on he phuong trinh víp 1.thanhduy

Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com PHẦN I -PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH CÁC DẠNG CƠ BẢN B  ► A B A  B B  ► A  B A  B B  ► A  B A  B B   ► A  B  A   A  B2   A   B  ► A B   B     A  B2  TỔNG QUÁT: Đối với những phƣơng trình, bất phƣơng trình khơng có dạng chuẩn nhƣ trên, ta thực hiện: - Đặt điều kiện cho thức có nghĩa, - Chuyển vế cho vế khơng âm, - Bình phƣơng hai vế để khử VÍ DỤ - BÀI TẬP Ví dụ 1: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:  2x  x  x  2 x    x   2x 3x  19x  20  4x  x  12  2x   x   x    3x  2x  3x   2x   2x  3x  2x    2 (2x  1)  2x  3x  2x    2 4x  4x   2x  3x  1   x   x     x   x   2x  7x      2x  x  x  x     2 4  2x  x   x    x  x     x 3 x   x   x  3x  Vậy: x  x    x   2x  x    x   2x x    Điều kiện: 1  x   4  x  1  2x   x0 So điều kiện nhận x  Vậy: x  x  4x   3x  17  x  4x     3x  17   x  4x   (3x  17)    x  1  x  x  1  x     17 17    x   x  3   21 8x  98x  294    x   x   x7 Vậy: x  x  4x   3x  17 CAO HOÀNG NAM 3x  19x  20  4x  4x   4x     2 3x  19x  20  3x  19x  20  (4x  4) x  x     13x  51x    x  5  x    x    x  5    x     13  x    x  5    x    x  4 Vậy: x  5    x    x  x  12  2x   x   x  12  x   2x  (*) Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VƠ TỶ www.MATHVN.com CAO HỒNG NAM x   4x  6x  54  x  9    x   x  3  x   x  3  So điều kiện nhận x  3 Vậy: x  3  x  12   Điều kiện:  x    x  2x    (*)  x  12  x   2x   x  12  x   2x   (x  3)(2x  1)  14  2x  (x  3)(2x  1)  (x  3)(2x  1)   x (x  3)(2x  1)    7  x  (x  3)(2x  1)  49  14x  x  Do x  16  x 3  x 3 x 3 (x  1) 16x  17  8x 15x  23 2 (x  3) x   x  2 2x  8x   x   2x  51  2x  x 1 1 x   x   5x (1) 3 x 3  x  x Điều kiện:  9  5x  (1)   x  5x  24x  27 9  x   2 81  18x  x  5x  24x  27 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 x   nên quy đồng bỏ mẫu ta đƣợc: (2)  x  16   x   x  16    8  x   8 x      x  16  (8  x)  Ví dụ 2: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:   x   5x 3 x (2) x 3  x  16   x  4  x   x4 Điều kiện:  x  x    x    x    x   x  9x  52     x    x    x   x   3 x   x   x  13   So điều kiện  x  Vậy:  x  x  16  x 3  x 3   x  4  x   x  x     x 5 x  5  x    16x  80  So điều kiện nhận x  Vậy: x  (x  1) 16x  17  8x 15x  23 (3) Điều kiện: 16x  17   x   17 16 (3)  (x  1) 16x  17  (x  1) 8x  23  (x  1)  16x  17  8x  23    x  1   16x  17  8x  23  x  1    8x  23   16x  17  64x  368x  529   x  1   x  1 23   x    x  x   x   So điều kiện nhận x  1 x  Vậy: x  1 x  www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com (x  3) x   x  (4) Điều kiện: x    x  2  x  (4)  (x  3)   x   x   (*) Do ta chƣa biết dấu (x  3) nên ta chia làm trƣờng hợp:  Trƣờng hợp 1: x  (*)  x   x  x    x    x 3     x   x  6x     x  3   x  2  x     x  3   6x  13   x  3 13  x 13  3  x   6   Trƣờng hợp 2: x  thỏa (*)  Trƣờng hợp 3: x  (*)  x   x   x2   x  x     x    x   x  6x    x  2  x     x  3 6x  13  x     x2 x 3 13 x    13 Vậy: x  x  2x  8x   x   2x  (5) 2x  8x     x  1  x  Điều kiện:  x   2x     Trƣờng hợp 1: x  1 thỏa (5)  Trƣờng hợp 2: x  CAO HOÀNG NAM (5)  (x  1)(2x  6)  (x  1)(x  1)   x 1   2x   x   x   2x   x   (2x  6)(x  1)  4(x  1)  (2x  6)(x  1)  x   x  1  4(2x  6)(x  1)  (x  1)  7x  18x  25  x     x 1 25 x    Vậy: x  x  1 51  2x  x  (6) 1 x Điều kiện:  51  2x  x  1  13  x  1    x  1  x   Do ta chƣa biết dấu (1  x) nên ta chia làm trƣờng hợp  Trƣờng hợp 1:  x   x  (6)  51  2x  x   x 1  x    51  2x  x  51  2x  x  (1  x)  x    1  13  x  1  13  x  5  x    1  13  x  5  Trƣờng hợp 2:  x   x  (6)  51  2x  x   x 1  x   51  2x  x  x    1  13  x  1  13    x  1  13 Vậy: 1  13  x  5  x  1  13 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VƠ TỶ www.MATHVN.com Ví dụ 3: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: x  14x  49  x  14x  49  14 x  x 1  x  x 1   14x  49    14x  49  x   x   x  x 1   14x  49  x    14x  98 x   Vậy:  x  x   x   x  x 1   x   x    x 1  x 1 1       x  1  x  1   x 1 1 1  x    (1)  x  1   x 1 x  x 1  x  x 1    x 1 1    x 1 1  x 1 1  (*) (*) nên hệ với x thỏa điều kiện Vậy: x  Chú ý: CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI A  B ►A  B   A  B x  14x  49  x  14x  49  14  ( 14x  49  7)  ( 14x  49  7)  14 B   ► A  B  A  B    A  B ► A  B  (A  B)(A  B)   14x  14 14x  49  14x  14 14x  49  14 A  B ► A B A  B A  B ► A B   A  B  14x  49   14x  49   14 (2) Điều kiện: 14x  49   x  49 14 (2) Đặt t  14x  49   14x  49  t  Phƣơng trình trở thành: t    t  14  t  t  t  