103 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xét hệ phương trình: (m 4)x (m 2)y 4 (2m 1)x (m 4)y m +−+= ⎧ ⎨ −+− = ⎩ Trả lời từ câu 1 đế câu 3. 1.Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất. a. m3≠− b. m3≠− và m2≠ c. m2≠− và m4 ≠ d. m2≠ e. Một kết quả khác. 2. Với giá trò nào của m thì hệ vô nghiệm. a. m = - 2 b. m = 2 c. m = - 3 d. m = 4 e. Đáp số khác. 3. Với giá trò nào của m thì hệ vô số nghiệm (x, y). a. m = 2 b. m = - 3 c. m = - 2 d. m = 1 e. m = 3 Xét hệ phương trình: ax 2y a 1 2x ay 2a 1 +=+ ⎧ ⎨ +=− ⎩ Trả lới các câu hỏi từ câu 4 đến câu 6. 4. Với giá trò nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất: a. a 2≠− b. a 2≠+ c. a 3≠± d. a 2 ≠ ± e. a 3≠− 5. Hệ thức độc lập giữa các nghiệm là: a. 22 2x 2y 5y x 3 0−+++= b. 22 2(x y ) 5y x 2 0−−++= c. 22 xy5yx10−++−= d. 22 2(x y ) 5y x 3 0++−−= 6. Với giá trò nguyên nào của a thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất. a. a1,=± a3=± b. a2,=± a4=± c. a 2 = ± d. a 3=± e. Đáp số khác. 104 7. Đònh a để hệ có nghiệm thỏa: 22 (x y )+ nhỏ nhất: 2x y 5 2y x 10a 5 += ⎧ ⎨ − =+ ⎩ a. 3 a 2 = − b. 1 a 2 = − c. a = 1 d. 1 a 2 = e. Một số khác. 8. Đònh a để hệ có nghiệm thỏa x, y lớn nhất. 2x y 5 2y x 10a 5 += ⎧ ⎨ − =+ ⎩ a. 3 4 b. 1 2 − c. 1 4 d. 1 e. 2 3 9. Cho hệ phương trình: mx 2y m 1 2x my 2m 5 + =+ ⎧ ⎨ + =+ ⎩ và các mệnh đề: (I) Hệ có nghiệm duy nhất khi m 2 ≠ (II) Hệ có vô số nghiệm khi m = - 2 (III) Hệ vô nghiệm khi m = 2 Các mệnh đề nào đúng ? a. Chỉ (I) b. Chỉ (II) c. Chỉ (III) d. Chỉ (II) và (III) e. Chỉ (I) và (III). 10. Tìm điều kiện để hệ có vô số nghiệm: 4x my 1 m (m 6)x 2y 3 m −+ =+ ⎧ ⎨ + +=+ ⎩ a. m = 3 b. m = - 3 c. m = 1 d. m = 2 e. m = - 2 11. Nghiệm của hệ phương trình: 22 xy xy 6 xy x y 5 ⎧ + = ⎪ ⎨ + += ⎪ ⎩ là cặp nào ? a. (1, 2) và (2, 1) b. (1, 2) c. (2, 1) d. (1, 1) e. Đáp số khác. 105 12. Cho hệ phương trình: 22 xxyya1 xy yx a ++=+ ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Đònh a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y > 0: a. 1 0a 4 <≤ b. a 2≥ c. a2≥ ∨ 1 0a 4 < ≤ d. a2≤ ∨ 1 0a 3 <≤ e. Đáp số khác. 13. Nghiệm của hệ phương trình: 2 2 x3x2y y3y2x ⎧ =+ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ là cặp nào ? a. (0, 0), (5, 5) b. (0, 0), (5, 5), (-1, 2) và (2, -1) c. (-1, 2), (2, -1), (0, 0) d. (5, 5), (3, 3) e. Một kết quả khác. 14. Hệ phương trình: 22 22 2x 3xy y 15 xxy2y8 ⎧ ++= ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ có bao nhiêu cặp nghiệm (x, y). a. 1 b. 3 c. 2 d. 4 e. Vô nghiệm. 15. Hệ phương trình: 22 x 2xy 3y 0 xx yy 2 ⎧ +−= ⎪ ⎨ +=− ⎪ ⎩ có cặp nghiệm là: a. (1,1)−− b. 31 , 22 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ c. (2, 2), 11 , 43 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ d. 31 ,(3,3) 22 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ e. 31 (1,1), , 22 ⎛⎞ −− − ⎜⎟ ⎝⎠ 106 16. Nghiệm của hệ phương trình: xyz9 xy yz zx 27 111 1 xyz ⎧ ⎪ ++= ⎪ ⎪ + += ⎨ ⎪ ⎪ ++= ⎪ ⎩ là bộ ba nào ? a. (2, 2, 2) b. (3, 3, 3) c. (4, 4, 4) d. (2, 2, 1) e. Một kết quả khác. 17. Đònh m để phương trình sau có nghiệm: x1 y m y 1x1 ⎧ + += ⎪ ⎨ + += ⎪ ⎩ a. m = 1 b. m = 2 c. m = - 1 d. m = 3 e. m = - 2. 18. Hệ phương trình: 22 xxyy4 xxyy2 ⎧ + += ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Có bao nhiêu cặp nghiệm (x,y). a. 3 b. 4 c. 2 d. 1 e. Cả 4 câu trên đều sai. 19. Nghiệm của hệ: 22 22 x2y2xy y2x2yx ⎧ − =+ ⎪ ⎨ − =+ ⎪ ⎩ là: a. (0, 0),(1, 1) b. (-3, -3) c. (2, 2),(0, 0) d. (0, 0), (-3, - 3) e. Một kết quả khác. 20. Số cặp nghiệm của hệ: 33 66 xy3x3y xy1 ⎧ − =− ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ là: a. 4 b. 1 c. 2 d. 3 e. Cả 4 câu trên đều sai. 107 HƯỚNG DẪN GIẢI 1b. m4 (m2) D 3(m3)(m2) 2m 1 m 4 +−+ ==+− −− x 4(m2) D (m2)(m8) mm4 −+ ==−+ − 2 y m4 4 D (m2) 2m 1 m + ==− − Nếu D0 3(m3)(m2)0 m 3≠⇔ + − ≠ ≠− và m2 ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất. 2c. Với m = - 3 thì D = 0, x D250:=− ≠ hệ vô nghiệm. 3a. Với m = 2 thì D = 0, hệ 6x 4y 4 3x 2y 2 3x 2y 2 3x 2y 2 −= −= ⎧⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ −= −= ⎩⎩ ⇒ Hệ có vô số nghiệm (x, y) với 3x – 2y = 2 hay: x tùy ý 3x 2 y 2 ⎧ ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ . 4d. Ta có: 2 a2 D a4 2a ==− Để hệ có nghiệm duy nhất 2 D0 a 40 a 2⇔≠⇔ −≠⇔≠±. 5e. Ta có: 22 a(x 1) 1 2y 12y 12x 2(x y ) 5y x 3 0 a(y 2) 1 2x x1 y2 −=− ⎧ −−− ⇒= ⇔−+−−= ⎨ −=−− −− ⎩ 6a. 2 x a12 D a3a2(a1)(a2) 2a 1 a + ==−+=−− − 2 y aa1 D 2a 3a 2 (a 2)(2a 1) 22a1 + ==−−=−+ − 108 Với a2 ≠ ±⇒ hệ có nghiệm duy nhất. x Da1 3 x1 Da2 a2 − == =− + + ; y D 2a 1 3 y2 Da2 a2 + == =− + + Vậy x, y nguyên a2⇔+ là ước số của 3 11 13 a2 a 31 33 − ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ − − ⎢ ⎢ ⇔+= ⇔= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ 7b. Ta có: 21 D 5, 12 == − x 51 D 5(2a1) 10a 5 2 = =− + + ; y 25 D 5(4a3) 110a 5 = =+ −+ Hệ có nghiệm: x 22 2 y D x2a1 D x y f(a) 20a 20a 10 D y4a3 D ⎧ ==−+ ⎪ ⎪ ⇒+= = + + ⎨ ⎪ ==+ ⎪ ⎩ f'(a) 40a 20, = + 11 f'(a) 0 a f 1 22 ⎛⎞ = ⇔=−⇒ − =− ⎜⎟ ⎝⎠ Bảng biến thiên: ⇒ Min 22 (x y 1)+=− khi 1 a 2 = − 109 8c. Hệ 2x y 5 x2y10a5 += ⎧ ⇔ ⎨ −+ = + ⎩ D = 5 , x 51 D 5(2a1) 10a 5 2 ==−+ + ; y 25 D 20a 110a 5 == −+ x 2 y D x2a1 D xy f(a) 8a 4a D y4a D ⎧ ==−+ ⎪ ⎪ ⇒⇒==−+ ⎨ ⎪ == ⎪ ⎩ f'(a) 16a 4,⇒=−+ 1 f'(a) 0 a , 4 =⇔= 11 f 42 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ Bảng biến thiên: 1 Max(xy) 2 ⇒= khi 1 a 4 = . 9d. Ta có: 2 m2 D m 4 (m 2)(m 2) 2m ==−=+− x m1 2 D (m 5)(m 2), 2m 5 m + ==−+ + y mm1 D (m2)(2m1) 22m5 + ==+− + . Nếu D 0 m 2 ≠⇔ ≠± thì hệ có nghiệm duy nhất. . Nếu D = 0 m2⇔=± + m = 2: x D120:=− ≠ hệ vô nghiệm + m = - 2: hệ trở thành: 2x 2y 1 2x 2y 1 −= ⎧ ⇒ ⎨ −= ⎩ hệ có vô số nghiệm. 110 10e. Để hệ có vô số nghiệm trước tiên phải có: 2 4m D 8m6m0 m62 − = =− − − = + 2 m6m80m2m4 ⇔ ++=⇔=−∨=− . Với m = - 2: hệ trở thành: 4x 2y 1 4x 2y 1 4x 2y 1 −− =− ⎧ ⇔ +=⇒ ⎨ += ⎩ hệ có vô số nghiệm m 2 ⇒=− (nhận). . Với m = - 4: Hệ trở thành: 3 4x 4y 3 2x 2y 2 2x 2y 1 2x 2y 1 ⎧ −− =− + = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ +=− ⎩ ⎪ + =− ⎩ Vô nghiệm. Vậy m = - 2 hệ có vô số nghòêm. 11a. Hệ SP 6 S 2 S 3 PS5 P3 P2 === ⎧⎧⎧ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨ += = = ⎩⎩⎩ . S = 2, P = 3 không thỏa 2 S4P0 − ≥ (loại) . S = 3, P = 2: x1 x2 y2 y1 = = ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ = = ⎩⎩ 12c. Hệ SPa1 Sa S1 SP a P 1 P a +=+ = = ⎧⎧⎧ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨ === ⎩⎩⎩ . Với Sa P1 = ⎧ ⎨ = ⎩ điều kiện để x > 0, y > 0 là: 2 2 S0 a0 P0 a2 a40 S40 ⎧ > > ⎧ ⎪ ⎪ >⇔ ⇔≥ ⎨⎨ −≥ ⎪ ⎪ ⎩ −≥ ⎩ 111 . Với S1 Pa = ⎧ ⎨ = ⎩ Điều kiện để x > 0, y > 0 là: 2 S0 a0 1 P0 0a 14a0 4 S40 ⎧ > > ⎪⎧ >⇔ ⇔<≤ ⎨⎨ −≥ ⎩ ⎪ −≥ ⎩ Vậy 1 a20a 4 ≥∨<≤ . 13b. 2 2 x3x2y (1) y3y2x (2) ⎧ =+ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ (1) – (2): (x - y)(x + y - 1) = 0 TH 1: y = x thay vào (1): 2 x5xx0 x5=⇔=∨= x0 y0;=⇒= x5 y5=⇒= TH 2: xy10 y1x+−=⇔=− thay vào (1): 22 x3x2(1x)xx20=+ −⇔−−= x1x2⇔=−∨= x1y2,=− ⇒ = x2 y 1=⇒=−. Vậy hệ có 4 nghiệm: (0, 0), (5, 5), (-1, 2) và (2, -1). 14d. Ta thấy x = 0, y = 0 không phải là nghiệm hệ phương trình: Đặt x = ky thì hệ phương trình đã cho trở thành: 22 22 (2k 3k 1)y 15 (1) (k k 2)y 8 (2) ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ Vì y 0≠ nên (1)và (2) cho 2 12 k9k220k2, k 11+−=⇔= =− . k = 2 2 x2y y 1 y 1⇒= ⇒ =⇔=±. Vậy nghiệm của hệ: (2, 1) ; (-2, -1) . k = - 11 thì : 2 11 x11yy y 14 14 =− ⇒ = ⇔ =± ⇒ nghiệm hệ: 11 1 11 1 ,;, 14 14 14 14 ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Tóm lại hệ có 4 cặp nghiệm. 112 15e. 22 x 2xy 3y 0 (1) x x y y 2 (2) ⎧ +−= ⎪ ⎨ +=− ⎪ ⎩ Ta xem (1) là phương trình ẩn số x ta có: 22 2 'y 3y 4y∆= + = xyx 3y ⇔ =∨=− Do đó hệ phương trình trở thành: xy x 3y yy yy 2 3y 3y yy 2 ==− ⎧⎧ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ + =− − − + =− ⎪⎪ ⎩⎩ xy 1 xy 3 2y y 2 x 2 x3y 1 y 8y y 2 2 ==− ⎡ ⎡ = ⎧ ⎪ ⎢ ⎢ ⎨ ⎧ =− ⎢ ⎪ ⎢ ⎩ =− ⎪ ⇔ ⇔⇒ ⎢ ⎪ ⎢ =− ⎧⎨ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎨ ⎢ ⎢= = ⎪ ⎢ ⎪ ⎩ ⎢ ⎣ ⎩ ⎣ Đáp số: 3 x 2 xy 1 1 y 2 ⎧ = − ⎪ ⎪ ==−∨ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 16b. Điều kiện x0, y0, z0≠≠≠. Hai vế của (3) nhân cho xyz: x y z 9 (1) xy yz zx xyz (4) xy yz zx 27(2) (2)và(4) xyz 27 (5) 111 1 (3) xyz ⎧ ⎪ ++= ⎪ ++= ⎪ ++= ⎨ ⇒= ⎪ ⎪ ++= ⎪ ⎩ Nhân 2 vế của (2) với x, ta được : 222 xy xyz zx 27x x(y z) xyz 27x++=⇔ ++= (6) (1) y z 9 x ⇔ +=− (7) Từ (5), (7) thế vào (6) : 2 x(9 x) 27 27x−+ = 32 3 x9x27x270(x3)0 x3 ⇔ −+−=⇔−=⇔= Thay x = 3 vào (1) và (5) : yz6 yz3 yz 9 += ⎧ ⇒==⇒ ⎨ = ⎩ Đáp số: x = y = z = 3. 113 17a. x1 y m(1) y1 x 1(2) ⎧ ++ = ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ Điều kiện của hệ: x0,y0≥≥ Thì y1 x 1 (2) x y0++ ≥⇒ ⇔ = = thay vào (1): ta được m = 1. Vậy hệ có nghiệm khi m = 1. 18c. Ta có: 22 2 xxyy4 sp4 (s x y, p xy) xxyy2 sp2 ⎧⎧ ++= −= ⎪⎪ ⇔=+= ⎨⎨ ++= += ⎪⎪ ⎩⎩ 2 s3s2 ss60 p5 p0 p2s ⎧ =− = ⎧⎧ +− = ⎪ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨ == =− ⎪ ⎩⎩ ⎩ chỉ nhận s2 p0 = ⎧ ⎨ = ⎩ thỏa điều kiện 2 s4p≥ ⇒ nghiệm x0 x2 y2 y0 == ⎧⎧ ∨ ⎨⎨ == ⎩⎩ 19d. 22 22 x2y2xy (1) y2x2yx (2) ⎧ −=+ ⎪ ⎨ −=+ ⎪ ⎩ (1) – (2) : 22 xy 3(x y)xy (xy)(3x3y1)0 1 xy 3 = ⎡ ⎢ − =−⇔ − + − =⇔ ⎢ + = ⎢ ⎣ Hệ cho 22 22 1 xy xy 3 (I): ;(II) x2y2xy xy 3(xy) ⎧ = += ⎧ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ −=+ ⎪ ⎪ ⎩ +=−+ ⎩ 2 xy x0 x 3 (I) y0 y 3 x3x = ⎧ ==− ⎧⎧ ⎪ ⇔⇔∨ ⎨⎨⎨ ==− −= ⎪ ⎩⎩ ⎩ 1 xy 3 (II) 5 xy 9 ⎧ += ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ không thỏa điều kiện 2 s 4p 0 (II)VN−≥⇒ Vậy nghiệm số hệ: (0, 0), (-3, -3) 114 20c. 33 66 x y 3x 3y (1) x y 1 (2) ⎧ −=− ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Ta có: 22 (1) (x y)(x xy y 3) 0 ⇔ − ++−= * 6 6 66 6 xy 111 xx 22 2 xy1 = ⎧ ⎪ ⇒=⇒=± =± ⎨ += ⎪ ⎩ ⇒ Có 2 cặp nghiệm của hệ : 66 6 2 11 1 1 ,, , 22 2 6 ⎛⎞⎛ ⎞ −− ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ * 22 66 xxyy30(3) x y 1 (2) ⎧ ++−= ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ (4) x1⇒≤và 22 y1 x y xy3 ≤ ⇒++≤. Dấu "=" xảy ra xy1⇔== hay x = y = - 1 không thỏa (2).