TÝnh vµ vÏ biÓu ®å m«men cña hÖ thanh nh h×nh vÏ.C¸c th«ng sè nh sau:P = 20(N)q = 5(kNm)M = 12(kNm)E = 1,2.106(Ncm2)a = 3(m)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Trang 1Bài 1: Tính và vẽ biểu đồ mômen của hệ thanh nh hình vẽ.
Các thông số nh sau:
P = 20(N)
q = 5(kN/m)
M = 12(kNm)
E = 1,2.106(N/cm2)
a = 3(m)
I dời tải trọng tập trung và phân bố về nút
A - Đối với thanh 1.
Trong đó:
B - Đối với thanh 2.
C - Đối với thanh 3
P
30°
P'1
P1
P1 P'1
L
P 1 L/8
P 1 L/8
P' 1 L/2
P 1 /2
P 1 L/8
L
P' 1 L/2
P 1 L/8
P 1 /2
P
P
1
2
3
1
4
30°
2 30 sin 1
2
3 30
cos 1
'
P P
P
P P
P
=
=
=
=
a
P
P
a a
Pa/4
P
Pa/4
q
a
q a
qa/2
qa/2
a
qa/2
qa/12
qa/2
qa/12
Trang 2Sau khi rời các lực về nút ta có lực tác dụng ở các nút nh hình vẽ:
II tính toán
a-Thông tin về phần tử
b-Thông tin về nút
c-Thông tin về tải trọng
d – Thông tin về chuyển vị nút
- Tổng số chuyển vị nút: 12
- Số chuyển vị nút bằng 0 : 5
- Số ẩn chuyển vị nút: 7
Đánh số chuyển vị nút
III Thiết lập ma trận độ cứng của các phần tử trong hệ toạ độ chung
a 1
1
30°
2
M+qa/12
3
4
2
3
3P/4
P'1.L/4
3P/4+qa/2 P'1.L/4
Pa/4+qa/12
P/2
P/2 Pa/4
Trang 3Theo công thức:
[K’]i = [B]iT.[K]i.[T]i với i = 1,2,3
Trong đó
với i = 1,2,3 B là ma trận chuyển trí của T
a Đối với thanh 1
EA:=12 10⋅ 6⋅0.152
EJ 12 10⋅ 6 0.15
4
12
⋅
:=
ai 4 3
3
⋅
:=
K
EA
ai
0
0
EA
−
ai
0
0
0
12EJ
ai3
6 EJ
ai2 0 12
ai3
6 EJ
ai2
0
6EJ
ai2
4EJ ai 0 6
− EJ
ai2
2EJ ai
EA
− ai 0
0
EA ai 0
0
0 12
ai3 6
− EJ
ai2 0
12EJ
ai3 6
− EJ
ai2
0
6EJ
ai2
2EJ ai 0 6
− EJ
ai2
4EJ ai
:=
Trang 4b §èi víi thanh 2
a2 = 3
K
3.897 10× 4
0 0 3.897
0 0
0 18.268 63.281 0 18.268
− 63.281
0 63.281 292.284 0 63.281
− 146.142
3.897
0 0 3.897 10× 4 0 0
0 18.268
− 63.281
− 0 18.268 63.281
−
0 63.281 146.142 0 63.281
− 292.284
=
T1
1
2
3
−
2
0
0
0
0
3
2
1
2
0
0
0
0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 2 3
− 2 0
0 0 0 3 2 1 2 0
0 0 0 0 0 1
1 2 3 2 0 0 0 0
3
− 2 1 2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 2 3 2 0
0 0 0 3
− 2 1 2 0
0 0 0 0 0 1
:=
K1:=B1 K⋅ ⋅T1
K1
9.756 10× 3
1.687 10× 4
54.803
−
9.756
1.687
54.803
−
1.687 10× 4 2.923 10× 4 31.641 1.687
2.923
31.641
54.803
− 31.641 292.284 54.803 31.641
− 146.142
9.756
1.687
54.803 9.756 10× 3 1.687 10× 4 54.803
1.687
2.923
31.641
− 1.687 10× 4 2.923 10× 4 31.641
−
54.803
