các hệ tuyến tính.pdf

Tài liệu chia sẻ kiến thức về các hệ tuyến tính.

Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.1 Chương III: CÁC HỆ TUYẾN TÍNH • ĐẠI CƯƠNG. • HÀM HỆ THỐNG. • HÀM CHUYỂN PHỨC: (COMPLEX TRANSFER FUNTION). • CÁC MẠCH LỌC. • CÁC LỌC THỰC TẾ. • CÁC LỌC TÁC ĐỘNG. • TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG. • CÔNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG. • PHÂN TÍCH PHỔ. Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.2 I. ĐẠI CƯƠNG: Một hệ thống là một tập hợp những định luật liên kết một hàm thời gian ở ngỏ ra với mỗi hàm thời gian ơ ngỏ vào. Sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống vẽ ở hình 3. 1. r(t)s(t) Hình 3.1 - Input hay nguồn tin r(t). - Output hay đáp ứng của nguồn tin s(t). Cấu trúc vật lý thực tế của hệ xác định hệ thức chính xác giữa r(t) và s(t). Sự liên hệ giữa Input và Ouput được dùng ký hiệu là mũi tên một chiều. )t(s)t(r → Nếu hệ là một mạch điện, r(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện và s(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện được đo bất kỳ nơi đâu trong mạch.  Một hệ được nói là Chồng chất ( Superposition ) nếu đáp ứng do tổng các tín hiệu vào là tổng của các đáp ứng riêng tương ứng. Nghĩa là, nếu s1(t) là đáp ứng của r1(t) và s2(t) là đáp ứng của r2(t) thì đáp ứng của r1(t) + r2(t) là s1(t) + s2(t). Nếu )t(s)t(r11→)t(s)t(r22→ Thì: )t(s)t(s)t(r)t(r2121+→+ (3.1) Một khái niệm liên quan đến tính chồng chất là sự tuyến tính. Giả sử r1(t) → s1(t) và r2(t) → s2(t). Hệ thống được nói là tuyến tính nếu hệ thức sau đây được giữ đúng với mọi trị giá của các hằng a và b: )t(s.b)t(s.a)t(r.b)t(r.a2121+→+ (3.2) Một hệ thống được nói là “ Không đổi theo thời gian “ ( Time invariant ) nếu đáp ứng của một tín hiệu vào không phụ thuộc vào thời điểm mà tín hiệu đó tác động lên hệ. Một thời trễ ( Time shift ) trong tín hiệu vào sẽ gây ra một thời trễ bằng như vậy trong đáp ứng của nó : Nếu )t(s)t(r → Thì )tt(s)tt(r00−→− ,với mọi t0 thực. Một điều kiện đủ cho một mạch điện không đổi theo thời gian là các thành phần của nó có trị giá không đổi với thời gian ( giả sử các điều kiện đầu không đổi ). Đó là điện trở, tụ và cuộn cảm. II. HÀM HỆ THỐNG: Để đặc trưng hóa một hệ thống tuyến tính không đổi theo thời gian, ta có thể dùng một phương pháp rất đơn giản. Thay vì cấn biết đáp ứng của mỗi tín hiệu vào, ta chỉ cần biết đáp ứng của một tín hiệu thử (test input) mà thôi. Tín hiệu thử là xung lực. Xem phép chồng: r(t) = r(t) x δ (t) = rt∞∫ (3.3) d()( )τδ τ τ−−∞Ta xem tích phân là trường hợp giới hạn của một tổng: Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.3 (3.4) ∑∞−∞=→τ∆τ∆τ∆−δτ∆=n0)nt()n(rlim)t(rPhương trình (3.4) biểu diễn tổng trọng lượng của xung lực bị trễ. Như vậy, tín hiệu ra là một tổng các đáp ứng ra bị trễ của một xung lực duy nhất. Giả sử, ta biết đáp ứng ra của mạch do một xung lực duy nhất gây ra và ký hiệu đó là h(t) (đáp ứng xung lực). Vậy đáp ứng do tín hiệu vào của phương trình (3.4) là: (3.5) ∑∞−∞=→τ∆τ∆τ∆−τ∆=n0)nt(h)n(rlim)t(sNếu lấy giới hạn, nó trở thành tích phân: ∫∞∞−ττ−τ= d)t(h)(r)t(s (3.6) s(t) = r(t) x h(t) Phương trình (3.6) chứng tỏ rằng đáp ứng của bất kỳ tín hiệu vào nào cũng có thể tìm được bằng cách chồng nó với đáp ứng xung lực của hệ thống. Ảnh Fourier