Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 Dạng toán: M ẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Phương pháp: 1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện: Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một s ố nhận xét quan trọng sau: - Đi ểm M thuộc S(O;R) OM RÛ = . - Đi ểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông . 2. Điều kiện cần và đủ: - Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp . - Đ ể một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp. 3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng ( ) a được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp ( ) a đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB . I- Thuật toán 1: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP. Cho hình chóp 1 2 . n S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thư ờng, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước : Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng D : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bư ớc 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) a c ủa một cạnh bê n. Lúc đó : - Tâm O c ủa mặt cầu: { } mp( ) O a D Ç = - Bán kính: ( ) R SA SO= = . Tuỳ vào từng trường hợp. I B A a a H O I D C B A S Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 Lưu ý: K ỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 1. Tr ục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính ch ất: : M MA MB MC" Î D = = Suy ra: MA MB MC M D = = Û Î 2. Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Bước 2: Qua H dựng D vuông góc với mặt phẳng đáy. VD: M ột số trường hợp đặc biệt a. Tam giác vuông b. Tam giác đều c. Tam giác bất kì 3. Lưu ý: K ỹ năng tam giác đồng dạng SMOD đồng dạng với SO SM SIA SA SI D Þ = 4. Nh ận xét quan trọng : MA MB MC M S SM SA SB SC = = ì $ Þ í = = î , : là trục đường tròn ngoại tiếp ABC D D H M C B A H A B C D D C B A H B A C H D A M I O S Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 II- BÀI T ẬP MINH HỌA : Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC với ( ) SA ABC^ và 2 SA a= . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trong các trường hợp sau: a) Tam giác ABC vuông cân t ại B, với 3BC a= . b) Tam giác ABC vuông cân t ại A, với 3 AB a= . c) Tam giác ABC đ ều cạnh 3 a . d) **Tam giác ABC có , 2 AB a AC a= = và 0 30BAC = Hướng dẫn: a) Tam giác ABC vuông cân t ại B, với 3BC a= . b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với 3AB a= . K O I d DDDD a 3 a 3 2a A B C S K O S C B A 2a a 3 DDDD d I Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 c) Tam giác ABC đ ều cạnh 3 a . d) **Tam giác ABC có , 2 AB a AC a= = và 0 30BAC = Bài t ập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2 a và cạnh bên bằng 3 a . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Hướng dẫn: G I K M S A B C 3a 2a M K G S C B A 2a 3a 3a DDDD d I K R' O 30 0 a 2a S A B C DDDD 2a I d Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bàn tập sau: Bài tập 2 - 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2 a và cạnh bên hợp v ới đáy 1 góc 0 60 . Xác đ ịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình c hóp S.ABC. Bài tập 2 - 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2 a và m ặt bên h ợp với đáy 1 góc 0 60 . Xác đ ịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Chúng ta xem xét bài tập sau… Bài t ập 3: Hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC a= = = và có chiều cao bằng h . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu. Hư ớng dẫn: Do SA SB SC a= = = nên S thu ộc trục đường tròn ABC . G ọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , suy ra SO là đư ờng cao và . SO h= S A G I K N h M a C B A S K I O h a K I O A S Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 Ta xem bài tập 3, là dạng tổng quát của các bài toán tương tự và đặc biệt sau : Bài t ập 3 -1: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đ ều cạnh 2 a và SA SB SC a= = = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu. Hướng dẫn: Do SA SB SC a= = = nên S thu ộc trục đường tròn ABC . Gọi G là trọng tâm của ABC , suy ra SG là đường cao. Bài tập 3-2: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với 2 AB a= và SA SB SC a= = = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu. Hướng dẫn: 2a G I K S A B C a M S A G I K a C A S B K I Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 Thuật toán 2 : XÁC Đ ỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP. Cho hình chóp 1 2 . n S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước : Bư ớc 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng D : tr ục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: Xác định trục d của một mặt bên ( dễ xác định ) của khối chóp. Lúc đó: - Tâm O c ủa mặt cầu: { } d OD Ç = - Bán kính: ( ) R SA SO= = . Tuỳ vào từng trường hợp. Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm AB và 3SH a= là độ dài đường cao của hình chóp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Hư ớng dẫn: R I DDDD D d S A B C H G O S A B D C d I DDDD R Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO T ổ Toán THPT Phong Điền Trang 8 III- BÀI T ẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1 : Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành tứ diện SABC với SA= a, SB= b, SC= c. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài tập 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông với cạnh huyền BC a= . Các cạnh bên đều tạo với đáy 1góc a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Bài tập 3 : Cho tứ diện SABC có 2 AB a= , 3AC a= , 0 ˆ 60 BAC = , c ạnh SA vuông góc với (ABC) và SA a= . Tính th ể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bài tập 4 : Cho t ứ diện SABC có ( )SA ABC^ và , , SA a AB b AC c= = = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: a. Góc BAC vuông b. Góc ABC b ằng 60 0 c. Góc ABC b ằng 60 0 và b= c. Bài tập 5 : Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng b. Xác đ ịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Bài tập 6 : M ột hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. CMR: Hình chóp đó có 1 mặt cầu ngoại tiếp. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Bài t ập 7 : Cho tam giác ABC vuông cân tại B với AB= 2a. Từ trung điểm M của AB dựng đư ờng thẳng vuông góc với mp(ABC) và chọn trên đó điểm S sao cho tam giác SAB đều. X ác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. Bài t ập 8 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân ,AB AC a= = ( ) ( ) SBC ABC^ mp và SA SB a= = . a. Chứng minh: Tam giác SBC vuông. b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết . SC x= Bài tập 9 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A và BC= a, các cạnh bên SA= SB= SC= 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Bài t ập 10 : Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung đi ểm AH. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Bài tập 11 : Hình chóp S.ABCD có SA=a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB= BC= a và AD= 2a. Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và bán kính m ặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.CDE. Bài tập 12 : ( Khối D - 2003 ) Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến D . Trên D lấy 2 điểm A, B với AB= a. Trên (P) lấy C và trên (Q) lấy D sao cho AC, BD cùng vuông góc v ới D và AC= BD= AB. Tìm bán kính m ặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài tập 13 : (Dự bị A -2 2003) Cho tứ diện ABCD có AB= AC= a, BC= b. Hai mặt phẳng (BC D) và (ABC) vuông góc với nhau và góc = 0 90BDC . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b. Bài tập 14 : (Kh ối B 2010 ) Cho hình l ăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB a= , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là 60 0 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC. . toán 1: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP. Cho hình chóp 1 2 . n S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) . Thông thư ờng, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta. toán 2 : XÁC Đ ỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP. Cho hình chóp 1 2 . n S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) . Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta. kiện cần và đủ: - Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp . - Đ ể một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng