LỊCH SỬ GIẢI TÍCH 2

► Sự phát triển của phép tính vô cùng bé trong thế kỷ 18 chịu ảnh hưởng từ cơ học, quang học, và vũ trụ học.► Trong quá trình phát triển dài lâu, cơ học lý thuyết về tổng thể đã tách khỏ

Giải tích đại số thế kỷ 18

► Sự phát triển của phép tính vô cùng bé trong thế kỷ 18 chịu ảnh hưởng từ cơ học, quang học, và vũ trụ học.

► Trong quá trình phát triển dài lâu, cơ học lý thuyết về tổng thể đã tách khỏi các ngôn ngữ hình học của

Newton và được phát biểu lại dưới ngôn ngữ của nhiều phương trình

► Các ngành mới như thuỷ lực học (hydrodynamics) và

đàn hồi được ra đời, vượt xa những nỗ lực của Newton Hầu hết các nhà giải tích lớn của thế kỷ 18 đều tham gia vào quá trình này

► Các nhà toán học có đóng góp cho quá trình phát triển của giải tích trong thế kỷ 18 chỉ là một nhóm nhỏ

► Anh em nhà Jakob và Johann Bernoulli là

những đại diện tiêu biểu cho trường phái

phép tính vi phân của Leibniz

► Jakob, sinh 27 tháng 12 năm 1654 Đầu

tiên ông nghiên cứu thần học nhưng sau đó

ông nghiên cứu toán, vật lý và thiên văn, có

một thời gian dài ở nước ngoài Ông tự học

phép tính vô cùng bé của Leibniz và sau đó

dạy lý thuyết này cho em trai của mình là

Johann

Jakob Bernoulli

Johann Bernoulli

Daniel Bernoulli

► Johann, sinh ngày 27 tháng 7 năm 1667 Johann

đi tới Geneva và Paris sau khi học y học ở

Geneva và Paris Johann giới thiệu cho Marquis de

l’Hopital về phép tính vô cùng bé năm 1690 và

1691

► Họ thoả thuận rằng Bernoulli sẽ cho phép l’Hopital được dùng tuỳ thích các kết quả của Johann theo một văn bản bí mật, và đổi lại, ông ta nhận một khoản thu nhập hàng năm khá lớn Năm 1696, l’Hopital công bố giáo trình đầu tiên của mình về phép tính vi phân, Analyse des infiniment

petits, có sử dụng các bài viết của Bernoulli.

► Năm 1695 Johann dạy toán tại trường đại học

Groningen Sau những hợp tác ban đầu giữa hai anh em nhà Bernoulli này, Jacob và Johann ngày càng trở thành những kẻ kình địch của nhau cả trong khoa học lẫn đời thường Theo tập tục của thời đó, họ thách thức nhau

bằng cách công khai đặt ra các bài toán Những ganh

đua này lại rất tốt cho sự phát triển của phép tính vô

cùng bé, và là cơ hội để nhiều kết quả, phát minh khác

ra đời Điển hình là bài toán branchistochrone (đoản

trình), đó là bài toán dẫn tính phép tính biến phân

► Ngoài các công trình về phép tính vô cùng bé về cơ học, Jakob Bernoulli đã viết một cuốn sách cơ bản về xác

suất, Ars conjectandi,

► Sau cái chết của người anh mình, Johann Bernoulli thế chân người anh ở Basel và sau 1710 thì Johann chủ yếu nghiên cứu các vấn đề cơ học Sau khi Leibniz chết và Newton không nghiên cứu khoa học nữa, Johann được xem là nhà toán học đầu đàn của châu Âu Johann mất ngày 1 tháng 1 năm 1748

► Học trò xuất sắc nhất của Johann Bernoulli là Leonhard Euler

► Euler có một trí nhớ phi thường và là

bậc thầy của tính toán

► Trong khi các sách của Johann những

bài toán cơ học, hình học giữ vai trò

nổi bật, còn sách của Euler (Euler

1748/1988), (Euler 1755/200) và

(Euler 1768-1770) chỉ có ít ứng dụng

và được viết theo cách đại số

Leonhard Euler.