− 31.641 146.142 54.803 31.641
− 292.284
=
K2
9×104
0
0
9
− × 104
0
0
0 225 337.5 0 225
− 337.5
0 337.5 675 0 337.5
− 337.5
9
− × 104 0 0
9×104 0 0
0 225
− 337.5
− 0 225 337.5
−
0 337.5 337.5 0 337.5
− 675
=
Trang 5c Đối với thanh 3
a3 = 6
Từ các ma trận độ cứng của các phần tử ta có ma trận độ cứng của kết cấu là:
Thay số vào thông tin về tải trọng ta có
K
4.5 10ì 4
0
0
4.5
− ì104
0
0
0 28.125 84.375 0 28.125
− 84.375
0 84.375 337.5 0 84.375
− 168.75
4.5
− ì 104 0 0 4.5 10ì 4 0 0
0 28.125
− 84.375
− 0 28.125 84.375
−
0 84.375 168.75 0 84.375
− 337.5
=
T3
0
1
0
0
0
0
1
−
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
− 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1
− 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
− 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
:=
K3:=B3 K⋅ ⋅T3
K3
28.125
0
84.375
28.125
−
0
84.375
0 4.5 10ì 4 0 0 4.5
− ì104 0
84.375 0 337.5 84.375
− 0 168.75
28.125
− 0 84.375
− 28.125 0 84.375
−
0 4.5
− ì104 0 0 4.5 10ì 4 0
84.375 0 168.75 84.375
− 0 337.5
=
K
292.284
54.803
31.641
−
146.142
0 0 0
54.803 9.97610⋅ 4 1.68710⋅ 4 54.803 9
− ⋅104 0 0
31.641
− 1.68710⋅ 4 2.94610⋅ 4 305.859 0 225
− 337.5
146.142 54.803 305.859 967.284 0 337.5
− 337.5
0 9
− ⋅104 0 0 9.00310⋅ 4 0 84.375
0 0 225
− 337.5
− 0 4.52310⋅ 4 337.5
−
0 0 337.5 337.5 84.375 337.5
− 1012.5
:=
Trang 6Số hiệu nút 1 2 3 4
Phơng trình cân bằng: K.v = P
Giải ra ta đợc
Từ các chuyển vị của kết cấu ta lần lợt tính nội lực trong từng phần tử trong hệ toạ độ chung.
• Phần tử 1:
K
θ1 u2 v2
θ2 u3 v3
θ3
⋅
0 0.03
− 7.515
− 12000004 0.01 7.5
− 3.765
−
:=
K
θ1 u2 v2
θ2 u3 v3
θ3
⋅
0 0.03
−
7.515
−
12000004 0.01 7.5
−
3.765
−
:=
v
1.522
2.295 10ì 4 1.331
1.895 10ì 4 2.294 10ì 4 46.998 3.775
=
P1
u1 v1 Mz1 u2 v2 Mz2
:=
Mz2
P1 K1
0 0 1.522
− ⋅104 2.29510⋅ 4 1.331
− ⋅104 1.89510⋅ 4
⋅
3.852 10ì 5 2.109 10ì 6 299.659
− 3.852
2.109
4.993 10ì 6
=
Trang 7• PhÇn tö 2:
• PhÇn tö 3:
P2
u2 v2 Mz2 u3 v3 Mz3
:=
Mz3
P2 K2
2.29510⋅ 4 1.331
− ⋅104 1.89510⋅ 4 2.29410⋅ 4 46.998 3.775
− ⋅104
⋅
9 10× 5 9.35
− × 106 4.457
9
− × 105 9.35 10× 6 2.359
=
P3
u3 v3 Mz3 u4 v4 Mz4
:=
Mz4
P3 K3
2.29410⋅ 4 46.998 3.775
− ⋅104 0 0 0
⋅
2.54
− × 106 2.115 10× 6 1.081
2.54 10× 6 2.115
4.435
=
Trang 8Bài 2: Tính chuyển vị các nút và xác định véc tơ ứng xuất trong các phần tử.
