96 Bài 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC Có thể giải bằng các pp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, bất đẳng thức. I. CÁC VÍ DỤ. Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 2 xym (x 1)y xy m(y 2) += ⎧ ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 1. Giải hệ khi m = 4 2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nhiều hơn 2 nghiệm. (ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1997) Giải 1. m = 4 Hệ 2 xy4 (x 1)y xy 4(y 2) += ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 32 2 x4y x4y y4y80 (y2)(y2y4)0 =− =− ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ −+= − −−= ⎪⎪ ⎩⎩ 2 x4y x4y y2y1 5 y2y 2y40 =− =− ⎧ ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ =∨=± =∨ − −= ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⇒ nghiệm (2, 2); (3 5,1 5),(3 5,1 5)−+ +− b. Hệ 32 xmy (*) ymy2m0 (1) =− ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −+= ⎪ ⎩ (*) có hơn 2 nghiệm, (1) phải có 3 nghiệm. Đặt 32 f(y) y my 2m=− + 2 f'(y) 3y 2my⇒=− 2m f'(y) 0 y(3y 2m) 0 y 0 y 3 =⇔ − =⇔=∨= 97 Nếu m0:(1)≠ có 3 nghiệm phân biệt 2m f(0).f 0 3 ⎛⎞ ⇔ < ⎜⎟ ⎝⎠ 32 2 2m 2m 2m m 2m 0 33 27 3 6 3 6 mm m 222 ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎢⎥ ⇔ −+< ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ ⇔>⇔<− ∨> Vậy 36 36 mm 32 <− ∨ > hệ có hơn 2 nghiệm. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 22 xy 3x 2y 16 x y 2x 4y 33 −−= ⎧ ⎪ ⎨ + −−= ⎪ ⎩ (ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1999). Giải Đặt u x 1, y 2, = −∨=− hệ trở thành: 22 u(uv)23 uv38 ∨− + = ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Đặt suv,pu.v = += 2 p s 23 (1) s2p38 (2) −= ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ −= ⎪ ⎩ (1) và (2) 2 s1 85 s2s840 s1 85 ⎡ =+ ⇒−−=⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ . s1 85:(1) p24 85=+ ⇒ = + u,v⇒ là nghiệm phương trình: 2 sp0 α −α+ = Với 22 s 4p (1 85) 4(24 85) 10 2 85 0 − =+ − + =−− < ⇒ VN . s1 85:(1) p24 85=− ⇒ = − u,v⇒ là nghiệm phương trình: 2 sp0 α −α+ = Với 2 s4p102850 − =− + > 98 18510285 38510285 ux 22 18510285 58510285 vy 22 ⎧⎧ −+−+ −+−+ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⇒⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ − −−+ − −−+ == ⎪⎪ ⎩⎩ hoặc: 18510285 38510285 ux 22 18510285 58510285 vy 22 ⎧⎧ −−−+ −−−+ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⇒⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ − +−+ − +−+ == ⎪⎪ ⎩⎩ Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 1 x2y5 x2y x2y a x2y ⎧ + += ⎪ − ⎪ ⎨ + ⎪ = ⎪ − ⎩ (ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1995) Giải Đặt 1 u0,x2y x2y =≠∨+ − uv5 u.v a += ⎧ ⇒ ⎨ = ⎩ nên u, v là nghiệm phương trình: 2 5a0 (*) 25 4a α−α+ = ∆= − Để phương trình có nghiệm 25 0a 4 ⇔∆≥ ⇔ ≤ * 25 a 4 ≤ và a 0≠ : nghiệm 12 21 uu vv =α =α ⎧⎧ ∨ ⎨⎨ =α =α ⎩⎩ với 12 , α α là nghiệm phương trình (*). * a = 0: uv5 u.v 0 += ⎧ ⎨ = ⎩ mà u0 0,u5≠⇒∨= = 99 ⇒ hệ 1 1 1 x 5 x2y 10 x2y 5 1 x2y0 y x2y0 20 ⎧ ⎧ = ⎧ ⎪ = −= ⎪⎪⎪ − ⇔⇔ ⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪ += =− += ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ * 25 a 4 > hệ vô nghiệm. II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 5.1. Giải hệ phương trình: 32 32 32 xy y y2 yz z z2 zx x x2 ⎧ = ++− ⎪ ⎪ = ++− ⎨ ⎪ = ++− ⎪ ⎩ (ĐH Ngoại Thương TPHCM năm 1996). 