Một mảnh đất hình chữ nhật đ-ợc chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích đợc ghi nh hình vẽ.. Bạn có biết diện tích hình chữ nhật còn lại có diện tích là bao nhiêu không?. Mà diệ
Trang 1TỪ BÀI TOÁN HAY TRấN TOÁN TUỔI
THƠ ĐẾN BÀI TOÁN THI QUỐC TẾ
Phan duy nghĨA
(Phòng GD-ĐT Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
Trên tạp chí TTT1 số 41, chuyên mục
Thi giải toán qua th
sau:
Bài toán Một mảnh đất hình chữ nhật
đ-ợc chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có
diện tích đợc ghi nh hình vẽ Bạn có biết
diện tích hình chữ nhật còn lại có diện tích
là bao nhiêu không ?
Bài giải Hai hình chữ nhật AMOP và
MBQO có chiều rộng bằng nhau và có
diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích
hình AMOP (24 : 8 = 3 (lần)), do đó chiều
dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều
dài hình chữ nhật AMOP (OQ = 3 x PO)
(1) Hai hình chữ nhật POND và OQCN
có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài
hình OQCN gấp 3 lần chiều dài hình
POND (theo (1)) Do đó diện tích hình
OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND
Vậy diện tích hình chữ nhật OQCN là: 16
x 3 = 48 (m2)
Lời bàn 1 Nếu ta nối các điểm M với Q;
Q với N; N với P và P với M thì ta có bài
toán trong đề thi toán Tiểu học quốc tế tổ
chức tại Hồng Kông nh sau.
Bài toán 1 Trên hình vẽ bên có AMOP,
MBQO, OQCN, POND và ABCD là các
hình chữ nhật Biết diện tích MBQO là 51
cm2, diện tích của AMOP là 17 cm2 và
diện tích của hình POND là 29 cm2
Hãy tìm diện tích tứ giác MQNP
Bài giải tóm tắt Tơng tự nh cách giải bài
toán trên ta tính đợc diện tích hình chữ
nhật OQCN là: 29 x 3 = 87 (cm2) Mặt
khác ta có: SMQNP = SPMO + SMQO + SQNO +
SPNO Mà diện tích mỗi hình tam giác này
lại bằng một nửa diện tích hình chữ nhật
chứa nó Vậy SMQNP = 17
2 + 512 + 872 + 29
2 = 92 (cm
2)
Lời bàn 2 Nối O với B ; O với D và B với
D ta có bài toán mới khó hơn chút xíu
sau.
Bài toán 2 Hình chữ nhật ABCD chứa 4
hình chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO, POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm2, 24 cm2, 16 cm2 và 48 cm2 Tính diện tích phần tô màu
Bài giải tóm tắt Diện tích hình chữ nhật
ABCD là: 8 + 24 + 16 + 48 = 96 (cm2) Diện tích hình tam giác BCD là: 96 : 2 =
48 (cm2) Diện tích hình tam giác BMO là:
24 : 2 = 12 (cm2) Diện tích hình tam giác DPO là: 16 : 2 = 8 (cm2)
Diện tích phần tô màu là: 96 – (48 + 12 +
8 + 8) = 20 (cm2)
Lời bàn 3 Nếu trên OQ ta lấy điểm I sao cho PO = 2 x OI thì ta có thêm bài toán mới khó hơn nh sau.
Bài toán 3 Hình chữ nhật ABCD chứa 4
hình chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO, POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm2, 24 cm2, 16 cm2 và 48 cm2 Biết PO
= 2 x OI Tính diện tích phần tô màu
Bài giải tóm tắt Diện tích hình tam giác
OBQ là: 24 : 2 = 12 (cm2) Vì PO = 2 x OI nên suy ra OI = 1
6OQ Hai tam giác OBQ
và OBI có chung chiều cao BQ nên suy
ra SOBI = 1
6 x SOBQ = 16 x 12 = 2 (cm
2) Hai tam giác OBI và ODI có chung cạnh
OI và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng là PD
AP = 168 = 2 nên suy ra SODI = 2 x SOBI =
2 x 2 = 4 (cm2) Vậy diện tích phần tô màu là : 2 + 4 = 6 (cm2)
Lời bàn 4 Nếu ta di chuyển cạnh ON về phía cạnh QC sao cho điểm O trùng với
điểm I thì ta có bài toán trong đề thi toán Tiểu học quốc tế tổ chức tại Hồng Kông
nh sau.