► Ta có thể chia phép tính các vô cùng bé ở thế kỷ 18

thành các giai đoạn khác nhau.

► Đến tận những năm 1730, nó được coi là một phần hay

phương pháp hình học Điều này rất rõ ở Johann

Bernoulli và có thể thấy qua các cuốn sách của ông.

► Trong suốt giai đoạn thứ hai khoảng giữa thế kỷ 18, khái

niệm đại số ẩn đã rõ ràng Các quan niệm cơ sở được

xem xét khi nhắc đến hình học Nhưng phần mở đầu

cuốn Introductio của mình Euler chỉ nói về các đại lượng

theo nghĩa các con số thay vì các đại lượng hình học

(Euler 1749/1988,2) Cấu trúc của lĩnh vực và quan niệm

về đối tượng được trình bày trong sách này là đại số

thuần tuý.

► Khái niệm hàm trở thành cơ sở và Euler hiểu hàm số

như là những biểu thức đại số hoặc giải tích

► Vào cuối thế kỷ này, các cuốn sách của Lagrange 1797

và 1801 đã đưa vào khái niệm đại số hiện Lagrange

loại trừ các khái niệm vi phân, vô cùng bé và định nghĩa

đạo hàm của hàm số không cần sử dụng giới hạn như là

hệ số của x trong khai triển thành chuỗi luỹ thừa của

hàm f(x)với giả thiết khai triển phải tồn tại

► Trong phần mở đầu cuốn Complete introduction into algebra Euler viết,“ Toán học, nói chung, là khoa học

về lượng; hay là khoa học nghiên cứu các phương pháp

đo các đại lượng” (Euler 1771/1972,1) Ông định nghĩa lượng là một cái gì đó có thể tăng hoặc giảm,

► Vào thế kỷ 18, việc hiểu phép tính vô cùng bé, nói

chung, phải gắn với ba khái niệm cơ bản là vi phân, hàm

số và chuỗi luỹ thừa

► Theo Euler, phép tính vi phân không đề cập tới chính vi phân mà với tỉ số của chúng

► để lợi cho tính toán người ta thích không coi tất cả các lượng trong một phương trình là như nhau mà là xem

một vài cái là biến độc lập còn biến kia là biến phụ

thuộc Đấy chính là quan điểm của hàm số và như vậy, vào thế kỷ 18 ngày càng có nhiều người thừa nhận rằng người ta nên tính toán với hàm số và đạo hàm hơn là với các lượng biến đổi và các vi phân của chúng

► Tuy nhiên trong nhiều áp dụng, tự nhiên hơn, người ta thường nói về các lượng biến đổi và vi phân của chúng

Đó là quan điểm mà các nhà vật lý và kỹ sư áp dụng khi

họ thiết lập phương trình vi phân Cũng như thế, khi giải các phương trình vi phân, việc xem các biến có vai trò như nhau thường có lợi Do đó, ý tưởng về vi phân được bảo vệ vì tính ứng dụng của nó, và một phần hay của

văn hoá toán thế kỷ 19 trở nên dễ hiểu hơn nếu vi phân

được xem là lượng vô cùng bé Cả hai cách, phép tính

đạo hàm và vi phân còn giữ vai trò cho đến ngày nay

►C«ng cô quan träng nhÊt cña biÓu diÔn hµm sè lµ chuçi luü thõa C¸c nhµ to¸n häc cña thÕ kû 18 chñ yÕu xÐt c¸c chuçi luü thõa nh­ lµ ®a thøc v« h¹n.

träng cña gi¶i tÝch thÕ kû 18.

► Trong cuốn sách dưới dạng bản thảo viết cho l’Hopital,

Johann Bernoulli đã đặc tả cơ sở khái niệm của phép

tính vi phân mới thành ba định đề nhằmchứng tỏ rằng phép tính vi phân theo trường phái Leibniz được xây

dựng theo quan điểm vô cùng bé thực sự

► (1) Một lượng mà tăng hoặc giảm theo một lượng vô

cùng bé nhỏ hơn thì cũng không tăng mà cũng không giảm.

