Các phương pháp giải phương trình logarit và mũ

www.VNMATH.com CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LƠGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHỦ ĐỀ I:PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: a = a >   a f ( x ) = a g ( x ) ⇔  0 < a ≠      ( a − 1)  f ( x ) − g ( x )  =  f ( x ) = g ( x )   II VD minh hoạ: ( VD1: Giải phương trình: + x − x ) sin ( = + x − x2 ) − cos x Giải: Phương trình biến đổi dạng: −1 < x < 2(*) 2 + x − x >   ⇔   x − x − = 0(1)   + x − x − sin x − + cos x =     sin x + cos x = 2(2) ( )( ) 1± thoả mãn điều kiện (*) π π π π  cos x = ⇔ sin x  x +  = ⇔ x + = + 2kπ ⇔ x = + 2kπ , k ∈ Z Giải (2): sin x + 2 3  Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: π  π  π π −1 < + k π < ⇔  −1 −  < k <  −  ⇔ k = 0, k ∈ Z ta nhận x3 = 2π  6 2π  6 1± π Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1,2 = ; x 3= Giải (1) ta x1,2 = VD2: Giải phương trình: ( x − 3) x −5 x + ( = x2 − x + Giải: Phương trình biến đổi dạng: ( x − 3) ) x2 + x − x −5 x + 2 = ( x − )    x − = x = x =   ⇔  0 < x − ≠ ⇔  x < ≠ ⇔ x =  3x − x + = x + x −   x − x + 10 =     x2 + x −4 = ( x − 3) 2( x + x − 4) Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x=4, x=5 BÀI TỐN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình:  0 < a ≠ 1, b > a f ( x) = b ⇔   f ( x ) = log a b  www.VNMATH.com Dạng 2: Phương trình : a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ log a a f ( x ) = log a b f ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ).log a b f ( x) = log b b g ( x ) ⇔ f ( x).log b a = g ( x) log b a II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x2 −2 x = 2 Giải: Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x −2 x = log ⇔ x − x = log − ⇔ x − x + − log = , Ta có ∆ = − + log = log > suy phương trình có nghiệm x = ± log VD2: Giải phương trình: x −1 x = 500 Giải: Viết lại phương trình dạng: x x.8 x −1 = 500 ⇔ x.2 x −1 x = 53.22 ⇔ x −3.2 x −3 x =1 Lấy logarit số vế, ta được: x −3    x −3  x −3 log  x −3.2 x  = ⇔ log x −3 + log  x  = ⇔ ( x − 3) log + log 2 = x     x = 1  ⇔ ( x − 3)  log +  = ⇔  x = − x  log   Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x = 3; x = − log Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hố BÀI TỐN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: ( k −1) x .α1a x + α = Dạng 1: Phương trình α k + α k −1a ( ) k k −1 Khi đặt t = a x điều kiện t>0, ta được: α k t + α k −1t α1t + α = Mở rộng: Nếu đặt t = a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0 Khi đó: a f ( x ) = t , a f ( x ) = t , , a kf ( x ) = t k − f ( x) = Và a t x x Dạng 2: Phương trình α1a + α a + α = với a.b=1 α x Khi đặt t = a x , điều kiện t0, suy b t www.VNMATH.com Dạng 3: Phương trình α1a x + α ( ab ) + α 3b x = chia vế phương trình cho b x >0 x 2x x a a ( a , ( a.b ) ), ta được: α1   + α   + α = b b x 2x x a Đặt t =   , điều kiện t (hoặc a f , ( a.b ) ) f f a - Đặt t =   điều kiện hẹp t>0 b Dạng 4: Lượng giác hố Chú ý: Ta sử dụng ngơn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t = a f ( x ) vì: - Nếu đặt t = a x t>0 điều kiện - Nếu đặt t = x +1 t>0 điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải t ≥ Điều kiện đặc biệt quan trọng cho lớp toán có chứa tham số II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: 4cot g x + sin x − = (1) Giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z (*) = + cot g x nên phương trình (1) biết dạng: Vì sin x cot g x 4cot g x + 2.2 − = (2) Đặt t = 2cot g x điều kiện t ≥ cot g x ≥ ⇔ 2cot g x ≥ 20 = Khi phương trình (2) có dạng: t = t + 2t − = ⇔  ⇔ 2cot g x = ⇔ cot g x =  t = −3 thoả mãn (*) π ⇔ cot gx = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z 2 Vậy phương trình có họ nghiệm x = ( VD2: Giải phương trình: + ( ) x π + kπ , k ∈ Z ( −3 2− ) ( ) x +2=0 )( ) Giải: Nhận xét rằng: + = + ; + − = ( ) x ( Do đặt t = + điều kiện t>0, thì: − ) x ( = + t ) x = t2 Khi phương trình tương đương với: t = t − + = ⇔ t + 2t − = ⇔ ( t − 1) t + t + = ⇔  t t + t + = 0(vn) ( ( ⇔ 2+ ) x ) =1⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x=0 www.VNMATH.com Nhận xét: Như ví dụ việc đánh giá: ( 7+4 = 2+ ) ( + 3) ( − 3) =1 Ta lựa chọn ẩn phụ t = ( + ) x cho phương trình Ví dụ ta miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thơng qua đánh giá mở rộng a.b=1, là: a b a.b = c ⇔ = tức với phương trình có dạng: A.a x + B.b x + C = c c Khi ta thực phép chia vế phương trình cho c x ≠ , để nhận được: x x x a b a A   + B   + C = từ thiết lập ẩn phụ t =   , t > suy c c c 2 VD3: Giải phương trình: 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + = Giải: Chia vế phương trình cho 22 x+ ≠ ta được: 2 22 x −2 x −1 − 9.2 x −2 x − + = ⇔ 22 x − x − x − x + = x2 − x x2 − x ⇔ 2.2 − 9.2 +4=0 Đặt t = x − x điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với: t =  x − x = 22  x2 − x =  x = −1  ⇔ 2 2t − 9t + = ⇔ ⇔ ⇔ t =  x − x = −1  x =  x − x = 2−1    x b   = c t Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=2 Chú ý: Trong ví dụ trên, tốn khơng có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ t>0 thấy với t = vô nghiệm Do tốn có chứa tham số cần xác định điều kiện cho ẩn phụ sau: 1 1  x2 − x x −x =x−  − ≥− ⇔ ≥ 24 ⇔ t ≥ 2 4  12 3x x VD4: Giải phương trình: − 6.2 − 3( x−1) + x = 2 Giải: Viết lại phương trình có dạng:  x 23   x   − x  −  − x  = (1)     23  x   3x Đặt t = − x ⇒ − x =  − x  + 3.2 x  x − x 2      = t + 6t  x Khi phương trình (1) có dạng: t + 6t − 6t = ⇔ t = ⇔ − x = x Đặt u = , u > phương trình (2) có dạng: u = −1(1) u u − = ⇔ u2 − u − = ⇔  ⇔ u = ⇔ 2x = ⇔ x = u = Vậy phương trình có nghiệm x=1 Chú ý: Tiếp theo quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá x www.VNMATH.com ) ( 2x 2x x VD5: Giải phương trình: + − = + − 2 Giải: Điều kiện − 22 x ≥ ⇔ 22 x ≤ ⇔ x ≤  π x Như < x ≤ , đặt = sin t , t ∈  0;   2 Khi phương trình có dạng: ) ( + − sin t = sin t + − sin t ⇔ + cos t = ( + cos t ) sin t ⇔ cos 3t 3t  t t t t = sin t + sin 2t ⇔ cos = 2sin cos ⇔ cos  − sin  = 2 2 2 2 t   π cos = 0(1)  x  t =  = ⇔  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ x =  x π  3t  t = 2 =  sin =    Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=0 BÀI TỐN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x Phương pháp thường sử dụng phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức cịn lại khơng biểu diễn triệt để qua ẩn phụ biểu diễn cơng thức biểu diễn lại phức tạp Khi thường ta phương trình bậc theo ẩn phụ ( theo ẩn x) có biệt số ∆ số phương II VD minh hoạ: 2x x x x VD1: Giải phương trình: − + + 9.2 = ( ) Giải: Đặt t = 3x , điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với: 2 t = t − x + t + 9.2 x = 0; ∆ = x + − 4.9.2 x = x + ⇒  x t = Khi đó: + Với t = ⇔ 3x = ⇔ t = ( ) ( ) ( ) x 3 + Với t = x ⇔ 3x = x ⇔   = ⇔ x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2, x=0 x2 x2 VD2: Giải phương trình: + x − 3 − x + = ( ) Giải: Đặt t = 3x điều kiện t ≥ x ≥ ⇔ 3x ≥ 30 = 2 Khi phương trình tương đương với: t + x − t − x + = 2 ( ) 2 t = ∆ = x − − −2 x + = x + ⇒  t = − x Khi đó: + Với t = ⇔ 3x = ⇔ x = log ⇔ x = ± log ( ) ( ) ( ) + Với t = − x ⇔ 3x = − x ta có nhận xét: www.VNMATH.com VT ≥ VT = 3x =  ⇒ ⇔ ⇔ x=0  VP ≥ VP = 1 − x =  Vậy phương trình có nghiệm x = ± log 2; x = BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ phương trình khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích II VD minh hoạ: 2 VD1: Giải phương trình: x −3 x + + x + x + = 42 x +3 x + + 2 2 Giải: Viết lại phương trình dạng: x −3 x + + 42 x + x + = x −3 x + 2.42 x + x + + u = x −3 x +  , u, v > Đặt  x2 +6 x +5 v =  Khi phương trình tương đương với: u + v = uv + ⇔ ( u − 1) ( − v ) = x = x =  x − 3x + = =1 u =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x +6 x +5  x = −1 v =1 2x + 6x + 4  =1      x = −5 Vậy phương trình có nghiệm 2 VD2: Cho phương trình: m.2 x −5 x +6 + 21− x = 2.26 −5 x + m(1) a) Giải phương trình với m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải: Viết lại phương trình dạng: x −3 x + m.2 x −5 x + 2 + 21− x = 27 −5 x + m ⇔ m.2 x 2 −5 x + + 21− x = ( ( x − x + 6) + 1− x ) +m ⇔ m.2 x −5 x + + 21− x = x −5 x + 6.21− x + m u = x −5 x +  , u , v > Khi phương trình tương đương với: Đặt:  1− x v =  x =  x −5 x + =  u = mu + v = uv + m ⇔ ( u − 1) ( v − m ) = ⇔  ⇔ ⇔ x =  1− x = m v = m  1− x2 2 = m(*) 2 Vậy với m phương trình ln có nghiệm x=3, x=2 a) Với m=1, phương trình (*) có dạng: 21− x = ⇔ − x = ⇔ x = ⇔ x = ±1 Vậy với m=1, phương trình có nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x= ± b) Để (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (*) có nghiệm phân biệt khác m > m > ⇔ (*) ⇔  Khi điều kiện là: 1 − x = log m  x = − log m www.VNMATH.com m > m < m>0   1 − log m >   1  ⇔ m ≠ ⇔ m ∈ ( 0; ) \  ;    256  1 − log m ≠    1 − log m ≠ m ≠ 256  1  Vậy với m ∈ ( 0; ) \  ;  thoả mãn điều kiện đầu  256  BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ Trong hệ k-1 phương trình nhận từ mối liên hệ đại lượng tương ứng Trường hợp đặc biệt việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x, ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu tượng phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f  x, ϕ ( x )  =    y = ϕ ( x)  Bước 3: Đặt y = ϕ ( x ) ta biến đổi phương trình thành hệ:   f ( x; y ) =  II VD minh hoạ: 2x 18 VD1: Giải phương trình: x −1 + x = x −1 1− x +1 + 2 + + 18 + 1− x = x −1 1− x Giải: Viết lại phương trình dạng: x −1 +1 +1 + + x −1  u = + , u, v > Đặt:  1− x v = +  ( )( ) x −1 1− x x −1 1− x Nhận xét rằng: u.v = + + = + + = u + v Phương trình tương đương với hệ: 18 8 u = v = u + 8v = 18  + = ⇔ u v u + v ⇔  u = 9; v = u + v = uv u + v = uv   x −1  2 + = ⇔ x =1 + Với u=v=2, ta được:  1− x 2 + =   x −1 + = 9  + Với u=9 v = , ta được:  1− x 9⇔x=4 +1 =   Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 x=4 VD2: Giải phương trình: 22 x − x + = Giải: Đặt u = x , điều kiện u>0 Khi phương trình thành: u − u + = Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ ⇒ v = u + www.VNMATH.com Khi phương trình chuyển thành hệ: u = v + u − v =  ⇔ u − v2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v ) ( u + v ) = ⇔   v = u + u + v + =  u = ⇔ 2x = ⇔ x = + Với u=v ta được: u − u − = ⇔  u = −2(1) + Với u+v+1=0 ta được:  −1 + 21 u = 21 − 21 − u2 + u − = ⇔  ⇔ 2x = ⇔ x = log 2  −1 − 21 (1) u =  21 − Vậy phương trình có nghiệm x=8 x= log BÀI 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SÔ I Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng: Hướng1: Thực bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: + Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k x = x0 nghiệm + Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x ) = k phương trình vơ nghiệm + Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm Vậy x = x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) Là đồng biến hàm số y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x = x0 Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (3) ⇔ u = v với ∀u, v ∈ D f II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x + 2.3log x = (1) Giải: Điều kiện x>0 Biến đổi phương trình dạng: 2.3log x = − x (2) Nhận xét rằng: + Vế phải phương trình hàm nghịch biến + Vế trái phương trình hàm đồng biến Do phương trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương t rình (2) 2.3log2 x = − www.VNMATH.com Vậy x=1 nghiệm phương trình ( ) 1 VD2: Giải phương trình: log x − x + + +   5 x ≤1 Giải: Điều kiện: x − x + ≥ ⇔  x ≥ 2 x − x −1 = (1) Đặt u = x − 3x + , điều kiện u ≥ suy ra: x − x + = u ⇔ x − x − = − u 1− u 1 Khi (1) có dạng: log ( u + ) +   5 =2 1− x 1 Xét hàm số: f ( x ) = log3 ( x + ) +   = log3 ( x + ) + x 5 + Miền xác định D = [ 0; +∞) 1 + x.5 x ln > 0, ∀x ∈ D Suy hàm số tăng D + Đạo hàm: f = ( x + ) ln Mặt khác f ( 1) = log ( + ) + = Do đó, phương trình (2) viết dạng: f ( u ) = f ( 1) ⇔ u = ⇔ x − x + = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3± 3± 2 VD2: Cho phương trình: x + mx + − x +4 mx+2 = x + 2mx + m a) Giải phương trình với m = − b) Giải biện luận phương trình Giải: Đặt t = x + 2mx + phương trình có dạng: 5t + t = 52t + m −2 + 2t + m − (1) t Xác định hàm số f ( t ) = + t + Miền xác định D=R + Đạo hàm: f = 5t ln + > 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số tăng D Vậy (1) ⇔ f ( t ) = f ( 2t + m − ) ⇔ t = 2t + m − ⇔ t + m − = ⇔ x + 2mx + m = (2) x = 4 2 a) Với m = − ta được: x + x − = ⇔ x − x − = ⇔  x = − 5 5  Vậy với m = − phương trình có 2nghiệm x = 2; x = − 5 b) Xét phương trình (2) ta có: ∆ ' = m − m + Nếu ∆ ' < ⇔ m − m < ⇔ < m < Phương trình (2) vơ nghiệm ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu ∆ ' = ⇔ m=0 m=1 với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0 với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1 www.VNMATH.com m > + N ếu ∆ ' > ⇔  phương trình (2) có nghiệm phân biệt x1,2 = −m ± m − m m8 x2 − x +3 VD2: Với giá trị m phương trình:   = m − m2 + có nghiệm phân biệt   5 Giải: Vì m − m + > với m phương trình tương đương với: x − x + = log m − m + ( ) ( ) 2 Đặt log m − m + = a , đó: x − x + = a Phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt 10 www.VNMATH.com  log x − >  log x >   x > 27     x > 27  log x − log x < ⇔  log x < log x ⇔   x > ⇔ ⇔  log x <   x < 27 log x − < 0 < x <     log x − log x >  log x > log x  0 < x <    Vậy bất phương trình có nghiệm tập ( 0;1) ∪ ( 27; +∞ ) BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ bất phương trình biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích, lưu ý:  A >  A >    B >  B < A.B > ⇔ A.B < ⇔   A <  A <    B <  B >   II VD minh hoạ: x Giải bất phương trình: log x.log x < log x − log Giải: Điều kiện x>0 (*) Viết lại bất phương trình dạng: log x.log x − log x − log x − < u = log x Đặt  Khi bất phương trình có dạng: v = log x uv − 2u − v − < ⇔ ( u − 1) ( v − ) <  log x >  u − >  x >    thoả mãn (*) v − < log x < x < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3< x <  log x <  u − <  x <        v − >  x >  log x > Vậy bất phương trình có nghiệm 3 VD2: Giải bất phương trình: log x − x + log ( x + 1) 3  x >  −1 < x <    x < 0 < x <  2  0 < x − x + ≠   ⇔ x ≠ ⇔ Giải: Điều kiện:  1 < x < 0 < x + ≠   x ≠   x >  −1 < x ≠   2 Ta có: A = log x − x + > ⇔ x − x + < 3 B = log ( x + 1) > ⇔ x + < ⇔ x < ⇔ x − 3x + < ⇔ < x < Từ ta có bảng xét dấu sau: + Với -1  Kết hợp với trường hợp xét ta x>5  1  3 Vậy bất phương trình có nghiệm:  0;  ∪ 1;  ∪ ( 5; +∞ )  2  2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG I Phương pháp: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa 41 www.VNMATH.com Bước 2: Sử dụng phép để nhận từ hệ phương trình theo ẩn x y (đơi theo ẩn x, y) Bước 3: Giải phương trình nhận phương pháp biết phương trình chứa thức Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ phương trình II VD minh hoạ:  4− x (1)  x + 3y = VD1: Giải hệ phương trình:  x  y + log x = 1(2)  ( ) x +1 ≥  Giải: Điều kiện:  − x ≥ ⇔ < x ≤ x >  1− log x y Từ phương trình (2) ta được: y = − log x ⇔ = 3 = log3 x = (3) x Thế (3) vào (1) ta được: 3 4− x ⇔ x +1 −1 = − x ⇔ x + = − x +1 x +1 −1 = x x x − ≥ x ≥  ⇔ 4− x = x−2 ⇔  ⇔ ⇔ x = 