Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

VẤN ĐỀ 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI... Vấn đề 4 Bất Phương Trình Chứa Giá Trị Tuyệt Đối A.. Vài nét chung : Bằng cách loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối, một bất phương trình

VẤN ĐỀ 4

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Vấn đề 4

Bất Phương Trình Chứa

Giá Trị Tuyệt Đối

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I Vài nét chung :

Bằng cách loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối, một bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối được biến đổi tương đương với một hay nhiều bất phương trình hoặc tương đương với một hay nhiều hệ bất phương trình không chứa giá trị tuyệt đối

Ta tìm tập nghiệm S1và S2của (1), (2)

Tập nghiệm của hệ là S S = 1∩ S2

Để giải hai hệ có dạng :(I) f (x) 0 (II) h(x) 0

Ta tìm nghiệm S của (I) và S' của (II)

Tập nghiệm của hai hệ trên là: S S∪ '

II Các dạng thường gặp

1 ⏐A⏐ ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B

Chứng minh : Ta có ⏐A⏐ ≤ B (1)

• B < 0 : (1) không xảy ra

• B ≥ 0 : (1) ⇔ A2 ≤ B2

−

B A

B A

B A

B A

B A

B A

B A

B A

0 0 0

Khong

B A

B A

(Ban đọc có thể tự chứng minh như tính chất trên)

3 ⏐A⏐ ≥ ⏐B⏐ ⇔ ⏐A⏐2 ≥ ⏐B⏐2 ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B)(A – B) ≥ 0

(Sau đó thường dùng xét dấu vế trái )

4 Với 2 số thực bất kỳ a,b a b+ ≤ a b+

Dầu “=” xảy ra khi a , b không âm

Như vậy , nếu ab < 0 thì a b+ < a b+

5 Dùng phương pháp chia khoảng

6 Dùng đồ thị để giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Với điều kiện (*) thì (1) ⇔ x+2 − x > 0

> ⇔ ⎨

>

⎪⎩

) 1 ( 1

x x

x x

) 0 (

x x

x x

chưa vẽ hình Nhìn trực tiếp vào đồ thị ta thấy nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị của x sao cho đồ thị của hàm số f(x) nằm hoàn toàn trên đồ thị của hàm số g(x) , đó là x ∈ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ − ⎥⎦ ⎤

2

1 ,

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ⎜ ⎝ ⎛ ∞ − ⎥⎦ ⎤

2

1 ,

Chú ý : 2 đồ thị có hoành độ giao điểm là x=

2 1

+

0 5 12

4

0 5 12

4

2

2

x x

x

x x

>

− +

0 17 3

0 7 5

2 2

x x

x x

77

3

2

33 5 2

53 5

x

x x

⇔

2

77 3 2

2 1

−

≤

x x

x x x

3 2

1

2 1

x

x x

x x

x

⇔ x ∈ ∅

3 2

x

x

Hợp 3 trường hợp , bpt (1) có nghiệm là x < 0 ∨ x > 2

2 Giải các bất phương trình :

6 2

6 6

2 6 3

2

6 3

2

x

x x

x

x x

x x

x x

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -4 ∨ x > 0

x x

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x < 0

3 Giải các bất phương trình sau :

a) 2x2 +

x

x + 1 + 22

x - 1 > 0 Đặt

bpt ⇔ 2(t2 – 2) + t – 1 > 0 , t ≥ 2 ⇔ 2t2 + t – 5 > 0

⇔

4

41 1 4

2 2

x

21x

x

21

−

−

≤+

−

02xx

62xx

2 4

2 4

t

t

02

1t2-

t),

t (vì

2 t 2 0t

}{

\Rx

≥+

−

05xx

x

03x

x

05xx

x

03x

−

∈

0)5xx)(

1x(x

0)5xx)(

1x(

Rx

3

2

⇔ (x – 1)(2x3 + 3x + 5) ≤ 0

⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 (Vì 2x2 + 3x + 5 ≥ 0, ∀x)

Ví dụ 8

Giải bất phương trình sau :

2 + x

2

x2 + ≤ 4 22

x

4x

⇒ t2 = 4 22

x

4x

02t

2t1t

22

2 2

x x x

0x

2xx

0x

2xx

3

1

31x031

Nghiệm của bất phương trình (*)là S S = 1∩ S2

1 − ≥ 0 (1)

thỏa mãn bất phương trình 2

mx sin

1 < (2) Giải Xét điều kiện của (2) : sinmx ≠ 0 ⇔ mx ≠ kπ (k ∈ Z)

sin

0 mx

π

<

<

π + π

π + π

<

<

π + π

2 2

1 1

k 6

5 mx k

6

k 2 mx k

(3)

Do (2) ta luôn có điều kiện m ≠ 0

Nếu m > 0 thì nghiệm của (1) sẽ hoặc là đúng với mọi x (trong trường hợp ∆ ≤ 0 ) hoặc là 2 khoảng nghiệm [-∞ , x1] và [x2 ,∞] (trong trường hợp ∆ > 0) nên điều kiện : với mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) không thỏa mãn

Vậy bài toán chỉ cần xét trường hợp m < 0

Do m < 0 , nhân 2 vế của (1) với m

1 2

1 ≤ 0 (3)

1 2

1 = (2m – 1)2 a) Nếu m < -1 : (m+1)=-(m+1)

−b) Nếu m ≥ -1 thì (3) có nghiệm :

Vậy : nghiệm của (1) không phải tất cả đều là nghiệm của (2) Hay không tồn tại m thỏa mãn bài toán cho

( ) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 x

( ) có hai nghiệm phân biệt thỏa x 1

(dễ thấy hiện tượng trùng nghiệm giữa hai phương trình không xảy ra)

m m

m m m m

Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi 0 < m < 1

Từ bài toán trên các bạn có thể chuyển qua các bài toán về bất

phương trình dể dàng

Bất phương trình (a) vô nghiệm khi m ≤ -3

Bạn đọc có thể tìm tòi các bài bất phương trình có chứa GTTĐ với m là tham số để chế ra các bài toán tương tự như trên Chúc các bạn sẽ

tìm được nhiều điều lý thú

C BÀI TẬP TỰ GIẢI :

b) Định a để : sin x6 + cos6x a sin 2x ,≥ ( ) x∀

Hướng dẫn : t= sin 2x ,0 t 1≤ ≤ ĐS : a 1

4

≤c) Định m để bất phương trình x2−2 x 1− ≥mthỏa với mọi x

Định m để bất phương trình thỏa ∀ ∈ x R

a) x 2 − 3x 2 mx 1 + + > b) x2+2x+ −x m ≥m

c) x 2 + 2mx 2 x m 2 0 − + + >

Bài 13

Cho bất phương trình : x 2 + − x m < 3(*).Định m để :

a) Bất phương trình (*) có nghiệm

b) Bất phương trình (*) có nghiệm âm

c) Bất phương trình thỏa ∀ ∈ − x ( 1;0)

Bài tập làm thêm Bài 1

40 −e) (x - 17)( x +6) ≥ 0 f) ( x - 8)( x −2) > 0

g) x2 –

8x-4x

5+ + 4 > 0

g) x2 − x − 3 < 9 h) x2 − 9 x + 15 ≥ 20 j) x2 − x + 2 > 3x-x2 -2 k) x2 − 1 < 3x

<

− +

6 x

1 x

2xx

2

2

≥++

2x

2

>

−

xx

6x5

xx

<

+11x

6x5

a 8 x x

x x

2

x

x 4 7

−

>

−

−+

−

−

11x1x

61x9x4x

−

≥+

−

−

0x21

3

x

07x4

>

+

− + 1 1 x

2 x

0 5 x 7 x

x

1

1 x 2

+

−

<

− + +

1 5 x x

3 x 4 x

0 10 3 x 2 x

2 2 2

x + > + −

a 2 x

a 4 a

2

≥

− +n) 1 − x < a − x