1 p = Cx C = ln |x| + C 1 10 ⇒ p = dy dx = (ln |x| + C 1 )x ⇒ y =  (ln |x| + C 1 )xdx + C 2 = C 1 x 2 + x 2 2 ln |x| − x 2 4 + C 2 41) y  + xy = x 3 HD gia ’ i: y = Ce − x 2 2 C(x) = (x 2 − 2)e − x 2 2 + ε y = εe − x 2 2 + x 2 − 2. 42) (x 2 − y)dx + xdy = 0 HD gia ’ i: xy  −y = −x 2 xy  −y = 0 y = Cx C = −x + ε y = −x 2 + εx 43) y  − 2 x y = 3 x 2 y(1) = 1 HD gia ’ i: y = Cx 2 ; C  = 3 x 4 ⇒ C = − 1 x 3 + ε y = εx 2 − 1 x ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2 y = 2x 2 − 1 x 44) (x + 1)(y  + y 2 ) = −y HD gia ’ i: y = 0, y  + 1 x + 1 .y = −y 2 1 y = z ⇒ y  = − z  z 2 = −y 2 z  z  − 1 x + 1 .z = 1. z = C 1 (x + 1) C 1 = ln |x + 1| + ε. z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) y = 0 y = 1 (x + 1)(ln |x + 1| + ε) y = 0 45) 2xy  + y = 1 1 − x HD gia ’ i: y  + 1 2x y = 1 2x(1 − x) [...]... + y)dy = 0 22 '  a) Ki^ m tra h^ phu o ng tr e e nh la d oc l^p tuy^ n t  ^ a e nh - ^ '  b) Day la phu o ng tr  nh vi ph^n toan ph^n Suy ra t a  a ch ph^n t^ ng qua t co dang: a o   x2 + y 2 − 2xy = C 1 ` ˆ ˆ ´ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN (tiˆ p theo) e 101) ' Giai phu o ng tr nh: y” + y = x + e−x 2 Phu o ng tr nh d c tru ng λ + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1 a... Nghi^m t^ ng qua t: a  a e o  ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o  nh vi ph^n: a ’ HD giai: xy + ex sin y = C (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0  Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n: NTQ a  a ' Giai phu o ng tr nh: ’ HD giai: x2 (x2 + 1) 1 + 2x − ( − 1) = C 2 2 sin y '  nh vi ph^n toan ph^n, nghi^m t^ ng qua t: a  a e o  Phu o ng tr ' Giai phu o ng tr nh:... y(0) = 2 ⇒ C = 2 ’ HD giai: 163) ' Giai phu o ng tr nh vi ph^n a ’ HD giai: TPTQ: x x2 + ye y = C 2 y” + y tgx − y cos2 x = 0 '   b ng phe p bi^ n d o i a  e ^ Tu o ng tu bai 2  164) ' Cho bi^ u th c: e u ~  Ha y t m ham s^  o h(x) -  Dat Q = h(x) 1 1 − ln(x + y))dx + dy x+y x+y '  ' ' sao cho bi^ u th c tr^n tro thanh vi ph^n toan ph^n cua e u e  a  a m^t ham o  ’ HD giai:... Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n: a  a ’ HD giai: 84) (2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy ' Giai phu o ng tr nh: ( x2 + x3 y − y 3 = C (x2 + 1) cos y x + 2)dx − dy = 0 sin y 2 sin2 y ∂Q x cos y ∂P = =− ∂y ∂x sin2 y ’ HD giai: TPTQ: y x π P (x, )dx + 2 0 85) 88) (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x2 + 2(x sin y − cos y) = C x3 )dy y '  Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n:... ^   Day la phu o ng tr  nh vi ph^n tuy^ n t a e nh c^ p 1 a x2 −x2 ' Nghi^m t^ ng qua t la y = (C + e o   )e 2 62) ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr e o   nh sau: ’ HD giai: y √ = x y x - ^ Day la phu o ng tr  nh Bernoulli va co nghi^m la   e  √ 63) y −4 y= 1 ln x + Cx2 2  ' ' nh sau a) T m mi^n ma trong d nghi^m cua bai toa n Cauchy cua phu o ng tr... giai: 91) x2 1 − 2 (x − y) y dx + dy = 0 ' PTVPTP co t  ch ph^n t^ ng qua t: a o  ln x xy + =C y x−y ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o  nh vi ph^n: a (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0 ’ HD giai: 92) '  nh vi ph^n toan ph^n co nghi^m t^ ng qua t la a  a  e o   Phu o ng tr ~  ' Ha y t m th a s^ t ch ph^n cua phu o ng tr u o  a nh: x sin(xy) = C (x +... ng tr  nh vi ph^n toan ph^n, th a s^ t a  a u o ch ph^n: a   '  ' th a s^ t u o ch ph^n vao hai v^ cu a phu o ng tr a  e nh r^i gia i ra d u o c: o  94) 1 x2 µ(y) = 1 y nh^n a 1 3 x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0 3 ' T m nghi^m cua phu o ng tr e nh ' thoa d  u i^ e ’ HD giai: (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0 ki^n y(0) = 1 e - ^  Day la phu o ng tr  nh vi ph^n toan... cos x − sin x) D u 1 2 3 - ^ '  ' b) Day la phu o ng tr  nh vi ph^n toan ph^n T a  a ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o  nh la  3 2 x2 + (x2 − y) 2 = C 3 97) ' ' T m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr  a o   nh sau: ’ HD giai:  Ta t m d u o c th a s^ t  u o ch ph^n a µ(x) = '  dang vi ph^n toan ph^n Khi d nghi^m t^ ng qua t la a  a o e o   x2... nghi^m cua bai toa n Cauchy sau d ay e   ^ y  = y + 3x 1  y” − y = x x y(x = 1) = 1 va y (x = 1) = 2 ` ’ HD giai: - ^     ' a) Day la phu o ng tr  nh tuy^ n t e nh c^ p 1 tho a d nh ly d i^u ki^n t^n tai duy nh^ t a i   e e o a 2 nghi^m tr^n R e e ' b) Gia i phu o ng tr nh y” − y = x, x ' ta d u o c nghi^m t^ ng qua t  e o  y = C1 + C2 x + x2 2 ' V^y nghi^m cu a bai toa... 2x - Du o c 1 1 1 A = − ;B = − ;C = − 2 8 8 V^y NTQ: a y = C1 + C2 e2x − 125) ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o  nh vi ph^n: a x x y y x (x + e )dx + e (1 − )dy = 0 y ’ HD giai: 126) x 1 − (cos 2x + sin 2x) 2 8 '  Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n co t a  a  ch ph^n t^ ng qua t; a o  ' Giai phu o ng tr nh: x x2 + ye y = C 2 y − 6y + 9y = 25ex sin x 3x  . 1 B ` AI T ˆ A . P PHU . O . NG TR ` INH VI PH ˆ AN 1) 2xy  y” = y 2 − 1 HD gia ’ i: y  = p : 2xpp  = p 2 − 1 x(p 2 − 1) = 0 2pdp p 2 −