Bài toán 4 Hình chữ nhật ABCD chứa 4
hình chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO, PIND và IQCN có diện tích tơng ứng là 12
cm2, 36 cm2, 24 cm2 và 48 cm2 Tính diện tích phần tô màu
Trang 2Bài giải tóm tắt Nối I với C ta có: Diện
tích hình tam giác IQC là: 48 : 2 = 24
(cm2) Mặt khác, ta có: Diện tích hình chữ
nhật ABQP là: 12 + 36 = 48 (cm2) Diện
tích hình chữ nhật PQCD là: 48 + 24 = 72
(cm2) Hai hình chữ nhật ABQP và PQCD
có chung cạnh PQ nên suy ra tỉ số BQ
QC = 48
72 =
2
3 Hai tam giác IBQ và IQC có
chung cạnh IQ và có tỉ số hai chiều cao
t-ơng ứng là BQ
QC = 23 nên suy ra SIBQ = 23
x SIQC = 2
3 x 24 = 16 (cm
2) Vậy SBOI =
SBOQ – SIBQ = 36 : 2 – 16 = 2 (cm2) Hai
tam giác BOI và DOI có chung cạnh OI
và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng là BQ
QC
= 2
3 nên suy ra SDOI = 32 x SBOI = 32 x 2 =
3 (cm2) Diện tích phần tô màu là: 2 + 3 =
5 (cm2)
Lời bàn 5 Trong quá trình giải các bài
toán trên, chúng ta chỉ sử dụng đến yếu
tố song song của các cạnh còn yếu tố
vuông góc chúng ta không sử dụng Điều
này giúp ta nghĩ đến việc thay hình chữ
nhật bởi hình bình hành Suy nghĩ đó giúp
ta có thêm các bài toán mới hấp dẫn sau.
Bài toán 5 Một mảnh đất hình bình hành
đợc chia thành 4 hình bình hành nhỏ hơn
có diện tích đợc ghi nh hình vẽ Bạn có
biết diện tích hình bình hành còn lại có
diện tích là bao nhiêu không ?
Bài toán 6 Trên hình vẽ bên có AMOP,
MBQO, OQCN, POND và ABCD là các
hình bình hành Biết diện tích MBQO là
51 cm2, diện tích của AMOP là 17 cm2 và
diện tích của hình POND là 29 cm2 Hãy
tìm diện tích tứ giác MQNP
Bài toán 7 Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO, POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm2, 24 cm2, 16 cm2 và 48 cm2 Tính diện tích phần tô màu
Bài toán 8 Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO, POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm2, 24 cm2, 16 cm2 và 48 cm2 Biết PO
= 2 x OI
Tính diện tích phần tô màu
Bài toán 9 Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO, PIND và IQCN có diện tích tơng ứng là 12
cm2, 36 cm2, 24 cm2 và 48 cm2 Tính diện tích phần tô màu
Bài giải các bài toán tự luyện Bài toán 5 Một mảnh đất hình bình hành
đợc chia thành 4 hình bình hành nhỏ hơn
có diện tích đợc ghi nh hình vẽ Bạn có biết diện tích hình bình hành còn lại có diện tích là bao nhiêu không ?
