CUC TRI HINH GIAI TICH
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viét phuong trinh dudng thang A di qua
M(i ; 2) va cắt các truc Ox, Oy lan luot tai A, B khéc O sao cho TT + — OA* OB? bé nhất
Ở ví dụ này, ta trình bày ba cách giải theo ba \
phương pháp nói trên B M
Cach 1 Ha OH L A Trong tam giác vuông H OAB, ta có : > 4 A = —> — (không đổi) | A/ OA OB OH OM À Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : Hìinhói HNẽMK<œ=OM l A Vậy mm + 2 đạt giá trị bé nhất khi đường thang A di qua diém M(1 ; 2) và có pháp vectơ là Ø4⁄(1; 2) Vậy đường thẳng A cần tìm là : l(x — 1) + 2(y - 2) = 0 @xt+2y-5=0 Nhận xét : e Phép biến đổi : z+ z= z là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại OA“ OB* OH
luong bién thién OA, OB vé biéu thifc con mot dai lugng bién thién OH
e Cách giải trên không mở rộng được cho bài toán tổng quát hơn : xác định vị
trí của đường thẳng A để —“~ + — nhỏ nhất (z > 0, b > 0)
Trang 2PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
Cách 2 Đường thẳng A đi qua M(1 ; 2), cắt các trục toạ độ và không di qua
gốc nên nó là đường thẳng có hệ số góc k với k # 0,k # 2 Khi đó : A:y—2 =k{(x-— 1) ©y = kx — k +2 Ta có : A“?:0) s2 — k) và L1 _— K+] OA? OB? (k-2) Ộ k?+l Xét hàm số : ƒ(k) = = (k # 0,2) &~2) -4k? + 6k + 4 rye (2) k=2 Ta có: fi(k) =00 4h +6k+4=00 => 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số f{k) : k —œo 1 2 0 2 +00 f'(k) ~ 0 + ~ l +œ +00 AY) NN 1 1|IxZ 42 NI 5
Vậy f(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = >
Do d6 + + +, nhỏ nhất khi và chỉ khi k = + @ A: x+2y-5=0
Trang 3Cách 3 Giả sử : A(m ; 0), B(O0; 2), m,n # 0 ~~ Khi dé A: — +2 =1 diquaM(1; 2) nen: H š | —+—=l 12 m H Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có : 2 1 2 2 | z) I=l—+ “| <|+2ˆÌ —+—! (= 3 | lø n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 1 2 —+—=l | mor 1 —+—=1 Ll 2 m=5 14 — Simin => 5 +m — H =~— 271 m = 2n 2 on l ] ] 1 1 T12 Nhu vậy —— + ——~ = —> + =z 3 = Dấu bảng xảy ra khi và chỉ khi z = 5, OA“C OB“ m n 5 5 n = —, nghia 2 g la A:x+2y-5=0
Trang 4PHẠM ĐỨC QUẦN - 12C - LHP
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 42321 <> m=4,n=6
m H
Do đó diện tích tam giác Ø4 nhỏ nhất khi và chỉ khi A :— + È = I
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng A di qua
điểm M(I ; 8), cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tai A, B sao cho AB nhỏ nhất — Lời giải , Gia sl: A(m; 0), B(O; 2), m,n > 0 Khi đó A : +2 =1, ViddiquaM(;8)nen 242 <1 m hi m H Tac6: t= 45 =o # ác +ec+ > TÔI TT, mn 2m 2m ñn n 4m?n I0 2 os aa: Do dé: mn* > Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉ khi —+ mon 1 c m=5 ¬ yo 2m n Ta có : 2 2 2 2 2Ñ AB’ = OA? + OB? =m? +r =m? 47454542 4 4 4 4 2557" 4 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi øˆ = 7 o> n = 2m 2.8 10 Vay ; AB? > 5.5) > si = 125 4 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 5,n = 10
Vậy AZ nhỏ nhất khi và chỉ khi A: itis hay A: 2x+y-10=0
Ví du 4 Trong mat phang toa d6 Oxy cho ba diém A(1 ; 1), B(3 ; 2), C(7; 10)
Trang 5b) Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C tới đường thẳng A là lớn nhất Lời giải AA a) Ta có : AB = (2;1), AC = (6;9) 2.6+1.9 cosBAC = cos(A8,AC] = j 5 5 j 2 > 0 _ 2° + 1° V6 + B 7 ˆ Do đó : BAC < 900, Hình 62 b) + Nếu đường thẳng A cắt đoạn 8C tại một điểm M Khi đó : d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC
Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuông góc với ÖC
+ Nếu đường thẳng A không cắt đoạn BC (h.62) Gọi /({5 ; 6) là trung điểm của BC
Ta có :
d(B, A) + d(C, A) = 2d(I, A) < 2AI
Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuông góc với A/ (để ý rằng khi đó
đường thẳng A không cắt đoạn 8C)
Do tam giác ABC nhọn nén 2A/ > BC
Do đó d(B, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A đi qua điểm
A(I1 ; 1), có pháp vectơ Al(4 ; 5)
Đường thẳng A cần tìm là
Trang 6PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, viết phương trình đường thắng A di qua điểm l + OM? ON? A(-I ;3) và cắt các trục Óx, Oy lần luot tai M, N sao cho nhỏ nhất
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, viết phương trình đường thang A di qua điểm
M(2 ; 5), cắt chiều dương của các trục Ox, Oy lan luot tai céc diém A, 8 khác
gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác ÓAð nhỏ nhất
Trong mặt phẳng toa do xOy cho đường thẳng
Á : mx + y + 2m = ÔQ
Tim m dé khoang cach tir A(3 ; 4) tới đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất
Trong mặt phẳng toa độ xÓy, viết phương trình đường thang A di qua điểm M3 ; 2), cắt chiều dương của các trục Óv, Óy tương ứng tại các điểm A, B
khác gốc toa độ sao cho ÓA + 2Ó8 đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho các điểm A(1 ; 1), 8(2 ; 5), C(4 ; 7) Chứng minh rằng AA8C có góc A nhọn
Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho :
a) d(B, A) + d(C, A) lớn nhất ;
b) 2d(B, A) + d(C, A) 16n nhat
Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho đường thẳng A : x + y+ 2 = 0 và các điểm
A(2; 1), B(—1;—3), C(; 3) Tìm điểm M thuộc đường thang A sao cho a) |MA — MB| lớn nhất ;
b) MA + MC nhỏ nhất ;
c) MA? + MB? - MCˆ” nhỏ nhất ;
Trang 8PHAM ĐỨC QUẬN- 12C - LHP Do đường thang A di qua M(2 ; 5) nén: — + 5 lễ q Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2 va >, ta CÓ : a p=a24232 1Ô ub > 40 ab ab 7 “ ! tÍ 2 h‹ " 2 5 1 a=4 Dấu “=" xảy ra khi và chỉ khi : — = — = — & a b 2 b = 10
Tir đó SOAB = 20A.OB = 2b 2 20
Vay Soag bé nhat bang 20 khi a = 4,b = 10
Khi đó đường thẳng A có phương trình : x oy l 4 10 3 Khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A : mx + y + 2m = 0 là : Bm + 4 + 2m| _ Sm + 4| Vm? +1 Vm? +1 Cách ! Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : (m? + 1\(s? + 42) > (5m + 4y => 4I(m + 1) > (Sm + 4)”
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = -ả hay m = =
Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng A dat gid tri lớn nhất bằng V41 khi
5
m=
Trang 9| Cách 2 : Đặt f(m) = (Sm + 4) _ 25m* + 40m + 16 Khi đó m +1 m +1 ~40m2 + 18m + 40 /(n) =“— [m + 1) 4 5 =0 © m =—— hoặc m = — f'(m) m 5 fo m 4 li = 25 sim fm) Ta c6 bang bién thién : m | —« - 5 2 4 + f'(m) - 0 + 0 - 25 41 Từ đó ƒ(m) đạt giá trị lớn nhất bằng 41 khi m = : hay khoảng cách từ A tới đường thẳng A lớn nhất bằng v41 khizm = =
4, Gia sit A(a;0), B(0;b) (a > 0,5 >0) 1a giao diém cha dudng thing A voi
