Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH KON TUM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM -1- TÀI LIỆU ÔN THI TN THPT -2- MÔN TOÁN -3- Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn, Phan Thanh Xuyên, Lê Hồ Quý -4- HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU • Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình Nâng cao, phần còn lại là phần dành cho cả hai chương trình Cơ bản và Nâng cao. • Các bài tập có dấu “*” là bài tập dành cho chương trình Nâng cao. Học sinh học chương trình Cơ bản có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức. Các bài tập còn lại là những bài tập dùng chung cho cả hai chương trình Nâng cao và Cơ bản. • Ở mỗi chủ đề ngay từ đầu tài liệu có nêu lên các kiến thức cơ bản cần nhớ. Đây là các kiến thức về lí thuyết có trong SGK, giáo viên có thể hệ thống hóa lại cho học sinh trước khi đi vào phần bài tập. Trong luyện tập cần chú ý những kĩ năng cần đạt thông qua việc chọn lựa các bài tập mà tài liệu đã cung cấp để ôn tập cho học sinh nhằm đáp ứng các yêu cầu về kĩ năng . PHẦN I. GIẢI TÍCH -5- Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn, Lê Hồ Quý CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ. 1. Kiến thức cần nhớ: - Định lý về tính đơn điệu của hàm số. - Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số. 2. Kĩ năng cần đạt: - Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm của hàm số đó. - Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản. 3. Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số bằng phương pháp đạo hàm Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . Bài 2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) ; b) ; c) ; d) . Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số a) đồng biến trên b) nghịch biến trên c) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Bài 4 * . Tìm các giá trị của tham số để hàm số a) nghịch biến trên khoảng (Khối A-2013); b) đồng biến trên khoảng 4 2 1 1 3 4 2 y x x= − + 1 1 1 y x x = − + + − 2 2 3 2 x x y x − − = − 2 2y x x= − 2 ( 1)( 2)y x x= − + 2 1 4 y x = − 2 1y x x= − 2 3 x x y e − = 2 6y x x= − − (ln 2)y x x= − 3 2 1 ( 6) (2 1) 3 y x mx m x m= + + + − + ;¡ 3 2 3 ( 2) 3y mx x m x= − + − + ;¡ 2 (3 2) 3 2 x m x y x + − − = − m 3 2 3 3 1y x x mx= − + + − (0; )+∞ 3 2 4 6 (2 1) 1y mx x m x= − + − + (0;2). -6- Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ; b) ; c) ; d) . Bài 6*. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ; b) . ____________________________ tan sin , 0; 2 x x x π   > ∈  ÷   2 cos 1 ( 0) 2 x x x> − ∀ ≠ 3 sin ( 0) 6 x x x x> − ∀ > 1 1 ( 0) 2 x x x+ < + ∀ > 2 1 1 ( 0) 2 8 x x x x+ − < + ∀ > sin tan 2 , 0; 2 x x x x π   + > ∀ ∈  ÷   -7- II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. 1. Kiến thức cần nhớ: - Định nghĩa cực trị của hàm số. - Hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị. - Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số. 2. Kĩ năng cần đạt: - Biết cách tìm cực trị của hàm số. - Xác định được giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm đã cho. 3. Bài tập: Tìm cực trị của các hàm số không chứa tham số Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) ; b) ; c) d) ; e) ; f) . Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại . Bài 4. Xác định để hàm số có cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại . Bài 5. Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu. Bài 6. Cho hàm số . Xác định a và b biết hàm số đạt cực tiểu bằng -2 khi . Bài 7. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0). Bài 8. Chứng minh rằng với mọi giá trị của , hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. Bài 9*. Với giá trị nào của k, hàm số có cực tiểu. Hướng dẫn: Dùng qui tắc 2 để tìm cực trị. 4 2 2 3y x x= − + 2 2 1 1 x x y x + + = + 2 3 4y x x= − + + 2 (1 )y x x= − 3y x x= − ( 2)y x x= + ln x y x = 2 4y x x= − cos siny x x= − 2 1 4 x y x + = + [ ] 2sin cos2 , 0;y x x x π = + ∈ sin 2 2y x x= − + 3 2 (2 ) 5y x m x m= + + + − 2x = − m 3 2 2 5 3 y x mx m x   = − + − +  ÷   1x =1x = m 2 2 4 x x m y x − + = − 3 2 2y ax bx= + + 2x = 3 2 ( )f x x ax bx c= + + + 2x = − m ( ) 2 2 1x m y x m − − = − 2 2 1y x k x= − + + -8- Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10*. Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của trục Hướng dẫn: H/S có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của trục khi PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là Bài 11*. Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Hướng dẫn: H/S có CĐ, CT khi Khi đó, đồ thị H/S có hai điểm CĐ, CT là và đối xứng qua đường thẳng khi Giải PT này tìm và đối chiếu ĐK . Bài 12*. Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có hoành độ dương. Hướng dẫn: Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi PT có 2 nghiệm dương phân biệt, tức là Bài 13*. Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của a) Một tam giác đều; b) Một tam giác vuông (Khối A- 2012). Hướng dẫn: H/S có ba cực trị khi Đồ thị H/S có ba điểm cực trị là Ta luôn có nên a) đều khi b) vuông khi Bài 14*. Tìm để hàm số chỉ có một cực tiểu, không có cực đại. Hướng dẫn: Ta có m 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x= − − + − + .Oy 2 ' 2( 1) 3( 2).y mx m x m= − − + − Oy ' 0y = 0 3( 2) 0 a m c m a m = ≠   −  = <   m 3 2 3 3 1 2 2 y x mx m= − + 2 ' 3 3 3 ( ).y x mx x x m= − = − 1 2 0 ' 0 . x y x m =  = ⇔  =  1 2 0.x x m≠ ⇔ ≠ 3 0; 2 m A    ÷   ( ;0).B m ,A B y x= 3 . 2 m m= m 0m ≠ m 3 2 (2 1) (2 ) 2y x m x m x= − − + − + 2 ' 3 2(2 1) 2 .y x m x m= − − + − ' 0y = ' 0 0 0. b S a c P a   ∆ >   = − >    = >   m 4 2 2 2( 1)y x m x m= − + + 3 2 ' 4 4( 1) 4 ( 1).y x m x x x m= − + = − − 2 0 ' 0 1. x y x m =  = ⇔  = +  1.m > − 2 2 2 (0; ); ( 1; ( 1) ); ( 1; ( 1) ).A m B m m C m m− + − + + − + AB AC = ABC∆ 2 2 2 1 ( 1) 4( 1) AB BC m m m= ⇔ + + + = + ⇔ ABC ∆ 4 . 0 ( 1) ( 1) 0 AB AC m m= ⇔ − + + + = ⇔ uuur uuur m 4 3 2 4 3( 1) 1y x mx m x= + + + + 3 2 2 ' 4 12 6( 1) 2 [2 6 3( 1)].y x mx m x x x mx m= + + + = + + + 2 0 ' 0 ( ) 2 6 3( 1) 0. x y f x x mx m =  = ⇔  = + + + =  2 ' 9 6( 1).m m∆ = − + -9- H/S chỉ có một CT tại và không có CĐ khi chỉ đổi dấu một lần từ âm sang dương khi qua Xét 2 trường hợp • TH1. Lập BBT của H/S rồi dựa vào đó mà kết luận. • TH2. Khi đó, nếu thì H/S có cả CĐ và CT hoặc thay vào Lập BBT của H/S rồi dựa vào đó mà kết luận. Bài 15*. Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu; đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. Hướng dẫn: Đặt • H/S có CĐ, CT khi PT có 2 nghiệm phân biệt (1) • Giá trị CĐ, CT cùng dấu khi đồ thị H/S đã cho cắt trục tại 2 điểm phân biệt, tức là PT (2) Kết hợp (1) và (2), ta suy ra kết quả. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Bài 16*. Cho họ đường cong : (là tham số). a) Chứng tỏ luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu. b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của . Hướng dẫn: a) Chứng tỏ y’= 0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị . b) Biến đổi hàm số đã cho sang dạng: y = y’ Gọi là hai điểm cực trị của . Từ (1) Từ (2) suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của là Lưu ý. PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị H/S Chia đa thức cho ta được trong đó là các nhị thức bậc nhất và lần lượt là thương, số dư của phép chia nói trên. Giả sử đồ thị H/S có điểm CĐ, CT là Vì nên tọa độ các điểm CĐ, CT thỏa mãn Đó chính là PT đường thẳng đi qua hai điểm CĐ, CT của đồ thị. Bài 17 * . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu; đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng 0 x 'y x 0 .x ' 0 ∆ ≤ ⇔ ,y ' 0 ∆ > ⇔ 1 2 0x x≠ ≠ 1 0x⇒ = 2 0x = (0) 0 1,f m⇒ = ⇒ = − '.y ,y m 2 3 2 1 1 mx mx m y x + + + = − 2 2 2 5 1 ' . ( 1) mx mx m y x − − − = − 2 2 ( ) 2 5 1, ' 6 .f x mx mx m m m= − − − ∆ = + ' 0y = 0 ' 0 (1) 0 m f ≠   ⇔ ∆ >   ≠  Ox 2 3 2 1 0mx mx m+ + + = 0 0 a ≠  ⇔  ∆ >  ( ) m C 3 2 2 3 3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + − + − m ( ) m C ( ) m C m∈¡ ( ) 2( ) (1) 3 3 m x m x m C   + − +  ÷   1 1 1 2 2 2 ( ; ); ( ; )M x y M x y ( ) m C 1 1 2 2 2( ) (2) 2( ) y x m y x m = − +  ⇒  = − +  ( ) m C 2( ).y x m= − + 3 2 ( 0):y ax bx cx d a= + + + ≠ y ',y '. ( ) ( ),y y q x r x= + ( ), ( )q x r x 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ).A x y B x y 1 2 '( ) '( ) 0y x y x= = ( ).y r x= m 2 3 1 x mx y x + + = + : 2 1 0.d x y+ − = -10- [...]... bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox (Hình (H) nằm ngoài parabol ) Hướng dẫn: 2 4 4 56π Thể tích (đvtt) 2 2 2 V = π ∫ ( x ) dx + π ∫ (−3 x + 10) dx −π ∫ dx = 2 x 2x 2 3 Bài 13*: Xác y = 4a − 2axa−> 0 1 2 1 y= 4 định sao cho 1 + a1 + a 4 diện tích S giới hạn bởi hai đường và có giá trị lớn nhất và tính giá trị đó Hướng dẫn: Tính được Áp dụng bất đẳng thức a 4 a a 3 a 4 94 1, S = , , Cauchy cho... Tính lũy thừa của số phức Bài 18 Chứng minh rằng: Hướng dẫn: 3(1 + i )100 = 4i (1 + i )98 − 4(1 + i )96 3(1 + i )100 − 4i (1 + i )98 + 4(1 + i )96 = (1 + i)96 3(1 + i) 4 − 4i(1 + i ) 2 + 4    Bài 96 2 = (1 + i) 3(2i) − 4i(2i) + 4  = (1 + i) 96 0 = 0 19   z ≠1 z10 − 1 1 + z + z + + z = z −1 2 Chứng minh rằng với mọi số phức , ta có: Hướng dẫn: (1 + z + z 2 + + z 9 )( z − 1) = z + z 2 + z... các tiếp tuyến (C của tại vuông góc với nhau 4 Bài 7 Cho hàm số x 5 y = − mx 2 + a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ 2 2 thị (C) của hàm số khi = 3 b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 1 A có hoành độ Chứng tỏ rằng (d ) lại cắt (C) tại một điểm khác A c) Biện luận theo cực trị của hàm số đã m cho y = − x 4 + 2mx 2 + 1 − 2m (Cm ) Bài 8 Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của... y = 2 x 4 − 4 x 2 Bài 9* (Khối B-2009) Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số m b) Tìm để phương trình có đúng 6 x2 x2 − 2 = m nghiệm thực phân biệt x + 3 Bài 10 Cho hàm số y= a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị x +1 (C) của hàm số m y = 2x + m b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của , đường thẳng (d): luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N c) Xác định sao cho đoạn MN ngắn... Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số OxCOy tuyến của tại cắt hai trục tại (M), (C ) , b) Tìm tọa độ điểm thuộc biết tiếp A, B O và tam giác có diện tích y = 2sin x + OAB x, x ∈ [ 0; π ] cos 2 bằng ( là gốc tọa độ) Bài 14 Cho hàm số có đồ thị (mC 2) x + 3 − y = ( m) x+m -17- m m a) Tùy theo các giá trị của , khảo sát sự m biến thi n của hàm số b) Khi = 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ m đồ... hàm số y = −x − a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị x −1 (C) của hàm số b) Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C) m y = 2x + m c) Cho đường thẳng (d): Với giá trị nào của thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B d) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn m AB khi biến thi n x 2 Bài 18* Cho hàm số y= x − 1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2... a.log c −b a Bài 12 Cho a, b là độ dài hai + b − b 2log cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó và Chứng minh rằng: 1 1− log8 b c 8a -20- − 1 2 II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1 Kiến thức cần nhớ: - Các khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit - Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số... lớn nhất của hàm số x2 − y= x + 1 trên đoạn bằng 2 Ứng dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số vào bài toán cực trị trong hình học Bài 5 Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m 2 Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất Bài 6 Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn có bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất Bài 7 Tìm kích thước hình trụ có... + i i)3 = 1 − 9i 5 3 z z− −1 = 0 (B-2011); z e*) (A-2011); f*) và Bài 6* Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: zz− 2i −1 = 1 và 2 z +i −3 Hướng dẫn: ⇔ 1x z = x +ziy x(=,2y ∈ ¡ ) − z(= 2 −=21 Khi đó Vậy 4 + z y − 2)2i z − 2i −3 = = 2 ⇔ y = −2 z +i 4 + ( y + 1) 2 Các bài toán liên quan đến 2 z2 2 = +−z z + 1z− −ii z z 5.2 + i = = Nếu viết thì môđun của số phức Bài 7 Tìm biết z, z−= 1 3)(1 + i ); a) z =... hàm số a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số m C b) Tìm để đồ thị của hàm số cắt trục (x1 ,) hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 2 2 , 32 thỏa mãn điều kiện x1 + xx2+xx3 < 4 2 4 2 Bài 6 Cho hàm số có đồ thị (m là y = x + (mx ) − (m + 1) Cm tham số) -16- m m a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) −2 của hàm số khi = , b) Chứng minh rằng khi thay đổi, luôn MCm ) 2 đi qua 2 điểm . TUM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM -1- TÀI LIỆU ÔN THI TN THPT -2- MÔN TOÁN -3- Biên soạn: Nguyễn Hữu ôn, Phan Thanh Xuyên, Lê Hồ Quý -4- HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU • Phần in nghiêng, đậm dành. giác vuông (Khối A- 2012). Hướng dẫn: H/S có ba cực trị khi Đồ thị H/S có ba điểm cực trị là Ta luôn có nên a) đều khi b) vuông khi Bài 14*. Tìm để hàm số chỉ có một cực tiểu, không có. số). a) Chứng tỏ luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu. b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của . Hướng dẫn: a) Chứng tỏ y’= 0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt