Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 Vấn đề THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ V Bh= DẠNG 1. Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều Chú ý: Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Do đó các cạnh bên cũng là chiều cao của lăng trụ đứng. Lăng trụ đứng có các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Do đó các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau. Bài tập áp dụng Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a và ' 2A B a = . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a = , 5AC a= ; góc giữa mặt phẳng (C’AB) và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ; góc giữa đường thẳng 'BC và mặt phẳng (AA’C’C) bằng 0 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= , 2AD a= . Cho biết ' 4B D a= , tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có ' 6A C a= ; góc giữa đường thẳng 'A C và mặt phẳng (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách giữa đường thẳng A’B’ và mặt phẳng (C’AB) bằng 2 a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Giải Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao 'AA . Diện tích tam giác đều ABC. Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn Trang 18 A B C A’ B’ C’ B A C D A’ B’ C’ D’ Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 2 0 1 1 3 3 . sin 60 . . 2 2 2 4 ABC a S AB AC a a= = = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và AB. Trong 'C MN∆ kẻ 'MH C N⊥ tại H. ( ) ' ' AB MN AB MNC AB MH AB C N ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . ( ) ' ' MH C N MH C AB MH AB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Vì ( ) ' '/ / 'A B C AB nên ( ) ( ) ( ) ( ) ' ', ' , ' 2 a d A B C AB d M C AB MH= = = . Ta có 'C M là đường cao của tam giác đều A’B’C’ nên 3 ' 2 a C M = . Trong 'MNC∆ vuông tại M có MH là đường cao nên: 2 2 2 1 1 1 'MH MC MN = + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 8 ' 3 3MN MH MC a a a ⇒ = − = − = . 2 2 3 6 8 4 a a MN MN⇒ = ⇒ = . Chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là 6 ' 4 a AA MN= = . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2 3 3 6 3 2 . ' . 4 4 16 ABC a a a V S AA= = = . Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với AB a = , 2AD a = , · 0 60BCD = . Góc giữa mặt phẳng (C’BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 0 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . Giải Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên có chiều cao AA’. Diện tích hình bình hành ABCD là: 0 2 1 2 2. . .sin 60 3 2 ABCD BCD S S CB CD a= = = . Trong BCD∆ kẻ CH BD⊥ . ( ) ' ' ' BD CH BD C CH BD C H BD CC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Suy ra · 'C HC là góc giữa hai mặt phẳng (C’BD) và (ABCD). Ta có · 0 ' 45C HC = . Áp dụng định lí côsin trong BCD ∆ , ta có: 2 2 2 0 2 2 2 2 . cos60 1 4 2.2 . . 3 2 BD BC CD BC CD a a a a a = + − = + − = 3BD a⇒ = . Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn Trang 19 A B a A’ B’ C’ M N H C 2 a D A B C H A’ B’ C’ D’ a 2a 4560 00 Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 Ta có 2 0 1 1 3 3 . sin 60 2 . . 2 2 2 2 BCD a S CB CD a a= = = . Mà 2 3 2. 2 1 2 . 2 3 BCD BCD a S S CH BD CH a BD a = ⇒ = = = . Trong 'C CH∆ vuông tại C, ta có: 0 0 ' t an45 ' tan 45 CC CC CH a CH = ⇒ = = . Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là 'CC a = . Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là 2 3 . ' 3. 3 ABCD V S CC a a a= = = . Ghi nhớ: Định lí côsin trong tam giác ABC. 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của AB; góc giữa đường thẳng MC’ và mặt đáy (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . KQ: 3 3 6 4 a V = Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a = , 3BC a= . Góc giữa mặt phẳng ( ) 'B AC và mặt phẳng ( ) ABC bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . KQ: 3 3 3 4 a V = Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB a = , 2BC a = , · 0 120ABC = . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (B’AC) bằng 2 a , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . KQ: 3 3 5 10 a V = Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AB a= , 2AD a = . Góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) bằng 0 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . KQ: 3 4 2 3 a V = Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi với 2AB a= , 3AC a = . Cho biết tam giác O’AC vuông tại O’ (với O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’), tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . KQ: 3 9 7 4 a V = Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn Trang 20 A B C b a c Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 DẠNG 2. Khối lăng trụ xiên Chú ý: Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Các cạnh bên song song và bằng nhau. Do đó các mặt bên là những hình bình hành. Bài tập áp dụng: Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC; góc giữa cạnh bên AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với 3AB a= , 6BC a= . Cho biết ' ' ' 2A A A B A C a = = = , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3 2 a . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với 2AB a = , · 0 60BAC = . Tam giác A’AC cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC); các cạnh bên bằng 5a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a . Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho 1 3 BI BC= ; hai mặt phẳng (AB’I) và (BB’I) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cho biết ' 2AB a = , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Bài 6. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= , 3AD a= . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn Trang 21 A B C A’ B’ C’ A B C A’ B’ C’ D D’ Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với · 0 30ACB = và 'AA a = . Góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . Giải Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có ( ) 'A G ABC⊥ . Suy ra AG là hình chiếu của AA’ trên mặt phẳng (ABC). Do đó · 'A AG là góc giữa đường thẳng AA’ và (ABC). Ta có · 0 ' 60A AG = . Trong 'A GA∆ vuông tại G, ta có: 0 0 ' 3 sin 60 ' 'sin 60 ' 2 A G a A G AA AA = ⇒ = = . 0 0 cos60 'cos60 ' 2 AG a G AA AA = ⇒ = = . 3 3 3 . 2 2 2 4 a a AM AG= = = . Trong ABC∆ vuông tại B, ta có 0 0 3 t an30 tan30 3 AB BC AB BC BC = ⇒ = = 2 2 3 BC AB⇒ = (1) Trong ABM vuông tại B, ta có 2 2 2 2 2 9 16 4 a BC AB AM BM= − = − (2) Từ (1) và (2). Suy ra 2 2 2 2 2 9 27 3 16 4 28 BC a BC a BC= − ⇔ = 3 21 14 a BC⇒ = . Suy ra 3 21 3 3 7 . 14 3 14 a a AB = = . Diện tích tam giác ABC vuông tại B là: 2 1 1 3 7 3 21 9 3 . . . 2 2 14 14 56 ABC a a a S AB BC= = = . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2 3 . ' ' ' 9 3 3 27 . ' . 56 2 112 ABC A B C ABC a a a V S A G= = = . Bài 2. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a = , 3AD a= và ' 3A B a = . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . Giải Ta có ( ) 'A O ABCD⊥ . Suy ra 'A O là chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 2 . 3 ABCD S AB AD a= = . Trong ABD∆ vuông tại A, ta có 2 2 2 2 2 2 3 4BD AB AD a a a= + = + = . 2BD a⇒ = . Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn Trang 22 B A C M G A’ B’ C’ 0 30 a 0 60 Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 Ta có 1 2 BO BD a= = . Trong 'A OB∆ vuông tại O, ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' 9 8A O A B BO a a a= − = − = ' 2 2A O a⇒ = . Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. ' 2 2A O a= . Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: 2 3 . ' 3.2 2 2 6 ABCD V S A O a a a= = = . BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a ; góc giữa cạnh bên BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . KQ: 3 2 3V a= Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với · 0 2 , 60AB a BAC= = . Mặt bên (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (ABC); cạnh bên ' 3AA a = và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 0 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . KQ: 3 3 3V a= Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a= , 2BC a = . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC; góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . KQ: 3 2 3 3 a V = Bài 4. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hai mặt phẳng (B’AC) và (B’D’DB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa cạnh bên B’B và mặt phẳng (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . KQ: 3 2 3V a= Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với 2AB a = , 3AD a = , · 0 60ABC = . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC; các cạnh bên bằng 5a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a . KQ: 3 78V a= Ghi nhớ: Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ( ) 2 2 2 2 2 4 a b c a m + − = ( ) 2 2 2 2 2 4 b a c b m + − = ( ) 2 2 2 2 2 4 c a b c m + − = Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn Trang 23 A’ B A C D O B’ C’ D’ a 3a 3 a . THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12 Vấn đề THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ V Bh= DẠNG 1. Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều Chú ý: Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Do. = . Chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là 6 ' 4 a AA MN= = . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2 3 3 6 3 2 . ' . 4 4 16 ABC a a a V S AA= = = . Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. ' 2 2A O a= . Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: 2 3 . ' 3.2 2 2 6 ABCD V S A O a a a= = = . BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hình lăng trụ tam