► Các bài giảng của Weierstrass gồm có bốn khoá học
• Lý thuyết hàm giải tích • Lý thuyết hàm eliliptic
• ứng dụng hàm elliptic vào hình học và cơ học • Lý thuyết hàm Abel
► Bắt đầu mỗi khoá học, Weierstrass giảng giải phương pháp
tiếp cận của mình với cơ sở giải tích. Không như ba khoá sau, nội dung của khoá đầu tiên không được xuất bản khi
ông còn sống. Tuy nhiên, các ý tưởng chính sớm được người ta biết đến nhờ các dẫn chứng, ghi chép, các công trình của nhiều sinh viên Đức và nước ngoài học tại Berlin, chứ không phải chỉ vì họ muốn theo các bài giảng của Weierstrass. Một số ghi chép này gần đây đã được xuất bản đầy đủ hoặc một số phần.
Weierstrass (tiếp)
► Mối quan tâm của ông về lĩnh vực này dường như là đã xuất phát từ quá trình giảng dạy và thảo luận với
Kronecker. Sau đó, Weierstrass và Kronecker đi đến bất đồng sâu sắc về cơ sở đúng đắn của toán học, chẳng hạn như vị trí của số thực, và tổng quát hơn là về các tập vô hạn thực sự, mặc dầu hồi đầu họ chia sẻ quan điểm về tính không đầy đủ của nhiều ý tưởng quan trọng và các phép chứng minh của giải tích. Họ cũng tin rằng cơ sở đúng đắn phải nằm trong số học về các số tự nhiên.
Weierstrass (tiếp)
► Cách tiếp cận của Weierstrass với cơ sở giải tích có trong
bài viết của ông về hàm và chuỗi rất giống với cách tiếp cận hiện đại, vì vậy ta không cần bàn tới điều này chi tiết hơn. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ nhấn mạnh vài điểm quan trọng. Thông qua cách xây dựng số thực của mình, Weierstrass đã giải quyết được câu hỏi về tính đầy đủ mà Cauchy và
Bolzano đã bó tay. Ông trở nên nổi tiếng nhờ phong cách epsilon. Cauchy đã sử dụng các ngôn ngữ epsilon delta và các bất đẳng thức, trong các chứng minh phức tạp của ông, nhưng Weierstrass đã sử dụng kỹ thuật này trong tất cả các chứng minh, cũng như định nghĩa.
Weierstrass (tiếp)
► Weierstrass định nghĩa giới hạn của hàm và giới hạn của chuỗi, phân biệt rõ ràng giữa liên tục điểm và liên tục
đều trong một khoảng. Ông sử dụng liên tục đều trong một khoảng để cứu vớt định lý Cauchy và cũng chứng tỏ rằng nó trả lời được câu hỏi của Abel về vi phân theo
từng số hạng của chuỗi. Ông cũng chứng tỏ rằng tích phân từng số hạng của chuỗi không thể luôn luôn đúng như đã được giả định trước đó nhưng sẽ đúng cho chuỗi hội tụ đều. Từ một ý tưởng này, hội tụ đều trở thành một khái niệm trọng tâm.
Weierstrass (tiếp)
► Năm 1872 Heine đã tách bạch hai khái niệm đó và chứng minh rằng một hàm liên tục trên một khoảng
đóng thì liên tục đều. Dirichlet đã phát biểu định lý này trong bài giảng về phép tính tích phân năm 1854. Vào cuối thế kỷ 20, H. Borel đã tách bạch tính chất
compactness và sử dụng một phương pháp giống với của Heine để chứng minh rằng một khoảng đóng bị chặn thì compact (định lý Heine-Borel).
► Thứ nhất, ông quan tâm đến sự khác nhau giữa maximum và một supremum (hoặc minimum và infinimum).