Tinh tong cac day so - BD HSG

Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G p pp ph hh hầ ầầ ần nn n s ss số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c, ,, , đ đđ đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 08/09/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 13/09/11 Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề 3 33 3 Tính tổng các dãy số Buổi 1 tổng với các số hạng là số nguyên, lũy thừa, số thập phân, phân số A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết cách tính tổng các dãy số với các số hạng là số nguyên; lũy thừa; số thập phân; phân số có thể cách đều hoặc không cách đều. Kĩ năng - Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t duy khoa học Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động trong học tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (165 phút) Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đềuDạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều I Lí thuyết chung: - Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 - Số lẻ là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 - Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị - Cho dy số cách đều u 1 , u 2 , u 3 , , u n (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dy là d, khi đó số các số hạng của dy (*) là: ( ) 1 : 1 = + n n u u d (1) Tổng các số hạng của dy (*) là : 1 ( ) 2 n n n u u S + = (2) Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính đợc số hạng thứ n của dy (*) là: u n = u 1 + (n - 1)d Suy ra: + Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b a + 1 phần tử + Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b - a) :2 + 1 phần tử + Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số chẵn n có (n - m) : 2 + 1 phần tử II Bài tập: Bài 1: Hãy tính tổng S các số tự nhiên từ 1 đến 100 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Hớng dẫn: Cách 1: Ta thấy tổng S có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 nh sau: S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050. Cách 2: S = 1 + 2 + + 99 + 100 S = 100 + 99 + + 2 + 1 2S = 101 + 101 + + 101 + 101 (có 100 số hạng 101) => S = 101.100 : 2 = 5050 Bài 2: Tính A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 Hớng dẫn: Cách 1: A = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950 Cách 2: A = 1 + 2 + + 98 + 99 A = 99 + 98 + + 2 + 1 2A = 100 + 100 + + 100 + 100 (có 99 số hạng 100) => A = 100.99 : 2 = 4950 Bài 3: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999 Hớng dẫn: Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ, á p dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250000 (tổng trên có 250 cặp số) Cách 2: C = 1 + 3 + + 997 + 999 C = 999 + 997 + + 3 + 1 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 (có 500 số hạng 1000) => C = 1000.500 : 2 = 250000 Bài 4: Tính D = 1 + 2 + 3 + . . . + n Hớng dẫn: Làm theo cách thứ hai của các bài tập trên đợc kết quả: n(n 1) D 2 + = Bài 5: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Hớng dẫn: Nhân cả hai vế với 100 ta có: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G p pp ph hh hầ ầầ ần nn n s ss số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c, ,, , đ đđ đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 (1011 9899).89 9910 2 + = + = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05 (ghi chú: Vì số các số hạng của dy là (9899 1011) 1 89 101 + = ) Bài 6: Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Hớng dẫn: Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = ( 4006) .2004 ( 2003).2004 2 a a a + + = + . Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004. Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Dạng 2 Dạng 2Dạng 2 Dạng 2: Dãy số mà các số hạng : Dãy số mà các số hạng : Dãy số mà các số hạng : Dãy số mà các số hạng không không không không cách đều cách đềucách đều cách đều Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) Hớng dẫn: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + . . . + n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)] = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = ( 1)( 2) 3 n n n + + Bài 2: Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1) Hớng dẫn: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4 (5 - 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1). ( ) ( ) n 2 n 2 + = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - (n - 2)(n - 1)n(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B = ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n + + Bài 3: Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + . . . + n(n + 3) Hớng dẫn: Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1)+ 2.1 2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1)+ 2.2 3.6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1)+ 2.3 4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1)+ 2.4 . . . . . . . . . . . n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + . . . + n(n + 1) + 2n = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + . . . + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + . . . + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + . . . + 2n) mà 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = ( 1)( 2) 3 n n n + + (kết quả bài tập 1) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu và 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = (2n 2)n 2 + C = ( 1)( 2) (2 2) 3 2 + + + + n n n n n = ( 1)( 5) 3 n n n + + Bài 4: Tính D = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 Hớng dẫn: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + . . . + n.(1 + n) = 1 2 + 1.1 + 2 2 + 2.1 + 3 2 + 3.1 + . . . + n 2 + n.1 = (1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 ) + (1 + 2 + 3 + . . . + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có: A = ( 1)( 2) 3 n n n + + và 1 + 2 + 3 + . . . + n = ( 1) 2 n n + D = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = ( 1)( 2) 3 n n n + + - ( 1) 2 n n + = ( 1)(2 1) 6 n n n + + Bài 5: Tính A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 Hớng dẫn: Cách 1: B = 1.2.3 + 2.3.4 + . . . + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + . . . + (n - 1)n(n + 1) = (2 3 - 2) + (3 3 - 3) + . . . + (n 3 - n) = (2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) - (2 + 3 + . . . + n) = (1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) - (1 + 2 + 3 + . . . + n) = (1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) - ( 1) 2 n n + 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = B + ( 1) 2 n n + Mà ta đ biết B = ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n + + A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n + + + ( 1) 2 n n + = 2 ( 1) 2 n n + Cách 2: Phơng pháp quy nạp toán học *) Kiến thức : Để chứng minh một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đúng với n n 0 bằng phơng pháp quy nạp toán học, ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n 0 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k n 0 ) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n n 0 Chứng minh A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = (1 + 2 + 3 + + n) 2 = 2 ( 1) 2 n n + (Với * n N ) Ta có: A 1 = 1 3 = 1 2 A 2 = 1 3 + 2 3 = 9 = (1 + 2) 2 A 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 = (1 + 2 + 3) 2 Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là ta luôn có: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G p pp ph hh hầ ầầ ần nn n s ss số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c, ,, , đ đđ đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố A k = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + k 3 = (1 + 2 + 3 + . . . + k) 2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là: A k+1 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + (k + 1) 3 = [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)] 2 (2) Thật vậy, ta đ biết: 1 + 2 + 3 + . . . + k = ( 1) 2 k k + A k = [ ( 1) 2 k k + ] 2 (1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1) 3 ta có: A k + (k + 1) 3 = [ ( 1) 2 k k + ] 2 + (k + 1) 3 A k+1 = [ ( 1) 2 k k + ] 2 + (k + 1) 3 = 2 ( 1)( 2) 2 k k+ + Do đó: A k+1 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + (k + 1) 3 = [1 + 2 + 3 + . . . + (k + 1)] 2 = = 2 ( 1)( 2) 2 k k+ + => đẳng thức đúng với n = k + 1. Vậy khi đó ta có: A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n) 2 = 2 ( 1) 2 n n + Bài 6: Bài 6 (trang 23/SGK toán 7- tập 1) Biết rằng 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + 10 2 = 385, đố em tính nhanh đợc tổng S = 2 2 + 4 2 + 6 2 + . . . + 20 2 Hớng dẫn: Ta có: S = 2 2 + 4 2 + 6 2 + . . . + 20 2 = (2.1) 2 + (2.2) 2 + . . . + (2.10) 2 = 1 2 .2 2 + 2 2 .2 2 + 2 2 .3 2 + . . .+ 2 2 .10 2 = 2 2 .(1 2 + 2 2 + 3 2 + . + 10 2 ) = 4. (1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + 10 2 ) = 4.385 = 1540. Nhận xét: Nếu đặt P = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + 10 2 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính đợc P và ngợc lại. Tổng quát hóa ta có: P = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = ( 1)(2 1) 6 n n n + + (theo kết quả bài tập 4 ở trên) Khi đó S = 2 2 + 4 2 + 6 2 + . . . + (2n) 2 đợc tính tơng tự nh bài trên, ta có: S = (2.1) 2 + (2.2) 2 + . . . + (2.n) 2 = 4.( 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 ) = = 4 ( 1)(2 1) 6 n n n + + = 2 ( 1)(2 1) 3 n n n + + Còn: P = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . + n 3 = 2 ( 1) 2 n n + . (theo kết quả bài tập 5 ở trên) Ta tính S = 2 3 + 4 3 + 6 3 + . . .+ (2n) 3 nh sau: S = (2.1) 3 + (2.2) 3 + (2.3) 3 + . . . + (2.n) 3 = 8.(1 3 + 2 3 + 3 3 + . + n 3 ) => S = 8P. Vậy ta có: S = 2 3 + 4 3 + 6 3 + . . .+ (2n) 3 = 2 2 2 2 2 ( 1) 8. ( 1) 8 2 ( 1) 2 4 n n n n n n + + = = + Bài 7: a) Tính A = 1 2 + 3 2 + 5 2 + . . . + (2n -1) 2 b) Tính B = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + (2n-1) 3 Hớng dẫn: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu a) Theo kết quả bài 4 ở trên, ta có: 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + (2n) 2 = 2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1) 6 3 n n n n n n + + + + = Mà ta thấy: 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2n -1) 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + (2n - 1) 2 + (2n) 2 - [2 2 + 4 2 + 6 2 + . . . + (2n) 2 ] = (2 1)(4 1) 3 n n n + + - 2 ( 1)(2 1) 3 n n n + + = 2 (4 1) 3 n n b) Ta có: 1 3 + 3 3 + 5 3 + + (2n-1) 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + (2n) 3 - [2 3 + 4 3 + 6 3 + . . . + (2n) 3 ] á p dụng kết quả bài tập 5 ở trên ta có: 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + (2n) 3 = n 2 (2n + 1) 2 . Vậy: B = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + (2n-1) 3 = n 2 (2n + 1) 2 - 2n 2 (n + 1) 2 = 2n 4 - n 2 Bài 8: Tính S 1 = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 Hớng dẫn: Cách 1: Ta thấy: S 1 = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 (1) 2S 1 = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 + 2 64 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2S 1 - S 1 = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 + 2 64 - (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ) = 2 64 - 1. Hay S 1 = 2 64 - 1 Cách 2: Ta có: S 1 = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 = 1 + 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 62 ) = 1 + 2(S 1 - 2 63 ) = 1 + 2S 1 - 2 64 S 1 = 2 64 - 1 Bài 9: Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 2000 (1) Hớng dẫn: Cách 1: á p dụng cách làm của bài tập trên Ta có: 3S = 3 + 3 2 + 3 3 + . + 3 2001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta đợc: 3S - S = (3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 2001 ) - (1 +3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 2000 ) Hay: 