Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 52 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
52
Dung lượng
1,78 MB
Nội dung
Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I) ln x ln y x y y x xy 2x y 2 x y x3 y y 3x y x2 x2 log 20 log 2 y 4y y y2 y x2 x e y 1 3log x y 2log x y x y 1 x y 2 x xy y xy 12 x y y2 y 1 x x 1 7x y 2x y 13 2x y x y x y 2 x y x y 2 15 3 2x y 2x y x x x y y 8 y 17 x y y x y 3x 19 2 x x y 10 y x x x y 1 y y y x 1 8y x 16 x y xy x y x y x2 y y3 x4 x6 x y x 1 698 x y 81 10 2 x y xy 3x y x3 y 11 x y 2 2 x 12 xy 20 y x3 y y x 21 x y 1 x y x y 3x x 23 xy x x 42 x y 51 x y 22 x y 1 12 y x ln y x xy 3x y 16 14 2 x y x y 33 x y 3x y 16 2 3x y x y x xy y 18 y x x y xy 6x x y 20 x y 6x x y xy x 32 x y 3 22 x 32 x y 24 y xy x 24 2 1 x y x Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam y x x 25 2 y x xy 16 x y 16 x3 y x y xy 27 2 x xy y 2y 4 y 42 x 29 x3 2 y 42 x y x3 3x 31 x 2y 6y x3 x x y 33 y 1 y y x x2 y 35 y x y 48 y 48 x 155 x3 xy 2000 y 37 y yx 500 x 1 xy x2 y2 39 x 1 2x y 1 y x3 y 41 2 x 2y x 4y x y 3xy x y 43 y 2x 9x x4 x2 y y 45 2 x y x y 22 x y xy 47 2 x 1 y 1 x2 y x y y 26 x 1 x y 2 y 2 7 xy y x x y 2 28 2x x y xy x x2 y x 2x 30 xy y y2 x y 2y x y ex e y 32 log x 3log y 2 x x2 y y 34 y 35 0 y 12 x 1 x2 y 36 125 y 125 y 15 x2 y x y 38 2x 4x y x x 2y 2y 1 40 2 x y 1 42 44 46 48 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An x3 x y y 2 x y 1 x x3 y x y x y x xy x3 y 27 18 y 2 4x y 6x y ex y ex y 2 x 1 x y x y 1 e Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 49 51 53 55 x y 51 x y 3x y x2 y y y x 2x x y y y x y 2 x y x y 2 y x 5y y x2 3 2x y y x x 6y x 2y y 50 x x y x 3y y x y 12 52 x y x y 12 x y xy y 54 2 y x y 2x y x2 x y 56 y y 2x x2 x y y 57 x2 y x x y xy 59 4 2 x y x y x y 3xy x y 58 y 2x 9x x 3 x y y 61 4x y x y xy y 62 y x y 2 x 1 x x3 y y y x x y x 63 2 x y x x3 y 35 64 2 2x 3y 4x y y x 2 x x y 65 y x 3x 12 x 2 y 3x 66 12 y y 3x x 3y x 3 x y2 67 y y 3x x2 y x x xy x 68 x y 3 2 y x y xy 6 x 60 3 1 x y 19 x x11 xy10 y 22 y12 69 4 y 3x y x x x 2x x y2 2 71 2x x 2 y 2 x y 70 x 3x 57 y 3x 25 x2 y x y 72 2x 4x y Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x y 240 73 3 2 x y x y 4 x y x3 x y x y 75 y x ln y x x y y x2 77 x y xy 2 2x y 79 x y xy x y 14 x y y xy x 18 xy 81 2 2 x y y x y x 208 x y x3 3xy y 83 y 6x y x3 xy 12 y 85 2 y x 12 x3 y xy 87 4 4x y 4x y x4 y 89 2 x 2x 2x y x2 y x xy y x y 91 x xy x xy x xy y xy y 93 1 y xy x y 2 x y 95 x 8y x y x y x 2y 97 x x y y y 41 2 x x y 1 y y 99 x x 1 y x y y y x3 3x x 74 1 x y y 1 x3 y x y xy 76 x y y 14 x x x3 y x y x 78 x xy x x y cos x cos y 80 x y y 18 xy y y 82 xy y y 1 x3 3xy 49 84 2 x xy y x 17 y y y x 3x y 86 x xy 27 x3 y 125 y 88 2 45 x y 75 x y x xy x y 90 2 x x y 3x y xy 2 x y x y 92 x y x2 y 5 x y x y xy xy 94 x y xy 1 x 5 5 x y xy y x y 96 2 xy x y x y x y x x y y y2 98 x y 3x y xy x y 100 2 x y 10 y Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam CÁC BÀI GIẢI Bài Ta có: x y y x xy x y x y 2 x y y x xy x y x2 y x2 y x x y 3 y 2 y x 2 x y Xét hàm số f t 2t t Ta có: f ' t 2t ln 3t t nên f t hàm Vậy x x3 y y3 x y x y x y 1 Như hệ tương đương với: 2 x y 1 x y Vậy hệ có nghiệm x ; y 1;1 , 1; 1 Bài 2: Điều kiện x , y 1 Ta có: đồng biến x y x 10 y ln x ln y x y 2 x 12 xy 20 y ln x ln y x y x y x 10 y ln x x ln y y Dễ thấy x, y dấu Xét hàm số f t ln t t 1; t 1 Đạo