12 BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 Giải phương trình 4 − 3 √ 10 − 3x = x − 2. Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là 10 − 3x ≥ 0 4 − 3 √ 10 − 3x ≥ 0 hay 74 27 ≤ x ≤ 10 3 . Bây giờ, đặt a = √ 10 − 3x thì ta có √ 4 − 3a = x − 2 √ 10 − 3x = a hay x 2 − 4x + 3a = 0 a 2 + 3x − 10 = 0 (1) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được a 2 − 3a − x 2 + 7x − 10 = 0, hay (a + x − 5)(a − x + 2) = 0. Từ đây suy ra a = 5 − x hoặc a = x − 2. Với a = 5 − x, thay vào phương trình thứ nhất của (1), ta được x 2 − 4x + 3(5 − x) = 0, hay x 2 − 7x + 15 = 0. Phương trình này vô nghiệm. Với a = x − 2, thay vào phương trình thứ nhất của (1), ta có x 2 − 4x + 3(x − 2) = 0, hay x 2 − x − 6 = 0. Từ đây ta tìm được x = −2 hoặc x = 3. Dễ thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn phương trình đã cho ban đầu. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 3. ✷ 2 Giải phương trình x 3 + 3x 2 − 2 = √ x + 3. Lời giải 1 Điều kiện để phương trình có nghĩa là x ≥ −3. Bây giờ, đặt x = y − 1, y ≥ −2, ta có phương trình tương đương là y 3 − 3y = y + 2. Phương trình này không có nghiệm y > 2 vì với y > 2 thì y 3 − 3y > 4y − 3y = y > y + 2. Do đó, ta chỉ cần xét y ∈ [−2, 2]. Đặt y = 2 cos α, α ∈ [0, π], ta có 8 cos 3 α − 6 cos α = √ 2 + 2 cos α ⇔ 2(4 cos 3 α − 3 cos α) = 2 + 2 2 cos 2 α 2 − 1 ⇔ cos 3α = ±cos α 2 . Giải phương trình này ta thu được các nghiệm, từ đó đi đến kết luận cho bài toán. ✷ 3 Giải phương trình x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x − 10 = 12 √ x 2 + 2x + 5. Lời giải Ta biến đổi vế trái x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x − 10 = (x 4 + 4x 3 + 4x 2 ) + (x 2 + 2x) + 5 = (x 2 + 2x) 2 + (x 2 + 2x) + 5. Đặt t = x 2 + 2x, t ≥ −1. Ta có phương trình sau t 2 + t + 5 = 12 √ t + 5 ⇒ t 4 + 2t 3 − 19t 2 − 164t − 620 = 0. Dùng phương pháp hệ số bất định để phân tích đa thức thành thành tích của hai đa thức. Ta được phương trình tương đương là (t 2 + 4t + 20)(t 2 − 2t − 31) = 0 ⇔ t 2 − 2t − 31 = 0 ⇔ t = 1 ± 4 √ 2. Ta loại nghiệm t = 1 − 4 √ 2 và cần giải phương trình x 2 + 2x = 1 + 4 √ 2. Giải phương trình này, ta thu được các nghiệm của phương trình ban đầu. ✷ 4 Giải phương trình sau x 3 = √ x + 78 + 18. Lời giải Điều kiện: x ≥ −78. Ta có phương trình trên tưong đương với x 3 − 27 = √ x + 78 − 9, 2 (x − 3)(x 2 + 3x + 9) = x − 3 √ x + 78 + 9 , (x − 3) x 2 + 3x + 9 − 1 √ x + 78 + 9 = 0. Từ đây dễ thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình đã cho, còn trường hợp x 2 + 3x + 9 − 1 √ x + 78 + 9 = 0 tương đương với (x 2 + 3x + 9) √ x + 78 + 9 = 1. Dễ thấy rằng với điều kiện trên thì mỗi hạng tử của vế trái đều không nhỏ hơn 1 nên phương trình trên vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. ✷ 