LỊCH SỬ GIẢI TÍCH 2

Giải tích đại số thế kỷ 18 Giải tích đại số thế kỷ 18 Sự phát triển của phép tính vô cùng bé trong thế kỷ 18 chịu ảnh hởng từ cơ học, quang học, và vũ trụ học. Trong quá trình phát triển dài lâu, cơ học lý thuyết về tổng thể đã tách khỏi các ngôn ngữ hình học của Newton và đợc phát biểu lại dới ngôn ngữ của nhiều phơng trình. Các ngành mới nh thuỷ lực học (hydrodynamics) và đàn hồi đợc ra đời, vợt xa những nỗ lực của Newton. Hầu hết các nhà giải tích lớn của thế kỷ 18 đều tham gia vào quá trình này. Các nhà toán học có đóng góp cho quá trình phát triển của giải tích trong thế kỷ 18 chỉ là một nhóm nhỏ. Anh em nhà Jakob và Johann Bernoulli là những đại diện tiêu biểu cho trờng phái phép tính vi phân của Leibniz. Jakob, sinh 27 tháng 12 năm 1654. Đầu tiên ông nghiên cứu thần học nhng sau đó ông nghiên cứu toán, vật lý và thiên văn, có một thời gian dài ở nớc ngoài. Ông tự học phép tính vô cùng bé của Leibniz và sau đó dạy lý thuyết này cho em trai của mình là Johann Johann, sinh ngày 27 tháng 7 năm 1667. Johann đi tới Geneva và Paris sau khi học y học. ở Geneva và Paris Johann giới thiệu cho Marquis de lHopital về phép tính vô cùng bé năm 1690 và 1691. Họ thoả thuận rằng Bernoulli sẽ cho phép lHopital đợc dùng tuỳ thích các kết quả của Johann theo một văn bản bí mật, và đổi lại, ông ta nhận một khoản thu nhập hàng năm khá lớn. Năm 1696, lHopital công bố giáo trình đầu tiên của mình về phép tính vi phân, Analyse des infiniment petits, có sử dụng các bài viết của Bernoulli. Năm 1695 Johann dạy toán tại trờng đại học Groningen. Sau những hợp tác ban đầu giữa hai anh em nhà Bernoulli này, Jacob và Johann ngày càng trở thành những kẻ kình địch của nhau cả trong khoa học lẫn đời thờng. Theo tập tục của thời đó, họ thách thức nhau bằng cách công khai đặt ra các bài toán. Những ganh đua này lại rất tốt cho sự phát triển của phép tính vô cùng bé, và là cơ hội để nhiều kết quả, phát minh khác ra đời. Điển hình là bài toán branchistochrone (đoản trình), đó là bài toán dẫn tính phép tính biến phân. Ngoài các công trình về phép tính vô cùng bé về cơ học, Jakob Bernoulli đã viết một cuốn sách cơ bản về xác suất, Ars conjectandi, Sau cái chết của ngời anh mình, Johann Bernoulli thế chân ngời anh ở Basel và sau 1710 thì Johann chủ yếu nghiên cứu các vấn đề cơ học. Sau khi Leibniz chết và Newton không nghiên cứu khoa học nữa, Johann đợc xem là nhà toán học đầu đàn của châu Âu. Johann mất ngày 1 tháng 1 năm 1748. Học trò xuất sắc nhất của Johann Bernoulli là Leonhard Euler. Euler có một trí nhớ phi thờng và là bậc thầy của tính toán. Trong khi các sách của Johann những bài toán cơ học, hình học giữ vai trò nổi bật, còn sách của Euler (Euler 1748/1988), (Euler 1755/200) và (Euler 1768-1770) chỉ có ít ứng dụng và đợc viết theo cách đại số.  ►  !"#$% & '( ► )"*+ ,-$./01'23&-456 27 h×nh häc)8&69:! &96;<=>  ►  =< '(?@  +"#$%1 A-®¹i sè Èn 'B:& C;A-7=!'23 D-DE'"FGH2 5-!'5 <Introductio >-FI8'(23   J=<6F'(23 FG K$.LMN$M%%1OPC9Q>JR&;A- 8'<23 '23F&6 =&6&'(=< 5S Khái niệm hàm trở thành cơ sở và Euler hiểu hàm số nh là những biểu thức đại số hoặc giải tích. Vào cuối thế kỷ này, các cuốn sách của Lagrange 1797 và 1801 đã đa vào khái niệm đại số hiện. Lagrange loại trừ các khái niệm vi phân, vô cùng bé và định nghĩa đạo hàm của hàm số không cần sử dụng giới hạn nh là hệ số của x trong khai triển thành chuỗi luỹ thừa của hàm f(x)với giả thiết khai triển phải tồn tại. Trong phần mở đầu cuốn Complete introduction into algebra Euler viết, Toán học, nói chung, là khoa học về lợng; hay là khoa học nghiên cứu các phơng pháp đo các đại lợng (Euler 1771/1972,1). Ông định nghĩa lợng là một cái gì đó có thể tăng hoặc giảm, Vào thế kỷ 18, việc hiểu phép tính vô cùng bé, nói chung, phải gắn với ba khái niệm cơ bản là vi phân, hàm số và chuỗi luỹ thừa. Theo Euler, phép tính vi phân không đề cập tới chính vi phân mà với tỉ số của chúng. để lợi cho tính toán ngời ta thích không coi tất cả các lợng trong một phơng trình là nh nhau mà là xem một vài cái là biến độc lập còn biến kia là biến phụ thuộc. Đấy chính là quan điểm của hàm số và nh vậy, vào thế kỷ 18 ngày càng có nhiều ngời thừa nhận rằng ngời ta nên tính toán với hàm số và đạo hàm hơn là với các lợng biến đổi và các vi phân của chúng. [...]