Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net Bài 1: Cho 2 2 x y (E) : 1 6 3 + = + =+ = + = 1.Xét một hình vuông ngoại tiếp (E) . Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh hình vuông đó 2.Tìm quỹ tích các điểm P của mặt phẳng mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E) 3.Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của (E) và (E’) : 2 2 x 4y 4 + = + =+ = + = Bài giải: 1.Gọi ( ) : Ax By C 0 ∆ + + = là một cạnh hình vuông ( ) ∆ tiếp xúc (E) 2 2 2 2 2 2 2 2 a A b B C 6A 3B C ⇔ + = ⇔ + = (*) ( ') ( ) ( ') : Bx Ay C 0 ∆ ⊥ ∆ ⇔ ∆ − + = là cạnh thứ hai của hình vuông ( ') ∆ tiếp xúc (E) thỏa 2 2 2 3A 6B (C') + = Theo tính chất hình vuông : O, O, ' d d ∆ ∆ = Hay 2 2 2 2 2 2 C C' 6A 3B 3A 6B A B = ⇔ + = + ⇔ = Chọn A 1 B 1 C 3 và C' 3 = ⇒ = ± ⇒ = ± = ± Vậy 1 2 3 4 ( ) : x y 3 0 ( ) : x y 3 0 ( ) : x y 3 0 ( ) : x y 3 0 ∆ + + = ∆ − + = ∆ + − = ∆ − − = 2. Ta có ĐKTX 2 2 2 2 2 2 6A 3B C ; 3A 6B C' + = + = Gọi (x , y) là giao điểm của ( )và ( ') ∆ ∆ là nghiệm 2 2 2 2 2 2 Ax By C 0 C C' (A B ) (x y ) Bx Ay C 0 + + = ⇒ + = + + + − + = (1) Theo ĐKTX 2 2 2 2 C C' 9(A B ) + = + (2) Từ (1) và (2) 2 2 x y 9 ⇒ + = Quỹ tích các điểm P là đường tròn O(0,0) và R = 3 3. Toạ độ giao điểm (E) và (E’) : 2 2 2 2 x y x 2y 6 x 1 6 3 2y 2 y x 4y 1 + = ∈φ + = ⇔ ⇔ − = ∈φ + = Vậy không có đường tròn đi qua tiếp tuyến cần tìm Bài 2 :Trong mặt phẳng toạ độ cho (E) : 2 2 x 4y 4 + = + =+ = + = 1.Cho A(-2,0) . Giả sử M là điểm di động trên (E) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy , AH cắt OM tại P . CMR khi M thay đổi trên Elip thì P luôn chạy trên đường cong (C) cố đònh 2.Cho M(-2,m) và N(2,n) . Gọi A 1 , A 2 là các đỉnh trên (E) a.Hãy viết phương trình đường thẳng A 1 N và A 2 M , xác đònh toạ độ giao điểm I b.Cho MN thay đổi sao cho nó luôn tiếp xúc (E) . Tìm qũy tích của I Bài giải: 1.Do A(-2,0) thuộc Ox nên (C) nhận Ox làm trục đối xứng Gọi M(x 0 ,y 0 ) thuộc (E) : 2 2 2 0 0 0 0 x 4y 1 x 2 1 y + = ⇔ = ± − Ycbt thì M chạy trên Ox và y 0 > 0 . Nên xét M thuộc góc phần tư thứ hai của Oxy 2 0 0 M( 2 1 y ,y ) ⇒ − − Và H(0,y 0 ) 0 0 0 2 0 AH : y x 2y 2y 0 (1) y OM : y x (2) 2 1 y − + = ⇒ = − − Toạ độ P thoả (1) và (2) 0 0 0 2 0 y y x x 2y 0 1 y ⇒ + + = − 2 0 (2) 0 P P 2 2 0 0 2 1 y y x (*) y 1 1 y 1 1 y − − ⇒ = → = + − + − Từ (*) 2 2 0 0 2 2 0 0 2 p P 2 1 y y : x 1 1 y 1 1 y 1 1 y − − + = + = = + − + − Vậy P chạy trên Parabol : y 2 = x + 1 bỏ (-1,0) Khi y 0 = 1 ± thì trùng B 1 , B 2 ⇒ P trùng B 1 , B 2 2. a.(E) có 2 2 a 4 và b 1 = = 1 2 A ( 2,0),A (2,0) ⇒ − Gọi N(2,n) : A 1 N : nx – 4y +2n = 0 1 ( ) ∆ M(-2,m) : A 2 N : mx + 4y -2m = 0 2 ( ) ∆ 1 2 I = ∆ ∩ ∆ toạ độ 2(m n) m.n I , m n m n − + + b. (MN) : (n – m)x – 4y + 2(m + n) = 0 MN tiếp xúc (E) thoả 4(n – m) 2 + 16 = 4(m + n) 2 mn 1 ⇔ = Cách 1: Toạ độ I 2 2 2 2(m n) 2(m 1) x m n m 1 m.n 1 y m n m 1 − − = = + + = = + + vì m.n = 1 2 2 2 x m 1 2 m 1 2 2y m 1 − = + ⇔ = + vì 2 2 2 x m 1 1 2 m 1 2 2y 1 m 1 − = ≤ + = ≤ + nên 2 2 x : (2y) 1 2 + = ⇒ qũy tích của I là một phần Elip có phương trình : 2 2 x 4y 1 4 + = thỏa y = 0 Cách 2: Toạ độ 4y n x 2 I 4y m 2 x = + = − mà m.n = 1 ⇒ đpcm Bài 3: Cho 2 2 x y (E) : 1 25 16 + = + =+ = + = 1.Tìm mối quan hệ giữa k và m để đường thẳng (d) : y = kx + m (k R ∈ ∈∈ ∈ ) tiếp xúc (E) 2.Khi (d) là tiếp tuyến (E) , gọi giao điểm của (d) với các đường thẳng x 5 = ± = ±= ± = ± là M , N . Tính diện tích tam giác FMN theo k ; F là tiêu điểm của (E) có hoành độ dương . Đònh k để FMN có diện tích bé nhất 3.Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại 0 5 3 M ,2 2 4.Tìm toạ độ P sao cho P ∈ ∈∈ ∈ (E) thỏa PF 1 = 4PF 2 5.Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (E) và 2 2 x y (E') : 1 16 25 + = + =+ = + = Bài giải: 1.(d) : kx – y + m = 0 ; (d) tiếp xúc (E) thỏa: 2 2 2 2 2 2 2 2 a A b B C 25k 16 m m 25k 16 + = ⇔ + = ⇒ = ± + 2.Gọi (d) là tiếp tuyến (E) và (d 1 ) : x = -5 ; (d 2 ) : 5 2 (d) (d ) M(5,m 5k) ∪ = + và 1 (d) (d ) ( 5,m 5k) ∩ = − − 2 F,(d) 3k m d h k 1 + = = + và 2 MN 10 1 k = + FMN 1 S dt h.MN 5 3k m 2 ⇒ = = = + Theo câu 1 suy ra : 2 m 25k 16 3k = ± + > 2 2 5(3k 25k 16) d (E) trên Ox S 5(3k 25k 16) d (E) dưới Ox + + ∩ ⇒ = − + + ∩ Đặt f(k) = 2 5(3k 25k 16) + + 2 2 25k 3 25k 16 f '(k) 5 25k 16 + + ⇒ = + f ’(k) = 0 3 3 k f 16 5 5 ⇒ = − ⇒ − = k −∞ 3 5 − + ∞ f ’(k) - 0 + + ∞ + ∞ f(k) 16 MinS = 16 3 k 5 ⇔ = − 3.Dùng công thức phân đôi toạ độ ta được ( ) : 4 3x 5y 40 0 ∆ + − = 4.Gọi P(x 0 ,y 0 ) thì PF 1 = 4PF 2 0 0 a x e 4(a x e) ⇔ + = − 0 0 0 0 3 3 5 x 4 5 x x 5 y 0 5 5 ⇔ + = − ⇔ = ⇒ = Vậy P 2 A (5,0) (E) ≡ ∈ thì PF 1 = 4PF 2 ⇔ đpcm 5.Gọi (d) : y = kx + b và (d) tiếp xúc (E) , (E’) thoả: 2 2 2 2 2 2 k 1 25k 16 b k 1 16k 25 b b 41 b 41 = ± + = = ⇔ ⇔ + = = = ± Vậy có 4 tiếp tuyến chung (d) : x – y 41 ± = 0 ; (d’) : x y 41 0 − − ± = Bài 4: Cho (E) : 2 2 4x 9y 36 + = + =+ = + = và M(1,1) . Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại M 1 , M 2 sao cho MM 1 = MM 2 Bài giải: (d) qua M(1,1) có hệ số góc k thỏa (d) : k(x – 1) + 1 Phương trình hoành độ giao điểm (E) và (d) : 2 2 4x 9y 36 y k(x 1) 1 + = = − + 2 2 2 (4 9k )x 18k(1 k)x 9k 18k 27 0 ⇔ + + − + − − = { } 1 2 (d) (E) M ,M ∩ = thoả 1 2 MM MM = ⇒ M là trung điểm 1 2 M M 1 2 M x x 2x ' 0 + = ⇔ ∆ ≥ 4 k 9 ⇒ = − Vậy (d) : 4x + 9y - 13 = 0 Bài 5: Cho 2 2 x y (E) : 1 9 4 + = + =+ = + = và A(-3,0) ; M(-3,a) ; B(3,0) ; N(3,b) trong đó a,b là 2 số thay đổi 1.Xác đònh toạ độ giao điểm I AN BM = ∩ = ∩= ∩ = ∩ 2.Chứng tỏ rằng để MN tiếp xúc (E) , điều kiện cần và đủ là a,b thỏa ab = 4 3.Với a,b thay đổi nhưng sao cho MN luôn tiếp xúc với (E) , hãy tìm quỹ tích của điểm I Bài giải: 1.Gọi I(x 0 ,y 0 ) AN BM = ∩ thỏa : 0 0 0 0 0 0 bx 6y 3b 0 6(a b)x 18(a b) ax 6y 3a 0 6(a b)y 6ab − + = + = − ⇔ + − = + = N ếu a + b = 0 AN BM ⇒ ∩ = φ Nếu a + b 0 ≠ { } AN BM I ⇒ ∩ = Với 3(a b) ab I , a b a b − + + 2.Phương trình đường thẳng MN : (b – a)x – 6y + 3(a + b) = 0 (a b) ≠ MN tiếp xúc (E) [ ] 2 2 2 9(b a) 4( 6) 3(a b) 144 36ab ab 4 ⇔ − + − = + ⇔ = ⇔ = Nếu a = b thì : a+ b = 4 a b 2 ab 4 ⇒ = = ⇒ = 3.MN tiếp xúc (E) ⇔ a + b 0 ≠ và 3(a b) 4 I , a b a b − + + Qũy tích tâm I thỏa : 0 0 0 0 0 0 2x 2 a 0 y 3y 2x 2 b 0 y 3y = + > = − > 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 4x x 4 ab 4 y 1 y 9y 9 ⇒ = − = ⇔ + = Vậy qũy tích tâm I là (E’) : 2 2 x y 1 9 + = bỏ đi 2 đỉng trên trục lớn là ( 3,0 ± ) Bài 6: Trong Oxy cho 2 2 x y (E) : 1 9 4 + = + =+ = + = và hai đường thẳng : 2 2 ( ) : ax by 0 và ( ') : bx ay 0 (a b 0) ∆ − = ∆ + = + ≠ ∆ − = ∆ + = + ≠∆ − = ∆ + = + ≠ ∆ − = ∆ + = + ≠ 1.Xác đònh giao điểm M,N của ( ) ∆ ∆∆ ∆ với (E) và các giao điểm P,Q của ( ') ∆ ∆∆ ∆ với (E) 2.Tính theo a,b diện tích tứ giác MPNQ 3.Tìm điều kiện đối với a,b để diện tích ấy bé nhất , lớn nhất Bài giải: 1.Giao điểm (E) và ( ) ∆ thoả: 2 2 2 2 6b x ax by 0 9a 4b x y 1 a y x 9 4 b = ± + = + ⇔ + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 6b 6a 6b 6a M , ; N , 9a 4b 9a 4b 9a 4b 9a 4b − − ⇒ + + + + Giao điểm (E) và ( ') ∆ thoả: 2 2 2 2 6b x ax by 0 9a 4b x y 1 a y x 9 4 b = ± + = + ⇔ + = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 6a 6b 6a 6b P , ; Q , 9a 4b 9a 4b 9a 4b 9a 4b − − ⇒ + + + + 2.(Vì MN PQ ⊥ tại O MPNQ ⇒ là hìn thoi) 3. MPNQ S dt 72 = = 0 0 ( ) : ax by 0 a x b y 0 ∆ − = ⇔ − = ( ∆ ’) : 0 0 bx ay 0 b x a y 0 + = ⇔ + = 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 a b a ; b a b 1 a b a b = = ⇒ + = + + 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 72(a b ) 72 S (9a 4b )(4a 9b ) 36 (5a b ) + = = + + + Ta có : 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 a b 2 a b a b hay(a b ) 2 4 + ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇒ minS 2 72 36 13 5 36 4 = = + Dấu “=” xảy ra 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 (a b ) a b a b 4 ⇔ = ⇔ = ⇔ = Vậy min S a b ⇔ = hay ( ∆ ) và ( ∆ ’) là cặp phân giác y x 0 ± = 2 0 0 72 72 S 12 16 36 (5a b ) = ≤ = + max S = 12 2 0 0 0 0 (a b ) 0 a 0 b 0 = ⇔ = ∨ = Bài 7: Cho 2 2 2 2 x y (E) : 1 a b + = + =+ = + = Gọi AA’ là trục lớn của Elip , dựng các tiếp tuyến At ,A’t’ . Một tiếp tuyến qua M (E) ∈ ∈∈ ∈ cắt At , A’t’ tại T và T’ 1.CMR : tích AT.A’T’ không phụ thuộc M 2.Tìm qũy tích giao điểm N của AT’ và A’T khi M chạy trên (E) 3.CMR ( ) : Ax By C 0 ∆ + + = ∆ + + =∆ + + = ∆ + + = , tiếp xúc (E) 2 2 2 2 2 a A b B C ⇔ + = ⇔ + =⇔ + = ⇔ + = Bài giải: 1.Tiếp tuyến tại M(x 0 ,y 0 ) là 0 0 2 2 x x y y 1 (1) a b + = Vì T(-a,y 1 ) T’(a,y 2 ) nằm trên tiếp tuyến nên : 2 0 1 1 0 2 1 2 2 0 2 2 0 x b T (1) : y 1 y a AT.A'T' y y b x b T (2) : y 1 y a ∈ = + ⇒ = = ∈ = − 2.Pt : (A’T) : -2ay = y 1 (x – a) 2 2 2 0 0 0 b (a x )x 2a y y ab (a x ) 0 ⇔ − − + − = (AT’) : 2 2 2 0 0 0 b (a x )x 2a y y ab (a x ) 0 + + − + = Gọi 2 2 0 0 22 x y N A'T AT' 1 a b 2 = ∩ ⇔ + = Vậy quỹ tích điểm N là Elip (E’) : 2 2 22 x y 1 a b 2 + = 3.* B Ax C 0 : ( ) : y B + ≠ ∆ = − hoành độ ( ) ∆ và (E) : 2 2 2 2 2 x (Ax C) 1 a B b + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x (Aa) (Bb) x 2a AC a C a b B 0 ⇔ + + + − = (1) ( ∆ ) tiếp xúc (E) 2 2 2 2 2 '(1) 0 a A b B C ⇔ ∆ = ⇔ + = * B = 0 C A 0( ) : x A ⇒ ≠ ∆ = − ( ∆ ) tiếp xúc (E) 2 2 2 2 2 C a a A b B C A ⇔ − = ± ⇔ + = Bài 9: Cho 2 2 2 2 x y (H) : 1 a b − = − =− = − = 1.CMR tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của (H) đến các tiệm cận của nó là một số không đổi 2.CMR ( ) : Ax By C 0 ∆ + + = ∆ + + =∆ + + = ∆ + + = tiếp xúc (H) , điều kiện cần và đủ là 2 2 2 2 2 a A b B C − = − =− = − = 3.Tìm tập hợp các điểm trong Oxy sao cho từ điểm đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (H) và 2 tiếp tuyến ấy là vuông góc với nhau 4.M là điểm bất kỳ trên (H) , 1 2 ( ) ,( ) ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ là hai đường thẳng đi qua M và tương ứng song song với 2 tiệm cận của (H) . CMR : diện tích của hình bình hành giới hạn bởi 1 2 ( ) ,( ) ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ và 2 đưồng tiệm cận là một số không đổi Bài giải: 1.Gọi M(x 0 ,y 0 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 x y (H) : 1 b x a y a b a b ∈ − = ⇔ − = (H) có 2 đường tiệm cận : b y x bx ay 0 a = ± ⇔ ± = Khoảng cách từ M(x 0 ,y 0 ) đến 2 tiệm cận là: 0 0 1 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 2 2 2 bx ay d a b b a d d a b bx ay d b a + = + ⇒ = + − = + (không đổi) 2.Ax + By + C = 0 By C x , A 0 A + ⇔ = − ≠ Tung độ giao điểm của ( ∆ ) và (H) là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y (By C) y 1 (b B a A )y 2b BC b (C a A ) 0 a A b + − = ⇔ − + + − = (1) ( ) ∆ tiếp xúc (H) (1) ⇔ có nghiệm kép thoả : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) b B a A 0 c a A b B 0 − = ⇔ = − ∆ = 3.Xét 2 tiếp tuyến ( ) và ( ') ∆ ∆ vuông góc: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : Ax By C 0 a A b B c a A b B ( Ax By) a B b A ( Bx Ay) ( ') : Bx Ay C' 0 a B b A c' ∆ + + = − = − = − − ⇔ − = − + ∆ − + = − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a (B A ) b (B A ) (B A )(x y ) ⇒ + − + = + + 2 2 2 2 b x y a b (1) y x a ⇔ + = − = ± Gọi H ( ) ( ') = ∆ ∩ ∆ thỏa: Nếu 2 2 a b − > 0 a b ⇔ > : quỹ tích những điểm H là đường tròn: 2 2 2 2 x y a b + = − có tâm O(0,0) và bán kính R = 2 2 a b − Nếu 2 2 a b − = 0 a b ⇔ = : Quỹ tích những điểm H là đường tròn điểm 2 2 a b − < 0 : Không tồn tại qũy tích điểm H 4.Theo câu 1 ta có : 2 2 1 2 2 2 a b d d a b = + Qua M(x 0 ,y 0 ) (H) ∈ ta kẻ 2 đường thẳng // 2 đường tiệm cận : b y x a = ± Đặt b b A k, k , B k, k a a − Khi đó OM OA OB = + uuuur uuur uuur (2) Ta có 0 0 b OA k, k x k k ' a b y (k k ') b OB k ', k ' a a = = + ⇒ = − = − uuur uuur M(x 0 ,y 0 ) 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 b (k k ') x y (k k') a a (H) : 1 1 k.k ' a b a b 4 − + ∈ − = ⇔ − = ⇔ = OABM OAB b ab dt 2dt 2 k.k ' a 2 = = = = hằng số Bài 10:Cho Parabol (P) : y 2 = 64x . Gọi M là một điểm thuộc (P) , N là điểm thuộc ( ) : 4x 3y 46 0 ∆ = + = ∆ = + =∆ = + = ∆ = + = 1.Xác đònh M,N để MN ngắn nhất 2.Từ kết quả tìm được ở 1 , chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của Parabol 3.Xác đònh điểm M trên (P) sao cho khoảng cánh từ đó đến đường thẳng đã cho là ngắn nhất 4.Viết ohương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ( ) ∆ ∆∆ ∆ , tiếp xúc (P) và có bán kính nhỏ nhất Bài giải: 1.Ta xét : 2 2 2 y x y 64x 64 y 4x 3y 46 0 y 3y 46 0 16 = = ⇔ ⇔ ∈φ + + = + + = (P) ⇒ không cắt ( ) ∆ Tiếp tuyến (d) với (P) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) : 0 0 0 0 y y 32(x x) 32x y y 32x 0 = + ⇔ − + = (d) // ( ) ∆ 0 0 0 2 0 0 0 y 24 y 32x 32 x 9 y 4 3 46 x 64 = − ⇔ = − ≠ ⇒ ⇒ = = Vì (d) // ( ) ∆ với (d0 là tiếp tuyến với (P) tại M 0 0 0 0 0 MN M N min MN M N ⇒ ≥ ⇒ = 0 M M (9, 24) ≡ − và N 0 là chân đường vuông góc hạ từ M 0 đến ( ) ∆ : 4x + 3y + 46 = 0 0 0 M N : 3x 4y c 0 ⇒ − + = 0 0 0 0 0 M (9, 24) M N M N : 3x 4y 123 0 − ∈ ⇔ − − = 0 0 3x 4y 123 0 37 126 N N , 4x 3y 46 0 5 5 − − = ⇒ ⇒ − + + = 2.Từ kết quả câu 1 , ta có MN ( ) ⊥ ∆ mà ( ) ∆ song song tiếp tuyến (d) của (P) tại M(9,-24) MN ⇒ ⊥ với tiếp tuyến tại M của (P) Cách khác: Vì M 0 (x 0 ,y 0 ) 2 2 0 0 0 0 y (P) y 64x x 64 ∈ ⇔ = ⇔ = 0 0 M, 4x 3y 46 d 5 ∆ + + = với MN ( ) ⊥ ∆ tại 0 0 y 3y 46 16 N 5 + + = MN ngắn nhất 0 0 y 3y 46 16 ⇔ + + nhỏ nhất 0 0 y 24 x 9 = − ⇒ = Vậy MN ngắn nhất là M(9,-24) và N ( ) ∈ ∆ với MN ( ) ⊥ ∆ 3.Xét 2 2 a M ,a (P) : y 64x,a 62 ∈ = ∈ 2 2 M, a 4 3a 46 (a 24) 160 64 d 5 80 ∆ + + + + = = min d = 2 (a 24) 2 2 min d 2 80 + + ≥ ⇒ = a 24 M(9, 24) ⇔ = − ⇔ − thỏa ycbt 4. M 0 (x 0 ,y 0 ) 2 2 0 0 0 0 y (P) y 64x x 64 ∈ ⇔ = ⇔ = Câu 3 ta có min M, d 2 ∆ = Tâm I của đường tròn (C) chính là hình chiếu vuông góc I của M trên ( ) ∆ . ⇒ Phương trình tham số MI x 9 2t y 24 3t = + = − − MI ( ) ∩ ∆ thỏa : 4(9 4t) 3( 24 3t) 46 0 + = − − + = 10 23 138 t H , 7 7 7 ⇔ = − ⇒ − Vậy phương trình cần tìm là : 2 2 23 138 x y 4 7 7 − + + = Bài 11: Cho Parabol : y 2 = 4x 1.CMR từ N (P) ∈ ∈∈ ∈ có thể kẻ đến (P) mà 2 tiếp tuyến đến (P) mà 2 tiếp tuyến này vuông góc 2.Cho M là một điểm trên (P) và M 0 ≠ ≠≠ ≠ . Tiếp tuyến tại M của (P) cắt Ox , Oy tại A,B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB chạy trên (P) Bài giải: 1. 2 y 4x P 2 = ⇒ = , đường chuẩn x= -1 Gọi N ( ) N( 1,n) ∈ ∆ ⇒ − ⇒ Phương trình đường thẳng (d) qua N có hệ số góc k (d) : y k(x 1) n kx y n k 0 = + + ⇔ − + + = (d) tiếp xúc (P) : 2 2 pB 2AC k nk 1 0 = ⇔ + − = Theo Viét : 1 2 k k 1 = − ⇒ Từ N (d) ∈ luôn vẽ được 2 tiếp tuyến với (P) và 2 tiếp tuyến vuông góc 2. 2 a M (P) : M ,a , a 0 4 ∈ ∀ ≠ Phương trình tiếp tuyến (T) của (P) : 2 a ay 2 x 4 = + cắt Ox tại 2 a A ,0 4 − , Oy tại a B 0, 2 ⇒ Trung điểm AB là I 2 a a , , a 0 8 4 − ∀ ≠ 2 2 2 (4x) x 2y y 8 2 ⇒ = − ⇔ = − Khi a = 0 x y 0 ⇒ = = Vậy quỹ tích I là Parabol : 2 x y 2 = − bỏ góc O Bài 12: Trên Oxy cho (P 1 ) : y = 8 – 3x – 2x 2 và (P 2 ) : y = 2 + 9x – 2x 2 1.Xác đònh a,b sao cho y = ax + b đòng thời là tiếp tuyến của 2 Parabol. Tìm tiếp điểm 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường Parabol đã cho và tiếp tuyến trên Bài giải: 1. 2 1 (P ) : y f(x) 8 3x 2x = = − − tiếp tuyến tại 1 1 (x ,y ) 2 1 1 1 1 1 y f '(x )(x x ) f(x ) ( 4x 3)x 2x 8 = − + = − − + + 2 2 (P ) : y f(x) 2 9x 2x = = + − tiếp tuyến tại 2 2 (x ,y ) 2 2 2 2 2 2 y f '(x )(x x ) f(x ) ( 4x 9)x 2x 2 = − + = − + + + Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến chung của 2 Parabol 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 a ( 4x 3) ( 4x 9) x x 3 b 2x 8 2x 2 (x x )(x x ) 3 = − − = − + − = ⇔ = + = + − + = 2 1 2 1 x 2 a 1 M ( 1,9) , M (2,12) x 1 b 10 = = ⇔ ⇒ ⇒ − = − = 2.Giải 1 2 (P ) (P ) = ta có : 0 1 x 2 = Vậy : 1 2 2 2 2 1 1 2 S (x 10 2x 3x 8)dx (x 10 2x 9x 2)dx − = + + + − + + + − − ∫ ∫ 3 3 1 1 2 2 9 2 (x 1) (x 2) 1 3 3 2 1 2 = + + − = − Với tiếp tuyến ( ) : y x 10 ∆ = + . . CMR khi M thay đổi trên Elip thì P luôn chạy trên đường cong (C) cố đònh 2.Cho M(-2,m) và N(2,n) . Gọi A 1 , A 2 là các đỉnh trên (E) a.Hãy viết phương trình đường thẳng A 1 N và A 2 M. rằng khi đó đường thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của Parabol 3.Xác đònh điểm M trên (P) sao cho khoảng cánh từ đó đến đường thẳng đã cho là ngắn nhất 4.Viết ohương trình đường tròn. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh hình vuông đó 2.Tìm quỹ tích các điểm P của mặt phẳng mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E) 3.Viết phương trình đường tròn đi qua