Ứng dụng của phương pháp gauss, hãy lập trình chương trình tìm ma trận nghịch đảo (lưu ý yêu cầu sinh viên xử lý cả trường hợp phần tự trụ xấp xỉ hoặc bằng 0

Khoa Công Nghệ Thông Tin – Đại Học Thái Nguyên Bộ mơn khoa học máy tính ***********0^0********** BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP SỐ Bài số 6: Ứng dụng phương pháp Gauss, Hãy lập trình chương trình tìm ma trận nghịch đảo (Lưu ý: Yêu cầu sinh viên xử lý trường hợp phần tự trụ xấp xỉ 0) Sinh viên thực hiện: Lưu Anh Tuấn Lớp : K6A Thái Nguyên, Tháng 11 năm 2008 MỤC LỤC Trang Mở đầu…………………………………………………………………….3 Chương I: Cơ sở lý thuyết……………………………………………… Chương II: Ví dụ minh họa………………………….…… …………….10 Chương III: Cài đặt thuật toán…………………………………… …….13 MỞ ĐẦU Phương pháp số gì? Mơn phương pháp số (Numerical methods) hay cịn gọi Giải tích số (Numerical analysí), Phương pháp tính (Computational methods) rộng Tốn học tính toán (Computational mathematics, Numerical mathematics) khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, mà chủ yếu giải số ( nói gọn giải số) phương trình, tốn xấp xỉ hàm số tốn tối ưu hóa ( Theo Bách khoa tồn thư khoa học kỹ thuật, NXB Mc.graw Hill 1992) Nói cách khác để thể chất hơn, lời giới thiệu sách “Cẩm nang giải tích số” (Handbook of Numerical analysis) gồm tập chuyên gia hàng đầu giới viết từ 1989 đến 1994 (Cỉalet P.G Lión J.L chủ biên), Giải tích số phần tóan học mơ tả phân tích lược đồ số sử dụng máy vi tính Mục tiêu nhận biểu diễn rõ ràng, xác trung thực tất thông tin chữa đựng mô hình tốn học Nó mở rộng tự nhiên công cụ cổ điển lời giải giải tích, biến đổi đặc biệt, giải tích hàm giải tích ổn định tiệm cận Nói gọn môn phương pháp số nghiên cứu phương pháp giải toán bắng số máy tính Với mục tiêu nhiệm vụ vậy, phương pháp số máy tính cơng cụ đắc lực việc nghiên cứu đối tượng, trình tự nhiên xã hội Như ta biết, để nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, chẳng hạn tượng mây, mưa, gió, nhiệt độ, áp suất, q trình thủy văn dịng chảy, lũ lụt….; tượng biến dạng, nứt nẻ vật rắn….thay mơ hình vật lý, người ta xây dựng mơ hình tốn học tượng nghiên cứu Chính giải tích số hay phương pháp số thực công đoạn nghiên cứu phương pháp, thuật tốn sử lý mơ hình tốn học máy tính Chính sở để xây dựng phần mềm khoa học – mô máy tính đối tượng vật lý Sự khác biệt tốn tính với tốn lý thuyết Khi nghiên cứu tốn, mơ hình tốn học nhà toán học lý thuyết thường quan tâm đến vấn đề định tính toán vấn đề tồn tại, tính chất nghiệm tốn, cịn nhà tốn tính quan tâm đến việc xây dựng phương pháp, thuật tốn để tìm nghiệm máy tính Vì vấn đề đặt là: Tính khả thi tính hiệu thuật tốn Ở đây, thuật tốn gọi khả thi thực hệ thống tính tốn có tương lại Cịn hiệu thuật tốn ám chi phí tài ngun máy tính, thời gian thực để có lời