... chế của khái niệm hàm giải tích Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ 18 cho tới tận khi một cách hiểu mới bắt đầu được thừa Cauchy nhận nhờ công trình của Cauchy Tuy nhiên, một vài hạn chế của cách tiếp cận trước đây đã được thấy rõ ở thế kỷ 18 Điều này đã diễn ra trong suốt một cuộc tranh luận nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học Việc mở... rung đều tạo ra nhiều tiếng động Cơ sở giải tích thế kỷ 19 Giới thiệu Khái niệm hàm số Cauchy và giáo trình Giải tích Gauss, Bolzano, Abel, Weirstrass Giới thiệu Thế kỷ 19 thường được gọi là thời kỳ chặt chẽ, Phong trào hướng tới sự chặt chẽ có thể xem như là một quá trình sáng tạo Nó sản sinh ra các lĩnh vực mới của toán học đặc biệt đặt tôpô làm cơ sở cho giải tích, đề cập tới những khái niệm hoàn... giải tích, đề cập tới những khái niệm hoàn toàn mới như liên tục đều và tính đầy đủ Việc dạy học là một động lực quan trọng khác đứng sau sự chặt chẽ của giải tích Giới thiệu (tiếp) Euclid các cơ sở của giải tích phải xét lại Cùng lúc đó, giải tích tự tách khỏi hình học nhiều lỗ hổng đã được phát hiện trong lập luận của Euclid một vài nhà toán học đã tìm các chứng minh định lý giá trị trung gian... là hàm số giải tích, chứa hằng số và các biến nhưng sau đó, hàm số được định nghĩa như là một biến phụ thuộc vào biến khác Tuy nhiên, trong giáo trình giải tích của Cauchy, cuốn sách đầu tiên mở ra thời kỳ chặt chẽ, hàm số được định nghĩa chặt chẽ như là các biến phụ thuộc vào các biến khác Khái niệm hàm số (tiếp) Một năm sau, Fourier đã bác bỏ rõ ràng hơn khái niệm hàm như biểu thức giải tích Trong... chuỗi rất chính xác Gauss có ảnh hưởng rất ít đến cơ sở của giải tích vì ông thường do dự công bố các kết quả khi chưa chín muồi Trong luận án tiến sĩ, Gauss khi mới 22 tuổi đã phát triển khái niệm số phức để chứng minh định lý cơ bản của đại số Bolzano (1781 - 1848) Bolzano, người Tiệp, chỉ có ảnh hưởng rất ít với sự phát triển của giải tích vì nhiều lý do khác nhau Ông là một nhà thần học triết... học Cauchy và giáo trình Giải tích (tiếp) Cauchy không mấy thành công trong giảng dạy, hầu hết các sinh viên của ông không đánh giá được phong cách rất lý thuyết của ông Và ngay cả đồng nghiệp thường chỉ trích ông là giảng giải quá dài dòng khi đề cập đến vấn đề tẩn mẩn trong phần nhập môn của giáo trình mà thiếu các phần ứng dụng Nhưng đúng là sự kiên trì này về cơ sở giải tích thông qua các cuốn... hằng Giới hạn Đại lượng vô cùng bé Liên tục Hội tụ Chuỗi Đạo hàm Tích phân Cauchy và giáo trình Giải tích Cauchy sinh năm 1789 mất 1857, người Pháp, tốt nghiệp kỹ sư tại trường Polytechnique, Paris Nhưng chỉ làm việc nghề này trong vài năm Sau sự phục hồi của chế độ quân chủ, năm 1815, ông bắt đầu dạy giải tích ở trư ờng Polytechnique, và một năm sau thì trở thành viện sĩ của viện hàn... hạn chế của khái niệm hàm giải tích (tiếp) Cuộc tranh luận này được các nhà toán học khác theo đuổi qua nhiều nhiều ấn bản và không bao giờ được hoà giải Về nguyên tắc, dAlembert các lập luận của dAlembert là thoả đáng Daniel Bernoulli, con trai của Johann Bernoulli, đưa ra một lập luận hoàn toàn mới trong cuộc tranh luận này Trong một bài báo xuất bản năm 1753, ông đã cố gắng giải bài toán bằng những... là sự kiên trì này về cơ sở giải tích thông qua các cuốn sách của ông làm cho Cauchy nổi tiếng của phong trào chặt chẽ Cauchy và giáo trình Giải tích (tiếp) Có người cho rằng, Cauchy đã ăn cắp một vài ý tưởng của Bolzano Điều quả trách này bị một số nhà lịch sử bác bỏ và không có lý do gì để nghĩ rằng Cauchy đã đánh cắp các kết quả của Bolzano Có người cho rằng Cauchy không biết khái niệm liên tục... thế kỷ thứ 18, các nhà toán học đã cố gắng xây dựng cơ sở giải tích dựa trên đại số thay cho hình học Điều này đã bị phản đối ở thế kỷ 19 Thay vào đó, các số tự nhiên và số học được đề cao, năm 1870, số học hoá đã trở thành khẩu hiệu Các số thực (và số phức) được xây dựng từ các số hữu tỷ; các số hữu tỷ lại được xây dựng từ số tự nhiên và giải tích dựa trực tiếp vào công cụ mới này hoàn toàn không dùng . Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ 18 Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ.  U2Z [&apos ;23 DU6 R ;'- R=R ► K$P4 23  -&, T @--4 23   K$P4 23  -&, T @--4 23   . lực quan trọng khác đứng sau sự chặt chẽ của giải tích. kVAK"P 7=!> @@D( Cùng lúc đó, giải tích tự tách khỏi hình học. 8^i 'B&apos ;23 A **> một vài nhà toán học đã F-? -'WS