TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIOBài 1. Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị là (Cm).a) Với giá trị nào của m thì đồ thị đi qua điểm (1 ; 1)?b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm M trên đồ thị có tung độ y = 5 và phương trình tiếp tuyến tại M(x ; 5) với x < 0.
Trang 1TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ễN TẬP
GIẢI TOÁN TRấN MÁY TÍNH CASIO
Bài 1 Cho hàm số y = f(x) =
2
2
x
cú đồ thị
là (Cm)
a) Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị đi qua điểm (-1 ; 1)?
b) Tỡm hệ số gúc của tiếp tuyến tại cỏc điểm M trờn đồ
thị cú tung độ y = 5 và phương trỡnh tiếp tuyến tại M(x
; 5) với x < 0
2
2
2
2
x
PTTT y = ax + b
Cú a = f’(- 3) = -25,8564
b = 5- ax = 5 +a 3 =-39,7846
Bài 2:
Bài 1 Cho hàm số y =
x
1) Tớnh gần đỳng giỏ trị cực đại và giỏ trị cực tiểu của
hàm số đú
2) Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm cực đại và điểm
cực tiểu của đồ thị hàm số trờn Tớnh giỏ trị của a và b
2
2 2 3;
2 2 3;
CD
y
CT
Điểm cực đại A(- 2; -2 2-3)
y Điểm cực tiểu B( 2; 2 2-3)
Bài 2 Gọi A và B là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị
hàm số y = x3 - 4x2 + x - 6
a) Tớnh gần đỳng khoảng cỏch AB
b) Tớnh giỏ trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua
hai điểm A và B
y’ = 3x2 -8x + 1; y’ = 0
yCD = -5,9354; yCT = -12,8794
Bài 4 Tỡm gần đỳng giỏ trị cực tiểu và giỏ trị cực đại của hàm
số y = ax3 + bx2 - 5x + 2 nếu đồ thị của hàm số đú đi qua hai
điểm A(1; 4) và B(- 5; 2) thay A và B vào phương trỡnh của
đồ thị ta được hệ phương trỡnh:
7
a b
Giải HPT ta được a = 4/3; b = 17/3
y = 4 3 17 2
5 2
3 x 3 x x
0.3880 3
x
x
y = f(0,3880) 0,9910
yCD = f(-3,2214) 32,3393 Bài 5 Tớnh gần đỳng khoảng cỏch giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y = 1
2x3 - 5
6x2 - 7
3 x + 1
1,9209
x
x
yCD 2,0775 A(-0,8098; 2,0775 );
yCT -3,0131 B(1,9209; -3,0131) Bài 3:
Bài 1 Tớnh gần đỳng GTLN và GTNN của hàm số f(x) = 3x + 5cos 5x trờn đoạn [0; π].]
f’(x) = 3 – 25sin5x; f’(x)= 0 sin5x = 3/25
2 0.0241
5 2 0.6043
5
k x
k x
Trờn đoạn [0; π].] hàm số cú cỏc điểm
tới hạn là: x 0.0241; x 0,6043; x 1,2807; x 1,8609; x 2,5374; x 3,1176
Bài 2 Tớnh gần đỳng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = 2sin x - 2cos x - 5sin x cos x
Đặt t = sinx – cosx ĐK: - 2 t 2 sinx.cosx =
2
1 2
t
f(t) = 2t - 5
2
1 2
t
2 t t . f’(t) = 5t + 2; f’(t) = 0 t = -2/ 5 f(-2/ 5) -2.0125; f(- 2) -1,7104; f( 2) 3,9465 Bài 3 Tớnh giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2cos 2x - 5cos x
f(x) = 2(2os2x - 1) – 5cosx = 4cos2x – 5cosx – 2
Đặt cosx = t đk:-1 t 1
f(t) = 4t2 -5t - 2; f’(t) = 8t – 5; f’(t) = 0 t = 5/8
f(5/8) = -57/16; f(-1) = 7; f(1) = - 3
Bài 4 Tớnh gần đỳng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin 2x - 2cos x
f’(x) = 2cos2x + 2sinx; f’(x) = 0 2cos2x + 2sinx =
0 2(1-2sin2 x) + 2sinx = 0
4sin2x - 2sinx – 2 = 0 sin 0.5521
sin 0.9056
x x
+Với sinx = -0,5521 cosx = 0,8338
+Với sinx = 0.9056; cosx = 0,4241
Bài 5 Tớnh gần đỳng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3 2
x 2 + 4 2
5 x
Trang 2f(x) (32 4 )(2 x2 2 5 x2) 75.
