Hàm sinh và ứng dụng

Tài liệu này dành cho sinh viên, giáo viên khối ngành công nghệ thông tin tham khảo và có những bài học bổ ích hơn, bổ trợ cho việc tìm kiếm tài liệu, giáo án, giáo trình, bài giảng các môn học khối ngành công nghệ thông tin

27/03/2008 1 HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thế Bảo Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM • Bài toán: có 12 trái táo chia cho 03 bạnA,B,C.Theo qui định: A lấyítnhất04trái,BvàClấyítnhất02trái, C không lấy quá 05 trái. Vậy, có bao nhiêu cách chia? Giới thiệu Giải: gọia,b,clàsố táo của các bạnA,B,Cđược chia. Ta có: 12 4 2 (*) abc a b ⎧ ++= ⎪ ⎪ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ Số cách chia táo chính là số nghiệmcủaphương trình (*) 52c ≥ ⎪ ⎪ ⎪ ≥≥ ⎪ ⎩ Phạm Thế Bảo 27/03/2008 2 • Hay gọi G={a+b+c=12/ a≥4, b ≥2, 5≥c ≥2}. Thì |G|=số lời giải. Ta đặt H={x a+b+c / a,b,c∈N, x a+b+c = x 12 , a≥4, b ≥2, 5≥c ≥2} thì |G|= |H| Ỉ cần tìm |H| Ỉ chính là hệ số của x 12 trong phương trình f(x)=(x 4 +x 5 + )(x 2 +x 3 + )(x 2 ++x 5 ) f(x)=(x +x + )(x +x + )(x + +x ) = Khi k=12 thì a k chính là giá trị cần tìm Ỉ mục tiêu ể 48 2 25 abc k k ak b c xax ++ ≤≤∞ = ≤≤∞ ≤≤ = ∑∑ của bài tốn là tìm khai tri ể n của f(x). Phạm Thế Bảo • Xét chuỗi lũy thừa nếu Chuỗi lũy thừa 0 n với a n n n az C ∞ = ∈ ∑ • Cho dãy số {a n } ∞ n=0 . Hàm sinh của dãy này là h ỗi 0 () n n=0 hội tụ về G(z) thì chuỗi hội tụ và G(z)= a n k nk k n Sz az z = ∞ = ∑ ∑ ∞ ∑ c h u ỗi . 0 n n n az = ∑ Phạm Thế Bảo 27/03/2008 3 Quay li bi toỏn chia tỏo. Thay vỡ 4a v 2b ta cng cú th vit 4a8 v 2b6. Thỡ: 865 () abc f 422 4 2342 2342 23 8 2342 23 2 54 88524 3 () (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 11 1 ( 1 )( 1 ) () = abc abc f zzzz zzzzzzzzzzzzzz z zzzz zzz zz zzzz === = = ++++ ++++ +++ = ++++ +++ = 3 ()() 11 ( 1 ) can xaực ủũnh heọ soỏ c zz z 52 4 3 1 (1 ) (1 ) (1 ) 4 uỷa z trong zz z Phm Th Bo Theo chui ly tha ta cú: Nờ t ú h 4 thil 2 3 34 2 1 1 12 (1 ) k k zz z k z + =+ + ++ + Nờ n t a c ú h s c a z 4 t rong c h u i n y l Vy cú 14 cỏch gii bi toỏn chia tỏo. 6 6! 5*6 11114 4 4!2! 2 == = = Phm Th Bo 27/03/2008 4 Tương tự cho bài toán: Xét tập hợp {1,2, ,15} có bao nhiêu tập con có 04 phần tử mà không chứa 02 số liên tiếp nhau. Vị trí các phền tử trong một tập con không quan trọng, ví dụ: {4,7,9,12} và { 9 , 12 , 4 , 7 } là như nhau. {, ,,} Phạm Thế Bảo Dùng hàm sinh giải hệ thức truy hồi • Trong quá trình phân tích thuật toán, chúng ta tì đ độ hứ t ủ th ậtt á là ô tì m đ ược độ p hứ c t ạp c ủ a th u ật t o á n là c ô ng thức truy hồi.Ví dụ: 0 01 1 12 0 0 05 22 65 0 2 2 hay n nn n nk k x aa n aaa n xx n − −− = = == + − +=∀≥ =+ ∑ • Chúng ta sẽ dùng hàm sinh để tìm nghiệm (độ phức tạp của thuật toán) 0 k Phạm Thế Bảo 27/03/2008 5 Hàm sinh của dãy xác suất • Xét biếnAcóthể lấy các giá trị 0, 1, 2, Với á ấ là Với ≥ 0 à hì 1 ∞ ∑ x á csu ấ t là p 0 ,p 1 ,p 2 , Với p i ≥ 0 v à t hì hàm sinh củadãyxácsuất (phân bố)là Ví d ét th ật tá tì ố lớ hất t 0 1 k k p = = ∑ 0 () k k k Gz pz ∞ = = ∑ • Ví d ụ x ét th u ật t o á n tì ms ố lớ nn hất t rong mảng (ví dụ 3–phần đánh giá bằng công cụ toán họccơ bản). Phạm Thế Bảo • Có thể thấy độ phức tạp là O(n). Vậy số lần thực hiện α: • Tốithiểu: 0 Tối thiểu: 0 • Tối đa: n-1 • Trung bình: ? Nếu xét n=3, dữ liệu là một dãy số đôi một phân biệt {a[0], a[1], a[0]} Æ có ? tổ hợp thứ tự vớixácsuất ngang nhau là ? 6 1/6 với xác suất ngang nhau là ? 1/6 Phạm Thế Bảo 27/03/2008 6 Vị trí Số lần gán Trung bình A[0] < A[1] < A[2] A[0] < A[2] < A[1] A[1] < A[0] < A[2] A[1] < A[2] < A[0] 2 1 1 0 =5/6 A[2] < A[0] < A[1] A[2] < A[1] < A[0] 1 0 Dùng hàm sinh tính giá trị trung bình của α. Giả sử mỗi n, gọi A n là số lần thực hiện α thì 0≤A n ≤n-1. Với mỗi k gọi p n ,k là xác suất để A k =k. , Có p n,k ≥0, ∀k∈{0,1,2, ,n-1} và , 0 1 nk k p ∞ = = ∑ Phạm Thế Bảo • Hàm sinh • Gọi B là biến cố a n lớn nhất trong {a 1 , a 2 , , a n } , 0 () k nnk k Gz pz ∞ = = ∑ 1 () (xác suất tại bước thứ n có 1 phép gán)PB= n-1 và P(B)=1-P(B)= (xác suất tại bươ ù c thứ n không có phép gán) n n ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) n n n-1,k-1 n n-1,k có P(A và P(A/B)=p , P(A/B)=p nn PB PA B PB PA B=+ 1 n,k n-1,k-1 n-1,k n-1 p p + p nn ⇒= Phạm Thế Bảo 27/03/2008 7 • Tại bước thứ n có 01 phép gán thì n-1 bước trước đó có k-1 phép gán. • Tại bước thứ n khơng có phép gán thì n-1 bước trước đó có k phép gán. 1, 1 1, 11 1 1 () 1 () n-1 = + n kk nnk nk kk n Gz p z p z n zn Gz −− − == +− = ∑∑ 1 () 121 12 11 1 () 1 truy hồi = hạng tử thứ k: 1 øt ù n n zn zn z nn zk z k k − +− +− + ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ − ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠ +− − − () 1 1 k g ma ø t a co ù k nên là hàm sinh của da z kkk k zk k ==+ += +− 22 1 )() n õy xác suất mean(G nn k kk mean g k == ⇒= = ∑∑ Phạm Thế Bảo Qli bài t á khi 3 t ó • Q uay l ạ i bài t o á n khi n= 3 t a c ó mean(G 3 ) = 1/2 +1/3 =5/6 Phạm Thế Bảo . 27/03/2008 1 HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thế Bảo Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM • Bài toán: có 12 trái táo chia cho 03 bạnA,B,C.Theo qui định: A lấyítnhất04trái,BvàClấyítnhất02trái, C. n xx n − −− = = == + − +=∀≥ =+ ∑ • Chúng ta sẽ dùng hàm sinh để tìm nghiệm (độ phức tạp của thuật toán) 0 k Phạm Thế Bảo 27/03/2008 5 Hàm sinh của dãy xác suất • Xét biếnAcóthể lấy các giá trị. phền tử trong một tập con không quan trọng, ví dụ: {4,7,9,12} và { 9 , 12 , 4 , 7 } là như nhau. {, ,,} Phạm Thế Bảo Dùng hàm sinh giải hệ thức truy hồi • Trong quá trình phân tích thuật toán,