giải với độ xác cho trước Điều kiện cần có cho tính chất ổn định thuật tốn Có thể hiểu cách nơm na, thuật tốn gọi ổn định số tính tốn ( máy tính làm trịn số) khơng bị khuếch đại q trình tính Để hiểu rõ điều nêu trên, ta xét ví dụ sau: Thí dụ 1: ( Tính ổn định) giả sử phân tích tích phân I n = ∫ x n e n +1 dx Tích phân phần ta đựơc: 1 I n = x n e n −1 | − n ∫ x n −1e x −1dx = − nI n −1 0 Ngồi ta có: I1 = ∫ xe x −1dx = ≈ 0.3679 e Như vậy, để tính I n ta thu công thức truy hồi I n = − nI n −1 , n ≥ I1 = 0.3679 Đến đây, mặt lý thuyết dường tóan giải tính với n lớn máy tính Nhưng thực tế tính máy tính lại khơng cho ta kết mong muốn n lớn Cụ thể tính máy tính với n=25 ta bảng có kết qủa sau (liệt kê theo hàng) 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1368 0.1124 0.1009 0.0916 0.0839 0.0774 0.0718 0.0669 0.0627 0.0590 0.0555 0.0572 -0.0295 1.5596 -30.1924 635.0403 - 321308.3881 - 192785008.8325 13969.8864 7711400.3133 Nhìn vào bảng ta thấy kết giảm dần từ 0.3679 (khi n=1) đến 0.0555 (khi n=16), sau kết thay đổi thất thường giá trị tuyệt đối tăng nhanh Điều hồn tồn khơng phù hợp với lý thuyết theo lý thuyết n = → as n → ∞ Do ≤ I n ≤ ∫ xnd = n +1 Hiện tượng kết tính tốn I n nêu khơng ổn định thuật e toán: sai số ban đầu tính I1 = ≈ 0.3679 bị khuyếch đại q trình tính Điều lý giải sau: Thay I1 = ~ ta thu I = I1 + δ δ sai số e Giả sử tính tốn khơng mắc phải sai số Thế tính cho ~ ~ n=2 ta I = − I1 = − 2( I1 + δ ) = (1 − I1 ) − 2δ = I − 2δ Như ta thu ~ ~ I với sai số I − I = 2δ Lập luận tương tự ta chứng tỏ bứơc thứ n ~ ~ thay cho giá trị I ta thu giá trị gần I với sai số I n − I n = n!δ Do đó, dù δ có bé n đủ lớn sai số đủ lớn ta nhận giá trị chấp nhận gần cho I n Thí dụ (tính khả thi) Cho hệ phương trình đại số tuyến tính Ax=b (1) Trong A ma trận vuông cấp n với định thức khác Về lý thuyết giải hệ công thức Cramer xi = ∆i ∆ (i=1,…,n) (2) Trong ∆ = det A , cịn ∆ i nhận từ ∆ việc thay đổi cột thứ I cột tự b Nhưng việc tính tốn nghiệm số cụ thể lại việc khơng dơn giản Theo cơng thức (2) cần phải tính n+1 định thức cấp n Mỗi định thức tổng n! số hạng, số hạng tích n thừa số Do vậy, để tính số hạng cần thực n-1 phép nhân Như vậy, tất số phép tính nhân cần thực (2) Q=N!(n+1)(n-1) Giả sử n=20 Khi Q ≈ 9.7073 * 10 20 Nếu tốc độ máy tính 100 triệu phép tính/giây thời gian thực khối lượng tính toán 2.6965* 109 3.0782* 105 năm Một thời gian vô lớn Và vậy, thuật tốn nêu hồn tồn khơng khả thi dù máy tính có tăng tốc độ lên gấp hàng nghìn, hàng vạn lần Ở ta xét việc giải hệ cỡ 20, mà thực tế khoa học cơng nghệ địi hỏi phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ hàng vạn, hàng triệu Vì thế, cần phải nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu để giải hệ thống phương trình cỡ lớn Đó nhiệm