TXĐ: D = [ 5; 2] [ 2; 5]
f’(x) = 32 4 2
x x ; f’(x) = 0
x x = 0
9 (5 ) 16 ( 2)
25x4 – 77x2 = 0 x = 0 (loại) ; x = 77
25
f(- 5) = 3 3; f( 5) = 3 3 ; f(- 2) = 4
3 ; f( 2) =4 3
f()
Bài 7 Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của phân thức A =
2 2
2x 7x 1
x 4x 5
Gọi y là một giá trị bất kì của A Khi đó phương trình
sau luôn có nghiệm:
2
2
2x 7x 1
x 4x 5
= y 2x2 -7x + 1 = y(x2 + 4x + 5)
(2-y)x2 – (7 + 4y)x + 1 – 5y = 0
+ TH1: y = 2 x = -3/5;
+TH2: y 2 ; Phương trình có nghiệm 0 (7 +
4y)2 – 4(2 - y)(1 – 5y) 0
-4y2 +100y + 41 0 -0,4034 y 25,4035
Bài 8 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số f(x) = x 1 + 3 x 2
TXĐ: D = [1 ; 3]
x
x x ; f’(x) = 0
0
(3 – x2) = 4x2(x - 1) 4x3 -3x2 – 3 = 0 x 1,2388;
f(1) = 2
f( 3) = 0,8556
f(1,2388) = 1,6992
Bài 9 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số f(x) = 2sin 3cos
sin cos 2
gọi y là một giá trị bất kì của hàm số, khi đó phương
trình sau luôn có nghiệm:
2sin 3cos
sin cos 2
= y 2sinx – 3cosx = y(sinx + cosx –
2) (2-y)sinx – (3 + y)cosx = -2y
PT có nghiệm (2 – y)2 + (3 + y)2 (-2y)2 2y2 – 2y -13
0 -2,0981 y 3,0981
Bài 10 Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 4 Tính giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của của biểu thức
A = (x2 + 3)(y2 + 3)
+ Cách 1: x + y = 4 y = 4 – x thế vào A ta được:
A = (x2 + 3)((4 - x)2 + 3) = (x2 + 3)(x2 -8x + 19) = x4 – 8x3 + 22x2 -24x + 57
Xét hàm số f(x) = x4 – 8x3 + 22x2 -24x + 57 trên đoạn: [0 ; 4]
f’(x) = 4x3 – 24x2 + 44x – 24; f’(x) = 0 x = 1; x = 2; x = 3
f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = + Cách 2: x + y = 4 (x + y)2 = 16 x2 + y2 = 16 - 2xy
A = (x2 + 3)(y2 + 3) = (xy)2 + 3(x2 + y2) + 9 = (xy)2 + 3(16 – 2xy) + 9 = (xy)2 – 6xy + 57
Có 0 xy
2
2
x y
= 4
Khảo sát hàm số f(x) = t2 -6t + 57 với t [0 ; 4]
f’(t) = 2t – 6; f’(x) = 0 t = 3
f(0) = 57; f(3) = 48; f(4) = 49
Bài 4
Bài 1 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
xy P
đk S2 4P hpt
2
2
8
P S
2
2.608495283
2,608495283 2,108495283 2.108495283
1,195752359 3,554247642 8
S
P S
Bài 2 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đường tròn x2 + y2 + 10x - 5y = 30 và đường thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 6), B(5; - 2)
HD: Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có phương trình:
8 9 22 0
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
8 9 22 0
2
Trang 3Bài 3 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường
thẳng 2x - 5y + 6 = 0 và elip
2
16
x
+
2
9
y
= 1
HD:
Bài 4 Cho hai đường tròn có các phương trình tương
ứng:
x2 + y2 - 10x + 6y +1 = 0 (*) và
x2 + y2 - 6x + 8y - 12 = 0
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của hai
đường tròn đó
2) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng
nói trên với đường tròn (*)
HD:
Bài 5 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường
thẳng 2x - y - 3 = 0 và đường tròn x2 + y2 - 4x + 5y - 6
= 0
Bài 6 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng
3x - 2y - 1 = 0 và elip
2
16
x
+
2
9
y
= 1
HD:
Bài 7 Cho hai đường tròn có phương trình x2 + y2 2x
-6y - 6 = 0 và x2 + y2 = 9
1) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của chúng
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm
đó
HD: Đường thẳng đi qua hai giao điểm là trục đẳng
phương của hai đường tròn
PT: 2x + 6y -3 = 0
Bài 8 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
x2 - 6x - 3 = 0 Tính giá trị của biểu thức
S = 11 11
x x - 7x1x2
+ 1
2
3 2 3
3 2 3
x
x
Bài 9 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình
2x 3xy 2y 8
5 5
13
x y
Bài 10 Tính gần đúng các nghiệm của phương trình 2x5
= 5x3 + 1
HD: Đặt f(x) = 2x5 – 5 x3 – 1 f(x) liên tục trên R
Khoảng nghiệm (1 ; 2), (- 1; 0),(-2; -1)
x -1,5370; x 1.6180; x -0,6180
Bài 11 Tìm các nghiệm hữu tỉ và giá trị gần đúng các
nghiệm vô tỉ của phương trình:
6x5 + 19x4 - 10x3 - 60x2 - 6x + 36 = 0
+ Nghiệm hữu tỉ của phương trình nếu có sẽ có dạng p/q
Trong đó p là ước của 36, q là ước của 6
+ Nhẩm nghiệm được x =- 2,
Hạ bậc bằng Sơ đồ Hoocne:
6x5 + 19x4 - 10x3 - 60x2 - 6x + 36 = 0 ( x+2)(6x4 +7x3 -24x2 -12x + 18) = 0
Ta đi giải phương trình: 6x4 +7x3 -24x2 -12x + 18 = 0 các khoảng nghiệm (-3 ; -2), (-2 ; -1), (0 ; 1), (1 ; 2) Bài 12
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 3x + 4 = ex Các khoảng nghiệm (-2 ; -1), (2; 3)
Bài 13 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của elip
25 9
= 1 và đường tròn x2 + y2 - 12x - 5 = 0
Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
12 5 0
đk: -5 x 5, -3 y 3
2
225 9
25
12 5 0
12 5 0
x
2 2
2
225 9 25
x y
Bài 14 Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình :
2
2
6 6
x y x y
HD:
2
3
6
hoac
Bài 15 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình :
5 7.
p xy
ta được hệ phương trình:
2 3
3
7
p
Trang 47 2
p
s=3,2070
Bài 16 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình:
2
2
5
5.
Bài 17 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình:
2
2 2 2
2
2
2
2
16 5x
y
12x
16 5x
12x
16 5x
y
12x
288x 3(256 160x 25x ) 1008x
16 5x
y
12x
363x 1488x 768 0
16 5x
y
12x
x 3,493575515
x
2
2
16 5x y
12x
x 1,8691
x 0,7782 0,605598038
Bài 18 Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình :
2 9 15
4 3 15.
x y
x y
Đặt 2
( , 0)
3
x
y
u
dk u v
v
HPT
2
3, 4051
4, 4051( )
1 15
u v
u v u v
u v
Bài 19 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình:
2
2
2 5 2 5
x
y
2
3
2
2
2
2
2 5 2 0 ( )( ( ) 2) 0
( ) 2
5
x xy
x y
x y
x y xy x y
xy x y
xy x y
x xy
x
3
*)
2 5 2 0
( ) 2
*)
x y
xy x y
Bài 20 Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình:
16
Bài 21 Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình:
4 9 15
2 3 2 3 2.
