ĐỀ KIỂM TRA (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Chứng minh rằng (a + b + c) 3 – (a 3 + b 3 + c 3 ) nếu a, b, c cùng chẳng hoặc cùng lẻ. Bài 2: Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x 2 – m(m + 1)x + 3m –1 = 0 Bài 3: Biết rằng phương trình x 2 – 3x +1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trị b Z để phương trình x 16 – bx 8 + 1 có nghiệm x = a Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho là số hữu tỉ a) Chứng minh rằng b 2 = ac b) Với , chứng minh rằng: P = a 2 + b 2 + c 2 là hợp số Bài 5: Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O, R). A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB, H là trực tâm của tam giác. a) Cho AH = R, tính góc A b) Chứng minh rằng: OA 1 + OB 1 + OC 1 Bài 1: Chứng minh rằng (a + b + c) 3 – (a 3 + b 3 + c 3 ) nếu a, b, c cùng chẳn hoặc cùng lẻ. Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức: (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x+y) , ta có: (a + b + c) 3 = a 3 + (b + c) 3 +3a(b + c)(a + b + c) = a 3 + b 3 + c 3 +3bc (b + c) +3a(b + c)(a + b + c) = a 3 + b 3 + c 3 + 3(b + c)(bc + a 2 + ab + ac) = a 3 + b 3 + c 3 + 3(b + c)(c + a)(a + b) Do đó (a + b + c) 3 – (a 3 + b 3 + c 3 ) = 3(b + c)(c + a)(a + b) Nếu a, b, c cùng chẳn hoặc cùng lẻ thì b + c 2 và c + a 2 và a + b 2. 3(b + c)(c + a)(a + b) 24 (a + b + c) 3 – (a 3 + b 3 + c 3 ) .ĐPCM. Bài 2: Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x 2 – m(m + 1)x + 3m –1 = 0 (1) Lời giải: Xét các trường hợp: – m = 0. Phương trình (1) trở thành x 2 – 1 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = –1, x 2 = 1 m = 0 thỏa mãn bài toán. – m = 1. Phương trình (1) trở thành x 2 – 2x + 2 =0. Phương trình này vô nghiệm – m = –1. Phương trình (1) trở thành x 2 – 4 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = –2, x 2 = 2 m = –1 thỏa mãn bài toán – m = 2. Phương trình (1) trở thành x 2 – 6x + 5 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = 1, x 2 = 5 m = 2 thỏa mãn bài toán – m = –2. Phương trình (1) trở thành x 2 – 2x – 7 =0. Phương trình này không có nghiệm nguyên. – m = –3. Phương trình (1) trở thành x 2 – 6x – 10 = 0. Phương trình ngày không có nghiệm nguyên. – m = –4. Phương trình (1) trở thành x 2 – 12x – 13 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = –1, x 2 = 13 m = –4 thỏa mãn bài toán – m > 2 hoặc m < –4. Khi đó điều kiện cần để (1) có nghiệm nguyên là: = m 2 (m + 1) 2 – 4(3m –1) phải là số chính phương Ta sẽ chứng minh rằng: (m 2 + m – 2) 2 < < (m 2 + m + 2) 2 m 4 + 2m 3 – 3m 2 – 4m + 4 < m 4 + 2m 3 + m 2 –12m + 4 < m 4 + 2m 3 + 5m 2 + 4m +4 Điều này hiển nhiên đúng với m > 2 hoặc m< – 4 Mặt khác = m 2 (m + 1) 2 – 4(3m –1) 4 và m(m + 1) –1, m(m + 1) + 1 là các số lẻ nên (m(m + 1) –1) 2 , (m(m + 1) + 1) 2 Do đó chỉ có thể xảy ra: = m 2 (m + 1) 2 m 2 (m + 1) 2 – 4(3m –1) = m 2 (m + 1) 2 3m –1 = 0. Không tồn tại m nguyên thỏa mãn! không phải là số chính phương với m > 2 hoặc m< –4. Phương trình (1) không có nghiệm nguyên với m > 2 hoặc m< –4 Kết luận: Các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên là: m = –4, m = –1, m = 0, m = 2 Bài 3: Biết rằng phương trình x 2 – 3x +1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trị