hàm: f ' t Ta có: f ' t t Vậy hàm số đồng biến 1 t 1 t 1;0 nghịch biến 0; +) Nếu x, y âm (tức thuộc 1;0 ) theo tính chất hàm số f t , ta có: x y Thay vào hệ giải nghiệm x y (loại) +) Nếu x, y dương, tương tự ta loại nốt +) x y thoả mãn hệ Vậy nghiệm hệ x ; y 0;0 Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn sử dụng phép hay đánh giá Nhận thấy phương trình thứ hệ chứa hàm riêng biệt với x, y (chứa x3 , x y , y , y mà không chứa xy ) nên ta đưa phương trình thứ hàm số sử dụng đạo hàm để giải Điều kiện x 1;1 , y 1;3 Từ suy ra: x 2;0 y 2;0 Khai thác phương trình thứ hệ: x3 y3 y 3x y x3 3x y3 y y x x y y x 1 x 1 y y Xét hàm số f t t t t 3t 2;0 Đạo hàm: f ' t 3t 6t 3t t Ta có: f ' t t t 2 Vậy đoạn 2;0 , hàm số f t đơn điệu Vậy, phương trình thứ hệ tương đương với x y y x 2 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Thay vào phương trình thứ hai, ta có: log log log log x2 x2 log 20 y2 y 4y y x2 y 4y x2 4y y x2 x x2 x 1 1 x Đặt x t 2 x2 4 x 4 x x x2 2 x2 x x2 1 1 x 2 * t 0;1 Lúc * trở thành: t t t t t t 2t 2t 3t 2t 2t t t 1 1 (do điều kiện nên loại nghiệm t t 3t 2t t t 3 3 2 ) x 1 y +) t x x 1 y 1 1 x y 2 1 1 3 +) t x x 1 y 1 3 1 1 1 1 x , y 1;3 , 1;1 , ; , ;2 Nghiệm: 3 3 Bài 4: Phân tích: Hệ chứa ẩn hàm hữu tỉ hàm số mũ, chúng có tính chất khác nên gần chắn phải sử dụng đạo hàm Và lưu ý luôn, hệ chứa hàm có tính chất khác gần 90% sử dụng đạo hàm phương pháp đánh giá Cộng chéo vế theo vế giữ phương trình hệ ta hệ tương đương: 3x 1 x x y 1 y y (*) x x x y 1 Xét hàm số f t 3t t t Hàm số có đạo hàm: f ' t 3t ln t t 1 3t.ln Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An t2 t t 1 Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam t t t t t t t Từ suy f ' t t Vậy, f t đồng biến Ta thấy phương trình (*) có dạng f x f y Từ suy x y x y Lúc hệ tương đương với: x y x y x 1 x x 1 ln x x x .ln (**) Ta có: Lại tiếp tục xét hàm số g t ln t t t ln 1 t t ln Hàm số có đạo hàm g ' t ln t t2 t2 1 Dễ thấy ln3 nên g ' t t Như hàm số g t nghịch biến t2 Mặt khác ta lại có g nên phương trình (**) x x Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 Bài 5: Phương trình thứ hệ tương đương với: x e x y e y Xét hàm số f t t et 0; Hàm số có đạo hàm f ' t et et t t 0; Từ suy f t đồng biến 0; Vậy phương trình thứ hệ cho tương đương với: x y x y +) Nếu x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3log3 y 2log 2 log3 y y 31 y 3 x +) Nếu x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3log3 y 2log y 1 log3 y 1 log y 3log3 y 2log y 3log3 y 2log y * Xét hàm số g t 3log3 t 2log t 1; Hàm số có đạo hàm: g ' t t ln t ln 2 3 Ta có: mà nên ta có: ln ln t ln t ln t ln t ln , tức g ' t t ln t ln Như nên hàm số nghịch biến 1; Ta lại có g Vậy * có nghiệm y x Vậy nghiệm hệ phương trình x ; y 7;7 , ; 3 Cách giải khác: Trong trường hợp x y , ta đặt 3log3 x 2log x 6u Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam u u x 32u 1 8 3u 2u Lúc ta có hệ: 9 9 x 23u u u 1 8 Ta lại thấy hàm số h u hàm nghịch biến mà h 1 nên u nghiệm 9 9 hệ x y Bài 6: Điều kiện: x 0; x y x y x y Đi từ phương trình thứ hai hệ: xy x y x x (1) Xét hàm số f t t t 0; Đạohàm: f ' t 2t nên f t đồng biến Mặt khác (1) có dạng f Đặt t x t 0 xy f x y x y x x y t t Thay vào phương trình thứ hệ ta có: t t t x nên (1) 8t t t t 16 t t t 2t 12 t 2t 2t 8t 24 t 2t 12 12 Với t x 4, y Vậy nghiệm hệ x ; y 4;2 Cách giải khác: Ta đặt t x phương trình thứ hệ tương đương với: t y 2 16 2ty 8ty t y t y 2ty t y t y ty 2ty 2 t y 4 t y t y t y 4t y t y Bài 7: Điều kiện: x y Khai thác phương trình thứ nhất: x y x y Ta đặt t x y (điều kiện: t 1) trở thành: 1 t3 t Dễ thấy hàm số f t t t đồng biến 1; (vì t tăng f t tăng) Như phương trình với ẩn t có nhiều nghiệm Nhận thấy t = nghiệm phương trình Vậy, ta có: t x y Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x x y y x y 12 8x y 12 Hệ cho tương đương với hệ sau: x y x y 2x y x y x y 36 x y 8 x y 8 x y 8 x y4 x y xy x y 81 xy 16 Vậy nghiệm hệ x ; y 4;4 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x2 y y3 x x6 (1) Bài 8: Điều kiện y 1 Hệ cho: (2) x y x 1 Nếu x từ (1) suy y , thay vào (2) không thỏa mãn x y y3 x x3 (3) Chia hai vế (1) cho x ta có: x x Xét hàm số f t 2t t có đạo hàm f ' t 3t nên hàm số đồng biến y y Mặt khác (3) có dạng f f x x y x Thay vào (2), điều kiện x 2 : x x x 2 x x 1 x x 1 x 1 x x y 2 Vậy nghiệm hệ x ; y 3;3 Bài 9: Điều kiện x , y Hệ cho tương đương với: x y y2 x 1 y y 1 I 2 y x x2 x x x 1 y y Xét hàm số f t t t t 1; 1 Hàm số có đạo hàm: f ' t 2t t 6 2 t 1 Ta chứng minh 2t 3 t Thật vậy: 2t 3 t y 1 1 6t t 2 Điều hiển nhiên t thuộc đoạn 1; Như vậy, f ' t t 1; f t đồng biến 1; Vì đó: x y x y I x 1 x x 1 Nhẩm nghiệm (2) x nên ta dùng phương pháp nhân liên hợp: x2 x 1 1 x x x2 x 1 1 x6 2 0 x2 x 6 x 0 1 x2 0 x 2 x x x x 1 x2 (3) x x 2 x x2 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 1 (Dễ thấy phương trình (3) vơ nghiệm x 1 1 1 x 2 x 1 ) Vậy nghiệm hệ phương trình x ; y 2;2 Bài 10: Xem phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x, tham số y : x y 3 x y y Phương trình có nghiệm x y 3 y y 3 y 10 y 49 (1) y2 Lại xem phương trình thứ hai phương trình bậc hai ẩn y, tham số x : y x y x 3x 1 y Phương trình có nghiệm y x x 3x 3x x 256 (2) x4 81 49 256 697 698 Từ (1) (2) suy x y , mâu thuẫn với phương trình thứ 81 81 81 Từ suy hệ cho vơ nghiệm Bài 11: Nhìn hệ số có nên ta chia hai vế cộng lại: 1 3y y x3 x y3 y3 y x x x Xét hàm số f t t 3t Đạo hàm: f ' t 3t t Từ suy hàm số f t đồng biến Điều có nghĩa y x 3 Thay vào phương trình ta được: y y y y 0 x y 1 +) Với y y 2 y 1 y 2 1 +) Với y 2 2 x x x x 1 Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 , ; 2 1 t Bài 12: Đặt t x y phương trình thứ trở thành: Xét hàm số f t 1 t t 4 5. 2t 5 * t 4 5. 2t 5 t 4 Hàm số có đạo hàm: f ' t 5 ln 5.ln 2t 1.ln Do ln 0,ln 0,ln 5 nên f ' t t Mặt khác ta lại có f nên * t x y 1 t Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 10 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Xét hàm số f t 2t t có đạo hàm f ' t 2t ln 3t nên f t đồng biến Ta lại có 1 f x f y x y Thay y x vào phương trình thứ ta được: x4 x x Tiếp tục sử dụng đạo hàm Xét hàm số g x x x x Đạo hàm: g ' x x3 x 1.2 x 2 2 x 2 x 5 (2) .ln x 1 x x x 2 x 2 x ln Ta có: g ' x x (do x2 x x 2 x4.ln ) mà g 1 nên (2) có nghiệm x Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 Bài 69: Nếu y từ phương trình thứ suy x , thay vào phương trình thứ hai thấy không thoả mãn nên suy y Chia vế phương trình thứ cho y11 : 11 x x 11 y y y y (1) có đạo hàm f ' t 11t10 nên f (t ) đồng biến Xét hàm số f t t11 t x x Mặt khác (1) f f y y x y Thay vào phương trình thứ hai ta được: y y 13 x 13x x x x x x x x (2) x x 13 Xét hàm số f x x x x 8 0; x x 2 13 16 Đạo hàm: f ' x .15 x x 8. x x x x 0; nên x x hàm f x nghịch biến 0; Mặt khác ta lại