x y
Bài 22 Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình:
2
2
3 6 3 6
x
y
Bài 23 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y =
x2 + 2x - 2 và đường tròn x2 + y2 - 12x + 4y - 5 = 0
Bài 24 Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình :
x y
Bài 25 Tính gần đúng toạ độ giao điểm có các toạ độ dương của đường tròn x2 y2 = 9 và hypebol
= 1
Bài 5:
Bài 1 Tính gần đúng diện tích tam giác ABC có cạnh AB
= 6dm, = 1130 31’ 28” và Ĉ = 360 40’16”
S = 1/2 absinC = 1/2ah = p.r =abc/4R = p p a p b p c ( )( )( )
4
Trang 5= 2 2 ( )2
2
1
AC AB AC
AB
Bài 8 Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC nếu
đường tròn ngoại tiếp của nó có bán kính 5 dm, tâm O
nằm trong tam giác, góc OAB = 650 và góc OAC = 190
S 19,8702 dm2 Bài 14 Hai đường tròn bán kính 5 dm và 4 dm tiếp xúc
ngoài với nhau tại A BC là tiếp tuyến chung ngoài của
hai đường tròn đó với các tiếp điểm là B và C Tính gần
đúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng BC
và hai cung nhỏ AB, AC
Đặt BOA =
OAB + BAC+CAO’ = 1800
OAB + CAO’= 900
OBA + ABC + BCA + ACO’ = 1800
OAB + BAC+CAO’
Tam giác ABC vuông tại A
AB2 = OB2 + OA2 – 2OA.OBcos
= 50 - 50 cos
AC2 = O’C2 + O’A2 – 2O’A.O’Ccos(1800 - )
= 32 + 32cos
BC2 = AB2 + AC2 = 50(1 – cos) + 32(1 + cos) (1)
Mặt khác, O’H2 = BC2 = OO’2 - OH2 = 81 - 1 = 80 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 50(1 – cos) + 32(1 + cos) = 80
18cos = 2 cos = 1/9 1.45945531
BC = 80
SOO’CB = (OB + O’C).BC/2 = 40.2492
SOBA = .R2/2 = 18.2432
SO’AC = ( - )R’2/2 = 13.4571
Vậy S = SOO’CB - (SOBA+ SO’AC ) = 8.5489 dm2
Cách 2 (khá hay): sin = O’H/OO’ = 80/ 9 =
0.99380… 1.459455312
SOO’CB = (OB + O’C).BC/2 = 40.2492
SOBA = .R2/2 = 18.2432
SO’AC = ( - )R’2/2 = 13.4571
Vậy S = SOO’CB - (SOBA+ SO’AC ) = 8.5489 dm2
Bài 16 Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 3,
AD = 5 Đường tròn tâm A bán kính 4 cắt BC tại E và
cắt AD tại F Tính gần đúng diện tích hình thang cong
ABEF
Sin A = HE/AE = 3/4
SABE = 1/2 7.3 3.9686
SAEF 6.7845
Bài 17 Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán kính 5 dm và 6 dm nếu khoảng cách giữa hai tâm của chúng là 7 dm
OA = 6, O’A = 5
AB =
S 23,4371 dm2 cosAOO’ =
7 6 2
25 49
36
= 0,7144
AOO’ = 0.7752 cosAO’O =
7 5 2
36 49
25
= 0.5429
AO’O = 0.9970
SOAB = 0.7752.36 = 27.9072
SO’AB = 0.9970.25 = 24.9250
SOAB = 1/2.OA.OB.sinAOB = 17.9963
SO’AB = 1/2.O’A.O’B.sinAO’B = 11.3972
S = SOAB - SOAB + SO’AB - SO’AB =
B
C
A H
A
D
E
F H
O
A
O
’ B H
Trang 6Bài 22 Tính gần đúng diện tích và góc BAD (độ, phút,
giây) của tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4
dm, CD = 6 dm, DA = 8 dm và góc ABC = 900
AC = 5;
sinBAC = 0.8 BAC = 5307’48’’
cosCAD= 0.6625 CAD= 48030’33’’
BAD = 101038’21’’
SA B C D = SABC + SACD = 6 + 14,9812 = 20,9812
Bài 23 Điểm E nằm trên cạnh CD của hình chữ nhật
ABCD với AB = 8 dm, BC = 4 dm Tính gần đúng độ
dài DE nếu chu vi tam giác ADE bằng hai lần chu vi tam
giác BCE
Đặt DE = x CE = 8 – x;
AE = 16 x2 ;
BE= 16 ( 8 x) 2 ;
(4 + x + 16 x2 ) = 2(4 + 8 – x + 16 ( 8 x) 2 )
16 x2 + 3x = 20 + 2 16 ( 8 x) 2 ;
x 6,8142;
bài 9:
Bài 1 Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ
diện ABCD có góc CBD = 900, góc BCD = 500 25’ 16”
và AB = AC = AD = CD = 6 dm
Giải
BD 4.624488328
BC 3.422840266
SABC 10.87100319
SABD 12.80188487
SACD 15.58845727
SBCD 8.839340096
Stp 48,1007
Bài 2 Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD có BC
= BD = 6 dm, AB = AC = AD = CD = 7dm
V 33,8082 dm3
SBCD 9 , 5 3 , 5 3 , 5 2 , 5 17,0568901
AM = 7
2
3 ; BM =
2
95 4
49 36 2 2
CM
SABM 14.48922013
AH 5.946250477
V =
3
1
AH SBCD 33.8082
Bài 3 Tính gần đúng thể tích của hình chóp S.ABCD có
đường cao SA = 5 dm, đáy ABCD là hình thang với AD
// BC, AD = 3 dm, AB = 4 dm, BC = 8 dm, CD = 6 dm
V 36,3791 dm3
Đặt BE = x CF = 5 – x; AE = 2
16 x ;
DF = 36 ( 5 x) 2 ;
AE = DF 16 x2 = 36 ( 5 x)
x = 1/2 Bài 4 Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD biết rằng BC = 6 dm, BD = 9 dm, AB = AC = AD = CD = 7 dm
AM = 7
2
3 ; MD = 3,5;
BD CD CB BDC
BD CD
D 41045’8’’
MN = MD.tgD = 3,5.tg41045’8’’ = 3.124111462;
ND = MD/cosD = 7 94
5.365320883
=
AD BD
SAMN = 8.36884292
AH = 2SAMN/MN = 5.357609287;
SBCD = 440;
VABCD = 37.4607
Bài 5 Hình tứ diện ABCD có các cạnh AB =7, BC = 6, CD
= 5, DB = 4 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện đó
BC BD CD
3
BH ;
2 2 6.342099197
AH AB BH ;
SBCD = 9.921567416;
VABCD = (1/3)xAH SBCD =
Bài 7 Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD có đường cao SA = 3 dm, đáy ABCD là hình thang với AD // BC, AD
= 4 dm, AB = 5 dm, BC = 7 dm, CD = 6 dm
Đặt BE = x CF = 3 – x;
AE = 25 x 2 ;
DF = 36 (3 x )2 ;
AE = DF 25 x 2 = 36 (3 x )2
x = 1/2 Bài 8 Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABCD có các cạnh AB = 6 dm, BC = 7 dm, CD = 8 dm, AD = 9 dm, SA
6
C D
E
C
A
B
D
H M
C
A
B
D
N
Trang 7= SB = SC = SD = 10 dm
Bài 9 Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ
diện ABCD nếu AB = 4 dm, BC = BD = 5 dm, CD =
CA = 6 dm, DA = 7 dm
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 2dm; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
và SA = 2 6 Tính gần đúng góc giữa:
a) SC và (ABCD); = SCA
b) SC và (SAB); = BSC
c) SB và (SAC); = BSO
d) AC và (SBC); = ACH
Bài 15 Cho hình lăng trụ ACB.A’B’C’ có đáy là tam
giác đều cạnh 1dm, AA’ vuông góc với mặt phẳng
(ABC) Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với
(ABB’A’) một góc 300
a) Tính gần đúng AA’;
b) Tính gần đúng khoảng cách từ trung điểm M của AC
đến mặt phẳng (BA’C’)
c) Gọi N là trung điểm cạnh BB’ Tính góc giữa MN và
mặt phẳng (BA’C’)
Giải:
Gọi E là trung điểm của
A’B’ Có CE (AA’B’B)
EBC’ = 300
EC’ = 3
2 ;BE = 0
:
EC
AA’ = BB’ = 2 ; d(M,(A’BC)) = 1
2 d(A,(A’BC)).
A’CB cân tại A’
Gọi H là trung điểm BC,
có AH BC và A’H BC
BC (AA’H)
Trong tamm giác AA’H kẻ đường cao AK Có AK
(BCA’)
AK = d(A,(BCA;))
'
AK AH AA AK
0.738548945;
d(M, (BCA’)) 0.369274472;
Bài 16 Cho hình chóp S.ACBD, đáy ABCD là hình
vuông có cạnh 2 dm, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = 4dm Mặt phẳng qua BC, hợp với
AC một góc 300, cắt SA, SD lần lượt tại M, N Tính gần
đúng diện tích thiết diện BCMN
Giải:
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH BM có AH
(BCMN)
ACH = 300
AC = 2 2
AH = AC.sin300 = 2;
.
AH AB
AM = 2 M là trung điểm SA
MN = AD/2 = 1
BM = AB2 AM2 4 4 2 2 .
3 2
Bài 17 Cho hình vuông ABCD cạnh 14dm Từ trung điểm
H của cạnh AB dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABCD) sao nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ACBD có số đo bằng 600
a) Tính gần đúng SH và khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD)
b) Gọi K là trung điểm cạnh AD Chứng minh CK vuông góc với SD và tính gần đúng số đo nhị diện (A, SD, C) = ((SAD), AD, (ACD))
Giải: SAB = 600 Tam giác SAB đều
SH = AH.tg600 = 7 3 12.1244
CD (SHE) (SHE) (SCD)
Kẻ HI SE có: HI = d(H, (SCD))
147 196 28812
HI = 28812
343 = 84 9.1652;
CK = 142 72 7 5;
Từ K kẻ KM SD
SD (CKM)
KM = KD.sinKDM = KD.sin450 = 7 2
2 SE CD 2 SH HE CD = 7.
SD = 14 2 CM = 2SSCD:SD = 343
cosCMK =
2 2 2 49 343 245
2 2. 343 49.
KM CM CK
CM KM
-0.377964473 CMK 112012’27’’
Mặt phân giác của góc nhị diện:
Trang 8- Mặt phân giác của nhị diện là nửa mặt phẳng xuất phát
từ cạnh của nhị diện và chia nhị diện thành hai nhị diện
bằng nhau
- Tập hợp các điểm ở bên trong nhị diện và cách đều hai
mặt của nhị diện là mặt phân giác của nhị diện đó
Cách xác định mặt phân giác:
* Cách 1:
- Tìm một góc phẳng xOy của nhị diện
- Mặt phân giác của nhị diện là mặt phẳng
qua cạnh c của nhị diện và phân giác Ot của
góc xOy
* Cách 2:
- Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện
- Mặt phân giác của nhị diện là mặt qua A và
cạnh c của nhị diện
Bài 18 Cho hình chóp S.ACB có SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), tam giác ACB vuông đỉnh B, AB = 3dm,
AC = 6dm, mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC)
một góc 600
a) Gọi M là giao điểm của mặt phân giác của nhị diện
cạnh SA với BC Tính gần đúng độ dài đoạn MB
b) Gọi N là giao điểm của mặt phân giác của nhị diện
cạnh BC với SA Tính gần đúng khoảng cách từ N đến
mặt phẳng (SBC)
c) Gọi P là giao điểm của mặt phân giác của nhị diện
cạnh SC với AB Tính gần đúng độ dài đoạn AP
Giải:
a) SBA = 600
Góc phẳng nhị diện là góc BAC
AM là tia phân giác của góc BAC
cosA = 1
2
AB
AC A = 60
0
MB = AB.tg300 = 3
3
3 ; b) Góc phẳng nhị diện cạnh BC là góc SBA
Kẻ phân giác BN của góc ABS
Kẻ NI SB; NI = NA = AB.tg300 = 3
3
3 Bài 10: Dãy số - giới hạn
Bài 1 Tính giá trị của a15 nếu dãy số (an) được xác định
như sau:
a1 = 2, a2 = - 3, an + 2 = 1
2an + 1 + 3an với mọi n nguyên dương
a15 = 4782969
8192 Bài 2 Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số an được
xác định như sau:
a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 3an + 1 + 2an với mọi n nguyên
dương
S10 = 79647
Bài 3 Tính tổng của 20 số hạng đầu của dãy số (an) được xác định như sau: a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = an + 1 - 2an với mọi
n nguyên dương
S20 = - 913 Bài 4 Dãy số (an) được xác định như sau: a1 = 1, a2 = 2,
an + 2 = 3an + 1 - an với mọi n nguyên dương Tính tổng của 20
số hạng đầu của dãy số đó
S = 102334155 Bài 5 Viết 10 số hạng đầu tiên rồi tính tổng S10 và tích K10 của 10 số hạng ấy của dãy số có số hạng tổng quát 33n
n
u n
ĐS: 10 59049
1000
u ; S10 116,9492; K10 3650731,65; Giải: Gán
A = 1 (biến đếm);
B = 3 (giá trị số hạng);
C = 3 (tổng);
D = 3 ( tích);
Ghi vào máy biểu thức: A = A + 1 : B = 3^A/A3 : C = C + B: D = DB và ấn = liên tiếp
Bài 6 Tìm số hạng thứ 29 và tính tổng 29 số hạng đầu tiên của dãy số Fibonaci
Dãy Fibonaci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
u1 = 1, u2 = 1; un+2 = un+1 + un; ĐS: u29 514229; S29 1346268 Bài 7 Cho dãy số u1 3; u2 5; ; un1 3 un 2 un1 2 với mọi n 2
a) Tính u9, u33; b) Tính tổng 33 số hạng đầu tiên và tích của 9 số hạng đầu tiên
Giải:
Gán A = 3 (số hạng);
B = 5 (số hạng) ;
C = 8 (tổng 2 số hạng đầu);
D = 2 (biến đếm);
E = 15 (tích 2 số hạng đầu) Ghi vào màn hình :
D = D + 1: A = 3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D = D + 1: B = 3A - 2B - 2: C = C + B: E = EB
19; 99; 654729075 67; 1155
Bài 8
Đề thi số 2
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc thì lấy đến giây.
