Luận văn 1

Trang PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VII đã chỉ rõ: “ Mục tiêu giáo dục – đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”. Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh , nhất là sinh viên đại học”. Các quan điểm trên đã được thể chế hóa trong Luật Giáo dục – Điều 28.2 đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. 1.2 Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán. Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải toán, học sinh thường gặp 1 Trang không ít khó khăn và mắc phải rất nhiều sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết quả học tập của học sinh. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng: sai lầm nối tiếp sai lầm. Và hơn nữa bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thường có tâm lý sợ sệt, thậm chí chán nản, mất lòng tin và hứng thú trong việc học toán. 1.3 Việc giáo viên phát hiện và giúp học sinh sửa chữa những sai lầm khi giải toán ngay trong giờ lên lớp là cực kỳ thiết thực. Bởi vì, theo A. A. Stôliar đã nhấn mạnh: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”. Hoặc như Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv đã viết: “ Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được toán học trong nhà trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo”. Hơn nữa, vì quá trình nhận thức của con người đi từ: “Cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, do đó khi học sinh va chạm (mắc sai lầm) và được giáo viên uốn nắn, sửa chữa kịp thời sẽ giúp các em khắc sâu hơn nội dung kiến thức đó cũng như cách thức giải những dạng bài toán tương tự như thế. Từ đó, các em càng tự tin hơn, tìm được niềm vui và hứng thú học tập. Và điều cần thiết hơn là học sinh không chỉ học tập tốt kiến thức toán mà còn tích lũy được kinh nghiệm sống cho bản thân, bởi vì “con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (G. Polia). 1.4 Nhiều tác giả ngoài nước như: G. Polia, A.A. Xtôlia, J.A. Kômenxky, trong một số công trình nghiên cứu của mình đã có đoạn nói đến vai trò của việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong giải toán. Tuy nhiên, cả công trình của họ không phải là đề cập toàn bộ đến sai lầm. 2 Trang Ở Việt Nam có một số sách tham khảo về toán sơ cấp cũng đề cập đến sai lầm, chẳng hạn như: Sai lầm phổ biến khi giải toán của Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang; Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán của Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn; Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán của Lê Đình Thịnh, Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam. Nhìn chung, các quyển sách tham khảo kể trên, các tác giả đều có chung quan điểm là phân chia sai lầm theo góc độ chủ đề kiến thức. Tuy nhiên, chủ để kiến thức trong toán phổ thông thì rất nhiều nên không thể kể hết, do đó không thể bao quát hết được những kiểu sai lầm của học sinh. Ngoài ra còn có Luận văn Thạc sỹ năm 2006 của Nguyễn Hữu Hậu, xem xét các sai lầm của học sinh đứng trên những dạng hoạt động. Tuy nhiên, với việc đổi mới chương trình và sách giáo khoa như hiện nay thì những ví dụ điển hình nêu lên những sai lầm của học sinh trong luận văn này đã không còn phù hợp. Nghĩa là những bài toán nêu ra trong luận văn đã không còn trong chương trình, sách giáo khoa mới, do đó học sinh sẽ không còn giải những bài toán như thế. Hơn nữa, lời giải đúng cho khá nhiều bài toán