Bài giải tóm tắt Hai hình bình hành
AMOP và MBQO có chiều cao bằng nhau chính là chiều cao hình bình hành ABQP nên suy ra OQ
OP =
24
8 = 3 Hai hình bình hành POND và ONCQ có chiều cao bằng nhau chính là chiều cao hình bình hành
Trang 3PQCD nên suy ra SQONC : SPOND = OQ
OP =
3 Vậy: SQONC = 16 x 3 = 48 (cm2)
Bài toán 6 Trên hình vẽ bên có AMOP,
MBQO, OQCN, POND và ABCD là các
hình bình hành Biết diện tích MBQO là
51 cm2, diện tích của AMOP là 17 cm2 và
diện tích của hình POND là 29 cm2 Hãy
tìm diện tích tứ giác MQNP
Bài giải tóm tắt Tơng tự nh cách giải bài
toán trên ta tính đợc diện tích hình bình
hành OQCN là: 29 x 3 = 87 (cm2) Mặt
khác ta có: SMQNP = SPMO + SMQO + SQNO +
SPNO Mà diện tích mỗi hình tam giác này
lại bằng một nửa diện tích hình bình hành
chứa nó Vậy SMQNP = 17
2 +
51
2 +
87
2 + 29
2 = 92 (cm
2)
Bài toán 7 Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm2, 24 cm2, 16 cm2 và 48 cm2 Tính
diện tích phần tô màu
Bài giải tóm tắt Diện tích hình bình hành
ABCD là: 8 + 24 + 16 + 48 = 96 (cm2)
Diện tích hình tam giác BCD là: 96 : 2 =
48 (cm2) Diện tích hình tam giác BMO là:
24 : 2 = 12 (cm2) Diện tích hình tam giác
DPO là: 16 : 2 = 8 (cm2)
Diện tích phần tô màu là: 96 – (48 + 12 +
8 + 8) = 20 (cm2)
Bài toán 8 Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
POND và OQCN có diện tích tơng ứng là
8 cm2, 24 cm2, 16 cm2 và 48 cm2 Biết PO
= 2 x OI
Tính diện tích phần tô màu
Bài giải tóm tắt Diện tích hình tam giác
OBQ là: 24 : 2 = 12 (cm2) Vì PO = 2 x OI
nên suy ra OI = 1
6OQ Hai tam giác OBQ
và OBI có chung chiều cao hạ từ B xuống
OQ nên suy ra SOBI = 1
6 x SOBQ = 16 x 12
= 2 (cm2) Hai tam giác OBI và ODI có chung cạnh OI và có tỉ số hai chiều cao
t-ơng ứng bằng 16
8 (hoặc 4824) = 2 nên suy
ra SODI = 2 x SOBI = 2 x 2 = 4 (cm2) Vậy diện tích phần tô màu là : 2 + 4 = 6 (cm2)
Bài toán 9 Hình bình hành ABCD chứa 4
hình bình hành nhỏ hơn là AMOP, MBQO, PIND và IQCN có diện tích tơng ứng là 12
cm2, 36 cm2, 24 cm2 và 48 cm2 Tính diện tích phần tô màu
Bài giải tóm tắt Nối I với C ta có: Diện
tích hình tam giác IQC là: 48 : 2 = 24 (cm2) Mặt khác, ta có: Diện tích hình bình hành ABQP là: 12 + 36 = 48 (cm2) Diện tích hình bình hành PQCD là: 48 + 24 =
72 (cm2) Hai hình bình hành ABQP và PQCD có chung cạnh PQ nên suy ra tỉ số hai chiều cao tơng ứng bằng 48
72 = 23. Hai tam giác IBQ và IQC có chung cạnh
IQ và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng bằng 2
3 nên suy ra SIBQ = 23 x SIQC = 23 x
24 = 16 (cm2) Vậy SBOI = SBOQ – SIBQ = 36 : 2 – 16 = 2 (cm2) Hai tam giác BOI và DOI có chung cạnh OI và có tỉ số hai chiều cao tơng ứng bằng 2
3 nên suy ra
SDOI = 3
2 x SBOI =
3
2 x 2 = 3 (cm
2) Diện tích phần tô màu là: 2 + 3 = 5 (cm2)