Trang 10PHAM BUC QUAN - 12C - LHP 4a a’ +a Tac6: OA+20B =a+2b=a+ = a-3 a-3 ee Ổ Ta có _ 3 Đặt / (a) = Ga + lu —3)— 2 =a - a —6a- 3 (a3) (a3) (4) = 0 9 (47387 283 Fla) =0 on lim f(a) = lim a f(a) = a—3+ Ta có bảng biếu thiên : F(a) = 3 34+2V3 +00 ee T
Từ đó f(a) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7+493 khi a = 3+ 23 hay
Trang 11a) Nếu đường thang A cat đoạn 8C tại một điểm M thì :
d{(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thang A vuông góc với BC
Nếu A không cắt đoạn BC thi d(B, A) + d(C, A) = 2dU/, A) < 2AI, ở đó
1(3;6) 1a trung điểm của BC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A vuông góc
voi Al
Do tam giác ABC có BAC nhọn nên 2Aƒï > BC
Vậy d{(B, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A di qua điểm
A(I ; 1) và có vectơ pháp tuyến !A = (-2: -5) Đường thẳng A cần tìm có phương trình : -2(x -1)- 5(y - 1) =0 = 2x+5y-7=0 b) Trén tia AB lay diém B' sao cho B 1a trung diém cla AB’ Ta có : B= (3; 9) va d(B’, A) = 2d(B, A) Tir dé : 2d(B, A) + d(C, A) = d(B', A) + d(C, A) Tương tự như cách giải câu a) 4p dụng cho tam giác AE, ta cũng chia làm hai trường hợp : e Nếu đường thẳng A di qua A và cắt đoạn #'C tại M thì : d(B', A) + d(C, A) < B'M + CM = BC
Dấu "=” xảy ra khi và chỉ khiA 1 B'C
e Nếu đường thẳng A không cắt đoạn 8'C thì
d(PB', A) + d(C, A) = 2d(F', A) < 2ƑA
với Ï ( : ) là trung điểm của cạnh 8C
Dấu "=" xảy ra khi đường thang A vuông góc với ‘A
Trang 12PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
Vậy d(B', A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi duong thang A di qua A(I ; 1) và có vectơ pháp tuyến ar 2 ; 7} Đường thẳng A cần tìm là : 5(x~1)+ TÚy =1) =0 « 5x +l4y- 19 =0 a) AC2 ; 1) va Ö8(—I1 ; -3) thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thăng A : x + y + 2= Ô vì (xa + ya + 2Ì(xpg + yg + 2) = 5(-2) < 0 Gọi A' là điểm đối xứng với Á qua đường thẳng A Khi đó A' và 8 thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A
Ta có : |MA — MB| = |MA-— MB| < A'B
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M, A', B8 thẳng hàng và M ở ngoài đoạn A'B <> {M} = A'BOA (vi M € A vàA', B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A)
Trang 13Suy ra đường thing A'B cé phuong trinh: {7 ” ° “ y= —4 +f Giao diém M cia A'B va đường thẳng A img véi ¢ 14 nghiém cla phuong trinh : (-3 + 2r)+(4+1r)+2=0 =3r~5=0r=Šœ M=[ ¡~ 3) 3 3 3 3
b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua A Khi đó, A' va C nam ở hai phía khác nhau đối với đường thẳng A
Với M tuỳ ý trên đường thẳng A ta có :
MA +MC =MA'+MC> AC
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 là giao điểm của A'C và A (tức Mí ở giữa A' và
C, điều này có được do Á' và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là
đường thẳng A)
Theo câu a) : A'(—3 ; -4), A'C = (4:7)
Trang 14PHAM BUC QUAN - 12C - LHP
suy ra MA? + MB? ~ MC? = x’ +y? +10y+5
= (-y - 2) + y? + 10y +5 = 2y? + 14y +9,
Xét hàm số ƒ (y) = 2y? + 14y +9 có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên Do đó ƒ(y) nhỏ nhất khi y = 5 © M= lš:-;]
Vậy MA? + MB” - MC” nhỏ nhất khi M = lš:-;]
d) Gia sit M = (x ; y) thì MA =(2-x;1—-y), MB =(-I-x;-3-), MC =(1-x;3-) => MA + MB + MC = (2 -3x;1- 3y) [MA + MB + MC| = (2 -3x) +(1-3y)) nhỏ nhất khi và chỉ khi (2 - 3x)” + (1— 3y)” nhỏ nhất
Với M(x ; y) thuộc đường thẳng A thì x = —y — 2, do đó :