5.2. Giải hệ phương trình: 2 22 xxy6 xy5 ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ (ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1996). 5.3. Giải hệ: 22 82 xy 9 110 10 1 xxyy y3 3 y ⎧ += ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + +−+=++ ⎪ ⎩ 100 Hướng dẫn và giải tóm tắt 5.1. Ta có: 32 32 32 xy y y2 (1) yz z z2 (2) zx x x2 (3) ⎧ =++− ⎪ ⎪ =++− ⎨ ⎪ =++− ⎪ ⎩ 2 (1) x y(y y 1) 2⇔= ++− . Xét y 0 x 2 z 2 y 2≤ ⇒ ≤− ⇒ ≤− ⇒ ≤− 323232 (1) (2) (3) y y x x z z 6++⇒+++++= 222 y(y 1) x(x 1) z(z 1) 6 (4)⇔+++++= Vì x 2,y 2,z 2 y 1 0,x 1 0,z 1 0≤− ≤− ≤− ⇒ + < + < + < 222 y (y 1) x (x 1) z (z 1) 0 (4)⇒+++++<⇒ không thỏa. . Xét y 0 : z 0>⇒> và x > 0 . 32 32 0y1: y y y3 0x1 x x x3 0z1<<⇒ + +<⇒<<⇒ + +<⇒<< 323232 yyxxzz6:(4)⇒+++++< không thỏa. . y > 1 : 32 xy y y21 z1⇒= + +−>⇒> 3232 32 zzxxyy6:⇒+++++> (4) không thỏa. * y = 1 : (1) x1⇒= và (3) z1,⇒= (2) y1⇒= Vậy hệ chỉ có 1 nghiệm là x = y = z = 1 5.2. 2 22 xxy6 (1) xy5 (2) ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ (1) 2 6x y(x0) x − ⇔= ≠ thế vào (2): 22 2 2 (6 x ) x5 x − += 42 2 2x 17x 36 0 x 4,⇔− +=⇔= 2 9 xx2, 2 =⇔=± 32 x 2 =± y1,⇒= y1,=− 2 y, 2 = 2 y 2 =− . 101 5.3. 22 82 xy (1) 9 110 10 1 xxyy (2) y3 3 y ⎧ += ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ −+= ++ ⎪ ⎩ (2) 110 1 10 xxyx xy y3 y 3 ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔ ++ −+= + + −+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 10 110 yy1 1 y0 x0 3 0 y3 y y 10 1 10 10 1 yx xy0 yx 3y 3 3y ⎧ ⎧++ ⎧ ⎪ ++≥ +≥ ⎪ ⎪ ≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ ⎨ ⎪⎪ ⎪ +≥≥− −+≥ + ≥≥− ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ Xét 2 trường hợp: TH 1: y < 0 Hệ 2 2 2 22 10 10 yy10 yy10 3 3 10 10 82 yx0 yx y 3 39 ⎧ ⎧ ++≤ ++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎛⎞ ⎪⎪ +≥> + ≥=− ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝⎠ ⎩ 2 2 2 2 2 82 1 10 y3x y yy10 10 93 3 yy10 10 3 182 yy10 yxy3 3 39 ⎡ ⎧ = −⇒ = − = ++≤ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⇔⇔++=⇔ ⎨ ⎢ ⎪ ++≥ ⎢ = −⇒= − = ⎪ ⎩ ⎢ ⎣ Là nghiệm của hệ. TH 2: y > 0: 22 82 x y 9 = − + Nếu 2 82 82 100 10 x0 x y y 9993 ≥⇒= − < < < + 102 2 182 x0 0x y9 10 82 xy0 yx0 3 9 ⎧ ⎧ +≥ ≤< ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇒⇒ ⎨⎨ ⎪⎪ −+> =−> ⎪⎪ ⎩ ⎩ + Neáu x < 0 22 82 10 82 1 xy0xy0, yy 93 9y ⇒=− − <⇒ −+> ∀⇒ − ≤ 2 2 82 1 y 9 y ⇔−≤ (vì y > 0). 2 42 2 y3 y9 82 yy10 1 1 9 y y 3 9 ⎡ ≥ ⎡ ≥ ⎢ ⎢ ⇔− +≥⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ≤ ≤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ Vaäy heä coù nghieäm: 22 2 2 82 82 1 3y (do x y ) 0y 99 3 82 82 xy xy 9 9 ⎧ ⎧ ≤≤ + = <≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ =− − =− − ⎪⎪ ⎩ ⎩ . 58510285 vy 22 ⎧⎧ −−−+ −−−+ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⇒⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ − +−+ − +−+ == ⎪⎪ ⎩⎩ Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 1 x2y5 x2y x2y a x2y ⎧ + += ⎪ − ⎪ ⎨ + ⎪ = ⎪ − ⎩ (ĐH Kinh Tế TPHCM năm. (vì y > 0). 2 42 2 y3 y9 82 yy10 1 1 9 y y 3 9 ⎡ ≥ ⎡ ≥ ⎢ ⎢ ⇔− +≥⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ≤ ≤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ Vaäy he coù nghieäm: 22 2 2 82 82 1 3y (do x y ) 0y 99 3 82 82 xy xy 9 9 ⎧ ⎧ ≤≤ + = <≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ∨ ⎨⎨ ⎪⎪ =−