► (2) Mỗi đường cong gồm vô số những đoạn thẳng vô

cùng bé.

► (3) Hình mà bị chứa giữa hai toạ độ, hiệu của các hoành

độ và mẩu vô cùng bé của đường cong bất kỳ được xem

là một hình bình hành (Bernoulli 1692, 12)

Định lý Taylor

Brook Taylor là người đầu tiên công bố

định lý mà ngày nay mang tên ông; như

ng thật ra ông không phải là người đầu

tiên phát hiện ra điều này Trước ông, ít

nhất đã có năm nhà toán học đã biết

định lý này hoặc dạng tương đương của

► ý tưởng của Euler đặt khái niệm hàm - trung tâm của Introduction là bước tiến đáng kể.

► Johann Bernoulli là người đầu tiên nói về hàm của các toạ độ trong bài báo về bài toán đẳng chu năm

1698 Theo đó, ông hiểu biểu thức bất kỳ mà chứa các toạ độ như biến số.

► Euler viết: Một hàm của lượng biến đổi là một biểu thức giải tích bao gồm lượng biến đổi và số hay các lượng hằng số theo cách tuỳ ý

Khái niệm hàm giải tích

Cuốn sách Introductio của Euler (1748) …

Cuốn sách Introductio của Euler (1748) …

Các hạn chế của khái niệm hàm giải

tích

► Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn

Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ 18

cho tới tận khi một cách hiểu mới bắt đầu được thừa

nhận nhờ công trình của Cauchy Tuy nhiên, một vài

hạn chế của cách tiếp cận trước đây đã được thấy rõ

ở thế kỷ 18 Điều này đã diễn ra trong suốt một cuộc

tranh luận nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học.

► Việc mở rộng phạm vi những nghiệm có thể tới

những hàm gián đoạn đã bị d’Alembert phản đối

kịch liệt Ông đòi hỏi có một khái niệm hẹp hơn về

hàm số

Cauchy

Các hạn chế của khái niệm hàm giải

tích (tiếp)

Cuộc tranh luận này được các nhà toán học

khác theo đuổi qua nhiều nhiều ấn bản và

không bao giờ được hoà giải Về nguyên tắc,

các lập luận của d’Alembert là thoả đáng

Daniel Bernoulli, con trai của Johann Bernoulli, đưa ra một lập luận hoàn toàn mới trong cuộc tranh luận này Trong một bài báo xuất bản năm 1753, ông đã cố gắng giải bài toán bằng những lập luận thuần tuý vật lý Ông đã thảo luận các thí nghiệm mà từ đó ông kết luận mọi vật rung đều tạo

ra nhiều tiếng động

d’Alembert

C¬ së gi¶i tÝch thÕ kû 19

Giíi thiÖu

Kh¸i niÖm hµm sè

Cauchy vµ gi¸o tr×nh Gi¶i tÝch

Gauss, Bolzano, Abel, Weirstrass

Giới thiệu

►Phong trào hướng tới sự chặt chẽ có thể xem như

là một quá trình sáng tạo.

►Nó sản sinh ra các lĩnh vực mới của toán học đặc biệt đặt tôpô làm cơ sở cho giải tích, đề cập tới những khái niệm hoàn toàn mới như liên tục đều

và tính đầy đủ.

đứng sau sự chặt chẽ của giải tích.

Giíi thiÖu (tiÕp)

► c¸c c¬ së cña gi¶i tÝch ph¶i xÐt l¹i.

Giới thiệu (tiếp)

► thế kỷ thứ 18, các nhà toán học đã cố gắng xây dựng cơ sở giải tích dựa trên đại số thay cho hình học

Điều này đã bị phản đối ở thế kỷ 19 Thay vào đó, các số tự nhiên và số học được đề cao, năm 1870, số học hoá đã trở thành khẩu hiệu Các

số thực (và số phức) được xây dựng từ các số hữu tỷ; các số hữu tỷ lại được xây dựng từ số tự nhiên và giải tích

dựa trực tiếp vào công cụ mới này

hoàn toàn không dùng hình học.