Cho biết:
P = 20KN/m
q = 5KN/m2
a = 3m
t = 10cm = 0.1m
ν = 0.18
Bài làm
Chia kết cấu thành các phần tử nh hình vẽ:
Mạng lới gồm có 12 nút, 12 phần tử tam giác
Các phần tử đều thuộc một trong hai loại sau đây:
- Loại 1: (Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12)
Ta có:
xi = 0 xj = a/2 xm = a/2
yi = 0 yj = 0 ym = a/2
bi = yj – ym = -a/2
ci = xm – xj = 0
bj = ym – yi = a/2
cj = xi – xm = -a/2
bm = yi – yj = 0
cm = xj – xi = a/2
và
y
x
m
a/2
0 0 1
1 xi yi
2a
a
t
P
q
P
6
7 8
9
10
11
12
1
2
5
6 7
4 3
8
9 10
11 12
qa/24
6qa/24
5qa/24 5
Trang 9- Loại 2: (Gồm các phần tử 2,4,6,9,11)
Ta có:
xi = 0 xj = a/2 xm = 0
yi = 0 yj = a/2 ym = a/2
bi = yj – ym = 0
ci = xm – xj = -a/2
bj = ym – yi = a/2
cj = xi – xm = 0
bm = yi – yj = -a/2
cm = xj – xi = a/2
và
Ma trận độ cứng của phần tử đợc tính theo công thức sau:
Trong đó r,s là hoán vị vòng tròn của i,j,m
• Ma trận độ cứng của phần tử loại 1(Gồm các phần tử 1,3,5,7,8,10,12) là
Ta có ma trận độ cứng K1 là:
x
i
a/2
y
j m
8 2 0 1
2 2 1
0 0 1 2
1 1
1
1
2
a
a a ym
xm
yj xj
yi xi
=
=
=
∆
− +
− +
− +
− +
∆
−
=
s r s
r s r s
r
s r s
r s r s
r rs
b b c
c c b b
c
b c c
b c c b
b Et
k
2
1 2
1 2
1 1
υ υ
υ υ
Kii 6.201 10
5
ì
0
0 2.542 10ì 5
5
ì 2.542
1.116
2.542
=
2.542
1.116
0
5
ì 3.659
3.659
8.743 10ì 5
=
Kmm 2.542 10
5
ì 0
0 6.201 10ì 5
= Kjm −2.542ì105
2.542 10ì 5
1.116 10ì 5 6.201
=
K1
6.201 10⋅ 5
0
6.201
− ⋅105
1.116
− ⋅105
0 2.542 10⋅ 5 2.542
− ⋅105 2.542
− ⋅105
6.201
− ⋅105 2.542
− ⋅105 8.743 10⋅ 5 3.659
− ⋅105
1.116
− ⋅105 2.542
− ⋅105 3.659
− ⋅105 8.743 10⋅ 5
0 2.542
− ⋅105 2.542
− ⋅105 2.542 10⋅ 5
1.116
− ⋅105 0 1.116 10⋅ 5 6.201
− ⋅105
:=
Trang 10• Ma trận độ cứng của phần tử loại 2(Gồm các phần tử 2,4,6,9,11) là
Ta có ma trận độ cứng K2 là:
Ma trận độ cứng tổng thể có dạng
Với cách chia nh hình vẽ ta có:
K1,2 = K2,3 = K3,4 = K4,5
K1,10 = K9,10
Kii 2.542 10
5
ì 0
0 6.201 10ì 5
1.116
2.542
0
=
Kim −2.542ì 105
1.116 10ì 5