5 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau: 2x(x + 2) = x + 3 2 . Lời giải Điều kiện: x(x + 2) ≥ 0, x + 3 ≥ 0 hay x ≥ 0 −3 ≤ x ≤ −2 Đặt t = x + 3 2 , (t ≥ 0). Khi đó ta dễ dàng tính được x = 2t 2 − 3. Thay vào phương trình đầu bài, ta được 2(2t 2 − 3) (2t 2 − 3) + 2 = t, hay là 8t 4 − 16t 2 − t + 6 = 0. Thực hiện phân tích nhân tử, ta có (4t 2 + 2t − 3)(2t 2 − t − 2) = 0. Giải phương trình tích này kết hợp với điều kiện ta được hai nghiệm là t = −1 + √ 13 4 , t = 1 + √ 17 4 . Với t = −1 + √ 13 4 , ta được x = − 5 + √ 13 4 . Với t = 1 + √ 17 4 , ta được x = −3 + √ 17 4 . Và cả hai nghiệm này điều thỏa mãn bài toán. ✷ 6 Giải phương trình: x 3 − 3x 2 − 3x + 2 (x + 1) 3 = 0. Lời giải Điều kiện: x ≥ −1. Đầu tiên ta biến đổi x 3 − 3x 2 − 3x + 2 (x + 1) 3 = 0 ⇔ x 3 − 3x(x + 1) + 2 (x + 1) 3 = 0. () 3 Và phát hiện rằng các hệ số là (1 − 3 + 2 = 0) như vậy khả năng tách được thành nhân tử là cực kì cao, tuy nhiên để tránh hoan mang về căn số ta đặt 0 ≤ A = √ 1 + x. Ta biến đổi tiếp bằng cách tách về cùng hệ số, và () được viết lại thành: x 3 − x(x + 1) + 2 (x + 1) 3 − 2x(x + 1) = 0 ⇔ x 3 − xA 2 + 2A 3 − 2xA 2 = 0 ⇔ x(x 2 − A 2 ) − 2A 2 (x − A) = 0 ⇔ x(x − A)(x + A) − 2A 2 (x − A) = 0 ⇔ (x − A)(x 2 + xA − 2A 2 ) = 0 ⇔ (x − A)(x 2 − A 2 + xA − A 2 ) = 0 ⇔ (x − A) [(x − A)(x + A) + A(x − A)] = 0 ⇔ (x − A) 2 (x + 2A) = 0 Như vậy vấn đề còn lại chỉ là các biến đổi: x = A x = −2A ⇔ x = √ x + 1 x = −2 √ x + 1 Tới đây là gần xong bài rồi, nhớ kiểm tra lại các điều kiện của x, cuối cùng ta có kết quả x = 1 + √ 5 2 hay x = 2 − 2 √ 2. ✷ 7 Giải phương trình 2(x 2 + 2) = 5 √ x 3 + 1. Lời giải Điều kiện: x ≥ −1. Ta có phương trình đã cho tương đương với 2(x 2 + 2) = 5 (x + 1)(x 2 − x + 1). Nhận thấy (x + 1) + (x 2 − x + 1) = x 2 + 2 nên ta có thể đặt a = √ x + 1, b = √ x 2 − x + 1 và thu được 2(a 2 + b 2 ) = 5ab ⇔ a = 2b ∨ b = 2a. Trường hợp a = 2b, ta có √ x + 1 = 2 √ x 2 − x + 1 ⇔ (x + 1) = 4(x 2 − x + 1) ⇔ 4x 2 − 5x + 3 = 0 (vô nghiệm). Trường hợp 2a = b, ta có 2 √ x + 1 = √ x 2 − x + 1 ⇔ 4(x + 1) = x 2 − x + 1 ⇔ x 2 − 5x − 3 = 0 ⇔ x = 5 + √ 37 2 ∨ x = 5 − √ 37 2 . Vậy, phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x = 5 + √ 37 2 và x = 5 − √ 37 2 . ✷ 8 Giải phương trình 2x 2 + 5x − 1 = 7 √ x 3 − 1. Lời giải 4 Điều kiện: x ≥ 1. Để ý rằng 2x 2 + 5x −1 = 2(x 2 + x + 1) + 3(x −1) và x 3 −1 = (x −1)(x 2 + x + 1), ta có thể viết lại phương trình dưới dạng 2(x 2 + x + 1) + 3(x − 1) = 7 (x − 1)(x 2 + x + 1). Từ đây, ta dễ dàng phân tích nhân tử và thu được 2 √ x 2 + x + 1 − √ x − 1 √ x 2 + x + 1 − 3 √ x − 1 = 0. ⇔ 2 √ x 2 + x + 1 = √ x − 1 √ x 2 + x + 1 = 3 √ x − 1 ⇔ 4x 2 + 3x + 5 = 0 x 2 − 8x + 10 = 0 Đến đây thì dư sức giải ra nghiệm và so với điều kiện. ✷ 9 Giải phương