Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 1 A/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức cơ bản 2 2 sin cos 1 x x tan .cot 1 x x sin tan cos x x x 2 2 1 1 tan cos x x cos cot sin x x x 2 2 1 1 cot sin x x 2. Các cung liên kết: sin( ) sin x x tan( ) tan x x os ( ) cos c x x cot( ) cot x x sin( ) sin x x tan( ) tan x x os ( ) cos c x x cot( ) cot x x sin cos 2 x x tan cot 2 x x cos sin 2 x x cot tan 2 x x sin( ) sin x x tan( ) tan x x os ( ) cos c x x cot( ) cot x x sin cos 2 x x tan cot 2 x x cos sin 2 x x cot tan 2 x x 3. Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sin x y x y x y cos( ) cos cos sin sin x y x y x y tan tan tan( ) 1 tan tan x y x y x y 4. Công thức nhân đôi, hạ bậc sin2 2sin cos x x x 2 2 tan tan2 1 tan x x x 2 1 cos2 sin 2 x x 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin x x x x x 2 1 cos2 cos 2 x x 5. Công thức nhân ba, hạ bậc: 3 sin3 3sin 4cos x x x 3 3sin sin3 sin 4 x x x 3 cos3 4cos 3cos x x x 3 3cos cos3 cos 4 x x x 6. Công thức biểu diễn sin ,cos ,tan x x x theo tan 2 x t : 2 2 sin 1 t x t 2 2 1 cos 1 t x t 2 2 tan 1 t x t 7. Công thức biến đổi: a. Tổng thành tích: cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 sin( ) sin( ) * tan tan * cot cot cos cos sin sin sin( ) * tan tan * cot - cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y sin( ) cot sin sin y x y x y Đặc biệt: 2 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 1 sin2 (sin cos ) x x x x x x x x x x x b. Tích thành tổng: 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y 9. Một số công thức đặc biệt: 4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x 1 tan tan 1 tan 4 x x x 4 4 sin cos cos2 x x x 6 6 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x 1 tan tan 1 tan 4 x x x Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 2 B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình cơ bản: * 2 sin sin ( ) 2 x k x k x k Đặc biệt: sin 1 2 2 x x k sin 1 2 2 x x k sin 0 x x k * 2 cos cos ( ) 2 x k x k x k Đặc biệt: cos 1 2 x x k cos 1 2 x x k cos 0 2 x x k * tan tan ( ) x x k k * cot cot ( ) x x k k 2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác: Dạng: 1 1 1 0 sin sin sin 0 n n n n a x a x a x a , trong đó sin x có thể là cos x , tan x hoặc cot x . Cách giải: Đặt sin t x , khi đó phương trình đã cho trở thành: 1 1 1 0 0 n n n n a t a t a t a Chú ý: Nếu sin t x hoặc cos t x thì ta có điều kiện 1;1 t 3. Phương trình bậc nhất theo sin x và cos x : Dạng: sin cos a x b x c , với điều kiện 0 ab Điều kiện của pt có nghiệm là: 2 2 2 a b c Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2 a b và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x : Dạng: 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d Cách giải: - Kiểm tra xem cos 0 x có thỏa mãn pt hay không? - Nếu không thỏa mãn, ta chia cả hai vế của pt cho 2 cos x ta được pt: 2 2 tan tan (1 tan ) a x b x c d x 2 ( )tan tan ( ) 0 a d x b x c d Đặt tan t x , khi đó pt trở thành: 2 ( ) 0 a d t bt c d Chú ý: Khi cos 0 x thì ta có: 2 sin 1 x 5. Phương trình đối xứng: Dạng: (sin cos ) sin cos 0 a x x b x x c Cách giải: - Đặt sin cos t x x , với 2; 2 t . Khi đó ta có: 2 2 1 1 2sin cos sin cos ( 1) 2 t x x x x t - Thay vào pt đã cho ta được pt bậc hai đối với ẩn t Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác 3 A02: Tìm n o thuộc (0;2 ) của PT: 5 3 cos3x sin3x sinx cos2x 1 2sin2x B02: GPT: 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x. D02: Tìm n o thuộc [0;14] của PT: cos3 4cos2 3cos 4 0. x x x DB1: Xđ m để PT sau có ít nhất một n o thuộc đoạn [0;/2]: 4 4 2 sin x cos cos4 2sin2 0 x x x m DB2: GPT: 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin2 x x x x x DB3: GPT: 2 2 sin 2x sin3x 4 tan x 1 4 cos x DB4: GPT: x 2 tanx cosx cos x sinx 1 tanxtan 2 DB5: Cho PT: 2sinx cosx 1 a sin x 2cosx 3 (2) (a là tham số). a) GPT (2) khi a=1/3. b) Tìm a để PT (2) có nghiệm. DB6: Giải phương trình: 1 sinx 2 8cos x CĐ-A02: GPT: sin cosx 1. CĐ-A02: Giải phương trình: 1 sin x cosx 0 CĐ-A02: Giải phương trình: 1 2cos2x 8cosx 7 . cosx CĐ-A02: GPT 2 2 4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0. cosx A03: Giải phương trình: cos2x 1 2 cot x 1 sin x sin 2x. 1 tan x 2 B03: Giải phương trình: 2 cot x tan x 4 sin 2x . sin2x D03: Giải phương trình x x 2 2 2 sin tan x cos 0. 2 2 4 DB1: Giải phương trình: 3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0 DB2: Giải phương trình: 2 cos 2x cos x 2tan x 1 2 DB3: Giải phương trình: 6 2 3cos4x 8cos x 2cos x 3 0 DB4: Giải phương trình: x 2 2 3 cosx 2sin 2 4 1. 2cosx 1 DB5: Giải phương trình 2 cos x cosx 1 2 1 sin x . sin x cosx DB6: Giải phương trình 2cos4x cot x tan x . sin 2x CĐ03: Giải phương trình: 2 3cosx 1 sinx cos2x 2 sin x sin x 1 B04: Giải phương trình 2 5sin x 2 3 1 sin x tan x. D04: Giải phương trình 2cosx 1 2sin x cosx sin2x sinx. ĐH ĐDưỡng-04: GPT: 2sin x 1 2cosx sin x sin2x cosx. CĐ04: Giải phương trình: cos3x 2cos2x 1 2sinxsin2x CĐSPHP-04: Giải phương trình: cos x cos x cos x 3 6 4 CĐMGTW1-04: Giải phương trình: 3 3cos2x 4cos x cos3x 0. CĐMGTW1-04: Giải phương trình: 1 cosx cos2x sin x sin2x. CĐ-A-04: Giải phương trình: 3 3 sin x cos x sinx cosx. CĐXD-A-04: Cho phương trình: 6 6 cos x sin x m tan 2x 2 2 cos x sin x (1) a) GPT khi m=13/8. b) Định m để PT (1) vô nghiệm. CĐ-04: Giải phương trình: 2 4 cos xsin x cos2x 2cosx sin x cosx 1 CĐ-04: Giải phương trình: 2 sin4x.sin2x sin9x.sin3x cos x CĐ-A-05: Giải phương trình: 2 2 cos 3xcos2x cos x 0. B-05: Giải phương trình 1 sinx cosx sin2x cos2x 0 Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác 4 CĐSP Bninh: Giải phương trình 2 2 2sin x 2sin x tan x. 4 CĐSP NB: 2 2 4cos x 2cos 2x 1 cos4x CĐSP HN: Giải phương trình: 3 3 cos x sin x sinx cosx. CĐ GTVT-04: GPT: 1 cos3x.sin2x cos4x.sin x sin3x 1 cosx 2 CĐGTVTIII-04: GPT: 2 2sin x 1 2cos2x 2sinx 3 4sin x 1. CĐKTKT-A-04: Gải phương trình: cosx.cos7x cos3x.cos5x CĐ-A-04: Giải phương trình: sin x sin2x 3 cosx cos2x CĐKTKT TB-04: Giải phương trình: sin x sin 2x sin3x 0. CĐCN IV-04: Giải phương trình: 3cos4x sin 4x 2cos3x 0. D-05: Giải phương trình: 3 4 4 cos x sin x cos x sin 3x 0 4 4 2 A-05: GPT: cos 2 3x.cos2x-cos 2 x = 0 A-06: GPT: 6 6 2 sin cos sin cos 0 2 2sin x x x x x B-06: GPT: cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0 2 2 A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos )sin 1 sin 2 2 B07: GPT: 2sin 2 sin7 1 sin 2 D07: GPT: sin cos 3cos 2 2 2 x x x x x x x x x x x A08: Giải phương trình: 1 1 7 4sin x 3 sinx 4 sin x 2 B08: Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3 cos sin .cos 3sin .cos x x x x x x D08: Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cos x x x x A09: Giải phương trình: (1 2sin )cos 3 (1 2sin )(1 sin ) x x x x B09: Giải phương trình: 3 sin cos .sin2 3 cos3 2(cos4 sin ) x x x x x x D09: Giải phương trình: 3 cos5 2sin3 .cos2 sin 0 x x x x A10: Giải phương trình: (1 sin cos2 )sin 4 1 cos 1 tan 2 x x x x x B10: Giải phương trình: (sin2 cos2 )cos 2 cos2 sin 0 x x x x x D10: Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x A11: Giải phương trình: 2 1 sin2 cos2 2 sin .sin2 1 cot x x x x x B11: Giải phương trình: sin2 .cos sin .cos cos2 sin cos x x x x x x x D11: Giải phương trình: sin2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x VD1: Giải phương trình: 3 2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0 4 4 x x x x VD2: Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x VD3: Giải phương trình: 1 1 sin2 sin 2cot 2 2sin sin2 x x x x x VD14: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 1 3 7 4cos – cos2 cos4 cos 2 4 2 x x x x VD15: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 cos . cos 1 2 1 sin sin cos x x x x x VD16: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 1 sin sin cos sin 2cos 2 2 4 2 x x x x x Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác 5 VD4: Giải phương trình: 3sin2 2sin 2 sin2 .cos x x x x VD5: Giải phương trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x VD6: Tìm nghiệm trên khoảng 0; 2 của phương trình: 2 4sin 3 sin 2 1 2 2 2 2 x 3 x cos x- 4 VD7: Giải phương trình: sin .tan2 3(sin 3 tan2 ) 3 3 x x x x VD8: Giải phương trình: 3 3 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8 x x x x VD9: Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 VD10: Tìm nghiệm của pt: 2 3 cos sin 2 x cos x x thoả mãn: 1 3 x VD11: Giải phương trình: (sin 2 sin 4)cos 2 0 2sin 3 x x x x VD12: Giải phương trình: s 4sin 2 1 inx cosx x VD13: Giải phương trình: 2 2 cos 3 cos2 – cos 0 x x x VD17: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 3 sin .sin3 cos cos3 1 8 tan tan 6 3 x x x x x x VD18: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 3 sin .(1 cot ) cos (1 tan ) 2sin 2 x x x x x VD19: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin 3 sin 2 sin 4 4 x x x VD20: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 cos3 cos2 cos 2 x x x VD21: Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan tan .sin3 sin sin 2 6 3 x x x x x VD22: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x VD23: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 sin 4 (1 sin 2 ) 1 tan cos x x x x VD24: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6 6 2 2 sin cos 1 tan2 4cos sin x x x x x VD25: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 3 2 cos cos3 sin sin 3 4 x x x x . Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 2 B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình cơ bản: * 2 sin sin ( ) 2 x k x k x k . 2 2 2 a b c Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2 a b và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x :. 0. B-05: Giải phương trình 1 sinx cosx sin2x cos2x 0 Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác 4 CĐSP Bninh: Giải phương trình 2 2 2sin x 2sin