2.542 10ì 5 6.201
5
ì 0
0 2.542 10ì 5
=
Kjm −6.201ì 105
2.542 10ì 5
1.116 10ì 5 2.542
8.743 10ì 5 3.659
3.659
8.743 10ì 5
=
K2
2.542 10⋅ 5 0 0 2.542
− ⋅105 2.542
− ⋅105 2.542 10⋅ 5
0 6.201 10⋅ 5 1.116
− ⋅105 0 1.116 10⋅ 5 6.201
− ⋅105
0 1.116
− ⋅105 6.201 10⋅ 5 0 6.201
− ⋅105 1.116 10⋅ 5
2.542
− ⋅105 0 0 2.542 10⋅ 5 2.542 10⋅ 5 2.542
− ⋅105
2.542
− ⋅105 1.116 10⋅ 5 6.201
− ⋅105 2.542 10⋅ 5 8.743 10⋅ 5 3.659
− ⋅105
2.542 10⋅ 5 6.201
− ⋅105 1.116 10⋅ 5 2.542
− ⋅105 3.659
− ⋅105 8.743 10⋅ 5
:=
Trang 11K2,2 = K3,3 = K4,4
K2,10 = K3,11 = K4,12 = K8,12 = K9,11
K2,11 = K3,12 = K4,6 = K7,12 = K8,11
K5,6 = K6,7
K6,12 = K10,11 = K11,12
K11,11 = K12,12
Sau khi tÝnh to¸n ta cã:
K77 8.743 10
5
× 0
0 8.743 10× 5
= K612 −1.24 10
6
× 0
0 5.084
=
K77 Kmm1 Kjj2:= + K612 Kij1 Kjm2:= +
K66 1.749 10
6
× 3.659
3.659
1.749 10× 6
= K56 −2.542 10
5
× 2.542 10× 5
1.116 10× 5 6.201
=
K66 Kmm1 Kjj2:= + +Kjj1 K56 Kjm1:=
K55 8.743 10
5
× 3.659
3.659
8.743 10× 5
= K211 0
3.658
3.658
0
=
K55 Kjj1:=
K211 Kim1 Kij2:= +
K22 1.749 10
6
× 3.659
3.659
1.749 10× 6
5
× 3.658 10× 5
3.658 10× 5 1.24
− × 106
=
K210 Kjm1 Kim2:= + K22 Kjj1 Kii2:= + +Kii1
K110 0
2.542
1.116
0
:=
K12 −6.201 10
5
× 2.542
1.116
2.542
:=
K11 6.201 10
5
× 0
0 2.542 10× 5
:=
Trang 12 Từ các giá trị ta có độ cứng [K]
Ta có phơng trình cân bằng:
[K]x[ ∆ ] = {P}+ {R}
trong đó:
K78 Kjm2:= K88 Kmm1 Kjj2:= + +Kmm2
K78 −6.201 10
5
ì
2.542 10ì 5
1.116 10ì 5 2.542
6
ì 3.659
3.659
1.749 10ì 6
=
K99 Kmm1 Kmm2:= + K1010 Kmm1 Kmm2:= + + Kii1
K99 1.129 10
6
ì
3.659
3.659
1.494 10ì 6
6
ì 3.659
3.659
1.749 10ì 6
=
K1111 Kmm1 Kii1:= + + Kjj1+ Kmm2+Kii2 +Kjj2
K1111 3.497 10
6
ì 7.318
7.318
3.497 10ì 6
=
∆
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7 u8 v8 u9 v9 u10 v10 u11 v11 u12
0 0 0 0 0 0 0 0 5
24
⋅
0 6
24
⋅
0 q
24
⋅
0 0 0 0 0 0 P
−
0
:=
P
R
R1x R1y R2x R2y R3x R3y R4x R4y R5x R5y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
:=
R5y