2S = 3 2001 - 1 S = 2001 3 1 2 Cách 2: Tơng tự nh cách 2 của bài trên: Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 1999 ) = 1 + 3(S - 3 2000 ) = 1 + 3S - 3 2001 2S = 3 2001 - 1 S = 2001 3 1 2 *) Tổng quát hoá ta có: S n = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n (1) Khi đó ta có: Cách 1: qS n = q + q 2 + q 3 + . . . + q n+1 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = q n+1 - 1 S = 1 1 1 n q q + Cách 2: S n = 1 + q(1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n-1 ) = 1 + q(S n - q n ) = 1 + qS n - q n+1 qS n - S n = q n+1 - 1 hay: Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G p pp ph hh hầ ầầ ần nn n s ss số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c, ,, , đ đđ đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố S n (q - 1) = q n+1 1 S = 1 1 1 n q q + Bài 10: Cho A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 9 ; B = 5.2 8 . Hy so sánh A và B Hớng dẫn: Ta có: A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 9 (1) 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 9 + 2 10 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 2 2 + 2 3 + + 2 9 + 2 10 ) - (1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 9 ) = 2 10 - 1 hay A = 2 10 - 1 Còn: B = 5.2 8 = (2 2 + 1).2 8 = 2 10 + 2 8 Vậy B > A Bài 11: Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.6 2 + 4.6 3 + . . . + 100.6 99 (1) Hớng dẫn: Ta có: 6S = 6 + 2.6 2 + 3.6 3 + + 99.6 99 + 100.6 100 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta đợc: 5S = 6 - 2.6 + (2.6 2 - 3.6 2 ) + (3.6 3 - 4.6 3 ) + . . . + (99.6 99 - 100.6 99 ) + + 100.6 100 - 1 = 100.6 100 - 1 - (6 + 6 2 + 6 3 + . . . + 6 99 ) (*) Đặt S' = 6 + 6 2 + 6 3 + . . . + 6 99 6S' = 6 2 + 6 3 + . . . + 6 99 + 6 100 S' = 100 6 6 5 thay vào (*) ta có: 5S = 100.6 100 - 1 - 100 6 6 5 = 100 499.6 1 5 + S = 100 499.6 1 25 + tổng với các số hạng là phân số 1. Lí thuyết chung: Nếu số hạng có dạng ( ) + m b b m thì ta phân tích thành hiệu nh sau: 1 1 ( ) m b b m b b m = + + (hiệu hai thừa số ở mẫu luôn bằng giá trị ở tử thì phân số đó luôn viết đợc dới dạng hiệu của hai phân số khác với các mẫu tơng ứng). Nên ta có một tổng với các đặc điểm: Các số hạng liên tiếp luôn đối nhau (số trừ của nhóm trớc bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp), cứ nh vậy các số hạng trong tổng đều đợc khử liên tiếp, đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn. 2. Bài tập: Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A = 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1). n n + + + + Lời giải Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ta có: A = 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 n n + + + A = 1 1 1 n n n = Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B = 4 4 4 4 3.7 7.11 11.15 95.99 + + + + Hớng dẫn: Ta có: 7 - 3 = 4 (đúng bằng tử) nên ta có: B = 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 7 11 11 15 95 99 + + + + = 1 1 32 3 99 99 = Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C = 2 2 2 2 7 7 7 7 2.9 9.16 16.23 65.72 + + + + Hớng dẫn: Ta thấy: 9 - 2 = 7 7 2 ở tử nên ta không thể áp dụng cách làm của các bài trên (ở tử đều chứa 7 2 ), nếu giữ nguyên các phân số đó thì ta không thể tách đợc thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên đợc. Mặt khác ta thấy: 7 1 1 2.9 2 9 = , vì vậy để giải quyết đợc vấn đề ta phải đặt 7 làm thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản. Vậy ta có thể biến đổi: C = 7 7 7 7 7. 2.9 9.16 16.23 65.72 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 7. 2 9 9 16 16 23 65 72 + + + + = 1 1 35 29 7. 7. 3 2 72 72 72 = = Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D = 3 3 3 3 1.3 3.5 5.7 49.51 + + + + Hớng dẫn: Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta đa 3 ra ngoài và đa 2 vào trong thay thế. Ta có: D = 2 3 3 3 3 2 1.3 3.5 5.7 49.51 + + + + = 3 2 2 2 2 2 1.3 3.5 5.7 49.51 + + + + = 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 5 5 7 49 51 + + + + = 3 1 1 3 50 25 2 1 51 2 51 17 = = Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E = 1 1 1 1 1 1 7 91 247 475 775 1147 + + + + + Hớng dẫn: Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25; 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 Tơng tự bài tập trên ta có: E = 1 6 6 6 6 6 6 6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 + + + + + = 1 1 1 36 6 1 6 37 6 37 37 = = Bài 6. So sánh: A = 2 2 2 2 60.63 63.66 117.120 2003 + + + + và B = 5 5 5 5 40.44 44.48 76.80 2003 + + + + Lời giải Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G p pp ph hh hầ ầầ ần nn n s ss số ốố ố h hh họ ọọ ọc cc c, ,, , đ đđ đạ ạạ ại ii i s ss số ốố ố A = 2 3 3 3 2 3 60.63 63.66 117.120 2003 + + + + = 2 1 1 1 1 1 1 2 3 60 63 63 66 117 200 2003 + + + + = 2 1 1 2 2 1 2 3 60 120 2003 3 120 2003 + = + = 1 2 180 2003 + Tơng tự cách làm trên ta có: B = 5 1 1 5 5 1 5 1 5 4 40 80 2003 4 80 2003 64 2003 + = + = + Ta lại có: 2A = 1 2 2 4 1 4 2 180 2003 180 2003 90 2003 + = + = + Từ đây ta thấy ngay B > 2A thì hiển nhiên B > A IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1. Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Kết quả: D = 249480 Bài 2. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + . . + (n - 2)(n - 1)n(n + 1) Kết quả: A = 2 2 n(n 1)(n 4) 5 Bài 3. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + . + n(n + 1)(n + 3) Hớng dẫn: Phân tích B 1.2(3 1) 2.3(4 1) n(n 1)(n 2 1) 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + Kết quả: B = n(n 1)(n 2)(3n 13) 12 + + + Bài 4. E = 7 + 7 4 + 7 7 + 7 10 + . . . + 7 3001 Kết quả: E = 3003 7 342 Bài 5. F = 8 + 8 3 + 8 5 + . . . + 8 801 Kết quả: F = 802 8 63 Bài 6. Tính: A = 1 1 1 1 5.6 6.7 7.8 24.25 + + + + Kết quả: A = 4 25 Bài 7. Tính: B = 2 2 2 2 5 5 5 5 1.6 6.11 11.16 26.31 + + + + Kết quả: B = 150 31 D/Bổ sung Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu ******************************* Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 19/09/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 23/09/11 Ch ChCh Chủ đề ủ đề ủ đề ủ đề 3 33 3 Tính tổng các dãy số Buổi 2 luyện tập A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Tiếp tục áp dụng cách tính tổng để giải các bài toán chứng minh, tính giá trị biểu thức, so sánh hai biểu thức, . . . , giải đề thi Kĩ năng - Rèn kĩ năng tính toán, biến đổi, t duy khoa học Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động trong học tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chức Tổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ (15 phút) - HS1: Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc - HS2: Giải bài tập 3 đã cho ở buổi học trớc - HS3: Giải bài tập 7 đã cho ở buổi học trớc III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (164 phút) Bài 1. So sánh hai biểu thức A và B: A = 1 1 1 1 124 1.1985 2.1986 3.1987 16.2000 + + + + B = 1 1 1 1 1.17 2.18 3.19 1984.2000 + + + + Lời giải Ta có: A = 124 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1984 1985 2 1986 3 1987 16 2000 + + + + [...]... + 2 + x 2 Nếu x < - 2 thì y = - 2x Nếu 2 x 2 thì y = 4 Nếu x > 2 thì y = 2x b) Nếu x < - 2 thì y = - 2x > 4 Nếu 2 x 2 thì y = 4 Nếu x > 2 thì y = 2x > 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 4 khi 2 x 2 *) Cách khác : áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, ta có: y = x+2 + x2 = x+2 + 2x x+2+2x =4 Dấu "=" xảy ra (x + 2)(2 - x) 0 Giải bất phơng trình này ta đợc : 2 x 2 1 2 So sánh A = 1 + 1 +... 