MẶT CẦU Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu : Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có pt là: (xa) 2 + (yb) 2 + (zc) 2 =R 2 Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R=3 Giải : Phương trình mặt cầu (S) : (x1) 2 +(y+2) 2 +(z1) 2 =9 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(2;1;3) và đi qua A(3;7;0) . Giải : Bán kính R= IA = 2 2 2 (3 2) ( 7 1) (0 3) = 46 Phương trình mặt cầu : (x2) 2 +(y+1) 2 +(z+3) 2 =46 Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2;5;6) , B(1;9;11) Giải : Gọi I là trung điểm AB => I( 3/2; 2; 5/2) Bán kính R =IA = 2 2 2 3 5 (2 ) ( 5 2) (6 ) 2 2 = 243 2 Phương trình mặt cầu : (x3/2) 2 +(y2) 2 +(z+5/2) 2 =243/2 Ví dụ 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua A(2;1;3) ; B(3;5;1) và có tâm nằm trên trục Ox . Giải : Gọi I là tâm của mặt cầu , vì I Ox => I(a;0;0) Ta có IA =IB <=> (a+2) 2 +1 2 +(3) 2 = (a3) 2 +(5) 2 +1 2 <=> a= 21 10 .Suy ra tâm I( 21 10 ;0;0) , bán kính R = 2 2 2 21 ( 2) 1 ( 3) 10 = 2681 100 Phương trình mặt cầu : (x21/10) 2 +y 2 +z 2 = 2681 100 Ví dụ 6: Lập phương trình mặt cầu tâm B(1;5;2) và tiếp xúc với mp(Oxy) . Giải : + Gọi H là hình chiếu của B lêm mp(Oxy) => H(1;5;0) Bán kính R 1 = BH = 2 2 2 0 0 2 =2 => phương trình mặt cầu là : (x+1) 2 +(y5) 2 +(z2) 2 =4 Ví dụ 7: Lập phương trình mặt cầu tâm I(3;2;5) và tiếp xúc với trục z’Oz. Giải : Gọi H là hình chiếu của I lên trục z’Oz => H(0;0;5) + Khoảng cách từ I đến trục z’Oz là IH = 2 2 2 3 2 0 = 13 + Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R 1 = 13 là : (x3) 2 +(y2) 2 +(z+5) 2 =13 Ví dụ 8: Trong không gian, cho M(1;2;3) , N(3;1;1) , P(2;1;2). Lập phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm M,N,P và có tâm nằm trên mp(Oyz) . Giải : C 1 :Phương trình mặt cầu có dạng : x 2 + y 2 +z 2 +2Ax +2By +2Cz +D= 0 ,đk A 2 +B 2 +C 2 D > 0 M(1;2;3) (S) => 14 +2A +4B +6C +D =0 (1) N(3;1;1) (S) => 11 +6A 2B +2C + D =0 (2) P(2;1;2) (S) => 9 4A +2B 4C + D =0 (3) + Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 Tâm I(A;B;C) mp(Oyz) => A= 0 Giải hệ ta có : B= 5/26 ; C =6/13 ; D=136/13 Phương trình mặt cầu (S) : x 2 + y 2 +z 2 5 13 y 12 13 z 136 13 =0 C 2 : Gọi I là tâm mặt cầu , vì I mp(Oyz) => I(0;b;c) + Mặt cầu (S) qua M,N,P . Suy ra IM=IN , IM=IP <=> 2 2 2 2 IM IN IM IP <=> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 0) (2 b) (3 c) (3 0) ( 1 b) (1 c) (1 0) (2 b) (3 c) ( 2 0) (1 b) ( 2 c) <=> 6b 4c 3 2b 10c 5 <=> 5 b 26 6 c 13 Bán kính R =IM = 2 2 2 5 6 (1 0) (2 ) (3 ) 26 13 = 557 52 Phương trình mặt cầu (S) tâm I, bán kính R = 557 52 là : ( x0) 2 +(y5/26) 2 +(z6/13) 2 = 557/52 Ví dụ 9:Trong không gian,cho A(1;1;2), B(2;0;3), C(0;3;5), D(2;3;3) Lập phương trình mặt cầu (S 1 ) qua 4 điểm A,B,C,D. Giải Phương trình mặt cầu có dạng : x 2 + y 2 +z 2 +2Ax +2By +2Cz +D= 0 , đk A 2 +B 2 +C 2 D >0 A(1;1;2) (S 1 ) => 6 +2A 2B +4C +D =0 (1) B(2;0;3) (S 1 ) => 13 +4A +0.B+6C +D =0 (2) C(0;3;5) (S 1 ) => 34 +0.A+6B +10C+D =0 (3) D(2;3;3) (S 1 ) => 22 +4A 6B +6C +D =0 (4) Lấy (1) (2) ta có : 2A 2B 2C 7 =0 Lấy (1) (3) ta có : 2A 8B 6C 28 =0 Lấy (1) (4) ta có : 2A +4B 2C 16 =0 Giải hệ : A = 5/4 ; B= 3/2 ; C= 25/4 ; D=39/2 Phương trình mặt cầu (S 1 ) :x 2 + y 2 +z 2 + 5 2 x+3y 25 2 z+ 39 2 =0 Dạng 2: Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu : + Mặt cầu có pt : (xa) 2 +(yb) 2 +(zc) 2 = R 2 tâm I(a;b;c) bán kính R + Phương trình của mặt cầu ( S): x 2 + y 2 + z 2 + 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 D > 0 tâm I(A ;B;C); bán kính R = 2 2 2 A B C D Ví dụ 10: Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình : a) x 2 + y 2 + z 2 8x +y + 1 = 0 b) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 6x +12y4z6 = 0 c) (x1) 2 + (y+3) 2 + (z+5) 2 =25 d) (3x4) 2 +(3y6) 2 +(3y+7) 2 = 81 Giải : a) ta có 2A =8 <=> A =4 2B = 1 <=> B = 1 2 2C =0 <=> C =0 Tâm I(4; 1 2 ;0) , bán kính R= 2 2 1 4 1 2 = 61 2 b) Chia hai vế phương trình cho 2 ta có : x 2 +y 2 +z 2 3x+6y 2z 3=0 , tâm I( 3 2 ;3;1) , bk R= 61 2 c) Tâm I(1;3;5) bán kính R=5 d) Chia hai vế cho 9 ta được : 2 2 2 4 7 x (y 2) z 3 3 =9 , tâm I( 4 3 ;2; 7 3 ) , bk R =3