Giới thiệu (tiếp)

► Người ta có thể chia sự chặt chẽ hoá của giải tích thành hai thời kỳ: Một giai đoạn của người Pháp do Cauchy đứng đầu và một giai đoạn Đức do Weirstrass đứng đầu Điều này chứng tỏ rằng bức tranh được thừa nhận rộng rãi của toán học thế kỷ

19 tức là người Pháp là người dẫn đầu về khái niệm toán học, cho tới giữa thế kỷ 19, sau đó người Đức thay thế.

Cauchy

Khái niệm hàm số

hàm số là gì? ý nghĩa của khái niệm này thay đổi theo thời gian Euler đưa ra hai định nghĩa Hàm

Khái niệm hàm số (tiếp)

► Một năm sau, Fourier đã bác bỏ rõ ràng hơn khái niệm hàm như biểu thức giải tích Trong công trình chính của

ông, Lý thuyết giải tích, ông viết

Nói chung hàm biểu diễn liên tiếp các giá trị hoặc toạ

độ tuỳ ý Vô số giá trị được gắn với trục x thì cũng có từng đó số gắn với toạ độ f(x) Tất cả các giá trị hằng

số xác thực hoặc âm, hoặc dương, hoặc số 0, ta

không giả thiết rằng các toạ độ này phải tuân theo

một quy luật chung; các toạ độ này kế tiếp nhau theo cách tuỳ ý và mỗi trong số chúng được gán một đại lượng đơn lẻ

Khái niệm hàm số (tiếp)

► Dirichlet thừa nhận khái niệm này và định nghĩa hàm liên tục như sau

► Giả sử a, và b là các giá trị xác định và x là biến biến

đổi giữa hai giá trị a,b Bây giờ ứng với mỗi giá trị x là một giá trị hữu hạn y, theo cách là x biến đổi một cách liên tục, từ a tới bthì y = f(x)thay đổi một cách từ từ, khi

đó y là một hàm liên tục của x trong khoảng này

► Định nghĩa này nhận này nhấn mạnh tính đơn trị của

f(x), gần giống theo quan điểm của Riemann Nếu

chúng ta chỉ nhìn vào định nghĩa thì định nghĩa này dường như là khái niệm hàm số được xác định như là sự phụ thuộc tổng quát giữa các biến

Khái niệm hàm số (tiếp)

► Cauchy đã phân biệt một cách rành rọt giữa hàm tường minh và hàm ẩn Và các hàm số này thường được cho dưới dạng phương trình, hoặc biểu thức Ông còn chia thành hàm đơn, và hàm hợp

Dirichlet dần dần thay thế

khái niệm hàm của Euler

trong các tài liệu toán.

Dirichlet

Các định nghĩa của Cauchy

Cauchy và giáo trình Giải tích

Polytechnique, Paris Nhưng chỉ làm việc nghề này trong vài năm Sau sự phục hồi của chế độ quân chủ, năm 1815, ông bắt đầu dạy giải tích ở trư ờng Polytechnique, và một năm sau thì trở thành viện sĩ của viện hàn lâm Ông là người ủng hộ trung thành chế độ quân chủ của Bourbon và là một người theo đạo thiên chúa bảo thủ Vì thế sau cuộc cách mạng 1830,

ông tự nguyện đi đày, đầu tiên ở Torino và Prague, ở đó ông đã dạy toán cho con của Charles X đã phế truất Năm 1838, ông trở lại Paris, và phải chờ đến cách mạng (1848) để nhận được vị trí giảng dạy mới tại Khoa Khoa học Cauchy viết năm cuốn sách và hơn 800 bài báo và là nhà toán học sáng tạo nhiều nhất đã từng sống Ông có nhiều đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết hàm phức, đại số (giao hoán), lý thuyết sai số, cơ học vũ trụ, và vật lý toán, đặc biệt là lý thuyết chất dẻo và quang học.