của xung lực là 1. Vậy một cách trực giác, ta thấy δ(t) chứa tất cả mọi tần số. Vì thế xung lực thường được xem như là một tín hiệu thử (Test Signal) cho hệ thống. Cho một xung lực ở ngỏ vào hệ thống, ngỏ ra ta có đáp ứng h(t). Căn cứ trên h(t), ta có thể xác định được những đặt trưng của hệ. Hình 3.2: Đáp ứng xung lực h(t) δ(t) Ta không thể tạo được một xung lực lý tưởng trong thực tế mà chỉ có thể xem nó xấp xỉ với một xung có biên độ thật lớn và rất hẹp. Lấy biến đổi F phương trình (3.6) : S(f) = R(f) H(f) (3.7) Hoặc (3.8) H(f) là hàm chuyển hoặc hàm hệ thống. R(f)S(f))f(H = III.HÀM CHUYỂN PHỨC: (complex transfer funtion) Hàm chuyển phức của một hệ là tỉ số phasor ở ngỏ ra và phasor ở ngỏ vào. Phasor là một số phức biểu diễn biên độ và pha của hàm sin. Tỉ số các phasor là một hàm phức của tần số. Trong trường hợp đặt biệt, ngõ vào là dòng điện và ngõ ra là điện thế, thì hàm chuyển phức là một tổng trở phức (complex impedance). Td: Xem Hình 3.3. Trong đó, i1 (t) là ngõ vào và v(t) là ngõ ra. Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.4 Hình 3.3 Hàm chuyển cho bởi: f4j1f4j)f(Hπ+π= (3.9) Nếu i2 (t) là Output, hàm chuyển là : f4j11)f(Hπ+= (3.10) Ta đã dùng cùng ký hiệu H(f) để chỉ hàm chuyển phức của hệ và đó cũng chính là ảnh Fourier của đáp ứng xung lực. H(f)=F[h(t)]IV.CÁC MẠCH LỌC: Các mạch lọc dùng để làm giảm thành phần tần số không mong muốn khỏi một sóng. Nhiều hệ thống thông tin có chứa các mạch lọc lý tưởng không làm méo tín hiệu. Một tín hiệu bị méo (distorted) khi dạng sóng cơ bản của nó bị biến dạng - Lưu ý là r(t) có thể được nhân bởi một hằng và bị dời (thời gian) mà không làm thay đổi dạng sóng cơ bản, trường hợp này không xem là tín hiệu bị méo. Xem A.r (t - t0) là một phiên bản của r(t) - Trong đó A và t0 là những hằng thực bất kỳ. A không thể bằng zero. F → Ar (t - t0) ↔ Ae- j2πf to R(f) (3.11) Ta xem đó như là Output của một hệ tuyến tính với input là r(t) và hàm hệ thống H(f) = Ae- j2πf to (3.12) H(f) là hàm phức, được vẽ ở Hình 3.4 (xuất và pha). C S Vin Thụng Phm Vn Tn Trang III.5 Hỡnh 3.4: Nhng c tớnh ca mt h khụng mộo. Lc h thụng lý tng. Mt lc h thụng lý tng l mt h tuyn tớnh, tỏc ng ging nh mt lc lý tng khụng mộo. Nhng thnh phn tn s ln hn tn s ct ca lc u b chn, khụng xut hin ng ra. Tn s ct l tn s cao nht c i qua mch lc, Ký hiu l fm. Hm h thng l: ><=mmftj2ff,0ff,Ae)f(H0 Hm chuyn ca mch h thụng lý tng c v Hỡnh 3.5. Nh l, vỡ h(t) thỡ thc, nờn sut ca H(f) thỡ chn v pha thỡ l. (Hỡnh 3.4) Hỡnh 3.5: c tớnh ca lc h thụng lý tng. )f(H)f(Hphfm -fm -fm fm A ỏp ng xung` lc ca lc h thụng lý tng cú c bng cỏch tớnh bin i F ngc. (3.13) df eAeff)t(hftj2ftj2mm0= )t(t)t-(tfAsin2=oom fm Hỡnh 3.6: ỏp ng xung lc ca h thụng lý tng. Lc dóy thụng lý tng: Lc dóy thụng lý tng cho qua nhng tn s gia hai tn s khỏc khụng, fL v fH. Nú tỏc ng nh mt h khụng mộo lý tng, tớn hiu ra khụng cha nhng thnh phn tn s nm ngoi dóy thụng lc. Hm h thng ca nú: <<=khaùcPhỏửn ,0fff,Ae)f(HHLftj20 (3.14) Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.6 Hình 3.7: Hàm hệ thống của lọc dãy thông lý tưởng. Đáp ứng xung lực của lọc, có thể tính bằng càch F -1 của H(f). (Khai triển từ đáp ứng xung lực của lọc hạ thông và dùng định lý dời tần). Hàm hệ thống có thể viết : ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=2fffH2fffH)f(HHLLPHLLP (3.15) 2ffHL−2ffLH−-fH -fL fH fL Hình 3.8: Đặc tính của lọc dãy và hạ thông. Nếu ta định nghĩa điểm giữa (midpoint) của dãy thông (trung bình của fL và fH) là fav : 2fffHLav+= Đáp ứng xung lực cho bởi: h(t) = hLP(t)ej2πfavt + hLP(t) e-j2πfavt = 2hLP(t)cos2πfavt= 2hLP(t)cos[π (fL + fH)t ] (3.16) Từ pt (3.13) ta có : t)tf(fAsin)t(hLHLPπ−π= (3.17) Kết hợp (3.16) và (3.17) thêm vào tính chất dời thời gian, ta tìm được đáp ứng xung lực của dãy thông lý tưởng: ( )( )[ ]( )( )[ ]()00HL0LHttttffcosttff2Asinh(t)−π−+π−−π= (3.18) Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.7 Hình 3.9: Đáp ứng của lọc dãy thông lý tưởng Dạng sóng của đáp ứng xung lực tương tự như của lọc hạ thông. Khi 2 tần số giới hạn trở nên lớn so với hiệu số giữa chúng, đáp ứng xung lực giống đường chấm chấm (đáp ứng xung lực của lọc hạ thông và ảnh qua gương của nó ). Điều đó xảy ra khi tần số của dãy lọc lớn hơn so với bề rộng của dãy thông. Nhận xét này có ý nghĩa khi ta khảo sát về sự biến điệu AM. Sự Méo Dạng: Méo tuyến tính có thể gây ra những vấn đề trong các hệ thống truyền xung hoặc trong thông tin số. Sự méo này được đặc trưng bởi thời gian lan tỏa (spreading) do hiệu ứng nhiều đường hoặc do đặc tính của kênh. H(f) = A(f)e-jθ(f) (3.19) A(f): Thừa số biên độ ; θ(f): Thừa số pha. Sự méo dạng sinh ra từ hai thừa số phụ thuộc tần số ở phương trình (3.19). Nếu A(f) không là hằng, ta có sự méo biên độ. Nếu θ(f) không tuyến tính với f, ta có sự méo pha. Méo biên độ. Trước hết Giả sử θ(f) tuyến tính với f. Hàm chuyển có dạng: H(f) = A(f)e-j2πfto (3.20) Trong đó hằng số tỉ lệ của pha là t0 , vì nó biểu diễn cho thời trễ của kênh. Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển A(f) thành chuổi Fonrier. ∑∞==0nHn(f))f(H (3.21) Các hạng của tổng có dạng 0ft2jmnne.ffncosa)f(Hπ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛π= (3.22) Chúng ta có thể liên kết với lọc Cosine, mà đặc tuyến biên độ cho sóng Cosine trong dãy thông như hình 3.10 (với n = 2). Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.8 Hình 3.10: Lọc cosine Hàm hệ thống của lọc này là: 0ft2jme.ff2acosA)f(Hπ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛π+= ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−π+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−π+=π−omomft2jtf1fj2exptf1fj2expae.A0 Nếu input là r(t) vào lọc cosine bị giới hạn bởi băng tần thì Output là: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++−=omom0tf1tr2atf1tr2a)tt(r.A)t(s (3.23) Phương trình (3.23) cho thấy đáp ứng có dạng của một phiên bản không méo của input cộng thêm 2 phiên bản bị dời thời gian (time - shifted) ( tiếng vang / đa lộ ) echoes/multipaths. Trở lại trường hợp lọc tổng quát, ta thấy Output của một hệ với sự méo biên độ là một tổng các input bị trễ. Vậy với: ∑∞=π−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛π=0nft2jmn0e.ffncos a)f(H (3.24) Thì Output do một input r(t) là : s(t)a2rtn2ftrtn2ftnn0momo=+−⎛⎝⎜⎞⎠⎟+− −⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∞∑ (3.25) Thí dụ: Xem lọc có đặc tính tam giác như Hình 3.11. Giả sử pha thì tuyến tính, với độ dốc -2πt0. Tìm Output của mạch này khi input là tt400sin)t(rπ= Hình 3.11 Giải : Khai triển H(f) thành chuổi F 1000f5cos2541000f3cos941000fcos4r21)f(H222+ππ+ππ+ππ+= Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.9 r(t) bị giới hạn trong khoảng sao cho tất cả tần số đều qua mạch lọc. Điều này đúng vì R(f) = 0 tại các tần số trên 200/2π và mạch lọc cắt tại f = 1000/π. Nếu ta giữ 3 số hạng khác không đầu tiên thì Output sẽ là: s(t) = r(t) * h(t). ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−π++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−π−π+−=oo2ot1000trt1000tr2ttr21)t(s +−−⎛⎝⎜⎞⎠⎟++ −⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎡⎣⎢⎤⎦⎥29rt31000trt31000t200πππ Kết quả này được vẽ như hình 3.12 với to = 0,05 sec. Những đỉnh đánh dấu X là những đỉnh không méo của s(t). Hình 3.12 Méo pha : Sự thay đổi pha từ trường hợp không méo (pha tuyến tính) có thể được đặc trưng bằng sự thay đổi độ dốc của đặc tuyến pha và đặc tuyến của một đường từ gốc đến một điểm trên đường cong đặc tuyến. Ta định nghĩa Trễ nhóm (Group delay hay trễ bao hình) và trễ pha (Phase delay) như sau: tgr (f) df)f(dθ tph (f) θπ(f)f2 (3.26) Hình 3.13 : Trễ nhóm và trễ pha. * Đối với một kênh Không méo lý tưởng, đặc tuyến pha là một đường thẳng. Vậy trễ nhóm và trễ pha đều không đổi với mọi f. Thật vậy, cả hai sẽ bằng với thời trễ t0 của tín hiệu vào. Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.10 V.CÁC LỌC THỰC TẾ: Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thông và hạ thông lý tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của H(f) có thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta có thể khảo sát những hậu quả của sự thay đổi từ tính chất biên độ không đổi hoặc từ tính chất tuyến tính của pha của hàm hệ thống của lọc lý tưởng. Lọc hạ thông: Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc hạ thông là mạch chỉ chứa một thành phần tích trữ năng lượng. Thí dụ mạch RC như Hình 3.13 . Điều này đúng, vì khi tần số tăng, tụ xem như bị nối tắt. i(t)Hình 3.13: Lọc hạ thông RC Hàm chuyển: H(f)1/ j2 fCR(1/j2fC)11j2fRC=+=+πππ (3.27) Suất và pha: 2)fRC2(11)f(Hπ+= θ (f) = - tan-1 (2πfRC) Nếu đặt RC =12π, suất của hàm chuyển giảm đến 12 tại tần số 1 Hz. Ta gọi đó là tần số cắt 3 db của lọc. Hình 3. 14 chỉ suất và pha của mạch RC, so sánh với đường cong độ lợi của một lọc hạ thông lý tưởng có tần số cắt 1Hz. [...]... Thông Phạm Văn Tấn Trang III.18 Hình 3.24: Lọc hạ thơng tác động Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn Trang III.1 Chương III: CÁC HỆ TUYẾN TÍNH • ĐẠI CƯƠNG. • HÀM HỆ THỐNG. • HÀM CHUYỂN PHỨC: (COMPLEX TRANSFER FUNTION). • CÁC MẠCH LỌC. • CÁC LỌC THỰC TẾ. • CÁC LỌC TÁC ĐỘNG. • TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG. • CƠNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG. • PHÂN TÍCH PHỔ. Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn... cũng có thể tìm được bằng cách chồng nó với đáp ứng xung lực của hệ thống. Ảnh Fourier của xung lực là 1. Vậy một cách trực giác, ta thấy δ(t) chứa tất cả mọi tần số. Vì thế xung lực thường được xem như là một tín hiệu thử (Test Signal) cho hệ thống. Cho một xung lực ở ngỏ vào hệ thống, ngỏ ra ta có đáp ứng h(t). Căn cứ trên h(t), ta có thể xác định được những đặt trưng của hệ. Hình 3.2: Đáp... thiết kế một hệ thông tin là khổ băng (band width, độ rộng băng ) của hệ thống. Khổ băng là khoảng tần số của hệ có khả năng hoạt động. Khổ băng có liên