Bài 1 Cho hàm số y =
x
1) Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm
số đó
8
Trang 92) Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm cực đại và điểm
cực tiểu của đồ thị hàm số trên Tính giá trị của a và b
Bài 2 Tam giác ABC có các cạnh AB = 4 dm, AC = 6
dm và Â = 610 43’
1) Tính giá trị gần đúng chu vi của tam giác đó
2) Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp
tam giác trên
Giải:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA =
= 16 + 36 – 48cos61043’
BC = 5.408887197;
SABC = (1/2).4.6.sin610 43’ = 10.56738268;
R = abc/4S = 3.071084315;
Sdt = 29.6301;
Bài 3 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số f(x) = 2cos 2x - 5cos x
DS: f(x) = 7 ; min f(x) = - 3,5625
f(x) = 2cos 2x - 5cos x = 4cos2x – 2 – 5cosx
Đặt cosx = t đk -1t1;
f(t) = 4t2 – 5t – 2; f’(t) = 8t – 5; f’(t) = 0 t = 5/8;
f(5/8) = -57/16 ; f(-1) = 7 ; f(1) = -3;
Bài 4 Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp
S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình vuông có cạnh AB
= 7 dm, cạnh bên SA = 8 dm và vuông góc với đáy
Bài 4 Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp
S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình vuông có cạnh AB
= 7 dm, cạnh bên SA = 8 dm và vuông góc với đáy
Bài 5 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường
thẳng 2x - 5y + 6 = 0 và elip
2
16
x
+
2
9
y
= 1
Bài 6 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 3cos 2x
+ 4sin 2x - 2 = 0
Bài 7 Cho hai đường tròn có các phương trình tương
ứng x2 + y2 - 10x + 6y +1 = 0 (*) và x2 + y2 6x + 8y
-12 = 0
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của hai
đường tròn đó
2) Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng
nói trên với đường tròn (*)
Bài 8 Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của hypebol
2
9
x
-
2
4
y
= 1 và đường thẳng
x - 8y + 4 = 0
Bài 9 Tính giá trị gần đúng nghiệm của phương trình 2x
+ x = 4
Bài 10 Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1 ; 3), B(-5 ;
2), C(5 ; 5)
1) Tính gần đúng độ dài ba cạnh
2) Tính giá trị gần đúng (độ, phút, giây) số đo
của góc A
Lấy bán kính đường tròn ngoại tiếp làm đơn vị độ dài thì cạnh của hình đa giác đều 100 cạnh là a = 2 sin
100
k = 50 sin 50
, m = 100 sin 100
Đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn
Từ tâm đường tròn nối với các đỉnh ta được n tam giác cân bằng nhau
Góc ở đỉnh mỗi tam giác cân bằng góc ở tâm và bằng 2
n
Gọi bán kính đường tròn có độ dài bằng đơn vị
+ diện tích một tam giác có số đo là:
.1.1.sin sin
Vậy diện tích đa giác đều là:
Sđg = 2
sin 2
n n
+ Độ dài một cạnh
a2 + 12 -2.1.1.cos2
n
= 2 - 2 cos2
n
2(1 cos ) 4sin
a = 2sin
n
Chu vi của đa giác = 2 sin n
n
50sin 50
k
100 2
m
Đề số 6 (Thi Khu vực, Bộ GD & ĐT, 2002, lớp 12, đề chính thức)
Bài 1 Cho hàm số f x ( ) 2x2 3sinx 4 cosx 7
a) Tính gần đúng (chính xác đến 5 chữ số thập phân) giá trị của hàm số tại điểm
7
x b) Tính gần đúng (chính xác đến 5 chữ số thập phân) giá trị của các hệ số a và b nếu đường thẳng y = ax + b là là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ
7
x ĐS: a) ( ) 29,84042635
7
b) Đường thẳng y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại tiếp điểm có hoành độ
7
x thì '( )
7
af và
( ) ( ) '( ).
