Giáo trình các tập hợp số.pdf

Tài liệu Giáo trình các tập hợp số.

CÁC TẬP HỢP SỐ Chủ đề TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU A KIẾN THỨC Cung cấp cho người học kiến thức về: – Xây dựng tập số hữu tỉ không âm phép tốn tập số hữu tỉ khơng âm; – Tập số thập phân phép toán tập số thập phân; – Cơ sở toán học nội dung dạy phân số số thập phân Tiểu học; – Xây dựng tập số hữu tỉ tập số thực B KĨ NĂNG Hình thành rèn cho người học kĩ năng: – Giải toán tập số hữu tỉ không âm số thập phân không âm; – Giải toán phân số số thập phân Tiểu học C THÁI ĐỘ Chủ động tìm tịi khám phá phát sở tốn học việc dạy học phân số số thập phân Tiểu học D GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ STT Tên tiểu chủ đề Trang Xây dựng tập số hữu tỉ khơng âm 114 Các phép tốn tập số hữu tỉ không âm 120 Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm 129 Tập số hữu tỉ không âm phân số chương trình mơn Tốn Tiểu học 133 Tập số thập phân không âm 142 Số thập phân chương trình mơn Tốn Tiểu học 152 Tập số hữu tỉ 164 Tập số thực 171 113 CÁC TẬP HỢP SỐ TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1 XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN Trong toán học sống hàng ngày ta thường gặp tốn: – Tìm thương phép chia: a) 25 : 6; b) : 5; c) 17 : 7; – Dùng đơn vị mét để biểu diễn số đo: 1m, 2dm, 5cm 25cm – Dùng đơn vị kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g 1245g Trong phạm vi tập số tự nhiên, toán khơng có lời giải Do địi hỏi, nhu cầu thực tiễn toán học, đời sống lao động sản xuất, thường xuyên phải tìm lời giải cho toán (theo nghĩa đấy) Vì vậy, đặt cho nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm số mới, để tập hợp số nhận này, tìm lời giải tốn thuộc dạng nêu Khi tính tốn, thường xuyên vận dụng tính chất phép toán phân số, số thập phân Chẳng hạn: – Tính chất giao hốn a + b = b + a a × b = b × a – Tính chất kết hợp (a + b) + c = a + (b + c); (a × b) × c = a × (b × c) – Tính chất phân phối a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b – c) = a × b – a × c – Tính chất số a + = a – Tính chất số a × = a v.v… Những tính chất, quy tắc thực hành tính tốn học sinh thường tiếp nhận hình thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh cách chặt chẽ Giáo viên thường minh hoạ tính đắn chúng thơng qua số ví dụ cụ thể Chẳng hạn, thơng qua tốn: 114 CÁC TẬP HỢP SỐ Tính so sánh kết (xem [1], trang 65) a 2,4 6,5 8,2 b 3,8 2,7 1,8 c 1,2 0,8 14,7 (a + b) x c axc+bxc Từ toán này, giáo viên rút cho học sinh quy tắc: Muốn nhân tổng với số, ta nhân số hạng tổng với số cộng kết lại hay: (a + b) × c = a × c + b × c Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu cách thụ động, khơng nắm sở lí luận quy tắc Tuy nhiên, với giáo sinh, người giảng dạy phổ thông sau này, việc nắm sở lí luận vấn đề nêu điều thiết thực bổ ích Vì hai lí nêu trên, cần mở rộng tập số tự nhiên thêm số để tập hợp số (mà ta gọi tập số hữu tỉ không âm), phép chia số tự nhiên (cho số tự nhiên khác 0) thực được, số đo phép đo đại lượng biểu diễn được, quy tắc thực hành tính tốn với phân số số thập phân chứng minh chặt chẽ Ta sử dụng kí hiệu N (hoặc N*) để tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0) – Cho phân số = = Từ phổ thông ta biết: = =… Như vậy, phân số phân số – Tương tự, cho phân số = = 12 = 12 16 1 tạo thành lớp { ; ; ; ;…} 2 Ta có: =… Như vậy, phân số phân số 3 12 tạo thành lớp { ; ; ; ; } 4 12 16 Bằng cách này, ta phân chia phân số thành lớp mà lớp gồm phân số 115 CÁC TẬP HỢP SỐ Ý tưởng thể ngơn ngữ tốn học đại sau: Mỗi cặp thứ tự (a; b), a ∈ N b ∈ N* ta gọi phân số không âm (hay gọn, ta gọi phân số) Tập tất phân số kí hiệu P Như vậy: P = N × N* Để cho tiện, ta sử dụng kí hiệu phân số Như vậy: P = { a để phân số (a; b), a tử số, b mẫu số b a với a ∈ N b ∈ N*} b Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai “e” sau: với tương đương với phân số a c a ; ∈ P, ta nói phân số b d b c a c , kí hiệu e , khi: ad = bc d b d Ví dụ: a) b) c) e 12 e × 12 = × (= 12); 15 12 20 ỗ 12 12 × 20 = 12 × 15 (= 180); × 12 ≠ 12 × Từ định nghĩa ta có: – Rõ ràng – Nếu a a e hay quan hệ hai ngơi e có tính chất phản xạ (1) b b a c c a e ad = bc Suy cb = da Vậy e b d d b Từ suy quan hệ e có tính chất đối xứng (2) – Giả sử a c c m e e Từ định nghĩa ta có: ad = bc cn = dm Nhân hai vế đẳng b d d n thức thứ với n ta có: adn = bcn Từ suy ra: adn = bdm hay an = bm Thành thử a m e b n Kết cho ta thấy quan hệ hai ngơi e có tính chất bắc cầu (3) Từ (1); (2); (3) ta suy e quan hệ tương đương xác định tập phân số P 116 CÁC TẬP HỢP SỐ Áp dụng định lí tập thương (xem [2]), ta phân chia tập P theo quan hệ tương đương e nhận tập thương P/e Ta gọi tập thương P/e tập số hữu tỉ khơng âm kí hiệu Q+ Mỗi phần tử tập Q+ ta gọi số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta gọi số hữu tỉ) – Giả sử r ∈ Q+ Như r xác định lớp phân số tương đương với phân số đó, tức r = C( a b a m m a a ) hay r = { ∈ P e } Một phân số thuộc lớp C( ) ta gọi n n b b b đại diện số hữu tỉ r a c a c e phân số phân số (theo nghĩa ta b d b d a hiểu trường phổ thông) Thành thử, số hữu tỉ r = C( ) lớp phân số b a phân số cho trước Chẳng hạn: b Mặt khác, ta lại thấy: C( ) ={ ; ; ; ; }; Để cho gọn, ta dùng kí hiệu số hữu tỉ r = C( ), C( 3 12 )={ ; ; ; ;…} 4 12 16 a a để số hữu tỉ r = C( ) Chẳng hạn, ta kí hiệu để b b để số hữu tỉ r = C( – Giả sử hai phân số tối giản p p' ) đại diện số hữu tỉ r Suy ra, q q' qp’, UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = p p' e hay pq’ = q q' Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = nên p | p’ Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà UCLN(p’, q’) = nên p’ | p Từ đó, ta suy p = p’ q = q’ Vậy số hữu tỉ khơng âm có phân số đại diện phân số tối giản Khi nói đến phân số đại diện số hữu tỉ, ta thường hiểu phân số tối giản nói – Mỗi số tự nhiên a biểu diễn dạng phân số xác định số hữu tỉ r có phân số đại diện a a , vậy, số tự nhiên a Thành thử, tập số tự nhiên N coi phận tập số hữu tỉ Q+ Ta quy ước: số hữu tỉ xác định C( ) xác định C( ) 1 117 CÁC TẬP HỢP SỐ HOẠT ĐỘNG TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHƠNG ÂM NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thơng tin để thực nhiệm vụ nêu hoạt động Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày tổng kết chung cho lớp NHIỆM VỤ 1: Nêu hạn chế thực hành phép chia số tự nhiên NHIỆM VỤ 2: Nêu hạn chế tập số tự nhiên việc biểu diễn số đo phép đo đại lượng NHIỆM VỤ 3: Nêu khó khăn việc chứng minh tính chất, quy tắc thực hành phép tính, thực hành so sánh số thập phân so sánh phân số trường phổ thơng ĐÁNH GIÁ Nêu lí phải mở rộng tập số tự nhiên để tập số hữu tỉ khơng âm HOẠT ĐỘNG TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Q+ TỪ TẬP SỐ TỰ NHIÊN N NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Đọc tài liệu để hiểu khái niệm phân số không âm NHIỆM VỤ 2: Vẽ lược đồ biểu diễn q trình xây dựng tập số hữu tỉ khơng âm Q+ NHIỆM VỤ 3: Đọc tài liệu để hiểu: + Khái niệm số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện số hữu tỉ; 118 CÁC TẬP HỢP SỐ + Bản chất số hữu tỉ, tập số hữu tỉ cách kí hiệu số hữu tỉ; + Mối quan hệ tập số tự nhiên tập số hữu tỉ ĐÁNH GIÁ Điền Đ (đúng) S (sai) vào ô trống a) 15 e F 21 c) 7e 14 F b) 14 e F 18 d) 45 e F 25 Xác định tập hợp phân số xác định số hữu tỉ ; a) r= c) r = 0; ; b) r= d) r = Chứng minh phân số phân số a cho trước, có b