b Z để phương trình x 16 – bx 8 + 1 có nghiệm x = a Lời giải: Ta có: Phương trình x 2 – 3x +1 = 0 có nghiệm x = a phương trình (x 2 – 3x +1)( x 2 + 3x +1) = 0 cũng có nghiệm x = a Mặt khác: (x 2 – 3x +1)( x 2 + 3x +1) = (x 2 + 1) 2 – 9x 2 = x 4 – 7x 2 +1 Do đó phương trình x 4 – 7x 2 +1 = 0 cũng có nghiệm x = a Lý luận tương tự, vì: x 8 – 47x 4 +1 = (x 4 – 7x 2 +1)( x 4 + 7x 2 +1) x 16 – 2207x 8 +1 = (x 8 – 47x 4 +1)( x 8 – 47x 4 +1) các phương trình x 8 – 47x 4 +1 =0 và x 16 – 2207x 8 +1 = 0 đều có nghiệm x = a Lấy b = 2207 là số nguyên thỏa mãn bài toán. Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho là số hữu tỉ a) Chứng minh rằng b 2 = ac b) Với , chứng minh rằng: P = a 2 + b 2 + c 2 là hợp số Lời giải: a) Ta có: Do đó, điều kiện cần và đủ để là số hữu tỉ là hay là b 2 = ac ĐPCM. b) Xét các trường hợp: – d = (a, c) >1, đặt a = dx, c = dy với x, y là các số nguyên dương và (x, y) =1 Ta có: P = a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + ac + c 2 ( theo kết quả câu a) = d 2 (x 2 + xy + y 2 ) P là hợp số. ĐPCM. – (a, c) =1. Ta có: Với x, y là các số nguyên dương nào đó P = a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + ac + c 2 = x 4 + x 2 y 2 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 – (xy) 2 = (x 2 – xy + y 2 )(x 2 + xy + y 2 ) (1) Vì nên x, y không đồng thời bằng 1 và do đó: x 2 – xy + y 2 = (x – y) 2 + xy > 1. Từ (1) suy ra P là hợp số. ĐPCM. Bài 5: Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O, R). A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB, H là trực tâm của tam giác. a) Cho AH = R, tính góc A b) Chứng minh rằng: OA 1 + OB 1 + OC 1 Lời giải: a) Kéo dài BO cắt (O) tại K. Vì BK là đường kính của (O) nên KA AB, KC BC AH || CK (cùng vuông góc với BC) và CH || AK (cùng vuông góc với AB) tứ giác AKCH là hình bình hành CK = AH = R Tam giác vuông BKC có BK là cạnh huyền, KC là cạnh góc vuông và BK = 2R = 2KC nên tam giác BKC là nửa tam giác đều, hay là BKC = 60 0 Vì BAC= BKC nên A = 60 0 Vậy A = 60 0 b) Gọi O 1 , O 2 , O 3 lần lượt là các điểm đối xứng của O qua đường phân giác các góc A, B, C của tam giác ABC. Kẻ O 1 M vuông góc với AB, O 1 N vuông góc với AC. Ta có AO 1 N = AOC 1 và AO 2 M = AOB 1 OC 1 = ON, OB 1 = OM Mặt khác OM.AB + ON. AC AO 1 . BC OB 1 .AB + OC 1 .AC R.BC (1) Chứng minh tương tự, ta được: (2) (3) Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: (4) Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có: , , Từ đó ta có: 2(OA 1 + OB 1 + OC 1 ) (5) Từ (4) và (5) suy ra : 2(OA 1 + OB 1 + OC 1 ) 3R OA 1 + OB 1 + OC 1 . ĐPCM . –2, x 2 = 2 m = –1 thỏa mãn bài toán – m = 2. Phương trình (1) trở thành x 2 – 6x + 5 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = 1, x 2 = 5 m = 2 thỏa mãn bài toán – m = –2. Phương trình (1). trở thành x 2 – 1 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = –1, x 2 = 1 m = 0 thỏa mãn bài toán. – m = 1. Phương trình (1) trở thành x 2 – 2x + 2 =0. Phương trình này vô nghiệm – m = –1 thành x 2 – 12x – 13 = 0. Phương trình này có hai nghiệm x 1 = –1, x 2 = 13 m = –4 thỏa mãn bài toán – m > 2 hoặc m < –4. Khi đó điều kiện cần để (1) có nghiệm nguyên là: = m 2 (m + 1) 2