KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
2.3 Biện pháp 2: Thiết kế các tình huống hoạt động học tập hợp tác
Trong xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, quan tâm đến việc hoạt động hóa người học. Theo GS Nguyễn Bá Kim, một trong năm định hướng hoạt động hóa người học là: “Xây dựng những tình huống có dụng ý sư phạm cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu”. Vấn đề đặt ra là: người giáo viên cần phải tổ chức các tình huống sao cho trong quá trình học tập, học sinh phải được đương đầu với những thách thức theo từng cấp độ phù hợp với trình độ và khả năng của họ, đồng thời biết liên kết với nhau để chung sức giải quyết những vấn đề đặt ra, trao đổi với nhau để cùng nhau khắc phục những suy nghĩ sai lầm của mỗi cá nhân thường mắc phải.
Từ thực tiễn trong quá trình học tập cũng như giảng dạy, chúng ta đều biết rằng không phải mọi tri thức, kỹ năng đều được hình thành bằng những hoạt động độc lập cá nhân. Lớp học là môi trường giao tiếp thầy –
trò, trò – trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, được khẳng định đúng hay bác bỏ bởi sai lầm, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới.
Lý luận chung về hoạt động học tập hợp tác hay nói cách khác là phương pháp dạy học hợp tác: là phương pháp hợp tác tổ chức các nhóm, tổ, khối, ... học sinh để thực hiện nhiệm vụ học tập nhất định trong một thời gian nhất định, nhờ đó mà học sinh biết phân tích, phán đốn, tranh luận, suy nghĩ có logic cùng nhau xây dựng, hình thành nhận thức mới. Có thể coi dạy học hợp tác là một cách, một phương án tạo điều kiện cho học sinh vừa luyện tập được khả năng độc lập suy nghĩ lại vừa chia sẻ được kinh nghiệm đã tích lũy của bản thân, trong đó có những kinh nghiệm tiếp nhận được và có cả những sai lầm nên tránh.
Thực hiện biện pháp thiết kế các tình huống hoạt động học tập hợp tác nhằm hạn chế và khắc phục những sai lầm của học sinh khi giải toán là một lựa chọn hồn tồn có cơ sở và mang tính khả thi cao. Bởi lẽ đây là quan điểm phù hợp với phương pháp dạy học tích cực mà tồn ngành giáo dục cả nước đã và đang chú trọng thực hiện: quá trình học hỏi hợp tác sẽ khắc phục dần được sự tiếp thu thụ động, xây dựng được niềm tin, sự chủ động học tập của các em, tư duy phê phán, tính tích cực nhận thức của học sinh được phát triển, như câu nói của cố Thủ tướng Phạm Văn Đồng: “Chỉ có thảo luận, tranh luận, lật qua, lật lại, người thấy mặt này, người thấy mặt khác, thì mới dần dần tiếp cận cái đúng, ...” (dẫn theo Nguyễn Gia Cầu 2006). Nếu xét theo khía cạnh kinh nghiệm cuộc sống thì trong dân gian có câu “Học thầy khơng tày học bạn”.
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học cho rằng để thiết kế tình huống học tập hợp tác bao gồm bốn bước: xác định mục tiêu, chọn nội dung, thiết kế tình huống cụ thể và tổ chức hoạt động học tập hợp
tác. Đối với bước 2, có thể chọn những nội dung như: tổng kết các phương pháp giải một dạng bài tập, tổng kết chương, tìm nhiều cách giải cho một bài tốn, tìm và sửa chữa sai lầm khi giải tốn, những tình huống để tiếp cận khái niệm và định lý mới, ...Và trong các ví dụ được nêu ra sau đây, chúng tôi chỉ tập trung vào việc thiết kế tình huống cụ thể với nội dung được chọn là tìm và sửa chữa sai lầm khi giải tốn. Đối với cơng đoạn chia nhóm để thảo luận thì tùy theo tình hình cụ thể, mơ hình cụ thể của từng lớp học mà có thao tác chia nhóm thích hợp.
Ví dụ 6: a). Tình huống để học sinh thảo luận:
Cho bài toán:
“Giải phương trình lượng giác: 6(cosx – sinx) + sinxcosx + 6 = 0” Lời giải:
“ Đặt t = cosx – sinx = 2 sin
−π x 4 , điều kiện: t ≤ 2 . Ta có: t2 = 1 – 2sinxcosx,
nên 2sinxcosx = 1 – t2 ⇔ sin2x = 1 – t2 (*)
Thay vào phương trình đã cho ta được: 6t +
2 t
1− 2 + 6 = 0 ⇔ t2 – 12t – 13 = 0 (**)
Nghiệm của phương trình (**) là: t1 = – 1 (thỏa mãn) và t2 = 13 (không thỏa mãn). Thay t1 = – 1 vào (*) ta được:
sin2x = 0 ⇔ x = k
2
π
, k ∈ℤ”
Yêu cầu: Hãy đánh giá lời giải bài tốn trên, nếu có sai lầm thì chỉ
ra sai lầm và đề xuất cách khắc phục.
- Có nhóm học sinh cho rằng kết quả của lời giải là đúng, trong trường hợp này, giáo viên cần chỉ ra một phản ví dụ: chẳng hạn, thay giá trị x = 0 vào phương trình đã cho sẽ thấy khơng thỏa mãn (điều này sẽ kích thích học sinh suy nghĩ tìm nguyên nhân dẫn đến nghiệm ngoại lai). Lúc này, từng nhóm học sinh cần thảo luận với nhau để tìm nguyên nhân và cách sửa chữa sai lầm. Có nhiều ý kiến khác nhau vì mỗi người có một cách nghĩ, và có nhiều con đường để sửa một sai lầm.
- Dự kiến câu hỏi gợi ý khi cần thiết và câu trả lời mong muốn: + Trong lời giải trên có bước nào khác với cách giải thông thường em vẫn giải đối với dạng phương trình này khơng? (thay t vào (*)
mà không phải là thay vào chỗ đặt t = 2 sin
−π x 4 );
+ Cách thay này có ảnh hưởng gì đến tập nghiệm của phương trình khơng? (chưa phát hiện gì khác);
+ Xét quá trình biến đổi của t để được (*)? (đó là phép bình phương hai vế);
+ Phép biến đổi này có tương đương khơng? Khi nào sẽ là phép biến đổi tương đương?
- Học sinh sẽ tìm thấy nguyên nhân sai lầm là quá trình biến đổi t để được (*) là phép biến đổi hệ quả, do đó khi thay t vào phương trình khơng tương đương với phương trình ban đầu dẫn đến xuất hiện nghiệm ngoại lai.
c) Kết luận vấn đề:
- Đây là một sai lầm khá tinh tế. Có thể chỉ rõ rằng khi thay kết quả nghiệm mới vào công thức của phép biến đổi hệ quả sẽ có khả năng xuất hiện nghiệm ngoại lai.
- Mặt khác, qua trao đổi, thảo luận, học sinh có được cách hiểu thấu đáo hơn về ý nghĩa của phép biến đổi tương đương và hệ quả.
d) Cách sửa lỗi sai:
Cách 1: Đây là cách mà đa số học sinh nhanh chóng lựa chọn:
Thay t = – 1 vào biểu thức t = 2 sin
−π x 4
Tiếp tục dẫn dắt học sinh thảo luận để đạt thêm hai cách sửa lỗi sau: Cách 2: Vẫn thay thế t như lời giải trên nhưng đồng thời phải bổ sung điều kiện cosx – sinx ≤ 0, vì t = – 1, để phép bình phương dẫn đến phương trình tương đương thì hai vế phải cùng dấu, sau khi có nghiệm phải kiểm tra lại điều kiện để loại nghiệm ngoại lai.
Cách 3: Thử lại tất cả các nghiệm có được (cách này chỉ thực hiện được trong trường hợp số các điểm ngọn của cung lượng giác hữu hạn và dễ tính tốn).
Kết quả đúng là: x = 2
π + k2π và x = π + k2π, k ∈ℤ
Một ưu điểm đặc biệt hơn nữa của phương pháp dạy học hợp tác là giáo viên có thể tận dụng khả năng tương tác giữa các học sinh khá giỏi với các học sinh còn yếu để giúp đỡ lẫn nhau. Chẳng hạn, học sinh yếu sẽ học được từ học sinh giỏi cách làm, cách diễn đạt, các kiến thức còn chưa rõ, các thao tác còn hạn chế. Ngược lại, học sinh khá giỏi thơng qua việc sửa lỗi, góp ý cho học sinh yếu cũng rút kinh nghiệm cho bản thân, hiểu sâu và hiểu rõ hơn về kiến thức đã học.
Ví dụ 7: a). Tình huống để học sinh thảo luận:
Có hai lời giải cho cùng một bài toán:
Lời giải 1: 0 xdx 1 3 ∫ − = 0x dx 1 3 1 ∫ − = 0 1 3 4 x 4 3 − = – 4 3
dx x 0 1 3 ∫ − = – 1 tdt 0 3 ∫ = – 1t dt 0 3 1 ∫ = – 1 0 3 4 t 4 3 = – 4 3
Yêu cầu: Hãy nhận xét 2 lời giải của cùng một bài toán trên, cả hai
đều đúng hay một trong hai lời giải có sai lầm?
b). Dự kiến các tình huống trong thảo luận nhóm:
Mặc dù bài toán rất đơn giản nhưng ẩn chứa bên trong rất nhiều cách hiểu sai lầm của học sinh. Với việc đưa ra hai lời giải như trên sẽ nảy sinh nhiều vấn đề để các nhóm học sinh tranh luận, và qua đó cũng làm sáng tỏ nhiều kiến thức mà học sinh còn chưa thật sự vững vàng.
- Cả hai lời giải đều sai bởi x thuộc khoảng (– 1 ; 0), do đó khơng tồn
tại được 3 x !?
- Với x thuộc (– 1; 0) thì 3 x vẫn có nghĩa, bởi đây là căn bậc lẻ.
Biến đổi và sử dụng công thức nguyên hàm ở lời giải 1 đều chính xác, do đó lời giải 1 đúng, lời giải 2 sai!?
- Lời giải 2 sai bởi khi hốn đổi vị trí của cận trên và cận dưới đã khơng làm xuất hiện dấu trừ “–”, cịn dấu “–” có mặt trong biến đổi là do
3 −x = – 3 t !?
Mặc dù vấn đề chưa được sáng tỏ, nhưng với các ý kiến thảo luận trên đã bộc lộ nhiều sai lầm của học sinh. Với ý kiến thứ nhất thì đã được ý kiến thứ hai khắc phục. Ý kiến thứ ba biểu hiện sai lầm của tính tốn khơng cẩn thận khi trong biểu thức biến đổi xuất hiện liên tiếp nhiều dấu “–”. Vấn đề sai lầm chính mà tình huống mong muốn học sinh phát hiện vẫn cịn “ẩn náu”.
- Trong lời giải 1, có vấn đề gì khi chuyển từ dạng căn bậc về dạng
lũy thừa không? (biến đổi đúng, bởi áp dụng n a = m amn )
- Vậy 3 4
là số hữu tỷ, do đó điều kiện cho x là gì? (x > 0)
Khi đó học sinh củng cố lại được khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ chỉ được phát biểu cho cơ số dương.
c) Kết luận vấn đề:
Trong giải tốn khơng nên q máy móc áp dụng cơng thức, định lý mà phải xem xét điều kiện, phạm vi sử dụng được công thức, định lý. Cần hiểu rõ bản chất của vấn đề mà mình đang thực hiện.
d) Cách sửa lỗi sai:
Lời giải 2 là cách khắc phục sai lầm cho lời giải 1.
Từ thực tế sư phạm và qua hai tình huống đã được thiết kế, có thể kết luận sơ bộ rằng: với việc tổ chức những tình huống như thế đã cuốn hút được tất cả học sinh hăng hái tham gia hoạt động vì thoạt tiên các em thấy bài tốn đơn giản và cảm thấy mình dễ dàng giải quyết. khi thực sự làm việc có khá nhiều học sinh khơng tìm được sai lầm trong lời giải, chỉ có một số học sinh khá giỏi phát hiện được sai lầm. Đơi khi cả nhóm khơng phát hiện vấn đề nhưng sau khi thảo luận, qua ý kiến trình bày của các nhóm khác thì cả lớp có được kết luận đầy đủ và hiểu sâu sắc vấn đề hơn. Tích cực hơn là qua những lần thảo luận như thế, học sinh khá giỏi thì thấy mình có ý nghĩa đối với bạn bè, học sinh yếu thì học tập được ở bạn mà không cảm thấy tự ti.
Tuy nhiên, muốn phát huy tốt mặt tích cực của phương pháp này thì giáo viên cần lưu ý: tình huống thiết kế khơng nên quá dễ và cũng khơng q khó, khơng nên q lạm dụng phương pháp này, vì những điều đó sẽ dẫn đến nhàm chán trong học sinh. Một khi sử dụng phương pháp dạy học
hợp tác thì cần thiết kế tình huống chứa đựng nhiều kiểu sai lầm, tình huống thực sự là nịi nổ cho hoạt động học tập tích cực hợp tác, tạo sự phụ thuộc tích cực trong học sinh, đáp ứng được mục tiêu giáo dục hiện nay là học sinh học để biết, học để làm, học để khẳng định mình và học để cùng chung sống.
Ví dụ 8: a). Tình huống để học sinh thảo luận:
Bài tốn: “Tìm các điểm trên trục Ox mà từ đó kẻ được đúng một
tiếp tuyến tới đồ thị (C) của hàm số y =
1 x 4 x2 − − ” Lời giải:
“ Gọi điểm M(m ; 0) nằm trên Ox. Đường thẳng d đi qua M và có hệ số góc k, phương trình có dạng:
y = k(x – m)
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) ⇔ phương trình
1 x 4 x2 − − = k(x – m) có nghiệm kép ⇔ x2 – 4 = k(x – 1)(x – m) có nghiệm kép ⇔ (k – 1)x2 – k(m + 1)x + km + 4 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆x = 0 ⇔ k2(m + 1)2 – 4(k – 1)(km + 4) = 0 ⇔ (m – 1)2k2 + 4(m – 4)k + 16 = 0 (*)
Để có một tiếp tuyến thì phương trình (*) có đúng một nghiệm k
⇔ ∆'k = 0 ⇔ 4(m – 4)2 – 16(m – 1)2 = 0 ⇔ − = = 2 m 2 m
Vậy có hai điểm thuộc Ox thỏa mãn bài toán là: M1(2 ; 0), M2(–2 ; 0)”
Yêu cầu: Hãy đánh giá lời giải bài toán trên, nếu có sai lầm thì chỉ
ra sai lầm và đề xuất cách khắc phục.
- Ngay từ bước biến đổi đầu tiên là khơng tương đương, bởi khi nhân
hai vế phương trình cho x – 1 khơng có điều kiện x ≠ 1.
- Biện luận phương trình ẩn x có nghiệm kép ⇔ ∆x = 0 là chưa
thỏa mãn bởi thiếu điều kiện ràng buộc: k – 1 ≠ 0 hay k ≠ 1.
- Phương trình (*) có đúng một nghiệm k ⇔ ∆'k = 0 chỉ đúng
trong trường hợp (m – 1)2 ≠ 0 hay m ≠ 1.
- Biện luận cho phương trình (*) có đúng một nghiệm k cịn thiếu trường hợp phương trình (*) suy biến thành phương trình bậc nhất, nghĩa là
(m – 1)2 = 0 hay m = 1.
* Dự kiến câu hỏi gợi ý khi cần thiết và câu trả lời mong muốn: - Bổ sung phần biện luận cho phương trình (*) có đúng một nghiệm k đã vét hết các trường hợp chưa?
- Khi xét đến phương trình (*) thì đã kèm điều kiện ràng buộc nào? (k ≠ 1).
- Trường hợp thứ ba cần biện luận là gì? (phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1).
c) Kết luận vấn đề:
Để giải bài toán này cũng như để thực hiện cho những bài toán khác, cần nắm vững phép biến đổi tương đương và nếu có biện luận thì nên xem xét đầy đủ các trường hợp, các khả năng có thể xảy ra. Hơn nữa, cần kết hợp những điều kiện đã được hình thành trước vào vấn đề cụ thể đang xem xét.
d) Cách sửa lỗi sai:
Các ý kiến thảo luận mà học sinh đã nêu ra là cơ sở để khắc phục các sai lầm đã có trong lời giải bài tốn. Việc cịn lại là trình bày có bổ sung các vấn đề đã được sáng tỏ.
M1(1 ; 0), M2(2 ; 0), M3(– 2; 0), M4(–1 ; 0).