Đề cương ôn tập tốt nghiệp THPT môn toán

- Các kiến thức để giải một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số Phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm số của phương trình bằng đồ thị, biện luận vị trí tương đối của đường

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU

• Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình Nâng cao, phần còn lại là phần dành cho cả hai chương trình Cơ bản và Nâng cao

• Các bài tập có dấu “*” là bài tập dành cho chương trình Nâng cao Học sinh học chương trình Cơ bản có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức Các bài tập còn lại

là những bài tập dùng chung cho cả hai chương trình Nâng cao và Cơ bản.

• Ở mỗi chủ đề ngay từ đầu tài liệu có nêu lên các kiến thức cơ bản cần nhớ Đây là các kiến thức về lí thuyết có trong SGK, giáo viên có thể hệ thống hóa lại cho học sinh trước khi đi vào phần bài tập Trong luyện tập cần chú ý những kĩ năng cần đạt thông qua việc chọn lựa các bài tập mà tài liệu đã cung cấp để ôn tập cho học sinh nhằm đáp ứng các yêu cầu về kĩ năng

- Định lý về tính đơn điệu của hàm số.

- Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số

2 Kĩ năng cần đạt:

- Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu

của đạo hàm của hàm số đó

- Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Định nghĩa cực trị của hàm số

- Hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số

x

+

=

+ ; e) y=2sinx+cos 2 , x x∈[ ]0;π ; f) y x= −sin 2x+2

Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y =x3+ +(2 m x) 2 + −m 5 đạt cực đại tại x= −2

Bài 4: Xác định m để hàm số 3 2 2

53

y x= −mx +m− x+

  có cực trị tại x=1 Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x=1

Bài 5: Tìm m để hàm số 2 2

4

x x m y

x

− +

=

− có cực đại và cực tiểu.

Bài 6: Cho hàm số y ax= 3+bx2 +2 Xác định a và b biết hàm số đạt cực tiểu bằng -2 khi x=2

Bài 7: Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số f x( )= +x3 ax2 +bx c+ đạt cực trị bằng 0 tại điểm x= −2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số x2 (m2 1)

Bài 10*: Cho họ đường cong ( )C : m y x= +3 3mx2 +3(m2−1)x m+ 3−3m (mlà tham số)

a) Chứng tỏ ( )C luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu m

b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của ( )C m

+ Hướng dẫn:

a) Chứng tỏ y’= 0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m∈¡

b) Biến đổi hàm số đã cho sang dạng: y = y’ 2( ) ( ) (1)

Gọi M x y1( ; ); 1 1 M x y là hai điểm cực trị của 2( ; )2 2 ( )C m

− +

=

− trên khoảng (1;+∞) ; e) y x= −2 ln(1 2 )− x trên đoạn [− 2;0] ; f) 1

x y

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

- Sử dụng kiến thức về giới hạn tìm được:

+ Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang,

+ Tiệm cận xiên, tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ.

x

=

− ; b)

21

1

x y

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:

+

=

− ; c) 2 1

4

x y

1 1

a) Xác định m để (Cm) có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0)

b) Gọi ( )C là đồ thị của hàm số khi m = 1 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1

điểm M tùy ý thuộc ( )C đến hai tiệm cận của1 ( )C không đổi 1

Bài 5*: Biện luận theo m các đường tiệm cận của các họ đường cong sau:

1

mx y

−

=

− + . _

V KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ, GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ,

SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

- Các kiến thức để giải một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số (Phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm số của phương trình bằng đồ thị, biện luận vị trí tương đối của đường cong và đường thẳng, )

2 Kĩ năng cần đạt:

- Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm thuộc đồ thị của hàm số, tiếp tuyến

đi qua một điểm.

- Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

- Viết được phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung.

- Biện luận vị trí tương đối của đường cong và đường thẳng

3 Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số y= − +x3 3x+1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng y= −9x.

c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x m+ =0

Bài 2: Cho hàm số 3 2

y x= − x + x.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ O lại cắt (C) tại điểm A khác O Tìm tọa độ điểm A

c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) với đường thẳng y kx=

Bài 3: Cho hàm số y x= −3 3x2+2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Định m để phương trình 3 2

c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A( 1− ; 2− ) và có hệ số góc k Định k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N

Bài 4: Cho hàm số y = − + x3 mx2 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến song song đường thẳng

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2−

b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, ( )C luôn đi qua 2 điểm cố định m M M phân biệt.1, 2

c) Tìm các giá trị của m để các tiếp tuyến của ( )C tại m M M vuông góc với nhau.1, 2

b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A có hoành độ x=1 Chứng tỏ rằng (d ) lại cắt (C) tại một điểm khác A

c) Biện luận theo m cực trị của hàm số đã cho.

Bài 7: Cho hàm số y = − +x4 2mx2+ −1 2 (m C m)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.

b) Viết các phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ y= −3.

c) Xác định m sao cho (C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt m)

Bài 8: Cho hàm số 3

1

x y x

+

=+ .a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y=2x m+ luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N

c) Xác định msao cho đoạn MN ngắn nhất.

Bài 9: Cho hàm số 2 2

1

x y x

+

=

− .a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Gọi (d) là đường thẳng đi quaA(0;1)và có hệ số góc m Biện luận theo msố giao điểm

a) Tùy theo các giá trị của m, khảo sát sự biến thiên của hàm số.

b) Khi m = 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

c) Định k để phương trình k x+ + − =1 x 3 0 có 2 nghiệm phân biệt

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

c) Tìm trên (C) những điểm có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất

− −

=+ .a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A( 2;0) − .

c) Cho đường thẳng (d): y = m Định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho

b) Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C)

c) Cho đường thẳng (d):y=2x m+ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân

=

− .a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2−m x m+ =0

c) Tìm hai điểm ,A B∈( )C và đối xứng nhau qua đường thẳng (d ): y x= −1.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1

b) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của (C đi qua gốc tọa độ m)

c) Biện luận theo tham số hsố nghiệm của phương trình:

cos 2t+2(1−h)cost+ −3 2h=0 (− < <π t π)

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

I LŨY THỪA, LÔGARIT.

- Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có

chứa lũy thừa

- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit

a)

1 2

(1 ) 11

21log 18 log 72

3

Bài 7:

a) Cho a=log 2 ; b = log 710 2 Tính log 56 theo a và b;10

b) Cho a=log 3 ; 2 b=log 5 ; 3 c=log 27 Tính log 63 theo a, b, c.140

Bài 8: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) log 6 log 6 2log 6.log 618 + 2 = 18 2 ;

b) log log log

Bài 9: Biết loga x=α, logb x=β, logc x=γ và abc≠1 Tính logabc x theo , , α β γ .

Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu x, y > 0, x 2 + 4y 2 = 12xy thì lg( x + 2y)− 2lg2 =1

Bài 13:Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông,

trong đó c b− ≠1 và c b+ ≠1 Chứng minh rằng: logc b+ a+logc b− a=2logc b+ a.logc b− a.

II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Các khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.

- Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Dạng của đồ thị của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

2 Kĩ năng cần đạt:

- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai

biểu thức chứa mũ và lôgarit

- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Tính được đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit

2

x y

2

1log ( 1) 2

x x

y= − − ; d) ln 2 1

1

x y

xy + = e b) Hàm số y e= 2xcosx thỏa mãn hệ thức y,,−4y, +5y=0

Bài 7*: Tìm các giới hạn sau:

a)

3 0

1lim

2

x x

e x

→

−

b)

1lim x

x

x x

→

+ ; d) lim0ln(3 1) ln(2 1)

x x

e x

→

−

III PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ

LÔGARIT.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ ( đưa về lũy thừa cùng cơ số,

lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số)

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình lôgarit ( đưa về lôgarit cùng cơ số,

mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số)

2 Kĩ năng cần đạt:

- Giải được phương trình, bất phương trình mũ bằng các phương pháp: đưa về lũy thừa cùng

cơ số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số

- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit bằng các phương pháp: đưa về lôgarit

cùng cơ số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số

- Giải được một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản.

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) log2[x(x−1)] = 1; b) log2x + log2(x−1) = 1;

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) log3x +log9x +log27x =11; b) 1 2log+ x+25 log (= 5 x+2);

log x log x 2 0; d) log2(2x+1).log2(2x+1+2) = 2

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

+

Bài 7*: Giải các bất phương trình sau:

log ( ) log log 0

- Khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

- Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

- Khái niệm về diện tích hình thang cong

- Định nghĩa tích phân của một hàm số liên tục bằng công thức Niu - tơn – Lai- bơ - nit

- Các tính chất của tích phân

2 Kĩ năng cần đạt:

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

- Tính được các tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần để tính tích phân

c) ( ) 3sinf x = x−2cos 2 ;x d) ( ) sin 5 cos3f x = x x ;

e)

2

1( ) 2

−

3

cossin

x dx x

cosf(x)

sin

x x

= biết đồ thị của hàm số y = F(x) đi

e dx e

2

2 0

h) 4

dx x

x dx x

5 6 ;

x − x+ dx

∫

2 2 0

a)

2

2 1

ln(1 x)

dx x

cos

x dx x

d) ( 1)

x xe dx

x+

∫

;

4

ln(sin )cos

x dx x

+

0

tancos 2

x dx x

π

++

1 5

2 2

1

11

sin

cos

dx x

c) Đổi biến số: Đặt t = 1 3cos+ x

d) Đổi biến số: Đặt t =tanx

xdx dv

II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.

b) (P), trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm A( 4;5)

Bài 3 : Cho (P):y= − +x2 4x−3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) (P) và hai trục tọa độ;

b) (P), trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm A( 3;0);

c) (P) và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm A( 3;0) và B(0; -3)

Bài 4 : Cho đường cong (C): 2 2

1

x y x

Bài 6 : Tính diện tích của hình elip giới hạn bởi đường elip (E): 2 2 1

x + y =

Bài 7 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho khi

quay hình phẳng quanh trục hoành

khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 9*: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho sau

khi quay hình phẳng quanh trục tung

a) x y( + =1) 2, x=0, y=0, y=3;

0, 2, 0

x y− = y= x= ;

c) y2 =x y3( ≥0), y=0, x=1.

Bài 10*: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): 2

2

y= x x− và trục hoành Tính thể

tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Oy

Bài 11*: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

91

a S

a

=+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số

CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC

I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC, BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC, CÁC PHÉP

TOÁN, CĂN BẬC HAI, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Dạng đại số của số phức.

- Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp

- Khái niệm căn bậc hai của số phức

- Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực và có nghiệm phức

- Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức.

2 Kĩ năng cần đạt:

- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân và chia số phức.

- Biết tính căn bậc hai của số phức.

- Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (khi ∆ <0)

- Giải được phương trình bậc hai với hệ số phức.

3 Bài tập:

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) (2 4 )(3 5 ) (4 3 )+ i − i + − i ; b) (1 2 )− i 2− −(2 3 )(3 2 )i + i ;

c) 3 42− + −i i 5 3i

+ ; d) (4 + 5i)

1 2i i

− ; f) 2

1

1 4(3 2 )i + − i

− + =

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức.

a) x2−4x+ =8 0; b) x2 +6x+ =12 0; c) x3− =8 0 ; d) x4+16 0= ; e) 2x4+3x2 − =5 0

Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

Bài 5: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng

điều kiện sau:

Bài 7: Tìm hai số thực b và c sao cho phương trình x2+ + =bx c 0 có một nghiệm là x= +1 2i

Bài 8: Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) z3+az2+ + =bz c 0 nhận z= +1 i và2

z= là hai nghiệm của phương trình

− .

+ Hướng dẫn:

Do (1 + + + + z z2 z9)( z − = + + + + 1) z z2 z3 z10 − + + + + (1 z z2 z9) = z10 − 1

Khi z ≠ 1, chia cả hai vế cho z − 1 ta được đẳng thức cần chứng minh.

Bài 13*: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: , 9, 3 4 , 5 12 , 7 24− −i + i − i + i

Bài 14*: Cho z1, z2 là hai nghiệm phương trình (3+i z) 2−2(1 2 )+ i z+ − =4 3i 0 Tính z12 + z22

Bài 15 * : Giải các phương trình sau trên tập số phức.

2 2

4 ( 2)2

II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG.

(Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao)

1 Kiến thức cần nhớ:

- Dạng lượng giác của số phức.

- Định lý về nhân và chia các số phức dưới dạng lượng giác.

- Công thức Moa-vrơ và ứng dụng.

2 Kĩ năng cần đạt:

- Biết cách nhân, chia các số phức dưới dạng lượng giác.

- Biết cách biểu diễn cos3 , sin 3α α, qua cosα và sinα.

Bài 2*: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

i i

++ ;c)

z dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a) suy ra dạng lượng giác của z

Bài 5*: Giải phương trình z2−(cosα +isin )α z i+ sin cosα α =0, trong đó α là số thực cho trước

Bài 6*: Với số nguyên dương n nào, số phức

n

3

i i

a) Viết z z z dưới dạng lượng giác.1, , 2 3

b) Từ câu a), hãy tính cos7

+ là

34

π

−