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 x 1 1    x 1 1   x 1   x     x    x    x    x   x    x  x     x5  x   x   Vậy: x  x7 3 (3)  x 1   x 1 1  Điều kiện: x 1   x  1 (3)  x     x   x  1  x 1 1  2  x       x     x    x     x   x      VN x   x      x    x    x 1  x 1   x 1  x 1   x   Điều kiện:  x4 x   (1)  CAO HOÀNG NAM www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com ► A B C 3 Thay x   3x    Điều kiện:  x0 x0  2x     A  B  3 A.B   A B C A  B  C ta đƣợc: (2)  3x   2x   4x  x  (*)  A  B  3 A.B.C  C  5x   (3x  1)(2x  2)  5x   4x(x  3) ► f (x)  g(x)  h(x)  k(x) f (x)  h(x)  g(x)  k(x) Mà có:  f (x).h(x)  g(x).k(x)  Biến đổi phƣơng trình dạng: f (x)  h(x)  k(x)  g(x)  Bình phƣơng, giải phƣơng trình hệ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: x 1  x   x   x   3x   x  2x  w x3   x 1  x2  x 1  x  x 3  x 1  x   Ta thay   6x  8x   4x  12x  2x  4x    x 1 Thử lại nhận x  Vậy: x  Nhận xét:  Do ta chƣa xác định đƣợc vế phƣơng trình (*) dƣơng nên bình phƣơng ta thu đƣợc phƣơng trình hệ  Bài tốn giải theo cách biến đổi tƣơng đƣơng nhƣng so với cách phức tạp    x  3  2x   3 x  x   (3x  1)(2x  2)  4x(x  3) x3   x   x  x   x  (3) x 3 Điều kiện: x  1 x 1  x   x    x 1  x    x   x   3x   x  2x  (2) GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ CAO HỒNG NAM  x   x   x  x3   x   x2  x 1  x 1 x 3 (3)   x3     x 3   x 3    x 1   x2  x 1 x 3 x 1  x    x   3 (x  1)(x  2)(x  3)  3(x  2)  (x  1)(x  2)(x  3)  (x  2)3  (x  2) (x  1)(x  3)  (x  2)      x2  x 1  x 1  x    x  2x     x     (x  2)(1)  x2 Thử lại nhận x  Vậy: x  Thử lại nhận x   ; x   Vậy: x   ; x   Nhận xét: Nhận xét chung:  Khi thay x   x    x  ta nhận  Thấy trƣờng hợp phƣơng trình bậc ba đƣợc phƣơng trình hệ phƣơng trình đầu chƣa phƣơng trình chứa bốn bậc hai nhƣ ta có biết có nghiệm hay khơng? thể nghĩ đến phƣơng trình hệ  Bài tốn giải:  Nếu giải cách phƣơng trình phần trƣớc  x 1  x    x  cảm thấy khó khăn việc giải điều kiện sợ   “sót điều kiện” ta giải phƣơng 3 3 2x   x  x  x   x    x  trinh hệ sau thử lại    Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM  t  1 t  3t     t4 t  Với t   x  5x  42   x  5x  14   x  2; x  7 CÁC DẠNG ĐẶT MỘT ẨN PHỤ ► a.f (x)  b f (x)  c  0; a  Phƣơng pháp: Đặt t  f (x), t  Vậy: x  x  7 ► a( A  B)  b(A  B  AB)  c  2x  15  x  5x   10x Phƣơng pháp: Đặt t  A  B  2x  10x  15  x  5x   a A  b AB  c B   ► a.A  x   bB  x   c A  x  B  x   A  B  mA  nB2  n n n Điều kiện: x  5x    x   x  Đặt t  x  5x  (t  0)  t  x  5x  Phƣơng pháp: Bằng cách đặt ẩn phụ u, v ta đƣa đƣợc dạng phƣơng trình: u  uv  v2   B1: Thử trƣờng hợp v =  B2: Xét v  phƣơng trình trở thành : u u        v v u phƣơng trình trở thành Đặt t = v t  t     x  5x  t  Bất phƣơng trình trở thành: 2(t  6)  15  t   t    t   2t  t     t  Với t   x  5x    x  5x    x  5x   ►Tham số biến thiên x VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP Ví dụ 1: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: Vậy: x   53  53 x 2  53  53 x 2 (x  4)(x  1)  x  5x   2x  15  x  5x   10x 2x  5x   2x  5x   x x 1   x 1 x (x  4)(x  1)  x  5x    x  5x   x  5x    x  5x   x  5x   Điều kiện: x  5x   x 5  17 5  17 x 2 Đặt t  x  5x  (t  0)  t  x  5x   x  5x  t  Phƣơng trình trở thành: Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 2x  5x   2x  5x   Điều kiện: 2x  5x   5  73 5  73 x 4 (t  0) Đặt t  2x  5x  x  2x  5x   t  Phƣơng trình trở thành: t 8  t 1  t   1 t   t   1 t  7  3t   t 1  t   3t   16t  (7  3t) Với t   2x  5x    x  1; x   Vậy: x  x   www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com x x 1   x 1 x x Điều kiện:   x   x 1 x 1 CAO HỒNG NAM Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau: x (t  0) x 1 Bất phƣơng trình trở thành: t  t Đặt t   2t  3t   t t 2 Với t  x    x  x  3x   2x   x   3x  2x  5x  16 x    x  x  3x    x    x  (x  1)(4  x)  x   Điều kiện:   1  x  4  x  Đặt t  x    x (t  0)  t  x    x  (x  1)(4  x)  x  x 1 x 0  x 1 x   x   1  x   1  x  x  x 1 x  2 x 1 x  2x   0 x 1 x    1 x  x 1 Vậy: 1  x   x  Với t    Cách khác: x x 1   (*) x 1 x x   x   x 1 Điều kiện: x 1  x x 1   (*)      x 1 x    x x 1    x 1 x 2 2x  2(x  1)  5x(x  1)  0 2(x  1)x  t2   (x  1)(4  x)  Phƣơng trình trở thành: t t2  5 t   t  2t  15     t 3  t  5 22    x  3x   x    x  3x     x  3x    x  Vậy: x  x  2x   x   3x  2x  5x  16 2x    Điều kiện:  x    x  1 2x  5x    Đặt t  2x   x  (t  0)  t  3x   2x  5x   3x  2x  5x   t  Phƣơng trình trở thành: t  t  t   16  t  t  20     t  4 (loaïi) Với t   2x   x    3x  