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + - 2 + + + 2006 2006 2 3 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + - 1 + + + + + 2006 2 3 4 1003 2 3 4 A= Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 1 1 1 + + + 1004 1005 2006 1 1 1 1 A Còn B = + + + = 2006 Z B 2006 1004 1005 2006 = B i 9 Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 2009 2010 a) Tìm số tự... 6033 15.25 = 11691 2 2 2 2 M nhỏ nhất bằng 11691 y = 25; x = 13 ;z = 1934 2 2 Do đó: M B i 11 Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II năm học 2010 - 2011 1 Cho y = x2 + 4x + 4 + a) Rút gọn y 2 x 4x + 4 Giáo án Bồi dỡng HSG phần số học, đại số Trờng THCS Hồng Hng b) Tính giá trị nhỏ nhất của y 2 So sánh A = 1 + 1 + 1 + 2 1 + 4 3 1 + + 5 1 + 99 1 100 với 20 3 Cho a, b, c , x, y là các số thực thỏa mãn các đẳng... ) 3n +5 1 1 + + 2 2 2 + 3 2009 2 + 2009 1 1 , vế phải bằng 1 n+2 3 n + 5 k = 3 n (1 + 1 3n +5 3n )=0 k +1 k Do đó P = k +1 + k 2 2009 1 1 B i 10 Đề thi khảo sát chọn HSG đợt II huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 HSG 2009 2010 a) Chứng minh rằng 1 1 + 1 + 1 + + 2 1 2 2 3 3 4 2009 1 2 ) ( > 4016 2009 2009 b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : y 25;2x + y 12;z + 3y 2009 Tìm giá trị... k = 1 = k +1 ( k +1 k k +1 k k + 1 k ( k + 1 + k )( k + 1 k ) k +1 + k +1 k = k 1 = k + 1 k ) 1 k +1 k - Thay k = 1; 2; 3; ; 98; 99 v o tổng S ta có S= 1 1 - 1 + 2 1 2 1 1 3 + 1 3 1 + 4 + 1 98 1 1 9 9 => S= => S = = 1 = 10 10 10 1 100 1 + 99 1 1 99 100 IV Hớng dẫn về nhà (1 phút) - Xem lại các bài đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: B i 1 2 a Chứng minh với mọi số dơng a thì 1 + = 1+... + + + + + + + + + 16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 = = Năm học 2011 - 2012 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + + 16 1985 + 1986 + + 2000 16 Vậy A = B B i 2 Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 + + + + 2 < với mọi n N 2 5 13 25 2 n + ( n + 1) Lời giải 1 2 1 2 1 2 1 2 với: < ; < ; < ta phải so sánh: 2 2 5 2.4 13 4.6 25 6.8 n + (n + 1) 2n(2n + 2) 1 1 1 2 1 1 Thật vậy: 2 = 2 còn = 2 = =... 1 1 + 2 ( 2 1 + =1+2 + 1 2 + 3 3 + 2 + + 1 1 + 99 100 2 + + 4 100 + 1 3 + 100 4 + + 99 100 1 99 + 100 ) = 1 + 2 (10 1) = 19 < 20 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 2 3 x3 + y3 = b3 b3 = x3 + y3 = ( x + y )( x2 xy + y2 ) = ( x + y ) ( x + y ) 3xy 3 b3 = a 3axy Nếu x + y = 0 thì a = b = c = 0 3 3 Nếu x + y = a 0 => xy = a b 3a 5 5 3 3 2 2 2 2 x... 2008 (2n + 1)( n + n + 1) Chứng minh rằng: a1 + a2 + + a2008 < 2008 2010 Hớng dẫn: 2( n + 1 n ) 2( n + 1 n ) 1 1 2 = < = n +1 + n 2 n(n + 1) n n +1 (2n + 1)( n + n + 1) Do đó an = Giáo án Bồi dỡng HSG phần số học, đại số Trờng THCS Hồng Hng 1 1 1 1 1 1 1 + + + =1 1 2 2 3 2008 2009 2009 a1 + a2 + + a2009 < Mặt khác: 2008 1 2008 2009 2010 2009 + 2010 1 = 2010 2009 2010 2009 ( 2009 1 )... n(n + 2) = = = = = (n + 1)2 (n + 1)2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 1 1 1 1 B i 4 Tính giá trị của biểu thức N = + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)( n + 2) Vậy M = 1 Lời giải Giáo án Bồi dỡng HSG phần số học, đại số Trờng THCS Hồng Hng Ta có: N = 1 2 2 2 2 + + + + 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n + 1)(n + 2) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.( n + 1) ( n + 1)(n... a a + 1 a a + 1 a ( a + 1)2 a a +1 b/ áp dụng c/m câu a ta có : 1 2 1 1 2 3 S = 1 + 1 + 1 + + + 1 + 1 1 1 = 2009 2008 2009 2009 B i 2 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 a, Chứng minh rằng : 5 2 < 1 + 1 1 1 + + + < 10 2 2 3 50 b, Tìm GTNN của P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Hớng dẫn: 1 1 + + + 2 3 1 1 + + + 50 50 1 1 1 < 10 2 Đặt S = 1 + + + + 50 2 3 1 1 . 3.4.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + . . . + n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)] = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n. ta có: (q - 1)S = q n+1 - 1 S = 1 1 1 n q q + Cách 2: S n = 1 + q(1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n-1 ) = 1 + q(S n - q n ) = 1 + qS n - q n+1 qS n - S n = q n+1 - 1 hay: . từng vế của (2) cho (1) ta đợc: 5S = 6 - 2.6 + (2.6 2 - 3.6 2 ) + (3.6 3 - 4.6 3 ) + . . . + (99.6 99 - 100.6 99 ) + + 100.6 100 - 1 = 100.6 100 - 1 - (6 + 6 2 + 6 3 + . . . + 6 99 ) (*)