có f nên (2) x (thoả mãn) y Vậy nghiệm hệ x ; y 2; Bài 70: Nhận xét: hệ chứa đầy đủ hạng tử x , y , xy, y, x nên ta nghĩ đến đẳng thức ax by c Bây ta nhân hệ số vào hai phương trình cách thích hợp để đưa đẳng thức Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta nhân hệ số sau: 25 x 25 y 200 x 150 x 114 50 y 3x 225x 25 y 150 x 114 150 xy 50 y (cộng hai phương trình lại với nhau) 15x y 2.15x.5 2.15 x.5 y 2.5 y.5 52 144 2 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 38 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam y 3x 15 x y 12 15 x y 122 15 x y 12 y 17 3x +) Nếu y 3x , thay vào phương trình thứ hệ: 11 x 25 y 25 42 44 7 x 3x 10 x x 0 25 5 x y 5 17 +) Nếu y 3x , thay vào phương trình thứ hệ: 102 284 17 x 3x 10 x x , phương trình vơ nghiệm 25 11 Nghiệm hệ x ; y ; , ; 25 25 5 (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia tỉnh Nghệ An 2010 – 2011) Cách giải khác lưu ý: Phương pháp hệ số bất định với hệ phương trình hai ẩn bậc hai trình bày Bài 258 tập “HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III)” Ta cộng phương trình thứ hai với K lần phương trình thứ hai tìm K = K = 4 Bài giải ta sử dụng K = Với K = –4 ta cộng hai phương trình sau: 57 1 100 y 25 y 37 2 x 3x y x 1 x y x 25 5 75 1 y Bây ta trở lại vào phương trình thứ hệ: 100 y 25 y 37 15625 y 6250 y 12525 y 4100 y 244 0 y 75 1 y 75 y 75 25 y y 1 125 y 85 y 122 75 y 1 Đến việc trở nên đơn giản nhiều! Bài 71: Điều kiện x Tương tự Bài 22, ta cộng hai vế hệ lại ta được: 2x x 2x x y2 2 y Đánh giá hai vế phương trình này: +) VP y 63 63 +) Đánh giá vế phải: Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 39 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Nhận xét vế phải x , dùng điểm rơi bất đẳng thức Cauchy, ta được: x2 2.x x 10 x x 2 222 x 6 x 2x 2.2.2.x 4 2.2 x 18 x 24 x x .4.4.4 4.4.4 x x 10 x x 18 x x VT VP y 2 4 y 6 x4 Vậy nghiệm hệ x ; y 2; Bài 72: Nhận thấy y thoả mãn hệ y Từ phương trình thứ hệ: y x x y Xem phương trình bậc hai với ẩn x phương trình có nghiệm ' y y y 1;1 (1) Từ phương trình thứ hai hệ, ta suy ra: ' y y 1 y 1 (2) x2 x x Từ (1) (2) suy y 1 Thay trở lại hệ ta được: 2 x x Vậy nghiệm hệ x ; y 1; 1 Bài 73: Từ hệ, ta nhận thấy có x , x3 , x , x y , y , y , y nên ta tìm cách đưa hệ dạng: y b Khi khai triển đẳng thức a b a 4a3b 6a 2b2 4ab3 b4 , thấy hệ có đủ điều kiện để nhóm đẳng thức bậc 4: 4 x y 240 x y 240 3 x 3x x y 12 y 32 y 8 x 24 x 32 x 16 y 96 y 256 y x4 8x3 24 x2 32 x y 16 y3 96 y 256 y 240 x a 4 x 8x3 24 x 32 x 16 y 16 y 96 y 256 y 256 x y x2 y4 x24 y x y2 x6 y +) Nếu x y , thay vào phương trình thứ hệ ta được: y 2 4 y 240 y3 24 y 32 y 224 y y y 14 y 2 x 4 +) Nếu x y , thay vào phương trình thứ hệ ta được: y y 240 1296 864 y 216 y 24 y3 240 y3 y 36 y 44 y y y 22 y x Vậy nghiệm hệ x ; y 4;2 , 4; (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010 – 2011) Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 40 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Bài 74: Điều kiện 1 x 1, y Phương trình thứ hệ tương đương với: y y 1 x 1 x 1 1 (1) 2 Xét hàm số f t t t Hàm số có đạo hàm f ' t 3t t nên f t đồng biến Mặt khác (1) có dạng f y f x 1 y x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y 1 y y y y y y (điều kiện y ) y y y y Đặt a y y a 2 y y ( a ) a2 2a a a kTM a TM Với a 2 y y a2 y y y y y x Phương trình lúc trở thành: a Vậy nghiệm hệ x ; y 0;1 (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2010 – 2011) Bài 75: Biến đổi phương trình thứ hệ xuất nhân tử chung: x3 x y x y x x y x y x2 2x y 2x y x x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y3 y ln y y Tương tự Bài 12, ta giải tìm y 1 x Vậy nghiệm hệ x ; y 0; 1 Bài 76: Điều kiện x y Nhìn lướt qua ta thấy phương trình thứ có nhân tử chung x y : x x y y xy x x y y x y x y x y +) Nếu x y không thỏa mãn điều kiện +) Nếu x y , thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x3 14 x x x x x3 14 x 2x x 2 x 2x x 2 x x3 14 14 x x3 14 6 x 12 x x 2x 3 x 2 x 14 x x3 14 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 14 x x 14 0 0 3 x x 14 x2 x x 14 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 41 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x2 x x Nghiệm hệ x ; y ;1 , ;1 Bài 77: Điều kiện x , y 1;1 Từ điều hiển nhiên sau: x y 1 x x2 y 2x y 2 x y y x 2 y x2 y x2 Vậy nên phương trình thứ hệ tương đương với: 1 y 2 x y2 0 x x, y 0;1 1 x 1 y 11 y y 1 x 1 x x Vậy ta lại có phương trình thứ hai hệ phải tương đương với 1 y y Thay trở lại hệ ta thấy thoả mãn Vậy nghiệm hệ x ; y 0;1 Cách giải khác: Cách giải dùng cho bạn tinh việc nhìn nhận bất đẳng thức Cách giải sau mang tính hệ thống hơn: x sin a sin a Đặt x cos a , y cos b a , b 0; (do a , b 0; ) 2 y sin b sin b Hệ trở thành: (do a , b 0; cos a.sin b sin a.cos b sin a b a b 1 cos a 1 cos b 1 cos a 1 sin a 1 cos a 1 cos b Giải phương trình với a 0; : 2 sin a cos a sin a.cos a 2 t2 Đặt t sin a cos a t sin a.cos a , phương trình trở thành: t2 t t 2t t (TM) t 3 (loại) a k 2 4 Với t sin a cos a sin a k 4 a 3 k 2 4 Với điều kiện a 0; hệ thống có nghiệm a b a 2 2 Vậy x cos a cos 0, y cos b cos0 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 42 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam * Nhận thấy x , y 1;1 , ta nghĩ đến việc đổi biến hàm sin, cos Bài 78: Rút xy từ phương trình thứ hai: xy x x2 Thay vào phương trình thứ nhất: x x2 x x2 x 2x x x 12 x 48 x 64 x 2 x x 4 x x +) Nếu x , thay vào hệ tìm y +) Nếu x , không thoả mãn 17 17 Vậy nghiệm hệ x ; y 4; (Đề thi Đại học Khối B năm 2008 – 2009 ) 4 Bài 79: Xem phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x, tham số y : x2 y x y y 14 (*) (*) có nghiệm x y y y 14 3 y 10 y y Tương tự xem phương trình phương trình bậc hai ẩn y, tham số x : y x y x x 14 (**) (**) có nghiệm y x x x 14 3x 16 x 20 x 10 1 10 7 Vậy ta có y 1; x 2; Phương trình thứ hệ x y x y 3 3 1 10 2; có đạo hàm f ' x nên f x đồng biến x x 3 1 191 10 10 2; f x f x (1) x x 30 3 3 Xét hàm số f x x 1 89 7 Tương tự, ta có f 1 y f y y y 21 3 (2) 1 Từ (1) (2) x y Vậy nên phương trình thứ hai hệ tương đương với: x y x ; y 2;1 Thay trở lại vào hệ thấy không thoả mãn Vậy hệ cho vơ nghiệm Bài 80: Phương trình thứ nhất: x y cos x cos y x cos x y cos y (1) Xét hàm số f t t cos t Đạo hàm f ' t sin t nên f t đồng biến Mặt khác (1) có dạng f x f y x y Thay vào phương trình thứ hai ta được: x3 3x 18 x 3 x 3x x (dễ thấy x2 3x ) Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 43 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Vậy nghiệm hệ x ; y 3;3 Bài 81: Nếu x y ngược lại nên 0;0 nghiệm hệ Với x 0, y Thực phép chia cho xy x y ta có: 1 1 x y 18 x y 18 x y x y I 2 1 1 1 2 x y 208 x y 212 x y x y 1 Đặt a x , b y x y a 2, b hệ I trở thành: b 18 a a a 14 a b 18 b 18 a 2 a b 212 a 18 a 212 a 18a 56 b 14 b x x x a x2 x +) Nếu b 14 y 14 y 14 y y y a 14 x +) Tương tự, b y Vậy hệ có nghiệm x ; y 0;0 , 3;7 , 3;2 Bài 82: Điều kiện: y 1; xy ; xy y Phương trình thứ hai hệ tương đương với: với điều kiện ta phải có y y xy y y y Kết hợp x 1 Thay vào hệ ta có: x Thử lại thấy 1;1 nghiệm hệ 2 x 1 Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 x x2 y y Bài 83: Biến đổi đưa hệ về: 2 y y 6x (1) (2) Từ (2) suy y (do y x ) y x Đưa hệ dạng sau: 2 x y x xy y y x3 3xy y x x y 3xy y y 2 y 6x y y 6x y y3 x2 y 3 Dễ thấy x xy y 3x x y (do x, y ) +) Nếu y y 1 x y x y x Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 44 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Với x 1, y ta lại có y3 x y , trái với (3), loại +) Tương tự với y 1, loại nốt +) Với y , thay vào phương trình thứ hệ ta x Thử lại, ta thấy 1;1 nghiệm hệ phương trình Vậy nghiệm hệ x ; y 1;1 Bài 84: Nhân hai vế phương trình thứ hai với cộng với phương trình thứ ta được: x3 3xy 3x 24 xy y 49 24 y 51x x3 3x 51x 49 3xy y 24 xy 24 y x 1 x x 49 y x 1 24 y x 1 2 x 1 x x y 24 y 48 x 1 x 1 3 y x 1 x ; y 1;4 Thấy (–1; 4) nghiệm hệ nên ta xét trường hợp lại x 1 : 1 y 49 y 16 y 4 Thay x 1 trở lại hệ ta được: 1 y y y 17 Vậy hệ có hai nghiệm x ; y 1; (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2004 – 2005) uv uv , y , thay vào hệ ta đưa hệ 2 phương trình Sau cộng hai vế đưa đẳng thức bậc (sẽ phức tạp với bạn chưa quen biến đổi phức tạp ) Bài 85: Dạng quen thuộc: phương trình đẳng cấp Thế số 12 phương trình thứ nhất: x3 xy y x y x3 x y xy y (1) Cách giải khác: Đặt u x y, v x y x Dễ thấy y không thoả mãn hệ y Chia hai vế (1) cho y : x x x x x2 x x y y y y y y y 2 x 2 y x 15 x2 x (thấy ) y y y 2 Thay x 2 y vào phương trình thứ hai hệ ban đầu: y x 2 y y 12 y y 1 x Vậy hệ có hai nghiệm x ; y 1; 2 , 1;2 Bài 86: Lại hệ chứa phương trình đẳng cấp Quá quen 6 6 ; ; Nghiệm hệ x ; y , 2 2 Bài 87: Thêm hệ chứa phương trình đẳng cấp Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 45 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Nghiệm hệ x ; y 0;1 , 1;0 Bài 88: Cách giải phương trình quen thuộc: Thấy y không thoả mãn hệ y Với y hệ tương đương với: 3 5 5 125 3 3x x 27.x y y y 2 5 5 45 x 75 x 5 3x y 3x. y 3. x y 3.3x. y 18 y y2 2 5 5 5 3x 3. 3x 3.3x. 27 3x 27 3x y y y y y 27 x3 125 27 x3 125 27 x3 125 y3 y3 y3 5 5 x 3x 3x x y y 27 x3 3x 3 2 x x y y 2 1 5 Vậy nghiệm hệ x ; y ;5 , ; 3 3 2 Bài 89: Phân tích: Trong phương pháp giải hệ ta gặp, ta sử dụng phép y phương trình thứ x – 2x + 2x ta nhận phương trình bậc Vẫn nhẩm số nghiệm hệ này, để dùng sơ đồ Hoóc–ne chia đa thức (để làm giảm bậc phương trình) có lẽ phức tạp (chưa thử làm có lẽ phức 4 tạp) Còn ta dùng phép nhân ước lượng để đưa dạng x a y b khơng làm hệ số x y dương mà chúng lại vế, nên chuyển vế không đưa dạng Đạo hàm? Nếu dùng phương trình thứ hai Thế việc không thực bên vế phải có y , mà vế phải khơng thể đưa dạng Vậy dùng phương pháp đánh giá Đưa hệ về: x 1 x 1 1 y 1 y (1) x4 y 2 (2) x x x y x 1 x x 1 y +) Nếu y từ (2) suy x từ (1) suy x2 1 x , mâu thuẫn +) Tương tự y , ta nhận điều mâu thuẫn +) Nếu y y 1, thay vào hệ tìm x Vậy nghiệm hệ x ; y 1; 1 Bài 90: Khó khăn giải phương trình ta khơng sử dụng phép Dùng thử điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai khơng đánh giá Khơng thể dùng hàm số chứa xy (ở phương trình thứ nhất) x y (ở phương trình thứ hai) Chúng ta cần biến đổi khéo léo để đặt ẩn phụ: +) Nếu x y Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 46 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam +) Nếu x Ta chia hai vế phương trình hệ cho x , x , ta được: y y 2y x 1 x 2y 1 x x 2 x y y x y y x x Giải hệ ta nghiệm: y x x 0 x 2x +) , vơ lí x x y y y y y x x x +) x y x x x 3x y Vậy nghiệm hệ x ; y 0;0 , 1;2 , 2;2 Bài 91: Phân tích: Nhận xét phương trình thứ hệ chứa bậc hai hàm tạm gọi hàm đẳng cấp bậc hai (hay hàm đồng bậc) x , y (hàm số chứa x , y , xy mà không chứa hệ số tự x, y ) Mà hàm bậc đẳng cấp hai ta coi hàm bậc Bên vế phải hàm bậc Vậy hai vế phương trình đồng bậc Vì ta áp dụng cách giải phương trình đồng bậc Chưa thể chia hai vế cho x (hay cho y) khơng biết x âm hay dương mà đưa vào dấu căn.Vì ta bình phương với điều kiện x y , ta được: 5 x2 y xy 2 x y 10 xy 12 x x y x xy y x y xy y x xy y (1) Tiếp tục bình phương được, trước hết ta nên đưa ẩn để dễ nhìn Dễ thấy x không thoả mãn hệ nên chia hai vế (1) cho x ( x đưa vào dấu căn) ta được: 2 y 10 y 12 1 x x y2 y y 1 x 1 x x y t , phương trình trở thành: x 12 t 10t 1 t 1 t t (*) 1 t 10t 24 1 t 1 t t t 20t 102t 20t 24 t 2t t t Đặt 23t 4t 54t 4t 23 t 1 23t 50t 23 t t Thử lại thấy t thoả mãn phương trình (*) Với t x y 25 23 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x 5x x x Tiếp tục dùng biến đổi hệ quả: Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 47 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam x x 5x 3 x 5x 3 x 5x3 3x 16 x 25x 40 x3 24 x 30 x 14 x4 45x3 x2 30 x x 3 x 1 x x 3 1 109 x Thử lại thấy x hệ ban đầu y 14 Vậy nghiệm hệ x ; y 3;3 x3 x Cách giải khác: Có thể thực phép nhân liên hợp sau với x khác y : x y x y x xy y x y 0 2 x xy y x y x2 y x y 4 0 2 2 x y x y x xy y x y 2 2 x y 2 x y 2 x y x y 3 x xy y 2 3 x y Với x khác y hai mẫu thức dương! Một cách khác ngắn gọn nhiều dùng bất đẳng thức: x2 y x y x xy y x y 2 Hơn nữa, việc nhìn nhận phương trình đẳng cấp quan trọng để tìm lời giải nhanh hay Ta thấy: x x 5x x x 6 x x x x x x Đây phương trình đẳng cấp dễ giải! Bài 92: Điều kiện x y Với điều kiện phương trình thứ hệ tương đương với: x x x y 2xy x y x y x y x y x y x y y x y 1 x y x y 1 x y 1 x y x y y2 2 2 2 2 x y (do x y nên x y x y ) (thỏa mãn) Thay vào phương trình thứ hai ta được: x2 1 x x x x x (–) Nếu x y x (–) Nếu x y 1 Vậy nghiệm hệ x ; y 1;0 , 2; 1 y Bài 93: Đặt t xy Lúc hệ trở thành: x t t y 2t y y y 5t * t Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 48 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 1 Cộng hai vế hệ lại ta được: y 1 y 3t 3 2t 1 t +) Nếu t 1 1 trở thành , vơ lí +) Nếu t 1 Xem phương trình ẩn y tham số t có biệt thức: 3t 3 t 1 1 2 y t 1 8t 1 t 1 nên phương trình có nghiệm y t 1 1 t 2 2t t y y t 1 t 1 2t (+) Nếu y , thay vào * ta được: 4t 5t , vô nghiệm t 1 t xy y x t (+) Nếu y , thay vào * ta được: t 5t t 1 t xy y 16 x 16 Vậy nghiệm hệ x , y 2; , ; 2 4 (Đề thi thử đại học mơn tốn trường THPT Thái Lão năm học 2011 – 2012) 5 2 x y xy x y xy Bài 94: Hệ cho viết lại thành x y xy 5 Đặt u x y , v xy hệ trở thành: 5 1 u u uv u u v u v uv u u 5 5 v u v 5 u v u v v 3 x2 y y x2 x u (*) Nếu 5 v xy x y 25 16 1 1 1 x u x y y x (*) Nếu 3 3 3 v x 1 x x y xy 3 25 ; Vậy nghiệm hệ x ; y 1; , 16 Bài 95: Đầu tiên tìm điều kiện xác định hệ phương trình: x y Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 49 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam Từ phương trình thứ hệ suy x y x y Vậy nên ta phải có x y Thế x y x y vào phương trình thứ hai hệ ta được: y y y 1 Nếu y 1 x Thử lại thấy nghiệm thoả mãn hệ ban đầu Vậy nghiệm hệ x ; y 8; 1 Bài 96: Phương trình thứ hai hệ tương đương với: xy x y x y xy x y xy 1 xy 1 xy 1 x y xy x y * Nếu xy 1, thay vào phương trình thứ ta được: x y xy y xy x y y 5x xy y x xy y 3x xy y y x y y x y (+) Thấy y không thỏa mãn xy (+) Nếu x y xy x x 1 Thử hai nghiệm 1;1, 1; 1 ta thấy thỏa mãn * Nếu x y * , ta vào số phương trình thứ được: x y xy y x y x y y 5xy 4x y x y x y x x y x y (đã xét) 10 10 x y 5 Với x y , thay vào * ta y 10 10 x y 5 10 10 10 2 10 ; ; Vậy hệ có nghiệm x ; y 1;1, 1; 1 , , 5 5 Bài 97: Điều kiện x y x y x 2y Chuyển hệ dạng sau: x y x y 41 Đến ta đặt a x y , b x y a , b 0 hệ trở thành: a b a b a b 2 b 2a 41 b b 18b 81 41 b 36b 203 b b 29 (thỏa mãn) (không thỏa mãn) a a 20 Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 50 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam 11 y x y 2 x y a y 1 Với b x y x 3y x 11 Vậy nghiệm hệ x , y 5;1 , ; 3 Bài 98: Điều kiện x , y 0, x y Ta thấy khó mà khai thác nhân tử chung phương trình thứ hai mà phương trình thứ Phương trình thứ tương đương với: x y x y y y xy x y x y x (do x y y ) x y 2y x y y x x y (dễ thấy x y 2y Thay vào phương trình thứ hai ta được: y x ) x y 2y x x 3x x x x 3x x 1 1 Đến ta đặt u 3x , v x u 0, v phương trình trở thành: 3 u v u v u v 2u v u v 2 2u v u v 2uv u u 2v u u 2v 1 (*) Nếu u x v , không thỏa mãn u v , loại 3 x x u v v (*) Nếu x 2 u 4v x 11x 3x x 1 u 2v Vậy nghiệm hệ x , y 2;2 2 x xy y y x ( I) Bài 99: Viết lại hệ dạng đẳng cấp: 2 x xy y x y Để thay đổi cách giải chút, ta giải theo cách sau: TH1: Nếu x , thay vào hệ ( I) ta tìm y TH2: Nếu x , ta đặt y t x t , thay vào hệ ( I) ta được: x 2 t t x 3t 1 3t 1 t 3t 1 2t t t * II x t 3t x 1 2t (dễ thấy t không thỏa mãn hệ 2t t t 1 nên ta nhân chéo) 3 * 9t 6t 2t 2t 3t 5t 7t 3t 7t t 1 t 1 7t 3 t t 1 t Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 51 Lovebook – Nhà sách học sinh Việt Nam (+) Nếu t , thay vào hệ (II) tìm x y (+) Nếu t 1, thay vào hệ (II) tìm x 1 y 3 (+) Nếu t , thay vào hệ tìm x y 43 43 3 Vậy hệ có nghiệm x , y 0;0 , 1;1 , 1; 1 , ; 43 43 Bài 100: Thấy x hai phương trình hệ mâu thuẫn Do x Lúc hệ tương đương với: 7y 1 7y y 1 y 1 xy x y x x x x y 2 2y 2 y 10 y 10 y y 10 y y 1 x x x x x x2 x x xy x y xy x y xy x y y 16 y y 1 y 1 1 x 13 y x 3 y 39 x x 13 x x x 13 y x 3 y 1 x , y 1; , 3; 1 2 13 y y (VN) 3 y y 1 Vậy hệ có hai nghiệm x , y 1; , 3; 1 Các em thảo luận thêm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nhóm facebook sau: https://www.facebook.com/groups/chinhphucphuongtrinh/ Chúc em học tốt! Chú ý: Em có tay Tốn inbox cho anh để nhận tài liệu hệ phần Hồ Văn Diên – Trường THPT Thái Lão – Hưng Nguyên – Nghệ An Trang 52 ... An 2 010 – 2 011 ) Cách giải khác lưu ý: Phương pháp hệ số bất định với hệ phương trình hai ẩn bậc hai trình bày Bài 258 tập “HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III)” Ta cộng phương trình thứ hai với K lần phương. .. x x 1? ?? ? ?1 y 2 x 1? ?? ? ?1 y Từ (1) y y ? ?1 y ? ?1? ?? 2 Từ (2) ? ?1 y3 ? ?1 y3 y ? ?1 Vì y ? ?1 x Vậy nghiệm hệ x ; y ? ?1; ? ?1? ?? 1? ?? Bài 39:... 2 15 15 t 15 ; Bài 36: Đặt y Từ phương trình thứ suy y ? ?1; 1 t 3 Phương trình thứ hai hệ trở thành: t 15 t 15 12 5 12 5 15 3t 5t