vụ ngành phương pháp số 3.Phương pháp số, phần mềm toán học tính tốn khoa học Thơng thường thuật tốn giải tích đại số tổ chức thành thư viện chương trình với tên gọi Package, Toolbox,lib… Chúng đưa vào phần mềm toán học Mathematica, Maple đặc biệt MATLAB-một mơi trường tính tốn kĩ thuật đồ họa nhanh sử dụng rộng rãi, phục vụ cho nghiên cứu tính tốn kỹ thuật Ngồi ra, phương pháp số giải lớp toán khác khoa học cơng nghệ lập trình thành phần mềm chuyên phục vụ giải lớp tốn khác nhau, chẳng hạn chương trình phần tử hữu hạn để giải toán học, chương trình tính tốn thuỷ lực, chương trình tính tốn nhiễm khí quyển,… Các phần mềm có tên gọi chung phần mềm tính tốn khoa học CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Thuật toán khử gauss giải hệ phương trình tuyến tính Lịch sử phát triển loài người cho thấy rằng, người ln mong muốn tìm phương pháp cơng cụ, để phục vụ cho cơng việc tính tốn đầy “cực khổ” Và người thực đạt thành tựu to lớn Nhà tốn học người Pháp Laplace nói rằng: “việc phát minh Lôgarit (bảng Lôgarit) kéo dài tuổi thọ nhà tính tốn” Nhưng phát minh máy tính điện tử, người thật có cơng cụ hỗ trợ tính toán đắc lực hiệu Ngày hầu hết cơng việc tính tốn phức tạp khoa học kỹ thuật máy tính đảm nhiệm Do việc tìm cài đặt cho máy tính thuật toán tốt yêu cầu thực tế Một tính tốn hay gặp giải hệ phương trình tuyến tính (HPTTT) Một HPTTT định nghĩa hệ gồm m phương trình đại số bậc n ẩn số có dạng sau: Hệ phương trình (I) cịn viết dạng ma trận là:AX=B (II) Trong ma trận A gọi ma trận Hệ Số, ma trận B gọi ma trận vế phải, ma trận X ma trận ẩn Khi số phương trình số ẩn (m=n) định thức ma trận hệ số ≠ 0(det( A) ≠ 0) ,ta gọi hệ phương trình hệ Cramer Thơng thường hay làm việc với hệ Cramer, nên ta quan tâm đến hệ Cramer nói đến HPTTT ta mặc định hiểu hệ Cramer Để giải HPTTT có nhiều phương pháp, chia làm hai loại Các phương pháp trực tiếp hay phương pháp giải xác phươngpháp gián tiếp hay phương pháp lặp Thuật toán khử Gauss phương pháp giải HPTTT trực tiếp quen thuộc với Nó phương pháp tốt, thích hợp để cài đặt máy tính, khám phá cách khoảng 160 năm Khử Gauss thuật toán cài đặt sẵn trongcác thư viện chương trìnhcủa hầu hết ngơn ngữ lập trình bậc cao phổ dụng APL hay BASIC Với HPTTT có số phương trình nhỏ, người áp dụng thuật toán Gauss cho kết Nhưng với HPTTT có số phương trình lớn lớn rõ ràng người cần đến trợ giúp Máy Tính Bây tìm hiểu cách cài đặt thuật tốn khử Gauss ngơn ngữ lập trình MATLAB Với mục đích tạo chương trình giải HPTTT lớn phục vụ cho học tập nghiên cứu, quan trọng rèn luyện kỹ cài đặt thuật toán toán học Tư tưởng thuật tốn Gauss phép biến đổi tương đương: 1) Nhân hai vế phương trình HPTTT với số khác 2) Cộng phương trình với phương trình khác sau nhân phương trình với số 3) Đổi vị trí hai phương trình HPTTT cho Đưa HPTTT cho hệ tam giác trên, giải HPTTT tam giác 2.