Líi nâi ¦uChinh phöc b§t cù mët sü khâ kh«n n o luæn em l¤i cho ng÷íi ta mët ni·m vui s÷îng th¦m l°ng,bði i·u â công câ ngh¾a l ©y lòi mët ÷íng ranh giîi v t«ng th¶m tü do cõa b£n th¥n.Quyºn s¡ch n y ¸n vîi c¡c b¤n ch½nh l bt nguçn tø c¥u tri¸t l½ §y. Vîi mong muèn em l¤ini·m y¶u th½ch v say m¶ cho c¡c b¤n v· mët m£ng to¡n khâ trong ch÷ìng tr¼nh to¡n håc cõa trunghåc phê thæng nh÷ng ©n chùa trong nâ bi¸t bao nhi¶u i·u thó và v am m¶. â ch½nh l b i to¡nv· B§t ¯ng thùc. Quyºn s¡ch c¡c b¤n ang åc l sü têng hñp tø c¡c b i to¡n hay v c¡ch gi£ithªt ìn gi£n ch¿ sû döng nhúng ch§t li»u th÷íng g°p trong ch÷ìng tr¼nh trung håc phê thæng,nh÷ng l¤i mang ¸n sü hi»u qu£ còng nhúng i·u thó và ¸n b§t ngí m ban qu£n trà di¹n nhttp:boxmath.vn bi¶n tªp l¤i tø c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc tr¶n di¹n n, nh¬m mang l¤i choc¡c b¤n mët t i li»u håc tªp tèt nh§t. V ban bi¶n tªp xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v k½nh trångtîi th¦y gi¡o Ch¥u Ngåc Hòng THPT Ninh H£i Ninh Thuªn ¢ nhi»t t¼nh hé trñ k¾ thuªt v·Latex, çng thíi c£m ìn c¡c b¤n ¢ tham gia gûi b i, gi£i b i tr¶n di¹n n. Ch½nh sü nhi»t huy¸tcõa c¡c b¤n ¢ em ¸n sü ra íi cõa quyºn s¡ch n y.Méi b÷îc i º d¨n ¸n th nh cæng trong b§t k¼ l¾nh vüc n o cõa cuëc sèng luæn gn k¸t vîi sü am m¶, t¼m tái, håc häi v cht låc kinh nghi»m. V¼ th¸ qua quyºn s¡ch n y hy vång c¡c b¤n s³t¼m ÷ñc cho m¼nh nhúng g¼ c¦n thi¸t nh§t cho h÷îng gi£i quy¸t mët b i to¡n b§t ¯ng thùc. º câ ÷ñc i·u â c¡c b¤n h¢y xem quyºn s¡ch nh÷ mët ng÷íi b¤n v åc quyºn s¡ch nh÷ c¡c b¤n ang èi ng¨u say m¶ vîi ng÷íi b¤n tri k n y vªyV quyºn s¡ch n y công mong muèn mang ¸n cho c¡c th¦y cæ câ th¶m t÷ li»u º phöc vö trongvi»c gi£ng d¤y v gieo cho c¡c håc sinh cõa m¼nh ni·m y¶u th½ch v am m¶ trong c¡c b i to¡n b§t
[...]... = a + b + c = 4 + x + 5 + y + 6 + z ≥ 15 + x + y + z ≥ 16 Vậy SM IN = 16 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 4, b = 5, c = 7 Chú ý: việc tìm ra điều kiện x + y + z ≥ 1 chỉ là điều kiện cần của bài toán Bài toán được coi là hoàn tất khi chỉ ra được dấu bằng Cách 2 Do a2 + b2 + c2 = 90 nên ta sẽ có các điều kiện rộng và hệ quả sau đây a2 + 36 4 ≤ a < 9 ⇒ (a − 4)(9 − a) ≥ 0 ⇔ a ≥ 13 b2 + 40 5 ≤ b < 8 ⇒... + c + 3)2 =2 1 2 (a + b + c + 3) 2 3 1 ⇒ − P ≥ 2 2 2 1 ⇔P ≤ 2 Bài toán hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài 30 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 + 2 + 2 P = 2 x +1 y +1 z +1 M≥ Lời giải: Cách 1 Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z Do xy + yz + zx = 3 ⇒ yz ≥ 1 Ta có bổ đề: 1 1 2 + 2 ≥ y2 + 1 z + 1 yz + 1 Thật vậy, ta có: (y 2 + z 2 +... giải: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có P = 1 1 9 1 + + ≥ xy + 2 yz + 2 zx + 2 xy + yz + zx + 6 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Suy ra: P ≥ a2 + b2 9 =1 + c2 + 6 Bài toán được hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Bài 20 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng √ 5 a(a + c)(2a + b) + 5 b(b + a)(2b + c) + 5 c(c + b)(2c... ⇒ a2 + b2 + c2 < (a + b + c)2 = 9 1 TH1: Giả sử 1 trong 3 số a, b, c nhở hơn 3 http://boxmath.vn/ 20 1 1 1 + 2 + 2 > 9 Bất đẳng thức luôn đúng trong trường hợp 2 a b c 7 1 TH2: Giả sử cả 3 số a, b, c đều lớn hơn Do a + b + c = 3 ⇒ a, b, c ≤ 3 3 Ta có: 1 −(a − 1)2 (a2 − 2a − 1) − a2 − (−4a + 4) = , ∀a ∈ a2 a2 Khi đó tổng này 1 7 , 3 3 Suy ra: 1 − a2 ≥ −4a + 4 2 a Tương tự ta có: 1 − b2 ≥ −4b + 4 2... 1 y+z+z 1 + + ≥3⇔ ≥ 1 1 1 3y 3z 3z 3 + + 3y 3z 3z 1 1 1 3 2(z + x + x) 1 + + ≥ ≥ ⇔ 1 1 1 6z 6x 6x 2 3 + + 3z 3x 3x thức trên ta được 1 1 1 2 1 x+ 2 + y+ 2 + z = (13x + 5y + 12z) = 1 9 3 3 3 9 ≥9⇔ Bài toán được hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 10 Bài 23 Cho a, b, c > 0, ab ≥ 12, bc ≥ 8 Chứng minh rằng: 1 1 1 8 121 S =a+b+c+2 + + + ≥ ab bc ca abc 12 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức... + bc + ca)2 ≥ 3 (a2 bc + ab2 c + abc2 ) = 3abc(a + b + c) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: (ac)2 (bc)2 (ab)2 (ab + bc + ca)2 3 + + ≥ ≥ abc(b + c) abc(a + b) abc(c + a) 2abc(a + b + c) 2 1 Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài 16 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của 81 1 + a2 b + b 2 c + c 2 a + P = 100 +... ≤ c ≤ 7 ⇒ (c − 6)(7 − c) ≥ 0 ⇔ c ≥ 13 Cộng vế theo vế ta được a2 + b2 + c2 + 42 + 36 + 40 = 16 S =a+b+c≥ 13 Vậy SM IN = 16 http://boxmath.vn/ 24 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 4, b = 5, c = 7 Bài toán hoàn tất Bài 28 Cho a > b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2a + 32 (a − b)(2b + 3)2 Lời giải: Cách 1 Biểu thức được viết lại như sau: 32 2b + 3 2b + 3 + + −3 2 2 (a − b)(2b + 3)2 Áp dụng bất đẳng... 2t t 2(9 − 2t) 2 t t Theo bất đẳng thức AM-GM ta có t 9 − 2t + ≥ 3, 2(9 − 2t) 2 18 2t + ≥ 12 t 9 Mặt khác ≥ 3 t Vì vậy P ≥ 95 + 3 + 12 + 3 = 113 Kết luận: PM IN = 113 khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài toán được hoàn tất Bài 17 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng 1 1 1 3 P = + + ≥ √ √ 3 3 a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) abc abc + 1 Lời giải: √ √ √ Đặt: x = 3 a, y = 3 b, z = 3 c Suy ra http://boxmath.vn/... x2 + + + x y z cyc x2 + y 2 + z 2 = 1 4 1 1 1 + + x y z + 1 4 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: xy + yz + zx x2 + y 2 + z 2 1 1 1 + + = ≤ ≤1 x y z xyz xyz x 1 1 1 Do đó ≤ + = 2 + yz 4 4 2 cyc x Bài toán hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 Bài 33 Cho a, b, c ∈ [3; 5] Chứng minh rằng: √ √ √ ab + 1 + bc + 1 + ca + 1 > a + b + c Lời giải: Do a, b ∈ [3; 5] ⇒ |a − b| ≤ 2 ⇔ (a − b)2 ≤... a a a3 3a +1+1≥ b3 b 3 b + 1 + 1 ≥ 3b 1 a + +b≥3 a b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có: 1 a3 1 a 1 a + 3 + b3 + 6 ≥ 3 + +b ≥ + +b+6 3 a b a b a b 3 1 a 1 a ⇔ 3 + 3 + b3 ≥ + + b a b a b Bài toán chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 Bài 35 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: √ a b c 3 2 P =√ +√ +√ ≥ 2 ab + b2 bc + c2 ca + a2 http://boxmath.vn/ 28 Lời giải: Áp dụng bất . mê cho các bạn về một mảng toán khó trong chương trình toán học của trung học phổ thông nhưng ẩn chứa trong nó biết bao nhiêu điều thú vị và đam mê. Đó chính là bài toán về “Bất đẳng thức”. Quyển. các bạn đang đọc là sự tổng hợp từ các bài toán hay và cách giải thật đơn giản chỉ sử dụng những “chất liệu” thường gặp trong chương trình trung học phổ thông, nhưng lại mang đến sự hiệu quả cùng. xảy ra khi các biến bằng nhau. Chú ý: Bất đẳng thức Holder không được học trong chương trình toán phổ thông, nên khi đi thi phải chứng minh. IV. Một số bất đẳng thức hay sử dụng. Với a, b, c, x,