trình: 3 √ 7x + 1 − 3 √ x 2 − x − 8 + 3 √ x 2 − 8x − 1 = 2. Lời giải Đặt m = 3 √ 7x + 1, n = − 3 √ x 2 − x − 8 và p = 3 √ x 2 − 8x − 1. Phương trình đã cho trở thành: m + n + p = 2. Từ cách đặt các ẩn m, n, p ta có: m 3 + n 3 + p 3 = 8. Do đó, ta có hệ: m + n + p = 2 m 3 + n 3 + p 3 = 8 Mặt khác, ta lại có: (m + n + p) 3 = m 3 + n 3 + p 3 + 3(m + n)(n + p)(p + m). Từ đó, ta suy ra: (m + n)(n + p)(p + m) = 0. Phương trình ⇔ 3 √ 7x + 1 = 3 √ x 2 − x − 8 3 √ x 2 − x − 8 = 3 √ x 2 − 8x − 1 3 √ 7x + 1 = − 3 √ x 2 − 8x − 1 ⇔ x 2 − 8x − 9 = 0 7x − 7 = 0 x 2 − x = 0 Đến đây vấn đề đã trở nên đơn giản. ✷ 10 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau x 3 + 1 x + 3 + √ x + 1 = √ x 2 − x + 1 + √ x + 3. Lời giải Điều kiện: x ≥ −1. Phương trình đã cho tương đương: √ x 3 + 1 x + 3 + x + 1 x + 3 = x 2 − x + 1 x + 3 + 1. 5 Đặt a = x + 1 x + 3 ; b = x 2 − x + 1 x + 3 Phương trình đã cho có dạng: ab + a = b + 1 ⇔ (b + 1)(a − 1) = 0 Phương trình ⇔ x 2 − x + 1 x + 3 + 1 = 0 x + 1 x + 3 − 1 = 0 ⇔ vô nghiệm x + 1 x + 3 = 1 Đến đây thì đơn giản rồi. ✷ 11 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau: √ x 4 + 3x 2 − 4 + 3x = √ 3x 4 + 16. Lời giải Điều kiện: |x| ≥ 1. Từ phương trình ta thấy: 3x = 2x 4 − 3x 2 + 20 √ 3x 4 + 20 + √ x 4 + 3x 2 − 4 > 0. Do đó, phương trình đã cho tương đương với: √ x 4 + 3x 2 − 4 + 3 √ x 2 = √ 3x 4 + 16 ⇔ 3 (x 4 + 4x 2 )(x 2 − 1) = (x 4 + 4x 2 ) − 10(x 2 − 1) ⇔ x 4 + 4x 2 x 2 − 1 − 3 x 4 + 4x 2 x 2 − 1 − 10 = 0 (do x = 1 không là nghiệm của phương trình). Đến đây, các bạn tự giải ✷ 12 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau: √ x + 1 + √ 2x − 1 = √ 3x − 1 + √ x. Lời giải Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: x ≥ 1 2 . Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: √ 2x − 1 − √ x = √ 3x − 1 − √ x + 1 (1) ⇔ x − 1 √ 2x − 1 + √ x = 2(x − 1) √ 3x − 1 + √ x + 1 ⇔ x = 1 ∨ 1 √ 2x − 1 + √ x = 2 √ 3x − 1 + √ x + 1 . (2) Kết hợp (1) và (2), ta được: √ 3x − 1 + √ x + 1 = 2 √ 2x − 1 + 2 √ x ⇔ 2 √ 3x − 1 = 3 √ 2x − 1 + √ x ⇔ 6 x(2x − 1) = 5 − 7x ⇔ 1 2 ≤ x ≤ 5 7 23x 2 + 34x − 25 = 0 ⇔ x = −17 + 12 √ 6 23 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = −17 + 12 √ 6 23 . ✷ 6 . 12 BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 Giải phương trình 4 − 3 √ 10 − 3x = x − 2. Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là 10 − 3x ≥ 0 4 − 3 √ 10. = 3 thỏa mãn phương trình đã cho ban đầu. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 3. ✷ 2 Giải phương trình x 3 + 3x 2 − 2 = √ x + 3. Lời giải 1 Điều kiện để phương trình có nghĩa. nghiệm t = 1 − 4 √ 2 và cần giải phương trình x 2 + 2x = 1 + 4 √ 2. Giải phương trình này, ta thu được các nghiệm của phương trình ban đầu. ✷ 4 Giải phương trình sau x 3 = √ x + 78 + 18. Lời