phân số tối giản 119 CÁC TẬP HỢP SỐ TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2 CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN 3.2.1 Phép cộng phép nhân Cho hai phân số Từ trường phổ thông ta biết: 4 × + 3× 41 + = = 7× 35 4 × 12 × = = 7 × 35 v.v Từ ta đến toán: Cho hai số hữu tỉ r = C( ); s = C( ) Ta tìm tổng, hiệu, tích, thương hai số hữu tỉ theo nghĩa khơng? Như phần ta biết, số hữu tỉ C( ) (hoặc C( )) xác định lớp phân số phân số (hoặc ) Chọn phân số lớp ta đại diện số hữu tỉ Ngược lại, có phân số đại diện số hữu tỉ số hữu tỉ hồn tồn xác định phân số đại diện Từ phân tích đây, ta đến ý tưởng tìm tổng hai số hữu tỉ sau: 4 41 C( ) + C( ) = C( + ) = C( ) 7 35 Hay tổng hai số hữu tỉ r = C( ) s = C( ) số hữu tỉ có phân số đại diện tổng phân số đại diện hai số hữu tỉ Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương hai số hữu tỉ Một cách tổng quát, ta đến định nghĩa 120 CÁC TẬP HỢP SỐ Định nghĩa 2.1: Cho hai số hữu tỉ r s có phân số đại diện a c tương ứng Ta gọi: b d a) Tổng hai số hữu tỉ r s số hữu tỉ t, kí hiệu t = r + s, đó, số hữu tỉ t có ad + bc a c ad + bc hay C( ) + C( ) = C( ) phân số đại diện bd b d bd * Quy tắc cho tương ứng cặp số hữu tỉ r s với số hữu tỉ t nói gọi phép cộng số hữu tỉ khơng âm, r s gọi số hạng, t gọi tổng b) Tích hai số hữu tỉ r s số hữu tỉ p, kí hiệu p = r × s (hoặc r.s rs), đó, ac a c ac số hữu tỉ p có phân số đại diện hay C( ) × C( ) = C( ) bd b d bd * Quy tắc cho tương ứng cặp số hữu tỉ r s với số hữu tỉ p nói gọi phép nhân số hữu tỉ khơng âm, r s gọi thừa số, p gọi tích Ta có: 10 = = + × 13 + = = 2× 10 × + 10 × 104 + = = 8× 48 Vậy 13 104 = 48 Như phải 10 C( ) + C( ) = C( ) + C( )? Một cách tổng quát, giả sử a a' c hai phân số đại diện số hữu tỉ r; b b' d c' hai phân số đại diện số hữu tỉ s Theo định nghĩa: d' a a' c c' e e b b' d d' Hay ab’ = a’b cd’ = c’d Nhân hai vế đẳng thức thứ với dd’ đẳng thức thứ hai với bb’ ta được: ab’dd’ = a’bdd’ 121 CÁC TẬP HỢP SỐ cd’bb’ = c’dbb’ Cộng vế với vế hai đẳng thức ta (ac + bc)b’d’ = (a’d’ + b’c’)bd Hay C( ad + bc a'd' + b'c' a c a' c' ) = C( ) Vậy C( ) + C( ) = C( ) + C( ) bd b'd' b d b' d' Từ kết trên, ta rút ra: – Tính chất 2.1: Tổng hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện chúng Tương tự ta có: – Tính chất 2.2: Tích hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện chúng Ví dụ 2.1: Cho hai số hữu tỉ r = 25 s = 15 12 Ta có: 25 × 12 + 25 × 15 273 91 + = = = 15 12 15 × 12 180 60 25 100 r×s= × = = 15 12 180 Định lí 2.1: Tính chất phép cộng phép nhân số hữu tỉ không âm r+s= Phép cộng phép nhân số hữu tỉ không âm thoả mãn tính chất sau: a) Tính giao hốn: r + s = s + r rs = sr với r, s ∈ Q+ b) Tính kết hợp: (r + s) + t = r + (s + t) (rs)t = r(st) với r, s, t ∈ Q+ c) Phần tử trung lập: Tồn số hữu tỉ số hữu tỉ cho r + = r r × = r Ta gọi phần tử trung hoà phép cộng phần tử đơn vị phép nhân d) Luật giản ước: Nếu r + t = s + t r = s với t ∈ Q+ rt = st r = s với t ∈ Q+, t ≠ e) Tính chất phân phối: r(s + t) = rs + rt với r, s, t ∈ Q+ f) Phần tử nghịch đảo: 122 ... tương đương xác định tập phân số P 116 CÁC TẬP HỢP SỐ Áp dụng định lí tập thương (xem [2]), ta phân chia tập P theo quan hệ tương đương e nhận tập thương P/e Ta gọi tập thương P/e tập số hữu tỉ không... diễn trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q+ NHIỆM VỤ 3: Đọc tài liệu để hiểu: + Khái niệm số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện số hữu tỉ; 118 CÁC TẬP HỢP SỐ + Bản chất số hữu tỉ, tập số... nhiên a Thành thử, tập số tự nhiên N coi phận tập số hữu tỉ Q+ Ta quy ước: số hữu tỉ xác định C( ) xác định C( ) 1 117 CÁC TẬP HỢP SỐ HOẠT ĐỘNG TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG