TÝnh vµ vÏ biÓu ®å m«men cña hÖ thanh nh h×nh vÏ.C¸c th«ng sè nh sau:P = 20(N)q = 5(kNm)M = 12(kNm)E = 1,2.106(Ncm2)a = 3(m)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Bài 1: Tính và vẽ biểu đồ mômen của hệ thanh nh hình vẽ. Các thông số nh sau: P = 20(N) q = 5(kN/m) M = 12(kNm) E = 1,2.10 6 (N/cm2) a = 3(m) I. dời tải trọng tập trung và phân bố về nút A - Đối với thanh 1. Trong đó: B - Đối với thanh 2. C - Đối với thanh 3 1 P 3 0 a a P ' 1 P 1 P1 P'1 L P 1 /2 P 1 /2 P 1. L/8P 1. L/8 P' 1. L/2P' 1. L/2 P' 1. L/2 P 1 /2 P 1. L/8 L P' 1. L/2 P 1. L/8 P 1 /2 P a M q P a 1 2 3 1 2 3 4 3 0 2 30sin1 2 3 30cos1' P PP PPP == == a P a a a P Pa/4 P/2 Pa/4 P/2 a P/2 a Pa/4 P P/2 Pa/4 q a q a qa/2 qa /12 qa /12 qa/2 a qa/2 qa /12 qa/2 qa /12 Sau khi rời các lực về nút ta có lực tác dụng ở các nút nh hình vẽ: II. tính toán a-Thông tin về phần tử Số hiệu phần tử 1 2 3 Nút đầu 1 2 3 Nút cuối 2 3 4 b-Thông tin về nút Số hiệu nút 1 2 3 4 Toạ độ x 0 3/2a 3/2a +a 3/2a +a Toạ độ y 0 2a 2a 0 c-Thông tin về tải trọng Số hiệu nút 1 2 3 4 Px -P 1 L/4 -P 1 L/4 P/2 P/2 Py -3P/4 -(3P/4+qa/2) -qa/2 0 Mz 0 M+qa 2 /12 -(Pa/4+qa 2 /12) Pa/4 d Thông tin về chuyển vị nút - Tổng số chuyển vị nút: 12 - Số chuyển vị nút bằng 0 : 5 - Số ẩn chuyển vị nút: 7 Đánh số chuyển vị nút u 1 v 1 1 u 2 v 2 2 u 3 v 3 3 u 4 v 4 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 III . Thiết lập ma trận độ cứng của các phần tử trong hệ toạ độ chung 2 a 1 1 3 0 2 M+qa /12 3 4 2 2 a 3 3P/4 P' 1. L/4 3P/4+qa/2 P' 1. L/4 Pa/4+qa /12 P/2 P/2 Pa/4 Theo c«ng thøc: [K’] i = [B] i T .[K] i .[T] i víi i = 1,2,3 Trong ®ã víi i = 1,2,3. B lµ ma trËn chuyÓn trÝ cña T a. §èi víi thanh 1 3 EA 12 10 6 ⋅ 0.15 2 ⋅:= EJ 12 10 6 ⋅ 0.15 4 12 ⋅:= ai 4 3 3 ⋅:= K EA ai 0 0 EA− ai 0 0 0 12 EJ ai 3 6 EJ ai 2 0 12− EJ ai 3 6 EJ ai 2 0 6 EJ ai 2 4 EJ ai 0 6− EJ ai 2 2 EJ ai EA− ai 0 0 EA ai 0 0 0 12− EJ ai 3 6− EJ ai 2 0 12 EJ ai 3 6− EJ ai 2 0 6 EJ ai 2 2 EJ ai 0 6− EJ ai 2 4 EJ ai := b. §èi víi thanh 2 a2 = 3 4 K 3.897 10 4 × 0 0 3.897− 10 4 × 0 0 0 18.268 63.281 0 18.268− 63.281 0 63.281 292.284 0 63.281− 146.142 3.897− 10 4 × 0 0 3.897 10 4 × 0 0 0 18.268− 63.281− 0 18.268 63.281− 0 63.281 146.142 0 63.281− 292.284 = T1 1 2 3− 2 0 0 0 0 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3− 2 0 0 0 0 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 := B1 1 2 3 2 0 0 0 0 3− 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3− 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 := K1 B1 K⋅ T1⋅:= K1 9.756 10 3 × 1.687 10 4 × 54.803− 9.756− 10 3 × 1.687− 10 4 × 54.803− 1.687 10 4 × 2.923 10 4 × 31.641 1.687− 10 4 × 2.923− 10 4 × 31.641 54.803− 31.641 292.284 54.803 31.641− 146.142 9.756− 10 3 × 1.687− 10 4 × 54.803 9.756 10 3 × 1.687 10 4 × 54.803 1.687− 10 4 × 2.923− 10 4 × 31.641− 1.687 10 4 × 2.923 10 4 × 31.641− 54.803− 31.641 146.142 54.803 31.641− 292.284 = K2 9 10 4 × 0 0 9− 10 4 × 0 0 0 225 337.5 0 225− 337.5 0 337.5 675 0 337.5− 337.5 9− 10 4 × 0 0 9 10 4 × 0 0 0 225− 337.5− 0 225 337.5− 0 337.5 337.5 0 337.5− 675 = c. Đối với thanh 3 a3 = 6 Từ các ma trận độ cứng của các phần tử ta có ma trận độ cứng của kết cấu là: Thay số vào thông tin về tải trọng ta có 5 K 4.5 10 4 ì 0 0 4.5 10 4 ì 0 0 0 28.125 84.375 0 28.125 84.375 0 84.375 337.5 0 84.375 168.75 4.5 10 4 ì 0 0 4.5 10 4 ì 0 0 0 28.125 84.375 0 28.125 84.375 0 84.375 168.75 0 84.375 337.5 = T3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 := B3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 := K3 B3 K T3:= K3 28.125 0 84.375 28.125 0 84.375 0 4.5 10 4 ì 0 0 4.5 10 4 ì 0 84.375 0 337.5 84.375 0 168.75 28.125 0 84.375 28.125 0 84.375 0 4.5 10 4 ì 0 0 4.5 10 4 ì 0 84.375 0 168.75 84.375 0 337.5 = K 292.284 54.803 31.641 146.142 0 0 0 54.803 9.97610 4 1.68710 4 54.803 9 10 4 0 0 31.641 1.68710 4 2.94610 4 305.859 0 225 337.5 146.142 54.803 305.859 967.284 0 337.5 337.5 0 9 10 4 0 0 9.00310 4 0 84.375 0 0 225 337.5 0 4.52310 4 337.5 0 0 337.5 337.5 84.375 337.5 1012.5 := Số hiệu nút 1 2 3 4 Px(KN) -0.03 -0.03 0.01 0.01 Py(KN) -0.015 -7.515 -7.5 0 Mz(KN/m) 0 12000004 -3.765 0.015 Phơng trình cân bằng: K.v = P Giải ra ta đợc Từ các chuyển vị của kết cấu ta lần lợt tính nội lực trong từng phần tử trong hệ toạ độ chung. Phần tử 1: 6 K 1 u2 v2 2 u3 v3 3 0 0.03 7.515 12000004 0.01 7.5 3.765 := K 1 u2 v2 2 u3 v3 3 0 0.03 7.515 12000004 0.01 7.5 3.765 := v 1.522 10 4 ì 2.295 10 4 ì 1.331 10 4 ì 1.895 10 4 ì 2.294 10 4 ì 46.998 3.775 10 3 ì = v K 1 P := P1 u1 v1 Mz1 u2 v2 Mz2 := Mz2 P1 K1 0 0 1.522 10 4 2.29510 4 1.331 10 4 1.89510 4 := P1 3.852 10 5 ì 2.109 10 6 ì 299.659 3.852 10 5 ì 2.109 10 6 ì 4.993 10 6 ì = • PhÇn tö 2: • PhÇn tö 3: 7 P2 u2 v2 Mz2 u3 v3 Mz3 := Mz3 P2 K2 2.29510 4 ⋅ 1.331− 10 4 ⋅ 1.89510 4 ⋅ 2.29410 4 ⋅ 46.998 3.775− 10 4 ⋅ ⋅:= P2 9 10 5 × 9.35− 10 6 × 4.457− 10 6 × 9− 10 5 × 9.35 10 6 × 2.359− 10 7 × = P3 u3 v3 Mz3 u4 v4 Mz4 := Mz4 P3 K3 2.29410 4 ⋅ 46.998 3.775− 10 4 ⋅ 0 0 0 ⋅:= P3 2.54− 10 6 × 2.115 10 6 × 1.081− 10 7 × 2.54 10 6 × 2.115− 10 6 × 4.435− 10 6 × = Bài 2: Tính chuyển vị các nút và xác định véc tơ ứng xuất trong các phần tử. Cho biết: P = 20KN/m q = 5KN/m2 a = 3m t = 10cm = 0.1m = 0.18 Bài làm Chia kết cấu thành các phần tử nh hình vẽ: Mạng lới gồm có 12 nút, 12 phần tử tam giác Các phần tử đều thuộc một trong hai loại sau đây: - Loại 1: (Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12) Ta có: xi = 0 xj = a/2 xm = a/2 yi = 0 yj = 0 ym = a/2 bi = yj ym = -a/2 ci = xm xj = 0 bj = ym yi = a/2 cj = xi xm = -a/2 bm = yi yj = 0 cm = xj xi = a/2 và 8 y x i j m a/2 a / 2 8 22 1 0 2 1 001 2 1 1 1 1 2 1 2 a aa a ymxm yjxj yixi === 2a a t P q a / 2 a / 2 P 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5 6 7 4 3 8 9 10 11 12 qa/24 6qa/24 5qa/24 5 - Loại 2: (Gồm các phần tử 2,4,6,9,11) Ta có: xi = 0 xj = a/2 xm = 0 yi = 0 yj = a/2 ym = a/2 bi = yj ym = 0 ci = xm xj = -a/2 bj = ym yi = a/2 cj = xi xm = 0 bm = yi yj = -a/2 cm = xj xi = a/2 và Ma trận độ cứng của phần tử đợc tính theo công thức sau: Trong đó r,s là hoán vị vòng tròn của i,j,m Ma trận độ cứng của phần tử loại 1(Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12) là Ta có ma trận độ cứng K1 là: 9 x i a/2 a / 2 y j m 8 2 01 22 1 001 2 1 1 1 1 2 1 2 a a aa ymxm yjxj yixi === [ ] ( ) + + + + = srsrsrsr srsrsrsr rs bbcccbbc bccbccbb Et k 2 1 2 1 2 1 2 1 14 2 Kii 6.201 10 5 ì 0 0 2.542 10 5 ì = Kij 6.201 10 5 ì 2.542 10 5 ì 1.116 10 5 ì 2.542 10 5 ì = Kim 0 2.542 10 5 ì 1.116 10 5 ì 0 = Kj j 8.743 10 5 ì 3.659 10 5 ì 3.659 10 5 ì 8.743 10 5 ì = Kmm 2.542 10 5 ì 0 0 6.201 10 5 ì = Kjm 2.542 10 5 ì 2.542 10 5 ì 1.116 10 5 ì 6.201 10 5 ì = K1 6.201 10 5 0 6.201 10 5 1.116 10 5 0 1.116 10 5 0 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 0 6.201 10 5 2.542 10 5 8.743 10 5 3.659 10 5 2.542 10 5 1.116 10 5 1.116 10 5 2.542 10 5 3.659 10 5 8.743 10 5 2.542 10 5 6.201 10 5 0 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 0 1.116 10 5 0 1.116 10 5 6.201 10 5 0 6.201 10 5 := Ma trận độ cứng của phần tử loại 2(Gồm các phần tử 2,4,6,9,11) là Ta có ma trận độ cứng K2 là: Ma trận độ cứng tổng thể có dạng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 K11 K12 K1,10 2 K21 K22 K23 K2,10 K2,11 3 K32 K33 K34 K3,11 K3,12 4 K43 K44 K45 K46 K4,12 5 K54 K55 K56 6 K64 K65 K66 K67 K6,12 7 K76 K77 K78 K7,12 8 K87 K88 K89 K8,11 K8,12 9 K98 K99 K9,10 K9,11 10 K10,1 K10,2 K10,9 K10,10 K10,11 11 K11,2 K11,3 K11,8 K11,9 K11,10 K11,11 K11,12 12 K12,3 K12,4 K12,6 K12,7 K12,8 K12,11 K12,12 Với cách chia nh hình vẽ ta có: K1,2 = K2,3 = K3,4 = K4,5 K1,10 = K9,10 10 Ki i 2.542 10 5 ì 0 0 6.201 10 5 ì = Ki j 0 1.116 10 5 ì 2.542 10 5 ì 0 = Ki m 2.542 10 5 ì 1.116 10 5 ì 2.542 10 5 ì 6.201 10 5 ì = Kj j 6.201 10 5 ì 0 0 2.542 10 5 ì = Kjm 6.201 10 5 ì 2.542 10 5 ì 1.116 10 5 ì 2.542 10 5 ì = Kmm 8.743 10 5 ì 3.659 10 5 ì 3.659 10 5 ì 8.743 10 5 ì = K2 2.542 10 5 0 0 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 0 6.201 10 5 1.116 10 5 0 1.116 10 5 6.201 10 5 0 1.116 10 5 6.201 10 5 0 6.201 10 5 1.116 10 5 2.542 10 5 0 0 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 2.542 10 5 1.116 10 5 6.201 10 5 2.542 10 5 8.743 10 5 3.659 10 5 2.542 10 5 6.201 10 5 1.116 10 5 2.542 10 5 3.659 10 5 8.743 10 5 := . 10 6 × = Bài 2: Tính chuyển vị các nút và xác định véc tơ ứng xuất trong các phần tử. Cho biết: P = 20KN/m q = 5KN/m2 a = 3m t = 10cm = 0.1m = 0.18 Bài làm Chia kết cấu thành các phần tử nh hình. các phần tử nh hình vẽ: Mạng lới gồm có 12 nút, 12 phần tử tam giác Các phần tử đều thuộc một trong hai loại sau đây: - Loại 1: (Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12) Ta có: xi = 0 xj = a/2 xm = a/2 yi. xi = a/2 và Ma trận độ cứng của phần tử đợc tính theo công thức sau: Trong đó r,s là hoán vị vòng tròn của i,j,m Ma trận độ cứng của phần tử loại 1(Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12) là Ta có