quan đến biến đổi f của hàm thời gian. Nó khơng thể xác định trực tiếp từ các số hạng của hàm, trừ khi ta dùng các biểu thức trực quan về sự thay đổi trị giá của hàm nhanh đến mức nào. Những đại lượng vật lý quan trọng trong việc thiết kế hệ thông... hấp thu năng lượng tín hiệu mong muốn, như các lọc thụ động. Chúng có nhiều khả năng được thiết kế đơn giản và các hàm chuyển có thể thực hiện được (Trong khi các lọc thụ động, trong vài áp dụng, thí dụ lọc audio, cần đến rất nhiều cuộn cảm và tụ ). Bộ phận cơ bản xây dựng các lọc tác động là op.amp. Các tính chất của op.amp, việc phân tích và thiết kế các lọc tác độ ng là phần rất quan trọng của... III.10 V.CÁC LỌC THỰC TẾ: Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thông và hạ thông lý tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của H(f) có thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta có thể khảo sát những hậu quả của sự thay đổi từ tính chất biên độ khơng đổ i hoặc từ tính chất tuyến tính của pha của hàm hệ thống... f L = 0,25Hz là các điểm 3db nhớ là hệ số Q của mạch RLC thì rất thấp vì tỉ số của độ rộng kênh và tần số giữa gần bằng 1. VI.CÁC LỌC TÁC ĐỘNG: Ở phần trên ta đã khảo sát vài mạch lọc thực tế đơn giản dùng cuộn cảm, tụ và điện trở. Những mạch lọc như vậy gọi là lọc thụ động, vì tất cả các thành phần ấy hoặc hấp thu hoặc tích trữ năng lượng. Một mạch lọc gọi là tác động nếu nó chứa các thành phần... 6 2 )f2(1 1 )f(H π+ Đổi nó về biến đổi laplace bằng cách đặt s = j2 π f. Quan sát vị trí tương đối của các lực và zero của hàm: 6 2 S1 1 )s(H).s(H)s(H − =−= Các lực của ⏐ H(s) ⏐ 2 là 6 nghiệm đơn vị. Chúng cách điều nhau quanh vòng tròn đơn vị. Ba cực kết hợp với H(S) ba nữa mặt phẳng trái. Ba cực kia với H(-S). Vậy H(S) được tính từ các lực của nó: 1S2S2S 1 )PS)(PS)(PS( 1 )S(H 23 321 +++ = −−− = ... khơng méo (pha tuyến tính) có thể được đặc trưng bằng sự thay đổi độ dốc của đặc tuyến pha và đặc tuyến của một đường từ gốc đến một điểm trên đường cong đặc tuyến. Ta định nghĩa Trễ nhóm (Group delay hay trễ bao hình) và trễ pha (Phase delay) như sau: t gr (f) df )f(d θ t ph (f) θ π (f) f2 (3.26) Hình 3.13 : Trễ nhóm và trễ pha. * Đối với một kênh Không méo lý tưởng, đặc tuyến pha... θ (f) khơng tuyến tính với f, ta có sự méo pha. Méo biên độ. Trước hết Giả sử θ (f) tuyến tính với f. Hàm chuyển có dạng: H(f) = A(f) e - j2πf t o (3.20) Trong đó hằng số tỉ lệ của pha là t 0 , vì nó biểu diễn cho thời trễ của kênh. Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển A(f) thành chuổi Fonrier. ∑ ∞ = = 0n Hn(f))f(H (3.21) Các hạng của... qua gương của nó ). Điều đó xảy ra khi tần số củ a dãy lọc lớn hơn so với bề rộng của dãy thơng. Nhận xét này có ý nghĩa khi ta khảo sát về sự biến điệu AM. Sự Méo Dạng: Méo tuyến tính có thể gây ra những vấn đề trong các hệ thống truyền xung hoặc trong thông tin số. Sự méo này được đặc trưng bởi thời gian lan tỏa (spreading) do hiệu ứng nhiều đường hoặc do đặc tính của kênh. H(f) = A(f) e -jθ(f) . III: CÁC HỆ TUYẾN TÍNH • ĐẠI CƯƠNG. • HÀM HỆ THỐNG. • HÀM CHUYỂN PHỨC: (COMPLEX TRANSFER FUNTION). • CÁC MẠCH LỌC. • CÁC LỌC THỰC TẾ. • CÁC LỌC. niệm liên quan đến tính chồng chất là sự tuyến tính. Giả sử r1(t) → s1(t) và r2(t) → s2(t). Hệ thống được nói là tuyến tính nếu hệ thức sau đây được