3⇒ y = 4 − x = ( x − )  x − 3x =  Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (3;0) 4 x − y =  VD2: Giải hệ phương trình:  log ( x + y ) − log ( x − y ) =  2 x + y > Giải: Điều kiện:  (*) 2 x − y > Từ phương trình thứ hệ lấy lôgarit số hai vế ta được: log x − y = log 2 ⇔ log ( x + y ) + log ( x − y ) = ( ) ( ) ⇔ log ( x + y ) = − log ( x − y ) Thế vào phương trình thứ hai ta được: − log ( x − y ) − log 2.log ( x − y ) = ⇔ ( + log ) log ( x − y ) = ⇔ log ( x − y ) = ⇔ x − y =  x = 4 x − y = 2 x + y =  ⇔ ⇔ Vậy ta hệ mới:  thoả mãn điều kiện (*) 2 x − y = 2 x − y = y =   Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Phương pháp: Phương pháp sử dụng nhiều để giải hệ lôgarit việc sử dụng ẩn phụ Tuỳ theo dạng hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp Ta thực theo bước sau: 42 www.VNMATH.com Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu hệ đại số biết cách giải (hệ đối xứng loại I, loại II hệ đẳng cấp bậc hai) Bước 3: Giải hệ nhận Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu II VD minh hoạ: y  x+x  y = 32 Giải hệ phương trình:  log ( x − y ) = − log ( x + y )  x − y >  Giải: Điều kiện:  x + y >  x; y ≠    x y   x y 2  +  = 2  +  = 5(1) ⇔  y x Biến đổi hệ phương trình dạng:   y x  2   2 log x − y =  x − y = 3(2) ( ) x y ⇒ = Khi (1) có dạng: y x t t = x = 2y  1 2  t +  = ⇔ 2t − 5t + = ⇔  ⇔  t =  t  y = 2x   y =1⇒ x = 2 + Với x=2y ⇒ (2) ⇔ y − y = ⇔   y = −1 ⇒ x = −2(1) Giải (1): Đặt t = + Với y=2x ⇒ (2) ⇔ x − y = vô nghiệm Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;1) BÀI TỐN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Phương pháp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn theo ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết Bước 3: Giải hệ nhận II VD minh hoạ: log x + = + log y  Giải hệ phương trình:  log y + = + log x  Giải: Điều kiện x; y>0 Biến đổi tương đương hệ dạng: log ( x + 3) = ( + log y ) log ( x + 3) = ( + log y )   ⇔ (I)  log ( y + 3) = ( + log x )  ( + log x ) = log ( y + 3)   ⇒ log ( x + 3) + log x = log ( y + 3) + log y (1) Xét hàm số: f ( t ) = log ( t + 3) + log t Miền xác định D = ( 0; +∞ ) 43 www.VNMATH.com Đạo hàm f ( t ) = + > 0, ∀t ∈ D ⇒ hàm số đồng biến ( t + 3) ln t.ln Vậy phương trình (1) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x = y  Khi hệ (I) trở thàmh:  (II) log ( x + 3) = ( + log x ) (2)  2 + Giải (2): ⇔ x + = 22( 1+ log3 x ) ⇔ x + = 4.2log3 x ⇔ x + = 4.2log3 2.log2 x ⇔ x + = ( x ) log3 ⇔ x + = 4.x log3 ⇔ x1−log3 + 3.x − log3 = (3) 1− log − log Xét hàm số g ( x ) = x + 3.x Miền xác định D = ( 0; +∞ ) − log −1− log3 < 0∀x ∈ D ⇒ hàm số nghịch biến Đạo hàm: g ' ( x ) = ( − log ) x − 3log 4.x Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương trình bới đó: 11−log3 + 3.11−log3 = ⇔ = x = y ⇔ x = y =1 Khi hệ (II) trở thành:  x = Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: II VD minh hoạ: e x − e y = ( log y − log x ) ( xy + 1) (1)  VD1: Giải hệ phương trình:  2  x + y − 1(2)  Giải: Điều kiện x; y>0 *) Giải (1) ta có nhận xét sau: VT( 1) >  ⇒ (1) vô nghiệm x > y ⇔ log x > log y , đó:  - Nếu VP( 1) <   VT( 1) <  x < y ⇔ log x < log y , đó:  ⇒ (1) vơ nghiệm - Nếu VP( 1) >   - Vậy x=y nghiệm (1) x = y x = y x = y  ⇔ ⇔ ⇔x= y= Khi hệ có dạng:  2  x + y = 2 x =  x =   1  ; Vậy hệ có cặp nghiệm    2 log ( x + y ) = x + y −  VD2: Giải hệ phương trình:  log x + y + ( xy + 1) = x + y −  44 www.VNMATH.com x + y > x + y >  ⇔ Giải: Điều kiện:  xy + > 0 < x + y + ≠  xy + >  Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log t = t − u Đặt u = log t ⇒ t = phương trình có dạng:  log t = u = x + y = Bernoulli → ⇔ ⇔ 2u = u + ←  u = x + y =  log t = x + y = x + y =  x + y =  x = 0; y =  ⇔ ⇔ ⇔ + Với x+y=1 hệ có dạng:  log ( xy + 1) =  xy + =  xy =  x = 1; y =  x + y = x + y = x + y =  ⇔ ⇔ + Với x+y=2 hệ có dạng:    xy = log ( xy + 1) =  xy + = Khi x; y nghiệm phương trình: t − 2t + = vô nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) (1;0) PHƯƠNG TRÌNH MŨ x +1 x+4 x+2 1) + = + 2) x +8 − 4.3 x +5 + 27 = x 3) 4.3 x − 9.2 x = 5.6 4) 8.3 x + 3.2 x = 24 + x 72x x 5) = 6.( 0.7 ) + x 100 6) 125 x + 50 x = x +1 7) x + x.3 x + 31+ x = x x + x + x −1 8) x.8 x = 500 9) x +1 + x −2 − x −3 + x −4 = 750 10) 7.3 x +1 − x + = x + − x +3 11) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 4x + 2x − = 25 X − 6.5 x +1 + 53 = x + 5.3 x + = x − 25.3 x − 54 = 2+ x + 32− x = 30 2( x +1) − 82.3 x + = x + 9.5 x = x + 9.7 x 2 x −1 − 36.3 x −3 + = 2 x +1 − x +1 − = 39) x + + x = x +1 40) x = 32 x + 2.5 x + 2.3 x 2 2 41) x −1 − x = x −1 − x + 45 www.VNMATH.com 12) 13) 14) 15) 16) x = x −1 x +1 − 3.5 x −1 = 110 3.4 x + 2.9 x = 5.6 x x +8 − 4.3 x +5 + 27 = 7.3 x +1 − x + = x + − x +3 x 17) 6.9 − 13.6 ( 18) + x −1 ) + x x − x +1 ( ( + 6.4 = ( + 2− x ) x − x −1 101 10 − ( =0 21) x − x + = x + − 32 x −1 22) x + log − x = ( = ) ( x+2 ) ) ( )( x ) ) 45) + x 19) + − + 2 20) 2 x −3 = x +3 x −5 x 2− x x x −1 42) = 10 x x 43) + + 16 − = x +3 44) 3.16 x + 2.81x = 2.36 x 23) + + + − 24) 25 x + 15 x = 2.9 x 25) x −2 + 16 = 10.2 x −2 2 26) 2 x +1 − 9.2 x + x + 2 x + = 12 3x x 27) − 6.2 − 3( x −1) + x = 2 ) x ( = 2+ ) x 28) + = x 29) x = 128 ( ( lo2 x ) + x −      log x = 1+ x2 ) 46) x x + − x − = x + − x − 47) x log = x 3log x − x log x 48) x.8 x + = 49) 2.x log x + x −3 log8 x − = 50) x + x log = x log 51) ( x − 2) log 4( x − ) = 4( x − ) 52) lg10 x − lg x = 2.3lg100 x x x x 1 1 1 53) −   + x −   −   = −2 x + 3 2 6 54) 5.3 x −1 − 7.3 x −1 + − 6.3 x + x +1 = 55) 12.3 x + 3.15 x − x +1 = 20 56) log 2 x − x log = 2.3log x 57) x + x = x + 2 58) x −1 − x − x = ( x − 1) x PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1) log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log 2) log 5− x x − x + 65 = 3) lg + lg( x + 10 ) − = lg( 21x − 20 ) − lg( x − 1)  1 1  1  4) lg x − lg x −  = lg x +  − lg x +   2 2  8  2 5) lg x − lg x = lg x − ( ) 6) log x − log x + = x2 =8 7) log ( x ) + log 8) log (4 x ) ( 43) log 2+ 44) ( ( ) x + x = log x ) − − log x − = ) x + + x + log 2− log 2 + log ( x ) = 45) log x 3 ( ( ) =0 47) log x + log x = log log 225 = + log ( x + 1) 48) log ( x − 1) + log x +3 46 ) x2 +1 − x = x + log x + log 3 x = 46) log x − log x + 2 42) log www.VNMATH.com ( ) ( ) x x +1 49) log + = x − log − x + log x x = log x x 9) log x 2 50) log x + log x = + log x log x 51) 10) log − log x = x ) ( ( ) ( 11) log x x + 40 log x x − 14 log16 x x = log x − x − log x + x − = log 20 x − x − 12) log x.log x.log x 52) log + 5.3 = x +1 x 53) log x − 4.3 − = x + = log x.log x + log x.log x + log x.log x 54) log x x3 = + log x 13) log ( x ) log x − log 3 14) lg( lg x ) + lg lg x − = 15) log ( x + 1) + log ( x + 1) = 16) log x − − log ( x − 10) + = 55) log x 56) log ( x + 1) = log x +1 16 [ ( ) ] ( ) ( ) 17) log x + x = log x 18) log x − x − x = 24) log 25) log 2+ x log x 3 + log (x ) − x − = log 2+ 26) log x = log x log [ (x 29) 30) ) 31) 32) 33) = log x lg( x + 10) + lg x = − lg log ( x +1) 3x − = log x + − log x ( x + 3) log ( x + 2) + 4( x + 2) log ( x + 2) = 16 log ( x +3 ) − − x + x = 2 log 36 + log 81 = log x −4 x −15 log ( ( ) ) ( ) 34) log x +1 x + = 35) ( ) = 1+ x2 59) log ( log ( log x ) ) = 60) 61) x − lg x + + x − lg x + = ) ( ) ( ) ( ) ( ( 27) log x − log 3 x − = 28) log x 64) log x + log x + log x = 2x +1 −1 log x + log x x + log x ) ) ) ( − 2x − ] ( log x ) + 12 − 57) + 2 + x − 2 58) log x − = log ( x − 1) ( 3= ) x log x − x − log x + x − = log x − x − ) ) x 62) log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) − x + = 63) 3 3   