7.2. KHÔNG GIAN UNITA 7.2.1. Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ trên trường số phức C. Ta gọi là một tích vô hướng trên V một ánh xạ ., . : V × V → R thoả mãn các tính chất x + x , y = x, y + x , y, (1) x, y + y = x, y + x, y , (2) kx, y = k x, y, (3) x, ky = k x, y, (4) x, y = y, x, (5) x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = 0, (6) với mọi vectơ x, x , y, y ∈ V, và mọi số phức k ∈ C. 7.2.2. Định nghĩa Ta gọi là không gian unita một C- không gian vectơ V với tích vô hướng ., . như trên. 7.2.3. Nhận xét Mọi không gian vectơ con của không gian unita lại là một không gian unita với cùng tích vô hướng. 7.2.4. Định nghĩa Cho x là một vectơ của không gian unita V . Ta gọi là chuẩn hay độ dài của vectơ x đại lượng |x| := x, x. 1 Nguyễn Văn Xá, lớp k15d2-TGT Nếu |x| = 1 thì x được gọi là một vectơ định chuẩn. Nếu z ∈ C thì đại lượng |z| := z, z = √ z.z được gọi là môđun của số phứ z. 7.2.5. Ví dụ Không gian C n là một không gian unita với tích vô hướng x, y := n i=1 x i . y i , ∀x = (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n ) ∈ C n . 7.2.6. Nhận xét Cho x là một vectơ trong không gian unita V . Ta có (i) |x| = 0 ⇔ x = 0, (ii) |kx| = |k|. |x|, ∀k ∈ C, (iii) x |x| là một vectơ định chuẩn, với x = 0. 7.2.7. Định lí Với mọi vectơ x, y thuộc không gian unita V ta có (i) |x, y| ≤ |x|. |y| (bất đẳng thức BSC). (ii) |x ±y| ≤ |x| + |y| (bất đẳng thức tam giác). 2