Thông thường, tham số nhận các giá trị trong tập số thực. Do vậy, nó có khả năng nhận giá trị âm, giá trị dương hoặc bằng không. Tuy nhiên, khá nhiều học sinh vẫn không ý thức được điều này và họ thường rập khuôn, áp dụng những thuật giải cho bài toán mà không cần quan tâm đến sự thay đổi của tham số sẽ làm ảnh hưởng lớn đến kết quả bài toán.
Ví dụ 38: Tìm tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
mx2 + 2mx + 2 = 0
(?) Đa số học sinh đã cho lời giải:
Để phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆' < 0 ⇔ m2 – 2m < 0
⇔ 0 < m < 2.
(!) Giáo viên có thể thử ngay rằng với m = 0 thì phương trình đã cho trở
thành: 0.x2 + 2.0.x + 2 = 0 cũng vô nghiệm. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở
đó thì chắc chắn rằng học sinh sẽ lẩn quẩn những câu hỏi trong đầu: tại sao lại thử m = 0?, có phải thử m = 2 hay một giá trị m nào khác? Và những câu hỏi như thế không được làm rõ sẽ dẫn đến sai lầm nối tiếp khi học sinh gặp phải bài toán tương tự:
Ví dụ 39: Tìm tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
(m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0
(?) Học sinh sẽ thản nhiên lý luận rằng:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0
⇔ 1 < m < 3.
Với m = 0 thì phương trình trở thành –2x2 – 6x – 6 = 0 vô nghiệm.
Vậy m = 0 không thỏa mãn bài toán.
(!) Sai lầm đầu tiên của học sinh là thừa nhận phương trình đã cho là
phương trình bậc hai với mọi m. Thứ hai, học sinh chưa rõ được sự suy biến của tham số nên đã rập khuôn ví dụ trên mà xem xét phương trình với trường hợp m = 0. Thậm chí, có học sinh thử cả giá trị m = 1 và m = 3.
Ví dụ 40: Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:
mx – 1 > 3x + m2
(?) Học sinh đã nhanh chóng đi đến kết quả:
mx – 1 > 3x + m2 ⇔ (m – 3)x > m2 + 1 ⇔ x > 3 m 1 m2 − +
(!) Thực chất là học sinh đã nhân hai vế bất phương trình cho
3 m
1
−
nhưng các em đã không ý thức rằng với m = 3 thì phép nhân trên là vô nghĩa. Hơn nữa khi m < 3, nếu thực hiện phép nhân như trên thì chiều của bất phương trình đã thay đổi.
Ví dụ 41: Tùy theo tham số m, hãy tìm phương trình các đường tiệm cận
của đồ thị hàm số: y =
m x
x
−
(?) Học sinh cho rằng đường thẳng x = m là đường tiệm cận đứng và
đường thẳng y = 1 là đường tiệm cận ngang.
(!) Thật ra khi m = 0 thì hàm số y =
x x
= 1 với tập xác định x ≠ 0. Lúc
này đường cong đã suy biến thành đường thẳng (y = 1) bỏ đi một điểm (x = 0). Và khi đó không thể xem đường thẳng x = m = 0 là đường tiệm cận đứng của đường thẳng y = 1 được. Chỉ có thể hiểu theo nghĩa rộng, rằng đường thẳng y = 1 là đường tiệm cận ngang.
Lời giải đúng là:
Ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1: Nếu m = 0 thì hàm số suy biến thành đường thẳng có phương trình y = 1 nên không có tiệm cận.
* Trường hợp 2: Nếu m < 0 thì:
+x→mlim y = + − ∞ hoặc x→mlim y = – + ∞ nên đường thẳng x = m là đường
tiệm cận đứng.
+ x→lim y = 1 hoặc −∞ x→lim y = 1 nên đường thẳng y = 1 là đường tiệm+∞
cận ngang.
* Trường hợp 3: Nếu m > 0 thì:
+x→mlim y = – − ∞ hoặc xlim y = + →m+ ∞ nên đường thẳng x = m là đường
tiệm cận đứng.
+ x→lim y = 1 hoặc −∞ x→lim y = 1 nên đường thẳng y = 1 là đường tiệm+∞
cận ngang.
Vậy: Nếu m = 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Nếu m ≠ 0 thì đồ thị hàm số có:
Đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m. Đường tiệm cận ngang là đường thẳng y =1.