2x  5x   52   2x  5x   21  3x 1  x    x  146x  429  1  x    x3  x   x  143 x  x    1  x   x  2(x  1)x Vậy: x  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VƠ TỶ www.MATHVN.com Ví dụ 3: Giải phƣơng trình sau:  22 (x  2)2  (4  x )  3 (2  x)    3 x  x   x  x  2 3 (x  2)  (4  x )  (2  x)  (1) Ta có:  x   x  không nghiệm phƣơng trình Chia vế cho: (2  x) ta đƣợc: x2  x2 (1)   3    73 2x  2x   Việc thực dễ dàng do: x3   (x  1)(x  x  1)  Đặt u  x  v   x Phƣơng trình trở thành: 4u  7uv  3v2  Do v  khơng nghiệm phƣơng trình Chia vế cho v  ta đƣợc: u2 u u u      1  v v v v x2 x 2 u 1 1 x  Với   v 2x 2x  2 x   x  (2) Điều kiện: x    x  1 (2)  2(x  x  1)  2(x  1)  (x  1)(x  x  1) Do  x  x    chia hai vế cho  x  x  1 : Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Bằng cách đồng hệ số: (x  x  1)  (x  1)2  x    2(x  2) ta dễ dàng chọn    Một số khai triển đa thức thành nhân tử: (x  2)2  (4  x )  3 (2  x)   37 2  x    2(x  x  1)  2(x  1)  Cách khác: x 1 x 1 2  (VN) x  x 1 x  x 1 Nhận xét:  Khó khăn ta việc phân tích: 74 x2 x  27 3    x 2x  x 64 91 74 Vậy: x  x  91 u x2 x  27 74 1    x v 2x  x 64 91 74 Vậy: x  x  91 x 1 x 1     2 x  x 1 x  x 1  37 x Vậy: x  Với t   Với t   Với x 1 (t  0) x  x 1 Phƣơng trình trở thành: t  2 2t  5t     t   Với t  x2 phƣơng trình trở thành: 2x t  4t  7t     t   x2 x 2 1  1  x  Với t   2x 2x Đặt t  x 1 x 1 5 x  x 1 x  x 1 Đặt t  2 x   x  CAO HOÀNG NAM  x    x  1  x  x  1  x  x    x  2x  1  x    x  x  1 x  x  1    x   x  2x  x  2x   4x    2x  2x  1 2x  2x  1 x  x   x  x  Điều kiện: x 1   x  1 x  Ta đặt: u  x , v  x  (u, v  0) Phƣơng trình trở thành : u  3v  u  v2  u  6uv  9v2  u  v2 v   10v  6uv    v0 v   u  Với v   x    x   x  1 Vậy: x  1 www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HỒNG NAM Ví dụ 4: Giải phƣơng trình sau: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ HỆ x  2(x  1) x  x   x    x  1 Phƣơng pháp chung:  Đặt ẩn phụ Tìm mối liên hệ ẩn phụ Kết hợp với phƣơng trình ban đầu tốn ta đƣợc hệ phƣơng trình  Lƣu ý phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình x  2x   x  2 x  2(x  1) x  x   x   (1) Điều kiện: x  x    x   (1)   x  x  1  2(x  1) x  x   2(x  1)   Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau:   Đặt t  x  x  1; t  phƣơng trình trở thành: x 25  x x  25  x  30 t  2(x  1)t  2x   0, t  ,  '  x t    t   2x  x   x  3  x   x  x3   2x  2 Với t   x2  x    x  0; x  1 Với t   2x  x2  x    2x 1  2x   2  x  x   (1  2x)  x   x0 3x  5x  Vậy: x  x  1  x  1   x  1 x  2x   x   3x  1    3x  1  9x    x 25  x x  25  x  30 Đặt y  35  x  x  y3  35 Khi phƣơng trình chuyển hệ sau:  xy(x  y)  30  3  x  y  35 Đây hệ đối xứng loại Giải hệ ta tìm đƣợc cặp nghiệm (2;3) (3;2) Vậy: x  x  x  2x   x  2x   2x  Điều kiện: x  2x    x   Đặt t  x  2x  Phƣơng trình trở thành:  x  1 t  t  2x  t   t   x  1 t   x  1    t  x 1 x   Với t   x  2x     x    Với t  x   x  2x   x 1 x    (VN) x  2x   x  2x   Vậy: x   1 x  1 x  u   x  Đặt  v   x  Khi phƣơng trình chuyển hệ sau: u  v   2 u  v  u  v   u  v 1 x    uv  Vậy: x = 3  x   x  Điều kiện: x 1   x  u   x  Đặt  (v  0) v  x 1  Khi phƣơng trình chuyển hệ sau: u + v = u(u  u  2)    v  1 u  u + v = Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ x3   2x  Đặt y  2x 1  y3   2x Khi phƣơng trình chuyển hệ sau:  x   2y    y   2x   x   2y   3  x  y  2(y  x)   x   2y   2 (x  y)(x  xy  y  2)   y  (Do x  xy  y    x    y   ) 2   x   2y  x  y  x   x   2x    x  1  x  y    1  Vậy: x  x   3x  1   3x  1  9x   Đặt: u  3x  v  3x  Khi phƣơng trình chuyển hệ sau:  u  v  u.v   3 u  v   uv  2u  v2 Do đó:  v    v2  v  v     3v  6v     v  1 x 3 2 x  x  1000  8000x  1000 2x  4x  Vậy: x  x  x  10 CAO HỒNG NAM Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau:  u  x2    u 1  x 1      u  2  x  10 v   u   www.MATHVN.com 0  v  1  u  u  3x     x0  v  3x   1  Vậy: x  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 4x  7x   x  4 81x   x  2x  x  7x  13x   2x x(1  3x  3x ) 4x  11x  10  (x  1) 2x  6x  2x  4x  x 3 Cách 1: 2x  4x  Điều kiện: x  3 x 3 (1) (1)  2(x  1)2    (x  1)2   (x  1)  2 x 1 1 2 t  x 1 t y 1  1  1   Đặt t  x  1; y  2 y   Khi phƣơng trình chuyển hệ sau: 2 t 1  y     y2   t   t  y  (t  y)(t  y  )     y  t  2  t 2 2t  t   t    Với t  y   t  t  y    17 3  17 t x (thỏa) 4 t  4t  2t   (t  )      Với y   t    1  t   t    1  13 5  13 x (thỏa) 4 3  17 5  13 ;x  Vậy: x  4 t www.mathvn.com Trang 10 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phƣơng pháp: Chủ yếu cách sử dụng công