Cauchy và giáo trình Giải tích (tiếp)

► Cauchy không mấy thành công trong giảng dạy, hầu hết các sinh viên của ông không đánh giá được phong cách rất lý thuyết của ông Và ngay cả đồng nghiệp thường chỉ trích ông là giảng giải quá dài dòng khi đề cập đến vấn đề tẩn mẩn trong phần nhập môn của giáo trình mà thiếu các phần ứng dụng Nhưng đúng là sự kiên trì này

về cơ sở giải tích thông qua các cuốn sách của ông làm cho Cauchy nổi tiếng của phong trào chặt chẽ

Cauchy và giáo trình Giải tích (tiếp)

► Có người cho rằng, Cauchy đã ăn cắp một vài ý tưởng của Bolzano Điều quả trách này bị một số nhà lịch sử bác bỏ và không có lý do gì để nghĩ rằng Cauchy đã đánh cắp các kết quả của Bolzano Có người cho rằng Cauchy không biết khái niệm liên tục đều, hội tụ đều, chẳng hạn khi ông khẳng định một cách sai lầmrằng tổng của các chuỗi hàm liên tục là hàm liên tục (thiếu giả thiết hội tụ đều) Chứng minh hàm liên tục thì có tích phân (không sử dụng tính liên tục đều và liên tục trên một đoạn) nhưng có người cho rằng nếu đọc kỹ các chứng minh của Cauchy thì sẽ thấy rằng ông đã biết thế nào là liên tục đều và hội tụ đều Cauchy đã thiết lập dãy hội tụ là dãy Cauchy nhưng khi hỏi điều ngược lại, dãy Cauchy có hội tụ hay không thì ông đã phẩy tay.

► Sự thực thì có lẽ ông không nhận thức được tính đầy đủ của số thực Tính chất này phải nằm trong tiên đề khi xây dựng số thực Có lẽ đấy là lỗ hổng cơ bản xuất hiện trong vài chỗ khác nhau của Cauchy Đặc biệt trong chứng minh của ông về định

lý giá trị trung bình và chứng minh sự tồn tại tích phân của hàm liên tục.

Gauss, Bolzano, Abel, Weirstrass

Gauss (1777 - 1855).

► Hai nhà toán học khác, Gauss và Bolzano, đã có những ý tư ởng xây dựng cơ sở của giải tích rất giống với ý tưởng của Cauchy một cách độc lập và thậm chí còn sớm hơn Năm

1850, Gauss còn viết cho Schumacher như sau.

► Đặc trưng toán học của thời đại chúng ta là:

ngôn ngữ ký hiệu của chúng ta cho chúng ta một đòn bẩy để tinh giảm những lập luận phức tạp nhất nhằn tạo ra bộ máy nào đó Bằng cách này họ đã nhận được rất nhiều điều bổ

ích, nhưng giống như kinh doand, vẻ đẹp và sự chắc chắn

đều bị tổn thất như nhau Đòn bẩy này được sử dụng một

cách máy móc, mặc dù quyền làm như vậy trong hầu hết các trường hợp đều dẫn tới các giả thiết kỹ thuật nào đó.

► Tôi nhất quyết cho rằng bằng tất cả các áp dụng của các

khái niệm người ta cần phải thận trọng về những điều kiện xuất phát và không bao giờ mất quyền xem xét các kết quả của bộ máy như tài sản của một người nào đó.

► Trong luận án tiến sĩ, Gauss khi mới 22 tuổi

đã phát triển khái niệm số phức để chứng minh định lý cơ bản của đại số.

Bolzano (1781 - 1848).

► Bolzano, người Tiệp, chỉ có ảnh hưởng rất ít với sự phát triển của giải tích vì nhiều lý do khác nhau

Ông là một nhà thần học triết học sống ở Prague, cách xa các trung tâm toán học chính Ông công

bố các kết quả toán học nhưng không có kết quả nào mới về mặt kỹ thuật Các công trình của ông, ngay cả tên của ông không được biết đến trong nửa thế kỷ mặc dù ông đã đào sâu vào cơ sở của giải tích hơn những người đương thời Bài báo quan trọng nhất của ông, viết năm 1817 dành cho định

lý giá trị trung gian