Áp dụng phương pháp gauss để tính ma trận nghịch đảo Muốn tính ma trận nghịch đảo ma trận vuông A = [aij], theo định lý: “Nếu A ∈ µ n khả đảo tức có nghị đảo A −1 det( A) ≠ ” Ta cần tìm ma trận B = [bij] cho AB = I, để đơn giản cách viết ta xét trường hợp ma trận cấp ba:  a11 A = a 21   a31  a12 a 22 a32 a13  a 23   a33   Ta phải tìm ma trận b11 B = b21  b31  b12 b22 b32 b13  b23   b33   Sao cho:  a11 a  21  a31  a12 a 22 a32 a13  b11 a 23  b21   a 33  b31   b12 b22 b32 b13  1 0 b23  = 0 0    b33  0 1    1 0   Trong đó: I = 0 0 ma trận đơn vị 0    Đó ba hệ đại số tuyến tính có chung ma trận hệ số A Ta giải chúng phương pháp Gauss bảng Quy tắc thực hành: Muốn tính ma trận nghịch đảo A −1 ma trận A phép biến đổi sơ cấp hàng ta làm sau: 1) Viết ma trận đơn vị I bên cạnh ma trận A 2) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa dần ma trận A ma trận đơn vị I, tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp vào cột ma trận I 3) Khi A biến đổi thành I I trở thành ma trận nghịch đảo A −1 Lưu ý: Các phần tử a ii ( i = 1,n) phần tử trụ, a ii = hệ suy biến CHƯƠNG II: VÍ DỤ ÁP DỤNG VÍ DỤ 1: Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp gauss 1 3 A = 2 3   1 8   Giải: 0 L1 L2 1 0 L3 L1  L1 -3 -2 -2L1 + L2  L2 -1L1 + L3  L3 -2 -1 1 -3 -2 -1 -5 1 0 2L2 + L3  L3 -1L3  L3 -3 -2 L2  L2 -2 -1 -14 L3  L3 -3L3 + L1  L1 13 -5 -3 3L3 + L2  L2 0 -2 -1 -40 16 L3 L3 -2L2 + L1  L1 13 -5 -3 L2  L2 0 -2 -1 L3 L3 1 0 L1  L1 L2  L2 10 Vậy: - 40 16 9 A =  13 - -     - - 1   −1 VD 2: Dùng phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo của: 1  A = 2    1 − 1   Giải: 1 0 L1 L2 1 -1 0 L3 L1  L1 -2 -2 L2 - 2L1 L2 -3 -1 1 0 L3 – L1  L3 L1  L1 -2 -2 L2  L2 1 -2 -5 -2 L3 -2L2  L3 L1 – 2L3  L1 -3 L2 +2L3 L2 0 -2 -9 -4 L3  L3 L1 – L2  L1 -3 L2  L2 0 -2 L3  L3 1 Vậy:  − − 4 A =  −3     −2    −1 VD3: Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp gauss: 1 0 A= 0  0 −5  − 3  2  0 1 11 Giải: -5 0 L1 -3 0 L2 0 0 L3 0 -5 0 0 -7 L4 L1 – 7L4  L1 0 L2 + 3L4 L2 0 0 -2 L3 – 2L4  L3 0 0 0 -17 L4  L4 L1 + 5L2  L1 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 -3 11 -38 L4  L4 L1 -3L2  L1 0 -2 L2  L2 0 0 -2 L3  L3 0 0 L4  L4 -2 L2 – 2L2  L2 L3  L3 Vậy: 1 − 11 − 38 0 −  −1   A = 0 −2    0 12 CHƯƠNG III: CÀI ĐẶT THUẬT TỐN Giao diện chương trình: Mã nguồn: function varargout = gaussltimmatrandao(varargin) gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, 'gui_Singleton', gui_Singleton, 'gui_OpeningFcn', @gaussltimmatrandao_OpeningFcn, 'gui_OutputFcn', @gaussltimmatrandao_OutputFcn, 'gui_LayoutFcn', [] , 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT function gaussltimmatrandao_OpeningFcn(hObject, handles, varargin) handles.output = hObject; eventdata, 13 % Update handles structure guidata(hObject, handles); function varargout = gaussltimmatrandao_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) varargout{1} = handles.output; function giai_Callback(hObject, eventdata, handles) a=get(handles.matran, 'string'); %gan gia tri o o nhap matran vao bien a n=get(handles.soN, 'string'); a=str2num(a); % doi ki tu string so n=str2num(n); clc; %xoa man hinh fprintf('Ma tran da cho: '); a %in ma tran a b=eye(n); %b la ma tran don vi c=zeros(n); %c la ma tran d=zeros(n); %d la ma tran fprintf('Bai giai'); z=[a b] %in z la ma tran a va ma tran don vi b for i=1:n if a(i,i)==0 %xet xem he co suy bien hay ko? fprintf('He suy bien'); msgbox('He suy bien, ko tinh duoc','Bao Cao') break %thoat vo dieu kien neu he suy bien end aii=a(i,i); for j=1:n a(i,j)=a(i,j)/aii; %chia ca phan tu cua a o hang thu i cho aii b(i,j)=b(i,j)/aii; %chia ca phan tu cua b o hang thu i cho aii c(j)=a(i,j); %luu lai gia tri cac phan tu cua ma tran a %o hang thu i vao ma tran c hang thu i d(j)=b(i,j); %luu lai gia tri cac phan tu cua ma tran b o hang thu i vao ma tran d hang thu i end for ii=i+1:n heso=-a(ii,i); %lay he so de nhan for j=1:n a(ii,j)=a(ii,j)+c(j)*heso; %bien doi he so cua a(i+1,j) b(ii,j)=b(ii,j)+d(j)*heso; %bien doi he so cua a(i+1,j) end end z=[a b] %in ma tran z sau moi lan bien doi 14 end %sau tinh xong o tren, ma tran a chuyen ma tran tam giac %tren,ma tran b chua tinh den ket qua % -% Bat dau qua trinh tinh ben doi ma tran a ve ma tran don vi % i=n; c=zeros(n); d=zeros(n); while i>=1 %vi ko dung duoc vong lap for tu so lon den so be %nen ta phai dung vong lap while %qua trinh tinh toan tuong tu j=n; while j>=1 c(j)=a(i,j); d(j)=b(i,j); j=j-1; end ii=i-1; while ii>=1 heso=-a(ii,i); j=n; while j>=1 a(ii,j)=a(ii,j)+c(j)*heso; b(ii,j)=b(ii,j)+d(j)*heso; j=j-1; end ii=ii-1; end z=[a b] i=i-1; end fprintf('Ma tran nghich dao la '); x=b %ket qua ma tran nghich dao la ma tran b set(handles.kq,'string', num2str(x)); % - Executes on button press in pushbutton2 function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) close function soN_Callback(hObject, eventdata, handles) function soN_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end function matran_Callback(hObject, eventdata, handles) function matran_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) 15 if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end Ví dụ minh họa: VD1: Tìm ma trận nghịch đảo: 1 3 A = 2 3   1 8   Nhập giá trị cho ma trận A: [1 3;2 3;1 8] Nhập giá trị cho n: Tính, Kết ra: − 40 16   13 − − 3    − − 1   Q trình tính matlab: Ma tran da cho: a= Bai giai z= 0 1 0 1 0 -3 -2 -1 z= -2 z= 0 -3 -2 0 -1 -5 z= 16 0 -3 -2 0 1 -14 13 -5 -3 0 1 0 -40 16 13 -5 -3 0 1 0 -40 16 13 -5 -3 0 -2 -1 z= -2 -1 z= -2 -1 z= -2 -1 Ma tran nghich dao la x= -40 16 13 -5 -3 -2 -1 VD2: Tìm ma trận nghịc đảo phương pháp Gauss: 2 4 A= 6  4 5 5 6 1  7  2 Nhập giá trị cho A: [2 6;4 1;6 7;4 2] Nhập giá trị cho n: Tính, kết quả: 0.0522  − 0.2995 − 0.0192 0.2445  02198 03077 − 1.1978 − 0.1209   − 0.0495 − 0.2692 − 0.0055 0.3022    0.0769 0.0220 − 0.2088  0.1978 Quá trình giải matlab 17 Ma tran da cho: a= 6 Bai giai z= 0 1 0 0 0 z= 1.0000 1.5000 2.5000 3.0000 0.5000 0 -1.0000 -8.0000 -11.0000 -2.0000 1.0000 0 0 -6.0000 -10.0000 -11.0000 -3.0000 1.0000 0 -1.0000 -4.0000 -10.0000 -2.0000 0 1.0000 z= 1.0000 1.5000 2.5000 1.0000 3.0000 0.5000 8.0000 11.0000 0 38.0000 55.0000 0 4.0000 1.0000 0 2.0000 -1.0000 0 9.0000 -6.0000 1.0000 0 -1.0000 1.0000 z= 1.0000 1.5000 2.5000 1.0000 3.0000 0.5000 8.0000 11.0000 2.0000 -1.0000 0 0 0 1.0000 1.4474 0.2368 -0.1579 0.0263 0 0 -4.7895 -0.9474 -0.3684 -0.1053 1.0000 z= 1.0000 1.5000 2.5000 1.0000 3.0000 0.5000 8.0000 11.0000 0 0 0 1.0000 1.4474 0.2368 -0.1579 0.0263 0 0 1.0000 2.0000 -1.0000 0.1978 0.0769 0.0220 -0.2088 z= 18 1.0000 1.5000 2.5000 1.0000 -0.0934 -0.2308 -0.0659 0.6264 8.0000 0 1.0000 0 -0.1758 -1.8462 -0.2418 2.2967 -0.0495 -0.2692 -0.0055 0.3022 1.0000 0.1978 0.0769 0.0220 -0.2088 z= 1.0000 1.5000 1.0000 0 0.0302 0.4423 -0.0522 -0.1291 0 0.2198 0.3077 -0.1978 -0.1209 0 1.0000 -0.0495 -0.2692 -0.0055 0.3022 0 1.0000 0.1978 0.0769 0.0220 -0.2088 z= 1.0000 0 -0.2995 -0.0192 0.2445 0.0522 1.0000 0 0.2198 0.3077 -0.1978 -0.1209 0 1.0000 -0.0495 -0.2692 -0.0055 0.3022 0 1.0000 0.1978 0.0769 0.0220 -0.2088 z= 1.0000 0 -0.2995 -0.0192 0.2445 0.0522 1.0000 0 0.2198 0.3077 -0.1978 -0.1209 0 1.0000 -0.0495 -0.2692 -0.0055 0.3022 0 1.0000 0.1978 0.0769 0.0220 -0.2088 Ma tran nghich dao la x= -0.2995 -0.0192 0.2445 0.0522 0.2198 0.3077 -0.1978 -0.1209 -0.0495 -0.2692 -0.0055 0.3022 0.1978 0.0769 0.0220 -0.2088 >> VD3: trường hợp phần tử trụ 0: 0  A = 5    3    Nhập A: [0 3;5 2;3 0] Nhập n: Kết quả: 19 Hệ suy biến khơng tính 20 ... 1. 500 0 2. 500 0 1 .00 00 3 .00 00 0. 500 0 8 .00 00 11 .00 00 0 38 .00 00 55 .00 00 0 4 .00 00 1 .00 00 0 2 .00 00 -1 .00 00 0 9 .00 00 -6 .00 00 1 .00 00 0 -1 .00 00 1 .00 00 z= 1 .00 00 1. 500 0 2. 500 0 1 .00 00 3 .00 00 0. 500 0 8 .00 00. .. z= 0 1 0 0 0 z= 1 .00 00 1. 500 0 2. 500 0 3 .00 00 0. 500 0 0 -1 .00 00 -8 .00 00 -11 .00 00 -2 .00 00 1 .00 00 0 0 -6 .00 00 - 10. 000 0 -11 .00 00 -3 .00 00 1 .00 00 0 -1 .00 00 -4 .00 00 - 10. 000 0 -2 .00 00 0 1 .00 00 z= 1 .00 00. .. 11 .00 00 2 .00 00 -1 .00 00 0 0 0 1 .00 00 1.4474 0. 2368 -0. 1579 0. 0263 0 0 -4.7895 -0. 9474 -0. 3684 -0. 105 3 1 .00 00 z= 1 .00 00 1. 500 0 2. 500 0 1 .00 00 3 .00 00 0. 500 0 8 .00 00 11 .00 00 0 0 0 1 .00 00 1.4474 0. 2368