21) log  x +  + log  x −  = x x   22) x + lg x − x − = + lg( x + ) 23) log x − − log ( x − 10) + = ( ( x ( 2 19) log x x log x = 12 20) log x ( x + 1) − lg 4,5 = ( ( ) [ ] [log (9 − 6)] = ( + 4) − x = log ( x ) 16 ( ) x +1 65) log 5 − log 25 − = 66) log x + log x = log log 225 67) log ( x + 8) − log ( x + 26 ) + = x 68) x log x 27 log x = x + 69) log ( x + ) + log x + x + = 70) log1−2 x x − x + − log1−3 x x − x + − = ( ( ) ) ( ) 72) log ( x + 1) + log ( ( ) ( ) ) 71) x − lg x + + x − lg x + = 5 = log ( x + 2) − log ( x − ) 25 73) ( x + ) log ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) − 16 = 3 74) log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 3 x3 log log x − log = + log x 75) x 76) log x +7 + 12 x + x + log x +5 x + 23 x + 21 = 77) ( 47 ) ( ) ) ) www.VNMATH.com ( 36) log x + ( x − 1) log x + x − = log x + log x = 37) ( ) x log x − x − − x log x − x − = x + x ) 78) log x log x = log x + log x − 38) log − x = log − x − 39) ( x − 3) log ( x − 1) + log x −1 2 log x + x + + log x + x + 12 = + log 79) = ( x − 3) log x −1 + log x − 40) x − + + x − log x − x = x  80) log x + x log ( x + 3) =  + log ( x + 3)  log x 2  x x +1 41) log 5 − log 25 − = ( ) ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ −x 1) + x ≤9 15) x + x x + 31+ +1 x x 2)   + 3  = 12 3 3     log a x 3) 16 ≥ + 3.x log a 4) ( ) +1 − x2 + x + 2−x 16) + x +1 1  9) 2 x +1 − 21  2 −1 ( x −1) ( ) < −1 − x2 + x 19) log3 21) x x +3 +2≥0 −1 ) ≥ ( ) −1 x − x +1 −4 x.3 x − x − 3x + x x log ( x −1 ) ( x −1) ( ) 22) x 2 x + x + 12 x 28) x +1 − 2 x +1 − 12 < BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT x + 8x − ≤2 x +1 x x 2) log 2 + + log + ≤ 2 47) log x 2( + log x ) > 1) log 3) log ( (x 4) ) ) ( ) ( ) ( log 3x + x + + > log 3x + x + 5) log x3 x −5 6x ≥ log x  2x −1   >1 48) log x   x −1  + log x >1 49) + log x 50) log x − log x > − x + ≥ −1 ) −1 48 + x − x −2 ≥ log log 32 log x −3 x + log 10) 9.4 x + 5.6 − x < 4.9 x 4 11) 8.3 x + x + x +1 ≥ x x 12) x + x + < ( x−2 x 20) ( 0,12 ) > 52 ) x −1 x +1 17) 25 +9 ≥ 34.15 x − x 18) ( log5 x ) + x log5 x ≤ 10 ) 8) x − 2( x −1) + 5+2 x − x +1 5) x − 8.3 x + x + − 9.9 x + > 6) x −4 + x − x −2 ≥ 7) x +1 − 16 x < log ( ( x −1 < 2.3 x x + x + x www.VNMATH.com 2x −1 log ( x − 3) 3 ) ( ) ( ) 2x − 17) log x − x + log ( x + 1) 15) log 3 ( ( 20) log ( x 2 21) − x + < −2 ) ( ) x+ − x ) ≤ log x +1 ( ) ( log x + x + + > log 2 x + x + ( ) ( 2 ) ) ( ) ( ) og og d l x − 6x + + 2l ( x − 4) < 5 og og e l x + ≥ l x ( ) log x + log x − > log x − 3 ) ) )  og  og c l  l x −  > 26) log x − x ( − x ) > ( ( og og b l x − l x − < ( 1  59) log x  x −  ≥ 4  60) x + log x − x + > − ( x + 1) log ( − x ) ( )] 27) log x x + x − > 28) 2  + x − x + 12  − 1 ≤ x  29) log x x − x + > og a l x − 4x + ≤ 18 −  x 23) log 18 − log   ≤ −1   x 24) log x log − < log ( x − 1) + log ( x + 1) + log ( − x ) < 25) ( x ( 2 58) log x + log x < x −1 x −1 66) log + − > log + x + 6x + < − log ( x + 1) 2( x + 1) [ 57) log x 64 + log x 16 ≥ 65) ( )  32  2 x  64) log x − log   + log   < log x   x   2 2 ) ( 63) log ( x + 1) ≤ log ( − x ) 22) log (    log ( x − 1) 62) log 25 ( x − 1) ≥ log     2x −1 −1 ) ) 53) log x − log x > 2 log ( x + 1) − log ( x + 1) 54) >0 x − 3x − lg x − x + >2 55) lg x + lg 2 56) log x x − 18 x _ + 16 > 61) log ( ) 2 18) log x + x ≤ 2 19) log x − 11x + 43 < 2 ) 52) log x − x +1 x − x − < 9) x + log x − x + > − ( x + 1) log ( − x ) ( ( log 35 − x >3 log ( − x ) ) ( ) l x  l 3x −  < f og og   14 x − x − 24 + log x x og l l g l x 2.og2x 2.og2 4x > 49 ) www.VNMATH.com 30) = og h l  −1 x 31) log − log   16  ≤   4 32) log 0,3 x + − x + > ( ) x ( og og i l ( x + 3) ≥ 1+ l ( x − 1) ) x − > log ( x + 3) 33) log x − x + + log 34) ( ) ( ) log x − x + 11 − log11 x − + 11 − x − 3x >0 og x og x j 2l 8( − 2)+ l ( − 3)>   og og k l  l x  ≥     og l l l 3x + 4.ogx >  1 35) ( log x ) ≥  log x −   4    4x −  ≤ 36) log x   x−2  37) log ( x − 1) > log 1 − − x 2 2 ( m l og n ) ) 3x x−1  >0 og og r l x+6  l x+ 2   s l x + l x ≤ og2 og og l t l x 2.og x > l x − og2 16 u l x − 4l x + ≥ 2l x − og2 og og v ) log x − x + og og og q l 43) − log x > − log x ( x2 + x − og p l 3x−x2 ( − x) > 40) log x + < log ( − x − ) + log ( x + 2) > 41) 2x +1 x log ( x − 1) 42) 2 x−5 ≥0 39) log ( x − ) − 4x + ≥0 x ) www.VNMATH.com HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGA I Hệ phương trình mũ 2 x = y − y  x + y y − x = x  x    y +4 x 5 y −  10)  + x +1 11)  4 x = y  3 =y 8 x + y − x − y =  x    +2  x = y −1   log xy y 3lg x = lg y  y.x  = x2  x+x 12)  13)  4 y = 32 ( x ) lg = ( y ) lg  log y log y ( y −3 x ) =   log ( x − y ) = − log ( x + y )  x +1 y −2 y +3 x 2 + = 3.2 x  1 14)  y 2y  =  x + xy + = x + 3   2 x + xy + y = 14  x + y = 2x −   x y 15)   log ( x +1) ( y + 2) − log y + ( x + 1) = 2x 3y   y  xy = 2 = 2 x  − 2 x + 1+ y = 5)   x  2 ( 1− y ) 16)  lg x + lg y =  y y x y  + 2 + 1+ = 3 = 3.3  3 x − y = 77 5x+ y = 125  y log y x = + y  4x+ y = 128     y 7)   17)  3x−2y−3 18)  2 log x xy = log y x 3 x − 2 = =1 5  4(x−y) −1 =     x− y  32x − 2y = 77 2x + 2y = 12   3.2 x − 2.3 y = −6  x + y = 19)  x y 20)  9)  x − y  x +1 x + y = 3 − =   2 − y +1 = −19  5 = 5.3 x − y −3  ( 1) 2) 3) 4) 6) 8) 1) 2) 3) 4) 5) ( (  x − y = ( log y − log x )( + xy )  3  x + y = 16 3lg x = lg y   ( x ) lg = ( y ) lg  log x + log y = + log  log ( x + y ) = 2( log y x + log x y ) =   xy =  x log8 y + y log8 x =  log x − log y =  x log8 y + y log8 x = 6)  log x − log y = ) ( ) ( II.Hệ phương trình lơgarit 2  lg x = lg y + lg ( xy ) 15)  lg ( x − y ) + lg x lg y =  ) ( ) ) ) ( )  2 log1− x ( − xy − x + y + ) + log 2+ y x − x + = 16)  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + ) =  log x + y − log ( x ) + = log ( x + y )  17)  x log ( xy + 1) − log 4 y + y − x + = log y −  4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3  18)   x + y − x − y = 12  y  x+x 4 y = 32 19)  log ( x − y ) = − log ( x + y )  ( ) ( 51 ) www.VNMATH.com (  x + log y = 20)  x  y − y + 12 = 81y log xy =  x 21)  log y =  2  1− x 2 x + xy + = y 22)  2  2  x y + 2x − 2x y − 4x + = )  4− x  x + − y = 7)  x log x + y =  ( log ( log x ) = log ( log y ) 8)  log ( log x ) = log ( log x ) 2 x + xy + y = 14  9)  log ( x +1) ( y + 2) − log y + ( x + 1) =  log x ( x + y ) = 10)  log y ( y + x ) =  log x ( x + y ) + log y ( y + x ) = 11)  log x ( x + y ) log y ( y + x ) =  ( ( 2) 3) 4) 5) 6) log (4 x − 3) + log (2 x + 3) ≤ x+3 + log ( x + x + 4) > − log x− (D2–06) 2(log x + 1) log x + log = log x + log 0,25 ( x − 1) + log ≤ (B2–03) 0,5 log x - + log x + + log = (D3–05) log 2 ( < x≤ ) (x>2 ∨ x < −4 ) ( x=2 x= ẳ) (x 3) ổ ỗ ỗ çx Ỵ ç è ì ï ïư - ± 17 ü÷ ï ï÷ í - 6;3; ý÷ ï ï÷ ù ùữ ợ ỵứ ổ ỗx = 6; x = 17 ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ứ ố log ( x + 2) + log ( x - 5) + log = 8) 1 log ( x + 3) + log ( x − 1)8 = log (4 x) log ( x + 3) - log x - - log < 9) 7) )  l x2 + y2 = 1+ 3l og g2 l x − l y = g  og 25  26  2 g g3  x − 5y + =  l ( x + y) − l ( x − y) = l  g  x+ y  l x xy = l y x2 og  4y x = 32  og 27  28  2l x og  l ( x + y) = 1− l ( x + y)  y y = 4y + og3   og3  x log3 y + y log3 x = 27 13)  log y − log x = 5 log x − log y = −8  14)  5 log x − log y = −9  (A–07) ) l + l =  gx gy 23  2  x + y = 29  og og og  l x + l y = 1+ l 24  x + y = 1  log x − log y = 12)   x + y2 − 2y =  1) ) (x = ∨ x= –3+ 12 ) (- 4; - 3) È (- 3; - 1) È (0; 2) È (2;3) log x+ ( -10 < x < ) 5log x+ < 400 x −1 + x − 16 10) (B1–04) >4 x−2 3 (x 4) 11) (A1–04) log π [log ( x + x − x )] < (x >1 ∨ x< - 4) 12) (B2–04) log x > log x ( x>3 ∨ 1/3