Ta có: '( ) 110,3696124
7
af ; ( ) '( ) 19,69334
bf f
Trang 10Bài 2 Cho f x( ) 11 x 101x 1001x10001 Hãy cho
biết phương trình ( ) 0 có nghiệm nguyên trên đoạn
[-1000 ; 1000] hay không?
HD : Vì f x'( ) 33 x2 202x1001 0 với mọi x và
( )
f x là một hàm bậc ba nên phương trình
( ) 11 101 1001 10001 0
f x x x x có duy nhất
nghiệm Mặt khác, f(9)1154 và f(10) 909 nên
phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (9,10)
Phương trình không có nghiệm nguyên
Bài 3 Tìm ước số chung lớn nhất của hai số sau đây:
a = 24614205, b = 10719433.
ĐS: 21311;
Bài 4 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình cosx2x
với độ chính xác càng cao càng tốt
ĐS: 0.450183611;
Bài 5 Đưa một khúc gỗ hình trụ có đường kính 48,7 cm
vào máy bong gỗ, máy xoay 178 vòng thì được một dải
băng gỗ mỏng (nhằm ép dính làm gỗ dán) và một khúc
gỗ hình trụ mới có đường kính 7,8 cm Giả thiết dải băng
gỗ được máy bong ra lúc nào cũng có độ dày như nhau
Hãy tính gần đúng với hai chữ số thập phân chiều dài
của dải băng gỗ mỏng này
HD: 5 Gọi bề dày của dải băng gỗ được máy bong ra là
d Vì mỗi vòng máy phải cắt qua đường kính 2 lần (hình
vẽ) nên ta có: 48,7 7,8: 2
178
d cm
Tính trên máy: 48.7 7.8
178 2 (0.114887640) gán vào biến A.
Độ dài của mỗi vòng bong gỗ là: vòng một (48,7-2d),
vòng hai (48,7-4d), vòng ba (48,7-6d), , vòng 178 là
(48,7 -178 2 d )
Tổng chiều dài của băng gỗ mỏng là cấp số cộng này
cho chiều dài cần tìm là:
178
178
1
(48,7 2 ) (48,7 178.2 )
2
n
Tính trên máy: 97.4 179 2A 89
Đáp số: 15733,25 cm.
Bài 7 Tính gần đúng với không quá hai chữ số thập
phân giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2
sin
( )
1
x
f x
trên đoạn [-2; 2]
HD:
2
( 1) cos sin (2 1)
'( )
f x
2
2
( 1)cos sin (2 1)
'( ) 0 ( 1)cos sin (2 1) 0
( 1)
x x
2 1
tgx
x
= 0 x -0.745881166; x
0.872847628;
Maxf(x) = f(0.872847628) 0.861809707 ; minf(x) =
f(-0.745881166) -0.294767362 ;
Bài 8 Cho hai đường tròn có các phương trình tương
ứng
x2y2 5 - 6x y 1 0 và x2y2- 2x3 - 2 0y a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân toạ độ các giao điểm của hai đường tròn đó
b) Tìm a và b để đường tròn có phương trình
x y ax by cũng đi qua hai giao điểm trên ĐS: a) M1(0,52472;0,74145) và M2( 1,0555; 0,48761)
b) 1,05550,52472a a0, 487610,74145b b6,351845,82508
14,3333; 17,9999
a b
Bài 9 Tam giác PQR có góc P 45o, góc R 105o; I J,
là hai điểm tương ứng trên hai cạnh PQ, PR sao cho đường thẳng IJ vừa tạo với cạnh PR một góc 75o vừa chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau Tính giá trị gần đúng của tỷ số PJ
PR HD:
Bài 10 Gọi M là giao điểm có cả hai tọa độ dương của
hypebol
1
x y
và parabol y25x a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân tọa độ của điểm
M b) Tiếp tuyến của hypebol tại M còn cắt parabol tại điểm N khác với M Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân tọa độ của điểm N
ĐS: a) M(3,39902; 4,12251); b) N(0, 40743; 1, 42729)
Dạng toán tìm số các chữ số của 1 số :
Bài toán : Tìm số các chữ số của mp Giải
Ta lấy log của số đó Gọi n là số các chữ số của mp
Ta có : n = [p.logm]+1
Dạng toán tìm các chữ số đầu tiên (từ trái sang phải)của
1 số :
Bài toán : Tìm các chữ số (từ trái sang phải)của mp Giải
Gọi a là số cần tìm
10
