Bài tập Bất đẳng thức

B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: A, B là các số thực. Bất đẳng thức là các mệnh đề: .  Chứng minh 1 bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. I. Tính Chất: 2 II. Các Hệ Quả III. Bất Đẳng Thức Chứa Trị Tuyệt Đối Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi 4. 5. Với IV. Bất Đẳng Thức CauChy (Cô-si): 1. Bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm: www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 1 B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO : hay: hay: . Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b. Hệ quả 1: Khái niệm liên quan Nếu a > 0, b > 0 và S = a + b không đổi M là GTLN của hàm số y = f(x) trên txđ D Thì tích ab lớn nhất bằng khi a = b = Hệ quả 2: Khái niệm liên quan Nếu a > 0 và b > 0 và P = ab không đổi m là GTNN của hàm số y = f(x) trên txđ D Thì tổng a + b nhỏ nhất bằng khi 2. Bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm: : hay: hay: a.b.c Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c. 3. Bất đẳng thức Cô Si cho n số không âm : : hay: hay: Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi V. Bất Đẳng Thức Bunhiacốpxki: 1. Bất đẳng thức Svac-xơ: (Schwartz): Với 4 số a,b,x,y tùy ý: . Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = 0 2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki (Bouniakowski): Với 4 số tùy ý a,b,x,y ta có: Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = 0 www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 2 B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO Với 6 số a,b,c,x,y,z tùy ý ta có: Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = z = 0 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN:  Phương pháp biến đổi tương đương: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Giải: Ta có Vậy: Đẳng thức xãy ra khi *Vận dụng: * Nhận xét: nếu chuyển vế thì được 1 hằng đẳng thức? Đẳng thức xãy ra khi: Ví dụ 2: Cho 3 số a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: (1) Giải: Ta có: (1) Vậy * Nhận xét: Nếu tách và gộp nhóm hợp lý ta được các hằng đẳng thức và là các bình phương Ví dụ 3: Chứng minh với mọi a,b,c thuộc , ta có: (1) Giải: ta có:(1) ( luôn đúng với mọi a,b,c) Vậy: Nhận xét: khi chuyển vế ta được biểu thức: là 3 hằng đẳng thức Ví dụ 4: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: (1). Giải: Ta có: (1) ⇔ Nhận xét: sử dụng hằng đẳng thức phân tích thành thừa * Lưu ý: Bất đẳng thức www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 3 B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO ( luôn đúng) Vậy: trong tam giác. Bài tập cùng phương pháp: Bài tập 1: Chứng minh các số thực a,b,c,d tùy ý, ta có: a) b) c) d) Bài tập 2: Chứng minh với 2 số thực a,b thỏa , ta có: a) b) Bài tập 3: Cho các số thực a,b,c,d sao cho Chứng minh a) b) Bài tập 4: Chứng minh rằng: với mọ i a,b,c thỏa a + b + c ≠ 0 Bài tập 5: Chứng minh rằng: a) b) Bài tập 6: Chứng minh với 2 số thực không âm a,b ta có: www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 4 B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C – TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO Bài tập 7: Cho Bài tập 8: Cho . Chứng minh rằng: Bài tập 9: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình: www.locdo.net hay www.locdo.net/forum Page 5 . Hệ Quả III. Bất Đẳng Thức Chứa Trị Tuyệt Đối Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi 4. 5. Với IV. Bất Đẳng Thức CauChy (Cô-si): 1. Bất đẳng thức Cô Si cho. LÝ THUY Ế T – BÀI T Ậ P RÈN LUY Ệ N VÀ NÂNG CAO A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: A, B là các số thực. Bất đẳng thức là các mệnh đề: .  Chứng minh 1 bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. I bằng khi 2. Bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm: : hay: hay: a.b.c Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c. 3. Bất đẳng thức Cô Si cho n số không âm : : hay: hay: Đẳng thức xãy ra khi