cụ đạo hàm sử dụng bất đẳng thức để tìm nghiệm phƣơng trình Các hƣớng giải quyết:  Hƣớng 1:  Chuyển phƣơng trình dạng: f (x)  k  Xét hàm số y  f (x)  Nhận xét:  Với x  x  f (x)  f (x )  k x nghiệm  Với x  x  f (x)  f (x )  k phƣơng trình vơ nghiệm  Với x  x  f (x)  f (x )  k phƣơng trình vơ nghiệm  Vậy x nghiệm phƣơng trình  Hƣớng 2:  Chuyển phƣơng trình dạng: f (x)  g(x)  Dùng lập luận khẳng định f (x) g(x) có tính chất trái ngƣợc xác định x cho f (x )  g(x )  Vậy x nghiệm phƣơng trình  Hƣớng 3:  Chuyển phƣơng trình dạng f (u)  f (v)  Xét hàm số y  f (x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu  Khi f (u)  f (v)  u  v Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: x  6x  11  x  6x  13  x  4x    x  3x   (x  2x  2)(x  4x  5) 2 13  x  3x     x  2x        (x  3)2   (x  3)2   (x  2)2  Mà:     3 (x  3)  (vô lý) Dấu “bằng”xảy   x2 0  Vậy: phƣơng trình vơ nghiệm x  3x   (x  2x  2)(x  4x  5) Ta có: x  2x   (x  1)   x  4x   (x  2)   (x  2x  2)  (x  4x  5) x  3x   2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dƣơng a  x  2x  2;b  x  4x  ta có: ab  ab  x  3x   (x  2x  2)(x  4x  5) Dấu “bằng” xảy khi: Vậy: x= 3 2 Dấu “bằng” xảy khi: ad  bc Với a  2;b  3;c  x  3x  6;d  x  2x  2  3(x  1)2   5(x  1)2    (x  1)2 Điều kiện: D    3(x  1)2    x  12      Mà:   5   x  1  Dấu “bằng” xảy  x  1   x  1 Vậy: x  1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460  (x  2)2    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số :  a  b2  c2  d2   (ac  bd)2 2  (x  3)2   (x  3)    5x  12x  33 3x  6x   5x  10x  14   2x  x  x  4x    2 13  x  3x     x  2x          5x  12x  33 x  6x  11  x  6x  13 (x  2x  2)  (x  4x  5)  2x   x  3x  6x   5x  10x  14   2x  x CAO HOÀNG NAM 2 2  32   x  3x     x  2x         2  x  3x     x  2x     2  13  x  3x     x  2x          5x  12x  33 Dấu “bằng” xảy khi: 3(x  3x  6)  2(x  2x  7) www.mathvn.com Trang 16 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com  3x  9x  18  2x  4x  14 3 x   3x  8x  (1) Điều kiện: x    x  1 (1)  x   3x  8x   Xét hàm số: y  x   3x  8x   x  5x    x  1; x  Vậy: x  1; x  D   1;   y'   6x  x 1 y ''     0,  x  1 Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau:  3x  9x     4x     1 x  x2 1  4x   4x   3 x   3x  8x  x  2x   x  6x  11   x  x      x  x 1  9x     2x  1  (2x  1)    3x  9x    4x     3x    Nhận xét: Phƣơng trình có nghiệm   ;0    Đặt u  3x; v  2x 1 u, v  Phƣơng trình trở thành:   Xét hàm số: f (t)  t    u  u   v  v2    f '(t)   2t  3t t  3t t2 3  0,  Do y '  có nhiều nghiệm  y  có nhiều hai nghiệm Nhẩm nghiệm đƣợc x  0; x  Vậy: x  0; x  x  2x   x  6x  11   x  x  x 1  Điều kiện:  1 x  3  x   x  2x   x    x  x  6x  11   x  1   x 1   x  3  x  2 Xét hàm số: y  t   t t y'   0 x  1;3 t 2 t Khi đó: f  x  1  f   x   x    x  x  t   f (u)  f (v)  u  v  3x  2x   x   Vậy: x   x  D 2  CAO HOÀNG NAM Vậy:  x  4x   4x   4x   x Điều kiện:  2 4x   Xét hàm số: y  4x 1  4x  1 1  D   ;   2  4x   0, x  y'  2 4x  4x  Do phƣơng trình có nghiệm nghiệm Nhẩm nghiệm đƣợc x  Vậy: x  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 17 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com PHẦN II -HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHƢƠNG PHÁP THẾ  Từ phƣơng trình ta tính y theo x x theo y  Thế vào phƣơng trình cịn lại giải tìm x y Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau đây: 2x  3y  1   x  xy  24   x (y  1)(x  y  1)  3x  4x    xy  x   x  2x  3y  1   x  xy  24  y  2x      x  x  2x    24       2x  19   y   x  9  y       x  x  72  x   y   19   Vậy: nghiệm hệ  9,   ;  8,  3   x (y  1)(x  y  1)  3x  4x  (1)   (2)  xy  x   x  Do x  khơng nghiệm hệ phƣơng trình nên x2 1 (2)  y   thay vào (1) ta đƣợc: x x 1  x 1  x2 x    3x  4x  x  x    x  1 2x  1   x  1 3x  1   x  1  2x  2x  x  1   x  1 3x  1 x    x  1 2x  x      x    x  2  Với x   y  1 Với x  2  y   5  Vậy: nghiệm hệ 1; 1 ;  2;   2  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 CAO HOÀNG NAM PHƢƠNG PHÁP TÍCH SỐ  Bằng cách biến đổi đƣa phƣơng trình dạng tích ta tính đƣợc x theo y  Thế vào phƣơng trình cịn lại giải tìm nghiệm Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:  xy  x  y  x  2y    x 2y  y x   2x  2y   y   5x    x    2  y  5x  4xy  16x  8y  16    x  7x  y3  7y   2 x  y  x  y    xy  x  y  x  2y    x 2y  y x   2x  2y  Điều kiện: x  1; y  (1)  x  xy  2y2  (x  y)  (1) (2)   x  xy    2xy  y2    x  y     x  y  x  2y  1  ( Do có đk có x  y  )  x  2y    x  2y  Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc:  2y  1 2y  y 2y  2(2y  1)  2y  2y  y  1   y  1   y  1   2y    y  ( Do y  0) Với y  ta có x  Vậy: nghiệm hệ (5; 2) Nhận xét:  Ta kiểm tra phƣơng trình (1) có nhóm đƣợc nhân tử chung hay không phƣơng pháp tham số biến thiên xy  x  y  x  2y2  x  (y  1)x  2y2  y  Ta có:   (y  1)2  8y2  4y  9y2  6y    3y  1 Từ ta tính đƣợc: x   y x  2y 1  y   5x    x  (1)   2 (2)  y  5x  4xy  16x  8y  16   Từ phƣơng trình (2) phƣơng pháp tham số biến thiên xem y ẩn ta có: y2  5x  4xy  16x  8y  16  www.mathvn.com Trang 18 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com  (y  x  4)(y  5x  4)  y   x   y  5x  Với y   x thay vào (1) ta đƣợc: x   y    5x    x    x   y  Với y  5x  thay vào (1) ta đƣợc 4  x  5x  4   5x    x   x    y    x   y    Vậy: nghiệm hệ  0;  ;  4;0  ;   ;0      x  7x  y  7y  2 x  y  x  y   3  x  y3   x  y     2 x  y  x  y    x  y   x  xy  y      2 x  y  x  y    x  xy  y   (VN) x  y    2 2x  2x   x  y  x  y    1 x  y    1 x  y   Vậy: nghiệm hệ  1 1   1 1    ; ; ;         CAO HOÀNG NAM HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I f (x, y)  f (x, y)  f (y, x) Dạng:  với  g(x, y)  g(x, y)  g(y, x) S  x  y Cách giải: Đặt  với S2  4P P  xy  Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:  x  y  xy   2 x  y   2x 2y  3   y x  x  y  xy    x  y  xy   2 x  y  S  x  y Đặt:  (Điều kiện: S2 – 4P ≥ 0) P  xy  S  P  Hệ   S  2P   P   S  S    S   P   S S  5  P  10   S   P  S  2S  15  Tới ta có hai cách giải: Cách 1: Có tổng, tích nên áp dụng định lý Viet đảo: x, y nghiệm phƣơng trình: X2  SX  P   S  5  P  10 : Hệ phƣơng trình vơ nghiệm (do S2 – 4P = -15 < 0)  S 3 P  x, y nghiệm phƣơng trình: X2  3X   x  x  ;  X  1;X  nên  y  y  Cách 2: Giải bình thƣờng bẳng phƣơng pháp thế:  S  5  P  10   x  y  5  x  5  y    y  5  y   10 (VN)  xy  10   S 3 P  x  y    xy    y  x  x   y     y   y   10 x   y   Vậy: hệ phƣơng trình có nghiệm là: 1,  ,  2,1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 19 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ  2x 2y  3   y x  x  y  xy   CAO HOÀNG NAM HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I f (x, y)  f (x, y)  g(y, x) với  Dạng:  g(x, y)  g(x, y)  f (y, x) f (x; y)  g(x; y)  Cách giải:  f (x; y)  Điều kiện: xy   2x 2y 49   x Hệ   y  x  y  xy   2  x  y   5xy     x  y  xy   Cách 1: Đƣa hệ đối xứng loại Đặt u  x; v  y  2x    y     2y    x   Đặt S  u  v;P  uv 2  S2  2P  5P   Hệ   S  P    x  2y  2x  y (1)   2  y  2x  2y  x (2)   S  u  u  1    P  2  v  1  v      S   3 u  3   u       v   v  3    P      x  3   x   x  1  x     3  y   y  2  y   y    Cách 2: Giải trực tiếp  2  x  y 2  2xy  5xy   Hệ    x  y  xy   x  y    x   x  1  ;  xy      y   y  2     x  y      x  3    x     y   ;    y     xy     Vậy: Hệ phƣơng trình có nghiệm  2;1 ,  1; 2  ,  3;    (x  y)h(x; y)   f (x; y)  x  y  h(x; y)  hay   f (x; y)  f (x; y)  Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:  x  2y  2x  y   2  y  2x  2y  x  2  u  v   5uv   Hệ   u  v  uv    www.MATHVN.com 3 3   ,  ,3  2 2  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trừ vế (1) (2) ta có:  x  2y  (y  2x )  2x  y  (2y  x) Hệ   2  x  2y  2x  y 3(x  y)(x  y)  x  y  2  x  2y  2x  y (x  y)(3x  3y  1)   2  x  2y  2x  y x  y    x  2y  2x  y x  y   x  3x  3x  3y    2  x  2y  2x  y 3x   y  (vn)   9x  3x   x  y    x  y  3 3) Vậy: hệ có hai nghiệm (0;0); ( 3;   2x    y  (1)    2y    x  (2)    Điều kiện: x, y    ;    Trừ vế (1) (2) ta có: www.mathvn.com Trang 20 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ           Do www.MATHVN.com 2x    y  2x    y  2y    x  2x    y  2(x  y) xy  0 2x   2y  4x  4y  0 2x   2y  4x  4y  2x    y    x  y    2x    x    x  y   x   2x   x  16   x  y  x  y    x  y  11   11 11  Vậy: Hệ có nghiệm  3;3 ,  ;  9 9 Nhận xét: Ta phải khử cách nhân lƣợng liên hiệp để xuất nhân tử  x  y  CAO HOÀNG NAM HỆ ĐẲNG CẤP HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I a x  b xy  c1 y  d1  Dạng:  2 a x  b xy  c2 y  d  Cách giải:  Xét y =  Xét y  đặt x  ty giải phƣơng trình bậc hai ẩn t Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau: 3x  2xy  y  11   2  x  2xy  3y  17   x  y 2 y    3  x  y  19  3x  2xy  y  11   2  x  2xy  3y  17   3x  11 Xét y = Ta có  (mâu thuẫn)  x  17  Vậy y = không nghiệm hệ phƣơng trình Đặt x = ty thay vào hệ ta có:  y (3t  2t  1)  11(1)   2  y (t  2t  3)  17 (2)  Lấy (1) chia (2) 4 ;t  25 y Với t = - thay vào (1)  y2  3 x ;  y= 3 x  y=3 Với t = thay vào (1)  y2   y  2  y =  x  1;  y = -  x  1 Vậy: Nghiệm hệ: 5 ( ; ), ( ;  ), (1; 2), (1; 2) 3 3 Khử y ta đƣợc: 10t2 + 3t – =  t   x  y 2 y    3  x  y  19  Do x  không nghiệm hệ Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 21 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com Đặt y  tx PHƢƠNG PHÁP ẨN PHỤ  x 1  t  t   x  tx  tx    Hệ    3 3   x  t  19  x  t x  19  Lấy (1) chia (2) t  2t  t  Khử x ta đƣợc:  t3 19 tt   t  t  19  21t  17t    t   t  19 Với t   x  19  x   y  27 342 Với t   y x  19  x  343 18 18 CAO HỒNG NAM  Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình sau:   x   y  y  x   4y    x  1  y  x    y    x   x  y3  y   2x  y    y    Vậy: Hệ có hai nghiệm  3;  ,  ;   18 18  Nhận xét:  Nếu hệ gồm phƣơng trình phƣơng trình dƣới đồng bậc ta giải theo phƣơng pháp  x   y  y  x   4y    x  1  y  x    y  Do y  khơng nghiệm phƣơng trình Chia hai vế cho y ta đƣợc:  x2 1 xy4   y Hệ    x   y  x  2   y  x2 1 ; v  x  y  ta đƣợc: Đặt u  y u  v   u  Hệ    uv  v   x2 1 1   y x  y    x   y  y   x x  x    y   x x   y    x  2  y  Vậy: Hệ có nghiệm (1;2),( 2;5)   x   x  y3  y   2x  y    y  x  y     Điều kiện:  x   y  y   Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 22 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com  Đặt u  x  ; v  x  y  y    y2  xy2  y2      u  v  u  v    u  3     v   u  v2  u   v   u   v    2 2  u  v   u   uv   v      u   v   2 3u   uv  45  24 v  **  Do v  y2  không nghiệm nên      Ví dụ 2: (D2-10) Giải hệ phƣơng trình sau:     2  x y  2xy  y     x y (1)    x  y2  x  (2)        u u **       45  24    v v u u   3  5 v v 2 xy  xy    3  5 2 y y  2  xy   3y  xy     y        y2 (x  3)   ( u   v ) Thay y2  x  7x  ta đƣợc:  x 2  x y  2xy  y     x y    x  y2  x        7x   x  3    x   y   y  1    x    y2    y      x   2(l)  Vậy: Nghiệm hệ phƣơng trình  2;1 ;  2; 1 ; 4   2;  ;  2;   x  y2  x  3  x  3  x    2 2  x  y   6x  x  y   x  7x  Giải (1): Bằng phƣơng pháp tham số biến thiên coi y ẩn ta phân tích đƣợc:    x y4  2xy2  y4     x y2  2  (x 1)y     Đặt u  xy2  1; v  y2 Phƣơng trình trở thành:  1   x  1 x   y y     x  y   x  y3   y   10  x   10    y   10  x   10  So điều kiện nhận cặp nghiệm Vậy: Hệ có nghiệm 3;1 ; 5; 1 ;  10;3  10 ;  10;3  10 Giải (2):    y2  xy   x   x  y3  y  Hệ   x   x  y    y  u  v  u   v    u   v  u  v  Với u  2; v  ta có hệ:  1   x 2 x   y y    x  y   x  y 3 1  y   x    y  1  x  Với u  1; v  ta có hệ:   xy CAO HOÀNG NAM   (x  1)y2     x y Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 23  Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau:   x2  x   y     y2  y   x    x  5x  y  5y  x  y   www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Do x   1;1 nên nhận 1  1  x4 y 2  1  1  Vậy: Nghiệm hệ  ;4  2  x4        x2  x   y     y2  y   x  Điều kiện: x, y  Trừ vế cho vế hai phƣơng trình ta đƣợc:  x  x   y2  y Xét hàm số y  f (t)   t  t t y'    0, t   t2 t Khi đó: f (x)  f (y)  x  y Thay vào phƣơng trình đầu:  x2  x   x   x2  x   Xét hàm số: G(x)   x  x  t   0, x  G '(x)  2 x 3 x Mà G(1)  Do phƣơng trình có nghiệm x  1 y  Vậy: Nghiệm hệ (1;1)  x  5x  y3  5y   x  y   Nhận xét:  x 1   x, y   1;1 Do x8  y4  nên   y 1  Xét hàm số: y  f (t)  t  5t y '  3t   0, t   1;1 Do x3  5x  y3  5y  x  y Thay vào phƣơng trình dƣới:  1  x  x  x 1   1  x   Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 24 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ I Kiến thức cần nhớ Cho hàm số y  f  x  liên tục tập D Yêu cầu Khai thác f  x   m có nghiệm f  x   m  max f  x  f  x   m có nghiệm f  x   m f  x   m có nghiệm max f  x   m f  x   m có nghiệm max f  x   m xD f  x   m có nghiệm xD xD xD Xét hàm số f  x   3x   xD II PHƢƠNG PHÁP GIẢI Để giải tốn tìm giá trị tham số m cho phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình có nghiệm ta làm nhƣ sau:  Bƣớc 1: Biến đổi phƣơng trình, bất phƣơng trình dạng: f  x   g  m  f  x   g  m  f  x   g  m   Bƣớc 2: Tìm TXĐ D hàm số y  f  x   Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên hàm số y  f  x  D  Bƣớc 4: Tìm f  x  ; max f  x  xD xD  Bƣớc 5: Kết luận giá trị m cần tìm Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm thực phân biệt: x  mx   2x  f ' x    1  lim f  x   lim  3x      ;   x 0 x 0  x 1  lim f  x   lim  3x      x  x  x  Bảng biến thiên: Xét phƣơng trình * Với x   0.x  1 (vô nghiệm) Với x   3x    m x 1 x  f’(x) + -  f(x)   Số nghiệm phƣơng trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số f  x   3x   đƣờng thẳng x   y  m miền   ;   \ 0   Dựa vào bảng biến thiên ta đƣợc giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m  Vậy: m  Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm thuộc 0;1      m x  mx   2x  1  x    mx  3x  4x  1*     với x    ;   \ 0 x   Giới hạn: 2x     2  x  mx    2x  1  tập x     ;   \ 0   xD f  x   m CAO HOÀNG NAM m   x  2x    x   x   x  2x    x   x    Đặt t  x  2x   x   x   t  x 1 t' x  2x  Bảng biến thiên : x t’ t - ,t '   x 1 1 + 2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 25 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VƠ TỶ www.MATHVN.com Do đó: x  0;1    t  1; 2   Bất phƣơng trình trở thành: lim f  x   lim x  lim f  x   lim x   t  1   với t  1;2    t  1 Bảng biến thiên hàm số f  t   4x Bất phƣơng trình cho có nghiệm x  0;1    bất phƣơng trình 1 có nghiệm   t  1;2   m  max f t   f 2   1;2  Vậy : m  Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: x  2x   x  2x   m  x  2x   x  2x  4x x  2x   x  2x  4  lim  2 x  4  1   1  x x x x x  2 x   lim + f(t)  x  2x   x  2x  x  2x   x  2x  4  lim 2 x  4 1   1  x x x x x  t2  m (do  t  ) t 1 t2  tập 1; 2 Xét hàm số f  t   t 1 t f’(t)   lim m  t  1  t  (1) f ' t   x  CAO HOÀNG NAM Bảng biến thiên hàm số f  x  x - f’(x)  + f(x) -2 Số nghiệm phƣơng trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đƣờng thẳng y  m  Dựa vào bảng biến thiên ta suy phƣơng trình có nghiệm  2  m  Vậy: 2  m  x  2x   x  2x   m  (x  1)2   (x  1)2   m Điều kiện: D   Xét hàm số 1 x   x  f  x   x  2x   x  2x   x 1 f ' x    x 1 x  2x  x  2x  x 1 x 1  f '(x)   (x  1)  (x  1)  2t  (t  3)3 1 x   x  1  x 8  x   m 1  x 8  x   m Điều kiện: 1  x  t 3 Đặt t   x   x 1 t'  với 1  x  1 x  x 1 t'0   0 1 x  x  0, t    x 1   x  x 1   x  x  Xét hàm số: y  f (t)  y'  Ví dụ 4: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: t Do đó: f '(x)  0, x  Ta có: Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 26 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com  x  3x      x  x x  m  15m   Bảng biến thiên: x -1 t’ + Ta có: x  3x    1  x  Hệ phƣơng trình cho có nghiệm -  x  x x  m2  15m  có nghiệm x   1;4  t CAO HOÀNG NAM  x  x x  m2  15m có nghiệm x   1;4  3 Từ dẫn đến  t  Do t   x   x  t   1 x   x   x  3x   x   Đặt f  x   x  x x    x  3x  x   t2  Phƣơng trình cho trở thành: 3x  6x   x   f ' x    3x  6x  x    x  18  x    t f '  x    x  0; x  2 Bảng biến thiên : t 9  m  t  2t   2m 2 Xét hàm số f  t   t  2t  tập 3;3    f '  t   2t   với x  3;3    Bảng biến thiên: t - - + 16 f(x) -4 f  x   m  15m có nghiệm x   1;4   max f  x   m2  15m  16  m2  15m + f’(t) x -1 f’(x) 1;4 96 f(t)  m2  15m  16   16  m  Vậy: 16  m  Số nghiệm phƣơng trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y  f  t  đƣờng thẳng y  2m 3;3    Dựa vào bảng biến thiên ta suy phƣơng trình có 96 nghiệm   2m     m  Vậy:  m  96 2 Ví dụ 5: Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có nghiệm:  x  3x      x  x x  m  15m   Trong trình tổng hợp, biên soạn kiến thức không tránh khỏi sai sót, mong Thầy Cơ bạn nhận xét, góp ý Xin chân thành cảm ơn Cao Hoàng Nam Email: Caohoangnamvn@gmai.com Điện thoại: 0907894460 TP.HCM - 26/06/2011 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 27 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com Bài 18 (A-10) Giải bất phƣơng trình sau: MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC x x I PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH: Bài (D-02) Giải bất phƣơng trình sau: (x  3x) 2x  3x   Bài (A1-02) Giải phƣơng trình sau:  2(x  x  1) 1 Bài 19 (B-10) Giải bất phƣơng trình sau: 3x    x  3x  14x   Bài 20 (D2-10) Giải bất phƣơng trình sau: 13  4x  x   x   2x  12  x  16 Bài (A-04) Giải bất phƣơng trình sau:  x  16  CAO HOÀNG NAM 2x    4x  3  2x   16  4x  15 7x x 3 x 3 Bài (D2-04) Giải bất phƣơng trình sau:  x 3  x  2x  4x    2x Bài (A-05) Giải bất phƣơng trình sau: 5x   x   2x  Bài (D-05) Giải phƣơng trình sau: II HỆ PHƢƠNG TRÌNH: Bài (B-02) Giải hệ phƣơng trình sau: 3 x  y  x  y    x  y  x  y   Bài (A-03) Giải hệ phƣơng trình sau: 1  x  x  y  y  2y  x   x   x   x   Bài (B1-05) Giải bất phƣơng trình sau: 8x  6x   4x   Bài (B2-05) Giải phƣơng trình sau: 3x    x  2x  Bài (D2-05) Giải bất phƣơng trình sau: 2x    x  3x  Bài 10 (D-06) Giải phƣơng trình sau: 2x   x  3x   Bài 11 (B1-06) Giải bất phƣơng trình sau: 3x   x   4x   3x  5x  Bài 12 (D2-06) Giải bất phƣơng trình sau: x   x  x   x  8x   Bài 13 (A1-08) Giải bất phƣơng trình sau: (2x  1) 2x    2x  Bài 14 (A2-08) Giải bất phƣơng trình sau: 3x 1  1 x 1 x2 Bài (B-03) Giải hệ phƣơng trình sau:  y2  3y   x2   3x  x   y2  Bài (A1-05) Giải hệ phƣơng trình sau: x  y2  x  y    x(x  y  1)  y(y  1)  Bài (A2-05) Giải hệ phƣơng trình sau:  2x  y   x  y    3x  2y   Bài (A-06) Giải hệ phƣơng trình sau:  x  y  xy     x 1  y 1   Bài (A1-06) Giải hệ phƣơng trình sau:  x   y  y  x   4y    x  1  y  x    y  Bài 15 (B1-08) Giải bất phƣơng trình sau: 10x   3x   9x   2x  Bài 16 (D1-08) Giải bất phƣơng trình sau: Bài (A2-06) Giải hệ phƣơng trình sau:  x  8x  y3  2y   2  x    y  1  (x  1)(x  3) x  2x    (x  1) Bài 17 (A-09) Giải bất phƣơng trình sau: 3x    5x   Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 28 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VƠ TỶ www.MATHVN.com CAO HỒNG NAM Bài (B2-06) Giải hệ phƣơng trình sau: Bài 20 (D1-10) Giải hệ phƣơng trình sau:  x  y   x  y   13   2  x  y   x  y   25  Bài 10 (D1-06) Giải hệ phƣơng trình sau: 27x y3  7y3    2 9x y  y  6x  Bài 21 (D2-10) Giải hệ phƣơng trình sau :  x  xy  y   x  y    2  x  xy  y   x  y   Bài 11 (A2-07) Giải hệ phƣơng trình sau: x  x y  x y2     x y  x  xy  1  Bài 12 (B2-07) Giải hệ phƣơng trình sau: 2xy   x2  y x  x  2x    2xy y   y2  x  y  2y   Bài 13 (A-08) Giải hệ phƣơng trình sau:  x  y  x y  xy  xy       x  y  xy 1  2x      Bài 14 (B-08) Giải hệ phƣơng trình sau:  x  2x y  x y  2x     x  2xy  6x   Bài 15 (D-08) Giải hệ phƣơng trình sau:  xy  x  y  x  2y    x 2y  y x   2x  2y  Bài 16 (B2-08) Giải hệ phƣơng trình sau:  x 1  y   x3   (x  4)  y  Bài 17 (B-09) Giải hệ phƣơng trình sau:  xy  x   7y  2  x y  xy   13y Bài 18 (D-09) Giải hệ phƣơng trình sau:  x(x  y  1)     (x  y)  x    Bài 19 (A-10) Giải hệ phƣơng trình sau: (4x  1)x  (y  3)  2y    2 4x  y   4x     2  x y  2xy  y   2   x y    x  y2  x   III BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ m: Bài Xác định m để phƣơng trình sau có nghiệm: m   1 x2  1 x2   1 x4  1 x2  1 x2 Bài (D-04) Tìm m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm:  x  y 1    x x  y y   3m  Bài (B-06) Tìm m để phƣơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  mx   2x  Bài (A-07) Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: x 1  m x   x 1 Bài (B-07) Chứng minh với giá trị dƣơng tham số m phƣơng trình ln có hai nghiệm thực dƣơng: x  2x   m(x  2) Bài (D-07) Tìm giá trị tham số m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm thực: 1  x y 5  x y    x   y3   15m  10  x3 y3  Bài (A1-07) Tìm m để bất phƣơng trình có nghiệm x  0;1   :   m   x  2x    x   x   Bài (B1-07) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm: x2 1  x  m Bài (B2-07) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm: 4 x  13x  m  x   Bài 10 (D1-07) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm: x 3 x   x 6 x  5  m Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 29 Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com Bài 11 (D2-07) Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm nhất:  CAO HOÀNG NAM   2;  ;  2; ; 1; 2  ;  2;1 (2; 1) 2x  y  m     x  xy   Bài 12 (A-08) Tìm giá trị tham số m để  3;3 1; 2 ;  2;5 phƣơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:  6   6   4 ; ; ;   13 13   13 13      2x  2x   x   x  m ĐÁP SỐ I PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH  x     x  2 x  x    x   x  10  34  x  2 x   x  10 x  2, x   x   x    2 3  x 1  14  x  3  1 ;x  2 15 x  17 x  2 19 x   25   3 13  ;   ; 1;    16   2   17   14  4;    15  5;  16  2;1  1 17 1;  ;  3;1  3 1  19  ;  2  3  18 1;1 ;  2;   2  1    20  ;1 ;   ; 2  3     4  12 x  4, x  13 x  12 1;1 ;  0;0   21  2;1 ;  2; 1 ;  2;  ; 10 x  1, x   11 x  10  0;0  ;  2;1 ;  1; 2   2;3 ;  2; 3 11 1;1 ;  1; 1   1  x  14     x 1  16   x   3 18 x  20 x  2;   III BIỆN LUẬN THEO THAM SỐ m: 1  m  1  m  7 1  m  m  2 7 m2    m  22 m  3  m    m  12 11 m  II HỆ PHƢƠNG TRÌNH : 3 1 1;1 ;  ;  2 2   m  10  m  12   m    1  1    1  1   ; ; (1;1);  ;   2   2      1;1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 www.mathvn.com Trang 30 ... PHƢƠNG TRÌNH PHƢƠNG PHÁP THẾ  Từ phƣơng trình ta tính y theo x x theo y  Thế vào phƣơng trình cịn lại giải tìm x y Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình sau đây: 2x... trình sau có nghiệm:  x  3x      x  x x  m  15m   Trong trình tổng hợp, biên soạn kiến thức khơng tránh khỏi sai sót, mong Thầy Cơ bạn nhận xét, góp ý Xin chân thành cảm ơn Cao... định đƣợc vế phƣơng trình (*) dƣơng nên bình phƣơng ta thu đƣợc phƣơng trình hệ  Bài tốn giải theo cách biến đổi tƣơng đƣơng nhƣng so với cách phức tạp    x  3  2x   3 x  x   (3x 