trong luận văn thì hiện tại không còn áp dụng phương pháp ấy được nữa, chẳng hạn những bài toán mà cách giải có liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Vì những lý do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích của luận văn là nghiên cứu, phát hiện những sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số và Giải tích theo phương diện hoạt động giải toán; trên cơ sở vận dụng phối hợp hài hòa giữa các quan điểm dạy học truyền thống và không truyền thống để giúp học sinh khắc phục và sửa chữa những sai lầm đó. 3 Trang 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: - Trong giải toán Đại số và Giải tích, học sinh thường xuyên mắc phải những kiểu sai lầm nào? - Nguyên nhân chính nào dẫn đến những sai lầm đó? - Để hạn chế, khắc phục và sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra, cần thực hiện những quan điểm nào? Cần phải có những biện pháp sư phạm nào? - Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1 Nghiên cứu lý luận: Các tài liệu có đề cập đến sai lầm của học sinh để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh khi giải toán; các sách, giáo trình, tạp chí viết về Tâm lý học và Giáo dục học, viết về lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán, các quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học toán, làm cơ sở đề xuất các quan điểm, các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa những sai lầm của học sinh. 4.2 Điều tra thực tiễn: - Tìm hiểu thực trạng về những sai lầm của học sinh khi giải toán thông qua hình thức dự giờ thăm lớp, qua các bài làm kiểm tra của học sinh. - Trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên về những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số và Giải tích. 4.3 Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã đề xuất nhằm khắc phục và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán. 4 Trang 5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu làm sáng tỏ được các kiểu sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán Đại số và Giải tích, đồng thời căn cứ vào mục tiêu dạy học toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay thì có thể đề xuất được những quan điểm, những hướng dẫn sư phạm thích hợp nhằm khắc phục và sửa chữa những sai lầm thường mắc phải của học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường phổ thông. 6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN Luận văn đã làm sáng tỏ nhiều kiểu sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán Đại số và Giải tích, sát thực với tình hình thực tế hiện nay. Luận văn đã phân tích tỉ mĩ nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó. Xây dựng được các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và khắc phục được những sai lầm của học sinh khi giải toán. Luận văn có thể được sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy toán bậc trung học phổ thông. 7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Giả thuyết khoa học 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Nội dung Luận văn có 3 chương 5 Trang Chương 1: Những sai lầm thường gặp của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích 1.1 Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán 1.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích 1.2.1 Các sai lầm liên quan đến khả năng suy luận 1.2.2 Các sai lầm về biến đổi, đặc biệt là các phép tương đương và hệ quả 1.2.3 Các sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 1.2.4 Các sai lầm do không nắm vững nội hàm khái niệm hoặc áp dụng công thức một cách máy móc 1.2.5 Sai lầm do hoạt động phân chia trường hợp 1.2.6 Sai lầm do không hiểu bản chất của đối tượng 1.2.7 Sai lầm từ cảm nhận trực quan 1.2.8 Sai lầm do hiểu sai ngôn ngữ diễn đạt 1.2.9 Sai lầm do liên tưởng 1.2.10 Sai lầm do chủ nghĩa hình thức 1.3 Kết luận chương 1 Chương 2: Một số biện pháp giúp học sinh phòng tránh và sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán Đại số và Giải tích 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Biện pháp 1: Tạo niềm tin và rèn luyện các thao tác tư duy 2.3 Biện pháp 2: Thiết kế các tình huống hoạt động học tập hợp tác 2.4 Biện pháp 3: Tạo nhiều cơ hội để học sinh được thử thách với sai lầm 2.5 Kết luận chương 2 6 Trang Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức thực nghiệm 3.3 Nội dung thực nghiệm 3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm Kết luận chung Tài liệu tham khảo 7 Trang CHƯƠNG 1 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1.1 Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán Dạy toán là dạy hoạt động toán học, hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là hoạt động giải toán. Kiến thức toán học của học sinh đạt được đến mức độ nào được thể hiện rõ nét nhất qua chất lượng giải toán. GS Nguyễn Bá Kim đã cho rằng: “Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông”. Hay ý kiến của P.M. Ecđơnnhiev: “Bài tập được coi là một mắc xích chính của quá trình dạy học toán”. Tuy nhiên nói như vậy không có nghĩa là tách rời việc dạy học giải toán với dạy học các khái niệm và định lý toán học. Bởi lẽ, một khi học sinh mắc phải khó khăn, sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc học sinh đã chưa nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thực hành giải toán. Do đó, khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải toán thì người giáo viên nên nhấn mạnh lại những điểm cần chú ý trong quá trình dạy học khái niệm và định lý toán học. Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán là thật sự cần thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh khi giải toán hay mắc phải rất nhiều kiểu sai lầm. Từ những sai lầm bình thường về tính toán đến những sai lầm do biến đổi, do suy luận và thậm chí có những kiểu sai lầm rất tinh, kín đáo không dễ phát hiện. Tất cả những kiểu sai lầm ấy, nhìn nhận khách quan, là do chính bản thân người học. Tuy 8 Trang nhiên, trong đó có một phần trách nhiệm không nhỏ của giáo viên. Bởi vì giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp thời các sai lầm của học sinh ngay trong các giờ học toán; và cũng có trường hợp giáo viên phát hiện sai lầm của học sinh nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốc chính dẫn đến sai lầm đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa Vì những điều này nên ở học sinh không khắc phục được sai lầm mà tệ hại hơn lại tiếp tục sai lầm. Chính vì thế nên J.A. Kômenxki đã viết: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm”. Mặt khác, đối với đa số học sinh phổ thông, môn toán được xem là khó. Nếu chúng ta không nghiên cứu, lường trước những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải toán, thì sau vài lần vấp phải, học sinh sẽ “sợ” hơn, sẽ mất lòng tin hơn và không còn hứng thú để học toán. Như vậy, có thể khẳng định rằng, nghiên cứu những sai lầm của học sinh để từ đó chọn lựa cách giảng dạy thích hợp là một việc làm cấp thiết. Bởi vì, nếu ta hình dung tốt, lường trước được những sai lầm thì ta sẽ có cách để phòng tránh, ngăn ngừa; còn nếu không thì đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm”, và dó đó hạn chế đến chất lượng giáo dục. 1.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích Trong mục này chúng tôi sử dụng các ký hiệu riêng là: (?) Lời giải có sai lầm. (!) Phân tích và chỉ ra nguyên nhân sai lầm. Trong mục này, chúng tôi không phân chia các sai lầm của học sinh theo góc độ chủ đề kiến thức, mà những sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số và Giải tích sẽ được tiếp cận, xem xét theo phương diện hoạt động giải toán là chủ yếu. 9 Trang 1.2.1 Các sai lầm liên quan đến khả năng suy luận Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho. Người ta phân biệt hai kiểu suy luận, đó là suy luận có lý và suy luận diễn dịch. Suy luận có lý là kiểu suy luận mà chẳng căn cứ vào một quy tắc suy luận nào, nó có vẻ như thuộc về vấn đề cảm tính và mang tính chất phỏng đoán. Dĩ nhiên, độ hy vọng về tính đúng đắn của kết luận là khá cao. Còn suy luận diễn dịch (hay suy diễn) là một kiểu suy luận có căn cứ vào những quy tắc một cách rất nghiêm ngặt và mang tính khách quan. Và tất nhiên, suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát. Một suy luận thường có cấu trúc logic A ⇒ B, trong đó A là tiền đề, B là kết luận. Cách thức logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Ta hay sử dụng những quy tắc sau đây để suy luận: B A ,BA ⇒ ; A B ,BA ⇒ ; A B ,BA ∨ ; B A ,BA ∧ ; 4 433221 A A ,AA ,AA ,AA ⇒⇒⇒ ; Xx )x(P ∈∀ ⇔ )x(P Xx ∈∃ Muốn suy diễn đúng đắn thì đương nhiên quy tắc suy luận phải nắm vững. Tuy nhiên, thực tiễn sư phạm cho thấy, học sinh thường bị hỏng kiến thức về logic, và do đó khi giải toán các em hay vấp phải những kiểu sai lầm sau: a). Sai lầm về luận cứ Sai lầm về luận cứ là do không căn cứ một cách chính xác vào một mệnh đề đúng nào đó mà có vẻ như là sự áp dụng đã được chế biến. Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thì: 10 [...]... cho tương đương: ( 3 2x − 1 + ⇔ (2x – 1) + (x – 1) + 3 3 2x − 1 3 x − 1 ( 3 2x − 1 + ⇔ 3x – 2 + 3 3 2x − 1 3 x − 1 = 1 ⇔ 2 3 2x − 1 3 x − 1 = 1 – x 3 3 x − 1 )3 = 1 x 1) = 1 (*) (**) Trang 23 ⇔ ( 3 2x − 1 3 x − 1 )3 = (1 – x)3 ⇔ (2x – 1) (x – 1) = (1 – x)3 ⇔ (1 – x)[ (1 – x)2 + (2x – 1) ] = 0 x = 0 ⇔ x (1 – x) = 0 ⇔  x = 1 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 0, x = 1 (!) Thông thường, khi lũy... − 1 + 3 x − 1 = 1 từ (*) sang (**) là phép biến đổi hệ quả, không phải là phép biến đổi tương đương, do đó đã xuất hiện nghiệm ngoại lai x = 0 Lời giải đúng là: Phương trình đã cho tương đương với: ( 3 2 x − 1 + ⇔ (2x – 1) + (x – 1) + 3 3 2x − 1 3 x − 1 ( 3 2x − 1 + 3 3 x − 1 )3 = 1 x 1) = 1 ⇒ 3x – 2 + 3 3 2 x − 1 3 x − 1 = 1 ⇔ 3 2x − 1 3 x − 1 = 1 – x ⇔ ( 3 2x − 1 3 x − 1 )3 = (1 – x)3 ⇔ (2x – 1) (x... x + 1 ≤ 2 x − 1 Lời giải đúng là: x−2 1 1 1 1 ≥ ⇔ – ≥0 ⇔ ≥0 ( x + 1) (2x − 1) x + 1 2x − 1 x + 1 2x − 1 1  − 1 < x < 2 ⇔  x ≥ 2 Ví dụ 17 : Giải bất phương trình: x 2 + x − 12 ≤ 8 – x Trang 27 (?) Với bài toán này thì đa số học sinh yếu kém sẽ bình phương hai vế một cách không ngần ngại Bên cạnh đó cũng không ít học sinh khá hơn đã lập luận như sau: x 2 + x − 12 ≥ 0  2 ≤ 2–x ⇔  2 x + x − 12 x... x ≤ 2 x2 +1 (2) Từ (1) và (2) suy ra việc giải phương trình (1) được quy về giải phương trình (khi dấu “=” ở bất đẳng thức Bunhiacovski xảy ra): x x +1 = x 3 − 3x 2 + x + 1 = 0 ⇔  3− x 0 < x < 3 1 x = 1 (x − 1) (x 2 − 2x − 1) = 0  ⇔  ⇔  x = 1 − 2 (loại) 0 < x < 3 x = 1 + 2  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x = 1, x = 1 + Ví dụ 14 : Giải phương trình: (?) 3 2x − 1 + 3 x 1 = 1 Hầu hết... là: 7 4 Xét A = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 2m2 + 4m – 3, với m ≥ Lập bảng biến thiên của A: m –∞ 1 7 4 +∞ +∞ +∞ 81 8 A –5 2 Vậy x 1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 81 7 khi và chỉ khi m = 8 4 Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = – 5x2 – 2xy – 2y2 + 14 x + 10 y – 1 (?) Ta có: P = – 5x2 – 2xy – 2y2 + 14 x + 10 y – 1 = – (x2 + 2xy + y2) – (4x2 – 14 x) – (y2 – 10 y) – 1 Trang 17 2 14 5 7  2 = – (x... sau: 1  ( x + 1) (2x − 1) ≠ 0 x ≠ 1 ; x ≠ 1 1 2 ⇔x≥2 ≥ ⇔  ⇔  x + 1 2x − 1 x + 1 ≤ 2 x − 1 x ≥ 2  (!) Với cách giải sai thứ hai này, học sinh đã xem tương tự việc giải bất phương trình như việc so sánh hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số (số tự nhiên ) lớn hơn thì phân số ấy bé hơn Chính do nhầm lẫn trong việc so sánh như thế, nên từ biến đổi 1 1 ≥ sang x +1 2x − 1 ( x + 1) (2x − 1) ... hai bộ số: (x , 1) và ( x + 1 , 3 − x ), ta được: x x +1 + 3 − x ≤ 2 x2 +1 (2) Từ (1) và (2) suy ra việc giải phương trình (1) được quy về giải phương trình (khi dấu “=” ở bất đẳng thức Bunhiacovski xảy ra): x x +1 = 1 3− x ⇔ x3 – 3x2 + x + 1 = 0 x = 1  ⇔ (x – 1) (x2 – 2x – 1) = 0 ⇔  x = 1 − 2 x = 1 + 2  Trang 22 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x = 1, x = 1 – 2,x =1+ 2 Học sinh ban đầu đặt... tắc và x 1> 0  không giải tiếp được nữa Lời giải đúng là: lg(x2 + 2mx) – lg(x – 1) = 0 ⇔ lg(x2 + 2mx) = lg(x – 1) Trang 30 ⇔ x 2 − (1 − 2m) x + 1 = 0 (*)  x > 1 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (*) chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 1 Ta có: x2 – (1 – 2m)x + 1 = 0 ⇔ x + Xét hàm số f(x) = x + 1 = 1 – 2m x 1 , với x > 1 x 1 Suy ra: f '(x) = 1 – x2 Bảng biến thiên: x +∞ 1 f '(x) +... = 0  1 x ∈ R    2 x = 2 ∨ x = − 2 x = 2 x − 3x = 0    ⇔  2 ⇔ x = 3 ⇔ x ≥ 3  2x − 3x − 2 > 0   1 1 x >3 ∨ x 0  2 2x − 3x − 2 > 0  Ví dụ 16 : Giải bất phương trình: 1 1 ≥ x + 1 2x − 1 Trang 26 (?) Những tình huống sai lầm thường thấy ở học sinh lớp 10 khi giải bất phương trình trên như sau: 1 1 ≥ ⇔ 2x – 1 ≥ x + 1 ⇔ x ≥ 2 x + 1 2x − 1 (!) Với... buộc khác x 1 + Ví dụ 23: Giải phương trình: (?) 2x − 1 = 5 Lời giải của học sinh: Điều kiện của bài toán là: x ≥ 1 Đặt u = x 1, v = (*) 2 x − 1 (u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó ta có hệ phương trình: u + v = 5  2 2  v − 2u = 1 (1) (2) Thay (1) vào (2) ta được: v2 – 2(5 – v)2 = 1 ⇔ v2 – 20v + 51 = 0 Giải phương trình này ta được hai nghiệm v 1 = 17 và v2 = 3 đều là số dương Từ đó tính được x1 = 14 5 và x2 = . – 5x 2 – 2xy – 2y 2 + 14 x + 10 y – 1. (?) Ta có: P = – 5x 2 – 2xy – 2y 2 + 14 x + 10 y – 1 = – (x 2 + 2xy + y 2 ) – (4x 2 – 14 x) – (y 2 – 10 y) – 1 16 Trang = 4 14 5 – (x + y) 2 – 2 2 7 x2       − –.    += +=+ 2mxx 1m2xx 2 21 21 15 Trang Khi đó: 2 1 x + 2 2 x = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = (2m + 1) 2 – 2(m 2 + 2) = 2m 2 + 4m – 3 Đặt: A = 2m 2 + 4m – 3 = 2(m + 1) 2 – 5 ≥ – 5 Vậy. 8 k + 1 chia hết cho 7 thì 8 k + 1 + 1 cũng chia hết cho 7” như sau: Ta có: 8 k + 1 + 1 = 8(8 k + 1) – 7. Từ đây và giả thiết “8 k + 1 chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra 8 k + 1 + 1 chia